专题 13 二次函数的应用（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 图形面积或周长问题】...........................................................................................................................1
【考点2 图形运动问题】.......................................................................................................................................9
【考点3 拱桥问题】.............................................................................................................................................19
【考点4 销售问题】.............................................................................................................................................26
【考点5 投球问题】.............................................................................................................................................32
【考点6 喷水问题】.............................................................................................................................................40
【考点7 增长率问题】.........................................................................................................................................48
【考点8 车过隧道问题】.....................................................................................................................................51
【考点9 行程问题】.............................................................................................................................................58
【考点10 其他问题】.............................................................................................................................................65
【要点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
【考点1 图形面积或周长问题】
【例1】（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘
AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余
料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【答案】(1)(96−32√5)dm2 ；
(2)20dm；
(3)能切得半径为3dm的圆．
【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即
可得到关于m的方程进行求解；
（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形
的周长求最大值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是
⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
1
∴b=0，将A、C代入得，a=− ，c=8
2
1
则二次函数解析式为y=− x2+8，
2
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，1
− m2+8=2m，解得m =2√5−2,m =−2√5−2（舍去），
2 1 2
∴2m=4√5−4，(2m) 2=(4√5−4) 2=96−32√5
则正方形的面积为(96−32√5)dm2；
（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
1
y=− n2+8，
2
1
则EF=− n2+8，
2
1
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+− n2+8）=−n2+4n+16=−(n−2) 2+20，
2
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；
（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过点N作⊙M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作
NP⊥y轴于P，设N ( m,− 1 m2+8 ) ，
2
由勾股定理得：PM2+PN2=M N2，
∴m2+ ( − 1 m2+8−3 ) 2 =32
2
解得：m =2√2，m =−2√2（舍去），
1 2
∴N(2√2,4)，
∴PM=4−3=1
PM MN 1
∵cos∠NMP= = =
MN QM 3
∴QM=3MN=9
∴Q(0,12)
设QN的解析式为：y=kx+b
∴¿
∴¿
∴QN的解析式为：y=−2√2x+12
1
与抛物线联立为：− x2+8=−2√2x+12
2
1
x2−2√2x+4=0
21
Δ=(−2√2) 2 −4× ×4=0
2
所以此时N为⊙M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．
【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转
换是解题的关键．
【变式1-1】（2022·山东威海·统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用
木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入
门）．求鸡场面积的最大值．
【答案】288m2
47−x+1
【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym2，根据
2
矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可．
47−x+1
【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为 m，设鸡场面积为ym2，
2
47−x+1 1 1
根据题意，得y=x⋅ =− x2+24x=− (x−24) 2+288，
2 2 2
∴当x=24时，y有最大值为288，
∴鸡场面积的最大值为288m2．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式．
【变式1-2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m，宽AB=1m的长方形水池ABCD
进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为
12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0)，加长后水池1的总面积为y (m2)，则y 关于x的函
1 1
数解析式为：y =x+4(x>0)；设水池2的边EF的长为x(m)(0<x<6)，面积为y (m2)，则y 关于x的函数
1 2 2
解析式为：y =−x2+6x(0<x<6)，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
2
【问题解决】
(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2
面积的最大值是_________m2；
(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的x(m)值是_________；
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是_________；
(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
(5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m)，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水
池3的总面积 关于 的函数解析式为： ．若水池3与水池2的面积相等时，
y (m2) x(m)(x>0) y =x+b(x>0)
3 3x(m)有唯一值，求b的值．
【答案】(1)3<x<6；9
(2)C，E；1，4；
(3)0<x<1或4<x<6
9 5
(4) ，
4 2
25
(5)
4
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可解决问题；
（2）交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；
（3）观察函数图象，结合点C，点E的坐标可得结论；
（4）求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；
（5）根据面积相等列出一元二次方程，依据Δ=0，求出b的值即可．
【详解】（1）∵y =−x2+6x=−(x−3) 2+9
2
∴抛物线的顶点坐标为（3，9），对称轴为x=3，
∵水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∴EF长度的取值范围是3<x<6；水池2面积的最大值是9m2；
故答案为：3<x<6；9；
（2）由图象得，两函数交于点C，E，
所以，表示两个水池面积相等的点是C，E；
联立方程组¿
解得，¿
∴x的值为1或4，
故答案为：C，E；1或4
（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），
又直线在抛物线上方时，0<x<1或4<x<6，
所以，水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是0<x<1或4<x<6，
故答案为0<x<1或4<x<6；
5 2 9
（4）在1<x<4范围内，两个水池面积差M=(−x2+6x)−(x+4)=−x2+5x−4=−(x− ) + ，
2 4∵−1<0,
∴函数有最大值，
∵0<x<6
5 9
∴当x= 时，函数有最大值，为 ，
2 4
5 9
即，当x= 时，面积差的最大值为 ，
2 4
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴x+b=−x2+6x，
整理得，x2−5x+b=0
∵x(m)有唯一值，
∴Δ=(−5) 2−4b=0
25
解得，b=
4
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键．
【变式1-3】（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意
见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．
某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回
答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积
为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m
7 147
(2)当BC= m时，围成的两块矩形总种植面积最大= m2
2 4【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为
(12-a)m，再由矩形面积公式求解；
（2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的
两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 .
