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专题 13 二次函数的应用（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 图形面积或周长问题】...........................................................................................................................1
【考点2 图形运动问题】.......................................................................................................................................9
【考点3 拱桥问题】.............................................................................................................................................19
【考点4 销售问题】.............................................................................................................................................26
【考点5 投球问题】.............................................................................................................................................32
【考点6 喷水问题】.............................................................................................................................................40
【考点7 增长率问题】.........................................................................................................................................48
【考点8 车过隧道问题】.....................................................................................................................................51
【考点9 行程问题】.............................................................................................................................................58
【考点10 其他问题】.............................................................................................................................................65
【要点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【考点1 图形面积或周长问题】
【例1】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘
AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余
料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【答案】(1)(96−32√5)dm2 ；
(2)20dm；
(3)能切得半径为3dm的圆．
【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即
可得到关于m的方程进行求解；
（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形
的周长求最大值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是
⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
1
∴b=0，将A、C代入得，a=− ，c=8
2
1
则二次函数解析式为y=− x2+8，
2
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，1
− m2+8=2m，解得m =2√5−2,m =−2√5−2（舍去），
2 1 2
∴2m=4√5−4，(2m) 2=(4√5−4) 2=96−32√5
则正方形的面积为(96−32√5)dm2；
（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
1
y=− n2+8，
2
1
则EF=− n2+8，
2
1
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+− n2+8）=−n2+4n+16=−(n−2) 2+20，
2
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；
（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过点N作⊙M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作
NP⊥y轴于P，设N ( m,− 1 m2+8 ) ，
2
由勾股定理得：PM2+PN2=M N2，
∴m2+ ( − 1 m2+8−3 ) 2 =32
2
解得：m =2√2，m =−2√2（舍去），
1 2
∴N(2√2,4)，
∴PM=4−3=1
PM MN 1
∵cos∠NMP= = =
MN QM 3
∴QM=3MN=9
∴Q(0,12)
设QN的解析式为：y=kx+b
∴¿
∴¿
∴QN的解析式为：y=−2√2x+12
1
与抛物线联立为：− x2+8=−2√2x+12
2
1
x2−2√2x+4=0
21
Δ=(−2√2) 2 −4× ×4=0
2
所以此时N为⊙M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．
【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转
换是解题的关键．
【变式1-1】（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用
木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入
门）．求鸡场面积的最大值．
【答案】288m2
47−x+1
【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym2，根据
2
矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．
47−x+1
【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym2，
2
47−x+1 1 1
根据题意，得y=x⋅ =− x2+24x=− (x−24) 2+288，
2 2 2
∴当x=24时，y有最大值为288，
∴鸡场面积的最大值为288m2．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．
【变式1-2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD
进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为
12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0)，加长后水池1的总面积为y (m2)，则y 关于x的函
1 1
数解析式为：y =x+4(x>0)；设水池2的边EF的长为x(m)(00) y =x+b(x>0)
3 3x(m)有唯一值，求b的值．
【答案】(1)36，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−4.8．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−5.6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3-3】（2022·湖北咸宁·统考一模）图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距
离为2m．
(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？
(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？
【答案】（1）6√6m；（2）当水面下降1m后，水面宽为2√51m
【分析】（1）先建立直角坐标系，求出函数解析式，计算当y=-1时的横坐标即可得到答案；
（2）设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，设圆的半径为x
m，根据勾股定理列方程求出半径，设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，根据勾股定理即可
求出答案.
【详解】（1）以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则点B（6，0），A（-6，0），
∵（0，2）在抛物线上，∴设其抛物线为：y=ax2+2，
把（6，0）代入得：
0=a×62+2，
1
∴a=− ，
18
1
∴抛物线为：y=− x2+2
18
当y=-1时，
1
有−1=− x2+2，
18
解得x=±3√6 ，
∴此时水面的宽为：2×3√6=6√6 （m）；
（2）如图，设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，
则CD=2，BC=6．
设圆的半径为x m，
则OC=(x-2)m
由勾股定理得：(x-2)2+62=x2
解得：x=10
设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，则OM=10-3=7(m)，
连接OF，由勾股定理得：
MF=√102−72=√51m．
∴当水面下降1m后，水面宽为2√51m.
【点睛】此题考查函数解析式的求法，勾股定理，圆的性质，正确理解抛物线和圆的图形特点是解题的关
键.
