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专题 13 函数中的三角形、四边形存在性问题
函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、
平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三
角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐
标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定
定理列出方程，并求出未知数。
（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
0），过点A作AC x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动
点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），
求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示
PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数
式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点
P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（ ， ）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）
【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，过P作PG y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m ）2 ，
∵ 0，
∴当m 时，△OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P点坐标为（ ， ）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m 或 ，
∵m ＞2，不合题意，舍去，
∴m ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P的坐标为（ ， ）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m 或m ，
1 2
∵ ＞2，不合题意，舍去，
∴m＝ ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
∴P的坐标为（ ， ）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m 或m ；
1 2∵ ＜2，不合题意，舍去，
∴m＝ ，
此时m2﹣4m+3＝ ，
P的坐标为（ ， ）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m 或 （舍），
P的坐标为：（ ， ）；
综上所述，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（
， ）．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝
ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的
坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的
菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面
积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【答案】(1)y＝﹣ x2﹣ x+4
(2)S ＝ ，D（﹣ ，5）
最大(3)存在，Q（﹣2， ）
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时， x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣1）•（x+3）＝﹣ x2﹣ x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣ ﹣ m+4），E（m， m+4），
∴DE＝﹣ ﹣ m+4﹣（ m+4）＝﹣ m2﹣4m，∴S ADC＝ OA＝ •（﹣ m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
△
∵S ABC＝ ＝ ＝8，
△
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，S ＝ ，
最大
当m＝﹣ 时，y＝﹣ ＝5，
∴D（﹣ ，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝ ，
∴P（﹣1， ），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣ ＝ ，
∴Q（﹣2， ）．
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函
数和菱形性质
（2022·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交
于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)把 ， 代入 即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式： ，再由直线MN： 及抛物线的对称轴： ，即可得出
．进而得出直线CD的解析式为： ，即可得出答案；②分以BC为边时，即 ，
，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
【答案】(1)
(2)① ；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为 时，
点D的坐标： 或 ；当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 得：解得
∴抛物线的表达式为 ．
（2）①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： ．
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： ．
当 时，得 ，
∴ ，∴ ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 ．
由点D在直线MN上，设 ．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 ．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 ．
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ．
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 ．
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ．
解得
∴ ， ．综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： ．
本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关
知识，正确进行分类讨论是解题的关键.
1．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟）已知如图，直线 与两坐标轴分别交于点 、 ，
点 关于 轴的对称点是点 ，直线 经过点 ，且与 轴相交于点 ，点 是直线 上一动点，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，再以 为边向右边作正方形 ．
(1)①求 的值；
②判断 的形状，并说明理由；
(2)连接 、 ，当 的周长最短时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交
于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2， 是抛物线 轴下方的抛物线上一点，连接 、 、 ，若 的面积是 面积
的3倍，求点 的坐标
(3)如图3，连接 ､ ，在抛物线上是否存在点 （不与点 重合），使得 ？若存在求
出点 的横坐标，若不存在说明理由
3．（2022·四川德阳·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点
和点 ，与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图，点 为线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点
，求线段 长度的最大值．
(3)动点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上由点 向点 运动，同时动点 以每秒 个单位长度的
速度在线段 上由点 向点 运动，在平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形
是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于 、 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段
BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设
的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使 为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由．
5．（2021·贵州遵义·校考模拟）如图，直线 与 轴、 轴分别交于B、C两点，抛物线
经过点B、C的，与 轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得 是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请
说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．6．（2022·四川泸州·校考模拟）如图1，已知抛物线过三点 )， 过线段 的
中点 ，若点 为 所在圆的圆心．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的度数；
(3)求圆心点 的坐标，并判断点 是否在这条抛物线上；
(4)若弧 的中点为 ，是否在 轴上存在点 ，使得 与 相似？若存在，请求出点 的坐
标，若不存在说明理由．
7．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，点
M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 与抛物线在第一象限交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 ，若过点O的直线交线段 于点P，将三角形 的面积分成 的两部分，请求出点P的
坐标；
(3)若Q是直线 上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当 的面积等于 的面积时，
求出Q点的坐标；
(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟）平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点
， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接 ，点P是线段 上方抛物线上的一个动点，过点P作PZ x轴交 于点Z，过点P
作PQ CB交直线 于点Q，求 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移 个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点 ．点
S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以 、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存
在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、C
两点，点 为线段 上的一个动点（不与 重合)，过点 作 轴，交 于点 ，交抛物线
于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 和 ，当 的面积最大时，求出点 的坐标及 的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点 ，使得以点A，M，N，P为顶点，以 为边的四边形是菱形？若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为
，点B的坐标 ，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D
作 轴于点H，过点A作 交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求 的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的 沿射线AE平移得到 ，记在平移过程中，在抛物线上是否
存在这样的点Q，使 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出 平移的距离；若
不存在，说明理由．