【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
7 147
=-3(x- )2+
2 4
∵21-3x≤12
∴x≥3
7 147
∴当BC= m时，y = m2．
2 最大 4
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．
【考点2 图形运动问题】
【例2】（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速
度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接
CP,EQ．设运动时间为t(s)(0<t<5)．解答下列问题：(1)当EQ⊥AD时，求t的值；
(2)设四边形PCDQ的面积为S(cm2 )，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16
【答案】(1) s
5
1 37
(2)S= t2− t+14
2 10
65
(3)存在，t= s
29
AQ AE t 4
【分析】（1）利用△AQE∽△AED得 = ，即 = ，进而求解；
AE AD 4 5
（2）分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N，证△ABC∽△CAM得，
AB BC AC 12 16 BP PN 4
= = ，求得AM= ，CM= ，再证△BPN∽△BAC得 = ，得出PN= t，根据
CA AM CM 5 5 BA AC 5
S=S =S +S −S −S 即可求出表达式；
四边形PCDQ △ABC △ACD △APQ △BPC
5−t t
AP AQ =
（3）当PQ∥CD时∠AQP=∠ADC，易证△APQ∽△MCD，得出 = ，则 16 13，进而求
MC MD
5 5
出t值．
（1）
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√25−9=4
∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE
∴AD=5，DE=3，AE=4，∠AED=90°，∠BAD=90°
∵EQ⊥AD
∴∠AQE=∠AED=90°
又∠EAQ=∠DAE
∴△AQE∽△AED
AQ AE
∴ =
AE AD
t 4
∴ =
4 516
∴t=
5
16
答：当EQ⊥AD时，t的值为 s．
5
（2）
解：分别过点C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分别为M，N
∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°
∴∠B=∠CAM
又∠BCA=∠AMC=90°
∴△ABC∽△CAM
AB BC AC
∴ = =
CA AM CM
5 3 4
∴ = =
4 AM CM
12 16
∴AM= ，CM=
5 5
∵∠B=∠B，∠BNP=∠BCA=90°
∴△BPN∽△BAC
BP PN
∴ =
BA AC
t PN
∴ =
5 4
4
∴PN= t
5
1 1 1 1 16
∴S = ⋅BC⋅AC= ×3×4=6,S = ⋅AD⋅CM= ×5× =8
△ABC 2 2 △ACD 2 2 5
1 1 4 6 1 1
S = ⋅BC⋅PN= ×3× t= t,S = ⋅AQ⋅AP= t(5−t)
△PBC 2 2 5 5 △APQ 2 2
∴S=S =S +S −S −S
四边形PCDQ △ABC △ACD △APQ △BPC1 6
=6+8− t(5−t)− t
2 5
1 37
= t2− t+14
2 10
1 37
∴S= t2− t+14
2 10
（3）
解：假设存在某一时刻t，使PQ∥CD
12
∵AD=5,AM=
5
12 13
∴DM=AD−AM=5− =
5 5
∵PQ∥CD
∴∠AQP=∠ADC
又∠PAQ=∠CMD=90°
∴△APQ∽△MCD
AP AQ
∴ =
MC MD
5−t t
=
∴ 16 13
5 5
65
∴t=
29
65
∴存在时刻t= s，使PQ∥CD．
29【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图
形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
【变式2-1】（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=2√3，BC=6，点O是BC的中点．
点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC匀速运动；点F从点O出发，以每秒2个单位长
5
度的速度沿射线OC匀速运动．E，F两点同时出发，运动时间为t秒（0≤t≤ ），在两点运动过程中，以
2
EF为边作等边三角形EFG，使 EFG和矩形ABCD在射线BC的同侧．
△
(1)若点G落在边AD上，求t的值；
(2)若t=2，求 EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；
(3)在整个运动△过程中，设 EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，试求出S与t之间的函数表达式．
【答案】(1)1 △
(2)11+√3
(3)s=¿
【分析】（1）由题意得BE=t，OF=2t，EFt=3＋t，列出方程求解即可；
（2）设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，求出KF=2，KC=√3，再求出KN=2，
MN=1，ME=4，最后求得 EFG和矩形ABCD重叠部分的周长；
△ 3 3 5
（3）分当0≤t≤1时、当1＜t≤ 时、当 ＜t≤ 时，对三种情况进行讨论，分别求出S与t之间的函数表达
2 2 2
式．
(1)
由题意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，
∴EF=OB－BE＋OF=3－t＋2t=3＋t．
当G落在AD上时，如图①，G到EF的距离为2√3
∴EF=4，即3＋t=4，t=1．
(2)
当t=2时（如图②），
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，
则BE=2，OF=4，EC=4，CF=1．
在Rt CFK中，∠F=60°，
∴KF=△2，KC=√3．
∵CD=2√3，
∴KC=√3，即K是CD的中点．
∴KN=2，MN=1，ME=4．
∴重叠部分的周长=4+√3+2+1+4=11+√3．
(3)
(i)当0≤t≤1时，
√3(t+3) 2 √3 3√3 9√3
由（1）知，S=S EFG= = t2+ t+ ；
4 4 2 4
△
3
(ii)当1＜t≤ 时，如图③，
2设EG，FG分别与AD相交于点M，N，则MN=t－1，
2√3
∴S=S =(t－1＋t＋3)× =2√3t+2√3；
四边形MNFE 2
3 5
(iii)当 ＜t≤ 时，如图④，
2 2
设EG，FG分别与AD相交于点M，N，FG与CD相交于点K，
