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专题 15 三角形全等
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1. 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A. 72° B. 60° C. 50° D. 58°
【答案】D
【分析】相等的边所对的角是对应角，根据全等三角形对应角相等可得答案.
【详解】左边三角形中b所对的角=180°-50°-72°=58°，
∵相等的边所对的角是对应角，全等三角形对应角相等
∴∠1=58°
故选D.
2. 如图， ，DF和AC，EF和BC为对应边，若 ， ，则 等于
（ ）
A. 18° B. 20° C. 39° D. 123°
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质求出∠D，再用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ ，∴∠D=∠A=123°，
又 ，
∴ =180°-∠D-∠F=180°-123°-39°=18°，
故答案为：A．
3．如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图
中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图所示可作3个全等的三角形．
故选：C．
4. 如图，在 中，D，E分别是边 ， 上的点，若 ，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据 ，推出 ，再由 ，得到 ，利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.
【详解】∵ ，∠DEB+∠DEC=180°，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
即
故选：D．
5．一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻
璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（ ）
A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可
【答案】D
【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全
等三角形在实际生活中的应用．
【详解】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一
样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；
2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．
故选：D．
6. 如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE, ， ，则 的度数为（
）A. 95 B. 100 C. 105 D. 115
【答案】C
【分析】如图，若AC=BC，AD=BE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠ACD的度数为
【详解】解：在 BCE和 ACD中，
△ △
∴△BCE≌△ACD（SSS）
∴∠ACD=∠BCE，即∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠DCE = ，
∴∠ACD=55°+50°=105°，
故选C．
7. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E、F分别是BD、DC的中点，则图中全等三角形共有（ ）
A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
【答案】B
【详解】解： ，
D是 BC中点，
BD=DC,△ADB≌△ADC（HL）；
E、F分别是BD、CD的中点，
BE=ED=DF=FC，
,
△ADE≌△ADF（HL）；
,
△ABE≌△ACF（SAS）；
EC=BF，AB=AC，AE=AF，
△ACE≌△ABF（SSS）；
图中有△ADE≌△ADF，△ADB≌△ADC，△ABE≌△ACF，△ACE≌△ABF共4对全等三角形，故答案选B．
8．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，
D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使 DOE FOE，你认为要
添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结
果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．
9. 如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD，点E、F为垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，则BC的长为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】根据△BFD≌△CED，EF＝6，可得DE＝3，由∠1＝2∠2，可得∠2＝60°，再根据直角三角形的性
质得出DC的长，进而得出BC的长．
【详解】解：∵∠1＝2∠2，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝60°，∴∠DCE＝30°，
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°，
∵∠BDF＝∠CDE，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DE＝DF，
∵EF＝6，∴DE＝DF＝3，∴CD＝6，∴BC＝12，故选：D．
10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形
CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下四个结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】D
【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．（根据等边三角形的性质可证
∠DCB=60°，由三角形内角和外角定理可证∠DPC＞60°，所以DP≠DE）
【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△ECB
∴AD=BE，故本选项正确；
②∵△ACD≌△ECB
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本选项正确；
③∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；
④∵△ABC、△DCE为正三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，
∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，
故本选项正确．
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 如图，一块三角形玻璃板破裂成①,②,③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃,为了方便,
只需带第______块碎片比较好．
【答案】③
【分析】根据三角形全等的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，带③去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．
故答案为：③．
12. 已知：如图， OAD≌ OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝______度．
【答案】120
【分析】根据全等三角形的性质可得∠D=∠C，再由三角形的外角的性质求出∠CAE和∠AEB．
【详解】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠D=∠C=25°，