【考点4 销售问题】
【例4】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，
两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，¿，
解得¿，
故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，
根据题意得，
w=(54−a−30)(20+5a)=−5a2+100a+480=−5(a−10) 2+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发
现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−2x+100；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
¿，解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+100；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则
(x−10)×(−2x+100)=600，
解得：x =40，x =20，
1 2
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
w=(x−10)×(−2x+100)，
整理得：w=−2(x−30) 2+800；
∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【变式4-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，
建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x
满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售量（千
10 12 14 …
克）
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，
每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)见解析
1
− x+19(02.5，解得b> ，
8 104
1 43
当x=14时，y=− ×142+14b+4<1，解得b< ；
8 28
157 43
故b的取值范围： 4，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度
1 1 1 7 2 49
ℎ =− (x−4) 2+8− x=− (x− ) + ，
2 2 2 2 8
49
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ．
8
【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解
方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
【变式5-3】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左
上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x
轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的
一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在
桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：
t（s） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ．．．
x（m） 0 0.5 1 1.5 2 ．．．
y（m） 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 ．．．(1)当t＝ s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数
关系式；如果不存在，请说明理由；
(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上
方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.5√3（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF
与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面
内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取
值范围．
【答案】(1)0.4；y与x之间存在二次函数关系，y=−0.2(x−1) 2+0.45
(2)乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
(3)2.5；0.45m≤CE≤0.73m
【分析】（1）先根据当t=0.2和当t=0.6时y的值相同求出抛物线L的对称轴为直线x=0.4，进而可以求出
抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45）即可求出当t=0.4时，乒乓球达到最大高度；再利用待定系数法求出抛
物线L的解析式，根据表格中的数据可得t=0.4x进而可以求出y=−0.2(x−1) 2+0.45；
（2）先求出点G的横坐标，进而求出当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=0.418m，由此求解即可；
（3）先求出点D的坐标，然后把点D的坐标代入到抛物线L′的解析式中即可求出点p，再分别求出当抛物
线L′经过点E和点F时点E的坐标即可得到答案；
（1）
解：∵从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，且当t=0.2和当t=0.6时y的值相同，
0.2+0.6
∴抛物线L的对称轴为直线x= =0.4，
2
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45），
∴当t=0.4s时，乒乓球达到最大高度；设y=a(t−0.4) 2，
由题意得0.25=a⋅(0−0.4) 2+0.45，
∴a=−1.25，
∴y=−1.25(t−0.4) 2+0.45；
由表格中的数据可知，t每增加0.2，则x增加0.5，
t−0
∴x=0.5× =2.5t，
0.2
∴t=0.4x，
∴y=−1.25(0.4x−0.4) 2+0.45=−0.2(x−1) 2+0.45，
∴y与x之间存在二次函数关系，y=−0.2(x−1) 2+0.45；
（2）解：∵BC=2.74m，G为BC的中点，
1
∴BG= BC=1.37m，
2
∴OG=OB+BG=1.4m，
当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=−0.2×(1.4−1) 2+0.45=0.418m
∵GH=0.15m，
∴此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.418-0.15≈0.27m，
∴乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
（3）
解：对于函数y=−0.2(x−1) 2+0.45，当y=0时，−0.2(x−1) 2+0.45=0，
解得x=2.5或x=−0.25，
∴点D的坐标为（2.5，0），
∵函数y=−0.5√3(x−p)(x−3.5)经过点D，
∴−0.5√3(2.5−p)×(2.5−3.5)=0，
∴p=2.5；
∴抛物线L′的解析式为y=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，
对于函数y=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，当y=0时，−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)=0，解得x=2.5或x=3.5，
∴抛物线L′与x轴的交点坐标为（2.5，0）和（3.5，0），
∵OB=0.03m，BC=2.74m，
∴OC=2.77m，即点C的坐标为（2.77，0），
当抛物线L′恰好经过点E时，则点E的坐标为（3.5，0），
∴此时CE=3.5-2.77=0.73m；
当抛物线L′恰好经过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
∴∠FME=90°，
∵∠EFM=60°，
∴∠EFM=30°，
1
∴EM= EF=0.08m，
2
∴FM=√EF2−EM2=0.08√3m，
∴点F的纵坐标为0.08√3，
∴0.08√3=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，
解得x=3.3或x=2.7，
又∵点E在点C右侧，即点E的横坐标大于2.77，故点F的横坐标大于2.77
∴点M的坐标为（3.3，0），
∴CE=CM-ME=3.3-2.77-0.08=0.45m，
∴CE=3.3-2.77=0.53m，
∴0.45m≤CE≤0.73m．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确求出抛物
线L和L′的解析式是解题的关键．
【考点6 喷水问题】
【例6】（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，
喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高
_______________m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设
y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代
入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式
为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
2 2
联立可求出a=− ，b= ，