则MN=t－1，CF=2t－3，CK=√3(2t−3)，
2√3 √3(2t−3) 2 5√3
∴S=S －S =(t－1＋t＋3)× － =−2√3t2+8√3t− ．
四边形MNFE CFK 2 2 2
△
综上所述，S=¿
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、矩形的性质、二次函数与几何动点问题的有关知识以及多边形面
积求法，关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论得出．
【变式2-2】（2022·山东临沂·统考一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD
上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C
落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．1
（1）当AM＝ 时，求x的值；
3
（2）随着点M在边AD上位置的变化， PDM的周长是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，
请求出该定值； △
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．
5 1( 1) 2 3 1 5
【答案】（1）x＝ ；（2）不变， MDP的周长为2；（3）S= t− + ，当t＝ ，即x＝ 时，面
9 2 2 8 2 8
△
3
积的最小值为
8
【分析】（1）利用折叠的性质得ME＝BE＝x，则AE＝1－x，在根据勾股定理列式求出x的值；
（2）连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，证明△BAM≌△BHM和Rt BHP≌Rt BCP，可以得到
PDM的周长就等于AD＋DC，是定值； △ △
△（3）连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，证明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，设AM＝a，根据勾股定
理列式得到a与x的关系式，表示出CF和BE长，得到三角形面积表达式，再求出最值．
【详解】（1）由折叠可知ME＝BE＝x，
∴AE＝1－x，
在Rt AEM中，由AM＝
1
，得
(1) 2
+(1−x) 2=x2 ，
3 3
△
5
解得x＝ ；
9
（2）如图，连接AM、BO，过点B作BH⊥MN，垂足为H，
∵EB＝EM，
∴∠EBM＝∠EMB，
∵∠EBC＝∠EMN，
∴∠MBC＝∠BMN，
∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，
∴△BAM≌△BHM，∴AM＝HM，BH＝AB，
∵BC＝AB，
∴BH＝BC，
∵BP＝BP，
∴Rt BHP≌Rt BCP，
∴HP△＝PC， △
∴△MDP的周长＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，
∴△MDP的周长为2；
（3）如图，连接BM，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，
则QF＝BC＝AB，
∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，
∴∠BEF＝∠AMB，
∵∠A＝∠EQF，
∴△AMB≌△QEF，
∴AM＝EQ，
设AM＝a，则a2+(1−x) 2=x2，
∴a＝√2x−1，
∴CF＝x－√2x−1，
1
∴S＝ (CF＋BE)×1
2
1
＝ ( x－√2x−1＋x)
2
1
＝ (2 x－√2x−1) ，
2
设√2x−1＝t，则2x=t2+1，S=
1
(t2+1−t)=
1(
t−
1) 2
+
3
，
2 2 2 8
1 5 3
∴当t＝ ，即x＝ 时，面积的最小值为 ．
2 8 8
【点睛】本题考查几何动点问题，解题的关键是掌握勾股定理，折叠性质的运用，全等三角形的性质和判
定，二次函数最值的求解，需要掌握数形结合的思想．
【变式2-3】（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s；过点P作PD∥AB，交AC于点D，
同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止
运动，连接PQ．设运动时间为t(s)(0<t<2.5)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形ADPQ为平行四边形？
(2)设四边形ADPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S :S =13:2？若存在，请说明理由，若存在，求
四边形ADPQ △PQB
出t的值．
20
【答案】(1)
13
9 3
(2)y= t2+ t
40 2
(3)存在，2
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据平行四边形的性质得到PQ∥AC，根据相似三角形的性质列
出比例式，计算即可；
（2）过点P作PE⊥AB，证明△BPE∽△BAC，根据相似三角形的性质求出PE、PD，根据梯形的面积
公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出t，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，∴AB=√AC2+BC2=5cm，
∵PD∥AB，
∴当PQ∥AC时，四边形ADPQ是平行四边形，
QB BP 5−2t t
∴ = ，即 = ，
AB BC 5 4
20
解得，t= ，
13
20
答：当t= 时，四边形ADPQ为平行四边形；
13
（2）解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，
∵∠PEB=∠C=90°，
∠B=∠B，
∴△BPE∽△BAC，
PE BP PE t
∴ = ，即 = ，
AC BA 3 5
3
解得，PE= t，
5
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B，
∠C=∠C，
∴△CPD∽△CBA，
PD CP PD 4−t
∴ = ，即 = ，
AB CB 5 4
20−5t
解得，PD= ，
4
1
∴y=S = ×(PD+AQ)×PE
四边形ADPQ 21 20−5t 3
= ×( +2t)× t
2 4 5
9 3
= t2+ t；
40 2
（3）解：若存在某一时刻，使S :S =13:2，
四边形ADPQ △PQB
13
则y= S
2 △PQB
1 3 3
∵S = ×QB×PE=− t2+ t，
△PQB 2 5 2
9 3 13 3 3
∴ t2+ t= (− t2+ t)，
40 2 2 5 2
解得，t =0（舍去），t =2，
1 2
则t为2s时，S :S =13:2．
四边形ADPQA △PQB