∴∠CAE=∠O+∠D=95°，
∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．
13．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，已知 ， ，请你添加一个条件________，使
．【答案】 或 或
【分析】先根据平行线的性质得到 ，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当添加 时，根据 可判断 ；
当添加 时，根据 可判断 ；
当添加 时，根据 可判断 ．
故答案为： 或 或 ．
14. 把两根钢条 的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）， 如图，若测
得AB＝5厘米，则槽宽为_________厘米．
【答案】5
【分析】连接 ， ，设 为 和 的中点，且 即可判定 ，即
可求得 的长度．
【详解】解：连接 ， ，设 为 和 的中点，
， ，，
即 ，
故 （厘米），
故答案为：5．
15. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝_____．
【答案】55°
【分析】根据∠BAC＝∠DAE能够得出∠1＝∠EAC，然后可以证明△BAD≌△CAE，则有∠2＝∠ABD，最
后利用∠3＝∠1+∠ABD可求解．
【详解】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在 BAD和 CAE中，
△ △
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
16. 如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE=ED；②AE⊥DE；
③BC=AB+CD；④AB DC．其中成立的是______．（填上序号即可）【答案】①②③④
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=ED，①成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠D，
∵∠DEC+∠D=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥DE，②成立；
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AB=EC，BE=CD，
∵BC=BE+EC，
∴BC=AB+CD，③成立；
∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥DC，④成立，
故答案为：①②③④．
三、简答题（共46分）
17．（7分）（2022·广东）如图，已知 ，点P在 上， ， ，垂足分别为
D，E．求证： ．
【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质得 ，再用HL证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ 为 的角平分线，
又∵点P在 上， ， ，
∴ ， ，
又∵ （公共边），
∴ ．
18．（7分）（2021·福建）如图，在 中，D是边 上的点， ，垂足分别为
E，F，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】由 得出 ，由SAS证明 ，得出对应
角相等即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
19．（8分）如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，FB＝CE．求证：∠A＝∠D．【答案】见解析
【分析】欲证明 ，只要证明 即可．
【详解】解：证明： ，
，
即 ．
，
．
在 和 中，
，
，
．
20．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右
侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设 ， ．
①如图2，当点在线段BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90；（2）① ，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D
的
在射线BC 反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为： ；
（2）① ．
理由：∵ ，
∴ ．
即 ．
又 ，
∴ ．∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
21．（12分）（2022·重庆·中考真题）如图，在锐角 中， ，点 ， 分别是边 ， 上
一动点，连接 交直线 于点 ．
(1)如图1，若 ，且 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 ，且 ，在平面内将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到线段 ，连接
，点 是 的中点，连接 ．在点 ， 运动过程中，猜想线段 ， ， 之间存在的数量
关系，并证明你的猜想；
(3)若 ，且 ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，点 是 的中点，
点 是线段 上一点，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．在点 ，运动过程中，当线段 取得最小值，且 时，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）在射线 上取一点 ，使得 ，证明 ，求出
，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；
（2）证明 ，求出 ，倍长 至 ，连接 ，PQ，证明 ，
求出 ，在CF上截取FP＝FB，连接BP，易得 为正三角形，然后求出
，证 ，可得PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，则可得 为正三角形，
然后由 得出结论；
（3）根据 可知 轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，当 、
、 三点共线时， 取得最小值，设 ，解直角三角形求出PL、PH，再用面积法求出PQ
计算即可．
【详解】(1)解：如图1，在射线 上取一点 ，使得 ，
∵ ，BC＝BC，
∴ （SAS），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；(2)
，
证明：∵ ， ，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°，
又∵ ，
∴ （SAS），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
倍长 至 ，连接 ，PQ，
∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM，
∴ （SAS），
∴ ，∠QFN＝∠CMN，
由旋转的性质得AC＝CM，
∴ ，
在CF上截取FP＝FB，连接BP，
∵ ，
∴ ，
∴ 为正三角形，
∴∠BPF＝60°， ，
∴ ，
∵∠QFN＝∠CMN，
∴FQ∥CM，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ （SAS），
∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，
∴ 为正三角形，
∴ ，即 ；
(3)
由（2）知 ，
∴ 轨迹为如图3-1中圆弧，O为所在圆的圆心，此时AO垂直平分BC，
∴ 、 、 三点共线时， 取得最小值，
∵∠PAO＝∠PAB＋∠BAO＝90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图3-2，作HL⊥PK于L，
设 ，
在Rt△HLP中， ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，设PQ与HK交于点R，则HK垂直平分PQ，
∵S△PHK＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝AP＝2 ，
∴ ．