3 3
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
2 2
∴此时的解析式为y=− x2+ x+ ℎ，
3 3
2 2
将（4，0）代入可得− ×42+ ×4+ ℎ =0，
3 3
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的
平移性质是解题关键．
【变式6-1】（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立
如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ) 2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水
平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)y=−0.1(x−5) 2+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为y=a(x−5) 2+3.2，将点P(0,0.7)，代入即可求解；
（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点(3,0)的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为(5,3.2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−5) 2+3.2，
将点(0,0.7)代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1(x−5) 2+3.2，
（2）由y=−0.1(x−5) 2+3.2，令y=1.6，
得1.6=−0.1(x−5) 2+3.2，解得x =1,x =9，
1 2
∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【变式6-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为
绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象
为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，
竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水
平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
(1)若ℎ =1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
1
【答案】(1)①y=− (x−2) 2+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤2√3−1
8
65
(2)
32
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线
OB≤d，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2) 2+2．
又∵抛物线经过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ．
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2．
8
1
当y=0时，− (x−2) 2+2=0，
8
∴x =6，x =−2（舍去）．
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6m．
图1
②∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点F时，
1
− (x−2) 2+2=0.5．
8
解得x=2±2√3，
∵x>0，
∴x=2+2√3．当x>0时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2√3．
∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
∵DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2+2√3)−3=2√3−1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
65
（2）ℎ的最小值为 ．
32
由题意得A(2,ℎ +0.5)是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为y=a(x−2) 2+
ℎ
+0.5．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴y=4a+
ℎ
+0.5=
ℎ
1
解得a=−
8
1
∴上边缘抛物线解析式为y=− (x−2) 2+ ℎ +0.5
8
∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,ℎ)的对称点的坐标为(4,ℎ)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
1
∴下边缘抛物线解析式为y=− (x+2) 2+
ℎ
+0.5．
8
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，∵DE=3
∴设点D(m,0)，E(m+3,0)，F ( m+3,− 1 (m+3−2) 2+ ℎ +0.5 ) ，
8
∵D在下边缘抛物线上，
1
∴− (m+2) 2+ ℎ +0.5=0
8
∵EF=1
1
∴− (m+3−2) 2+ ℎ +0.5=1
8
1 [ 1 ]
∴− (m+3−2) 2+ ℎ +0.5− − (m+2) 2+ ℎ +0.5 =1，
8 8
解得m=2.5，
1 65
代入− (m+2) 2+ ℎ +0.5=0，得ℎ = ．
8 32
65
所以ℎ的最小值为 ．
32
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二
次函数上的坐标是解题的关键．
【变式6-3】（2022·北京·北京四中校考模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过
助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距
离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，
OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
(3)落点P与坡顶C之间的距离为 m．1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+70
16 2
121
(2) m
4
(3)50
【分析】（1）由待定系数法解答；
（2）由正切定义解得OB＝80，继而求得直线BC的解析式，设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
由d＝y－y 得到二次函数，再利用配方法求最值；
1
3 1 3
（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程− x＋60=− x2+ x+70的解，再根据三角形
4 16 2
中位线的性质解得HC，PH的长，最后根据勾股定理解答．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
将（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，
¿
解得¿
1 3
∴二次函数的表达式为y=− x2+ x+70；
16 2
（2）设线段BC表示的y 与x之间的函数表达式为y=kx＋b（k为常数，k≠0），
1 1
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
OC 3
∴tan∠CBO＝tan α＝ =
OB 4
∵OC＝60，
∴OB＝80
将C（0，60），B（80，0）代入y=kx＋b可得，
1
¿
解得¿
3
∴线段BC表示的y 与x之间的函数表达式为y＝− x＋60（0≤x≤80）
1 1 4
设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
1 3 3 1 9 1 121
则d＝y－y＝－ x2＋ x＋70－(− x＋60)＝－ x2＋ x＋10＝－ (x－18)2＋
1 16 2 4 16 4 16 4121
∴当x＝18时，d的最大值为 .
4
121
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离为 m.
4
（3）¿
3 1 3
− x＋60=− x2+ x+70
4 16 2
x2−36x−160=0
∴(x+4)(x−40)=0
∴x=40或x=−4（舍去）
即Px=40，
过点P作PH//x轴，PH=40
又OB=80
1
∴HP= OB
2
∴HP是△OBC的中位线
1
∴HC= OC=30
2
∴PC=√302+402=50
故答案为：50．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位
线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【考点7 增长率问题】
【例7】（2022·山东东营·统考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种
型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列
出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元，列不等式，求出a的范围，
再求出w的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：2560(1+x) 2=2560+3200，
解得:x =0.5=50%，x =−2.5（舍去）.
1 2
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元.