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定，解题的关
键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．
【考点3 拱桥问题】
【例3】（2022·四川广安·统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面
下降________米，水面宽8米．
14 5
【答案】 ##1
9 9
【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（−3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4
代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可
得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（−3，0）代入得，
∴9a+2=0，
2
∴a=− ，
9
2
∴抛物线解析式为：y=− x2+2；
9
当水面下降，水面宽为8米时，有
2 2 14
把x=4代入解析式，得y=− ×42+2=− ×16+2=− ；
9 9 9
14
∴水面下降 米；
9
14
故答案为： ；
9
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关
键．
【变式3-1】（2022·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表
示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直
角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
9
【答案】(1)y=− (x−5) 2+9
25
5√3 5√3
(2)A(5− ,6),B(5+ ,6)
3 3
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，
9
将(0,0)代入，得0=a(0−5) 2+9．解之，得a=− ．
25
9
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
9
（2）令y=6，得− (x−5) 2+9=6．
25
5√3 5√3
解之，得x = +5,x =− +5．
1 3 2 3
5√3 5√3
∴A(5− ,6),B(5+ ,6)．
3 3
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时
求出二次函数的解析式是关键．
【变式3-2】（2022·浙江温州·统考中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
图1中有一座拱桥，图2是其
素 抛物线形桥拱的示意图，某时
材 测得水面宽20m，拱顶离水面
1 5m．据调查，该河段水位在此
基础上再涨1.8m达到最高．为迎佳节，拟在图1桥洞前面
的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，
如图3.为了安全，灯笼底部距
素
离水面不小于1m；为了实效，
材
相邻两盏灯笼悬挂点的水平间
2
距均为1.6m；为了美观，要求
在符合条件处都挂上灯笼，且
挂满后成轴对称分布．
问题解决
任
务 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
1
任
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标
务 探究悬挂范围
的最小值和横坐标的取值范围．
2
任
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标
务 拟定设计方案
系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
3
1
【答案】任务一：见解析，y=− x2 ；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8；−6≤x≤6；任务三：
20
两种方案，见解析
【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求
解；
任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，进而代入函数解析式即可求得横坐
标的范围；
任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂
灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，根据题意求
得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且经过点(10,−5)．
设该抛物线函数表达式为y=ax2 (a≠0)，
则−5=100a，
1
∴a=− ，
20
1
∴该抛物线的函数表达式是y=− x2 ．
20
任务二：∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，
∴悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8．
1
当y=−1.8时，−1.8=− x2 ，解得x =6或x =−6，
20 1 2
∴悬挂点的横坐标的取值范围是−6≤x≤6．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵−6≤x≤6，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4>6，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−4.8．方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−5.6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3-3】（2022·湖北咸宁·统考一模）图示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面的距
离为2m．
(1)若图中的拱形呈抛物线形状，当水面下降1m后，水面宽为多少？
(2)若图中的拱形呈圆弧形状，当水面下降1m后，水面宽又为多少？
【答案】（1）6√6m；（2）当水面下降1m后，水面宽为2√51m
【分析】（1）先建立直角坐标系，求出函数解析式，计算当y=-1时的横坐标即可得到答案；
（2）设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，设圆的半径为x
m，根据勾股定理列方程求出半径，设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，根据勾股定理即可
求出答案.
【详解】（1）以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则点B（6，0），A（-6，0），
∵（0，2）在抛物线上，∴设其抛物线为：y=ax2+2，
把（6，0）代入得：
0=a×62+2，
1
∴a=− ，
18
1
∴抛物线为：y=− x2+2
18
当y=-1时，
1
有−1=− x2+2，
18
解得x=±3√6 ，
∴此时水面的宽为：2×3√6=6√6 （m）；
（2）如图，设弧AB的圆心为O，过点O作AB的垂线，交弧于点D，垂足为点C，连接OB，
则CD=2，BC=6．
设圆的半径为x m，
则OC=(x-2)m
由勾股定理得：(x-2)2+62=x2
解得：x=10
设水位下降1m后的水面宽为EF，交OD于点M，则OM=10-3=7(m)，
连接OF，由勾股定理得：
MF=√102−72=√51m．
∴当水面下降1m后，水面宽为2√51m.
【点睛】此题考查函数解析式的求法，勾股定理，圆的性质，正确理解抛物线和圆的图形特点是解题的关
键.
【考点4 销售问题】
【例4】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，
两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价
销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售
价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，¿，
解得¿，
故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，
根据题意得，
w=(54−a−30)(20+5a)=−5a2+100a+480=−5(a−10) 2+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方
程组是解题的关键．
【变式4-1】（2022·辽宁锦州·中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发
现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−2x+100；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
¿，解得¿，
∴一次函数的解析式为y=−2x+100；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，则
(x−10)×(−2x+100)=600，
解得：x =40，x =20，
1 2
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
w=(x−10)×(−2x+100)，
整理得：w=−2(x−30) 2+800；
∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【变式4-2】（2022·辽宁盘锦·中考真题）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，
建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x
满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售量（千
10 12 14 …
克）
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，
每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)见解析
1
− x+19(0<x≤20)
(2)y＝{ 2
9(20<x≤30)
(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元
【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，
根据关系式填表即可；
（2）根据图像写出分段函数即可；（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
s+t=10
∴{ ，
2s+t=12
s=2
解得{ ，
t=8
即z＝2x+8，
当x=30时，销售量z=68，
则将表格中的最后一列补充完整如下表：
x（天） 1 2 3 … 30
每天的销售量（千
10 12 14 … 68
克）
（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，
设y＝kx+b，
10k+b=14
∴{ ，
20k+b=9
1
k=−
解得{ 2，
b=19
1
∴y＝- x+19（0＜x≤20），
2
当20＜x≤30时，y＝9，
1
− x+19(0<x≤20)
∴y关于x的函数关系式为y＝{ 2 ；
9(20<x≤30)
（3）由题意知，当0＜x≤20时，
1
w＝(2x+8)(− x+19−5)＝﹣x2+24x+112＝−(x−12) 2+256，
2
∴此时当x＝12时，w有最大值为256，
当20＜x≤30时，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，
∴此时当x＝30时，w有最大值为272，
综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质
及二次函数的应用是解题的关键．
【变式4-3】（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y （吨）关于售价x（元/千克）的函
1
数图象可以看成抛物线，其表达式为y =ax2+c，部分对应值如表：
1
售价x
（元/千 … 2.5 3 3.5 4 …
克）
需求量y
1 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
（吨）
②该蔬菜供给量y （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y =x−1，函数图象见图1．
2 2
1
③1~7月份该蔬菜售价x （元/千克），成本x （元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x = t+2，
1 2 1 2
1 3
x = t2− t+3，函数图象见图2．
2 4 2请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
1
【答案】(1)a=− ,c=9
5
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析
(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x −x 列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