1
根据题意，得:a⩽ (200−a)，
2
2
解得:a≤66 ，
3
w=3.5a+4(200−a)=−0.5a+800，
∵−0.5<0，
∴w随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当a=66时，w最小，最小值为−0.5×66+800=767（万元）.
此时，200−a=134.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解
析式和一元一次不等式，是解题的关键.
【变式 】（ 浙江丽水校联考三模）据省统计局公布的数据，合肥市 年第一季度GDP总值约
为 千7亿-1元人2民0币22，· 若我市第· 三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个2季02度1GDP增长的百分率为x，
2.4则y关于x的函数表达式是（ ）
A． y=2.4(1+2x) B． y=2.4(1−x) 2
C． y=2.4(1+x) 2 D． y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)
【答案】C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4(1+x)元，第三季度
GDP总值为2.4(1+x) 2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：根据题意得：
y关于x的函数表达式是：y=2.4(1+x) 2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
【变式7-2】（2022·浙江宁波·统考一模）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，
预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？
（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？
【答案】（1）y=10(1+x) 2；（2）14.4万元；（3）36.4万元．
【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.
【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ；
(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元；
(3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元).
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．
【变式7-3】（2022·广东广州·广州大学附属中学校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出
《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：3(1+x) 2=4.32，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质
进行求解．
【考点8 车过隧道问题】
【例8】（2022·广东深圳·统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度
PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离
1
路边缘2米（AB=2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于 米．如图2，以
2
O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：(1)直接写出点A的坐标是______，抛物线顶点P的坐标是______；
(2)求出这条抛物线的函数表达式；
(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．
【答案】(1)A(16,0),P(8,8)；
1
(2)y=− (x−8) 2+8
8
(3)3米
【分析】（1）直接根据题意以及图形可知点A、点P的坐标．
（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．
（3）由图可知，当车高ℎ一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，将x=14代入函数解析式中表示出
1
CD，进而根据“最小空隙CD不少于 米”可求解出答案．
2
（1）
解：由题意可知：
点A的坐标是(16,0)，抛物线顶点P的坐标(8,8)
（2）
解：法1：∵顶点坐标(8,8)
∴设y=a(x−8) 2+8（a≠0）
又∵图象经过(0,0)，∴0=a(0−8) 2+8，
1
∴a=− ，
8
1 1
∴这条抛物线的函数表达式为y=− (x−8) 2+8，即y=− x2+2x；
8 8
法2：∵抛物线与x轴两交点分别为(0,0)和(16,0)
∴设y=ax(x−16)（a≠0）
又∵图象经过(8,8)，∴8a×(8−16)=8，
1
∴a=−
8
1 1
∴这条抛物线的函数表达式为y=− x2+2x，即y=− (x−8) 2+8；
8 8（3）
解：通过隧道车辆的高度不能超过3米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高ℎ一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，
1 7
此时，y=− (14−8) 2+8= ，
8 2
7
此时，CD= −ℎ，
2
7 1
由题意，CD= −ℎ≥ ，
2 2
所以，ℎ≤3．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应
起来是解决本题的关键．
【变式8-1】（2022·北京房山·统考一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经
测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，
隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；
(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，
为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断
该卡车能否通过隧道．
【答案】(1)见解析
(2)直线x=2
(3)不能通过隧道
【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所
画的曲线；
（2）
（1）（2）
由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2
（3）
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
把A、B、C三点的坐标代入得：¿
解得：¿
1
故函数解析式为y=− x2+x+3
4
1 1
当x=2− ×2.4=0.8时，y=− ×0.82+0.8+3=3.64
2 4
∵3.64−3.2=0.44<0.6
∴卡车不能通过隧道
【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的
对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答．
【变式8-2】（2022·湖北武汉·统考一模）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物
线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为
5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物
线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现
每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，
试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？
3
【答案】（1）y＝﹣ x2+6；（2）70万元；（3）2.9分
50
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．
（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．
【详解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，
3
得a=− ,c=6．
50
3
∴y＝﹣ x2+6．
50
3 9
（2）当x＝5时，y＝﹣ ×52+6＝ ，
50 2
9 11
∴EF＝10﹣ ＝ ，CD＝10﹣6＝4，
2 2
11
支柱的总造价为2（2× +2×10+4）＝70（万元）．
2
3
（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，﹣ x2+6＝3，
50
解得：x＝±5√2，
∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，1000+160
∴通过隧道的最短时间为 ＝2.9（分）．
400
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练掌握根据题
目所给条件选取相应表达式，然后运用待定系数法求函数解析式，在解决实际问题中，要正确理解题意结
合二次函数的性质加以解决
【变式8-3】（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(0