售价 成本
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
（1）
把¿，¿代入y =ax2+c可得
需求
¿
②-①，得7a=−1.4，
1
解得a=− ，
5
1
把a=− 代入①，得c=9，
5
1
∴a=− ,c=9．
5
（2）
设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w=x −x = 1 t+2− (1 t2− 3 t+3 ) ，
售价 成本 2 4 2
1 1
化简，得w=− t2+2t−1=− (t−4) 2+3，
4 4
1
∵− <0,t=4在1≤t≤7的范围内，
4
∴当t=4时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
（3）1
由y = y ，得x−1=− x2+9，
供给 需求 5
化简，得x2+5x−50=0，解得x =5,x =−10（舍去），
1 2
∴售价为5元/千克．
此时，y = y =x−1=4（吨）=4000（千克），
供给 需求
1
把x=5代入x = t+2，得t=6，
售价 2
1 1
把t=6代入w=− t2+2t−1，得w=− ×36+2×6−1=2，
4 4
∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解
析式是解题的关键．
【考点5 投球问题】
【例5】（2022·河北石家庄·统考一模）如图1的小山丘是科研部门的小球弹射实验场地，在小山丘一侧的
山坡上建有小球弹射发射装置，另一侧建有圆柱形小球接收装置，如图2为实验场地的纵截面示意图，小
山丘纵截面的外部轮廓线近似为抛物线的一部分，以小山丘纵截面与地面的交线为x轴，以过发射装置所
在的直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，发射装置底部在轮廓线的点A处，距离地面为1米，在发射装
1 7
置3米的点B处是发射点，已知小山丘纵截面的外部轮廓线为C :y=− x2+ x+1，从发射装置的发射
1 12 6
1
点弹射一个小球（忽略空气阻力）时，小球的飞行路线为一段抛物线C :y=− x2+bx+c．
2 8(1)直接写出c的值，当小球离B处的水平距离和竖直距离都为4米时，求b的值，并求小球到小山丘的竖
直距离为1米时，小球离B处的水平距离；
2
(2)若小球最远着陆点到y轴的距离为15米，当小球飞行到小山丘顶的正上方，且与顶部距离不小于 米时，
3
求b的取值范围，并求小球飞行路线的顶点到x轴距离的最小值；
(3)圆柱形小球接收装置的最大截面为矩形CDEF，已知点E在C 上，其横坐标为14，CF∥x轴，
1
CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），请直接写出b的取值范围．
3
【答案】(1)c=4；b= ；小球离B处的水平距离为12米；
2
9 193 209
(2) ≤b≤ ， 米
8 120 32
157 43
(3) <b<
104 28
【分析】（1）有题意可得点B坐标，然后代入可求得c的值；先求出C 的函数表达式，根据两个函数值
2
的差为1可求得此时小球离B处的水平距离；
（2）先将x=15代入抛物线C ，可得最远着陆点在小山丘外的平地上，再将x=15代入抛物线C ，可得b
1 2
的取值范围，然后求出C 的顶点坐标，根据函数的增减性求出最值即可；
2
（3）由题意可得，小球恰好落在装置内时，对应的横坐标范围是13—14，分别将x=13和x=14代入函数
表达式求出对应b的取值范围即可．【详解】（1）由题意可得点B的坐标为(0,4)，
1
将B(0,4)代入C :y=− x2+bx+c中，
2 8
解得c=4；
∵C 与y轴交于点A，
1
1
∴A(0,1)，B(0,4)．由题意可知，抛物线C :y=− x2+bx+c经过点（4，8），
2 8
1 3
∴− ×42+4b+4=8，解得b= ．
8 2
1 3
∴抛物线C 的函数表达式y=− x2+ x+4；
2 8 2
∵小球与小山丘的竖直距离为1米，∴ ( − 1 x2+ 3 x+4 ) − ( − 1 x2+ 7 x+1 ) =1，
8 2 12 6
解得：x =−4（不合题意，舍去），x =12，
1 2
∴当小球与小山丘的竖直距离为1米时，小球离B处的水平距离为12米；
1 7 1
（2）将x=15代入抛物线C ，得y=− ×152+ ×15+1=− <0，
1 12 6 4
∴最远着陆点在小山丘外的平地上，其坐标为（15，0）
1
将x=15代入抛物线C ，得y=− ×152+15b+4≤0，
2 8
193
解得：b≤
120
∵抛物线C :y=− 1 x2+ 7 x+1=− 1 (x−72)+ 61 ，∴小山丘顶坐标为 ( 7, 61) ，
1 12 6 12 12 12
2
∵当小球飞行到小山丘顶正上方，且与顶部距离不小于 米时，
3
1 61 2 9
∴y=− ×72+7b+4≥ + ，解得：b≥
8 12 3 8
9 193
∴b的取值范围是 ≤b≤ ．
8 120
1
∵c=4，∴抛物线C :y=− x2+bx+4，∴C 的顶点坐标为(4b,2b2+4)，
2 8 2
9 193 9 209
∵ ≤b≤ ，∴当b= 时，2b2+4有最小值为 ．
8 120 8 32
209
∴小球飞行路线的项点到x轴距离的最小值为 米；
321 7
（3）∵抛物线C :y=− x2+ x+1
1 12 6
1 7
当x=14时，y=− ×142+ ×14+1=1，
12 6
∴E(14,1)，
∵DE=1，CD=1.5，∴C(13,2.5)，
1 7 25
当x=13时，y=− ×132+ ×13+1= ，
12 6 12
( 25)
∴C 与CD的交点坐标为 13,
1 12
若小球恰好落入该装置内（不触碰装置侧壁），
1 157
则当x=13时，y=− ×132+13b+4>2.5，解得b> ，
8 104
1 43
当x=14时，y=− ×142+14b+4<1，解得b< ；
8 28
157 43
故b的取值范围： <b< ．
104 28
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次
函数模型相结合是解决本题的关键．
【变式5-1】（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．
按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
1 2 5
y=− x2+ x+ ，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．
12 3 3
【答案】10
【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解
析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
1 2 5
【详解】将y=0代入y=− x2+ x+ ；
12 3 3
1 2 5
0=− x2+ x+
12 3 3整理得：x2−8x−20=0
（x-10）（x+2）=0
解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式5-2】（2022·山东青岛·校考二模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛
1
物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y= x刻画．若小球到达的最高的
2
点坐标为(4,8)，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理
由；
(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
1
【答案】(1)y=− (x−4) 2+8
2
(2)小球M能飞过这棵树，理由见解析
49
(3)小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为
8
【分析】（1）根据最高点的坐标为(4,8)，设抛物线解析式为y=a(x−4) 2+8，再将(0,0)代入求解；
1 1
（2）把x=2分别代入y=− (x−4) 2+8和y= x，即可得到答案；
2 2（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4) 2+8，
1
解得：a=− ，
2
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−4) 2+8；
2
1 1
（2）当x=2时，y = x=1，y =− (x−4) 2+8=6，
1 2 2 2
∵6−1>4，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度
1 1 1 7 2 49
ℎ =− (x−4) 2+8− x=− (x− ) + ，
2 2 2 2 8
49
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ．
8
【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解
方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
【变式5-3】（2022·河北邯郸·校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左
上方，桌面BC的长为2.74m．过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB＝0.03m，以点O为原点，以直线BC为x
轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的
一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），运行时间为t（s），在
桌面上的落点为D，经测试，得到如下部分数据：
t（s） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 ．．．
x（m） 0 0.5 1 1.5 2 ．．．
y（m） 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 ．．．(1)当t＝ s时，乒乓球达到最大高度；猜想y与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数
关系式；如果不存在，请说明理由；
(2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，求乒乓球从出球口A发出经过多长时间位于球网正上
方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数）
(3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L′：y＝﹣0.5√3（x﹣p）（x﹣3.5）的路线运动，小明拿球拍EF
与桌面夹角为60°接球，球拍中心线EF长为0.16m，下沿E在x轴上，假设抛物线L，L′与EF在同一平面
内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），求p的值，并直接写出EF到桌边的距离CE的取
值范围．
【答案】(1)0.4；y与x之间存在二次函数关系，y=−0.2(x−1) 2+0.45
(2)乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
(3)2.5；0.45m≤CE≤0.73m
【分析】（1）先根据当t=0.2和当t=0.6时y的值相同求出抛物线L的对称轴为直线x=0.4，进而可以求出
抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45）即可求出当t=0.4时，乒乓球达到最大高度；再利用待定系数法求出抛
物线L的解析式，根据表格中的数据可得t=0.4x进而可以求出y=−0.2(x−1) 2+0.45；
（2）先求出点G的横坐标，进而求出当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=0.418m，由此求解即可；
（3）先求出点D的坐标，然后把点D的坐标代入到抛物线L′的解析式中即可求出点p，再分别求出当抛物
线L′经过点E和点F时点E的坐标即可得到答案；
（1）
解：∵从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，且当t=0.2和当t=0.6时y的值相同，
0.2+0.6
∴抛物线L的对称轴为直线x= =0.4，
2
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线L的顶点坐标为（0.4，0.45），
∴当t=0.4s时，乒乓球达到最大高度；设y=a(t−0.4) 2，
由题意得0.25=a⋅(0−0.4) 2+0.45，
∴a=−1.25，
∴y=−1.25(t−0.4) 2+0.45；
由表格中的数据可知，t每增加0.2，则x增加0.5，
t−0
∴x=0.5× =2.5t，
0.2
∴t=0.4x，
∴y=−1.25(0.4x−0.4) 2+0.45=−0.2(x−1) 2+0.45，
∴y与x之间存在二次函数关系，y=−0.2(x−1) 2+0.45；
（2）解：∵BC=2.74m，G为BC的中点，
1
∴BG= BC=1.37m，
2
∴OG=OB+BG=1.4m，
当x=1.4m时，t=0.4x=0.56s，y=−0.2×(1.4−1) 2+0.45=0.418m
∵GH=0.15m，
∴此时乒乓球到球网顶端H的距离约为0.418-0.15≈0.27m，
∴乒乓球从出球口A发出经过0.56s时间位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离约0.27m；
（3）
解：对于函数y=−0.2(x−1) 2+0.45，当y=0时，−0.2(x−1) 2+0.45=0，
解得x=2.5或x=−0.25，
∴点D的坐标为（2.5，0），
∵函数y=−0.5√3(x−p)(x−3.5)经过点D，
∴−0.5√3(2.5−p)×(2.5−3.5)=0，
∴p=2.5；
∴抛物线L′的解析式为y=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，
对于函数y=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，当y=0时，−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)=0，解得x=2.5或x=3.5，
∴抛物线L′与x轴的交点坐标为（2.5，0）和（3.5，0），
∵OB=0.03m，BC=2.74m，
∴OC=2.77m，即点C的坐标为（2.77，0），
当抛物线L′恰好经过点E时，则点E的坐标为（3.5，0），
∴此时CE=3.5-2.77=0.73m；
当抛物线L′恰好经过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
∴∠FME=90°，
∵∠EFM=60°，
∴∠EFM=30°，
1
∴EM= EF=0.08m，
2
∴FM=√EF2−EM2=0.08√3m，
∴点F的纵坐标为0.08√3，
∴0.08√3=−0.5√3(x−2.5)(x−3.5)，
解得x=3.3或x=2.7，
又∵点E在点C右侧，即点E的横坐标大于2.77，故点F的横坐标大于2.77
∴点M的坐标为（3.3，0），
∴CE=CM-ME=3.3-2.77-0.08=0.45m，
∴CE=3.3-2.77=0.53m，
∴0.45m≤CE≤0.73m．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确求出抛物
线L和L′的解析式是解题的关键．
【考点6 喷水问题】
【例6】（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，
喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高
_______________m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设
y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代
入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式
为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
2 2
联立可求出a=− ，b= ，
3 3
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
2 2
∴此时的解析式为y=− x2+ x+ ℎ，
3 3
2 2
将（4，0）代入可得− ×42+ ×4+ ℎ =0，
3 3
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的
平移性质是解题关键．
【变式6-1】（2022·河南·统考中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立
如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−ℎ) 2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水
平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)y=−0.1(x−5) 2+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为y=a(x−5) 2+3.2，将点P(0,0.7)，代入即可求解；
（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点(3,0)的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为(5,3.2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−5) 2+3.2，
将点(0,0.7)代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1(x−5) 2+3.2，
（2）由y=−0.1(x−5) 2+3.2，令y=1.6，
得1.6=−0.1(x−5) 2+3.2，解得x =1,x =9，
1 2
∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【变式6-2】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为
绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象
为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，
竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水
平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
(1)若ℎ =1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
1
【答案】(1)①y=− (x−2) 2+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤2√3−1
8
65
(2)
32
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线
OB≤d，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，
设y=a(x−2) 2+2．
又∵抛物线经过点(0,1.5)，
∴1.5=4a+2，
1
∴a=− ．
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=− (x−2) 2+2．
8
1
当y=0时，− (x−2) 2+2=0，
8
∴x =6，x =−2（舍去）．
1 2
∴喷出水的最大射程OC为6m．
图1
②∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵EF=0.5，
∴点F的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点F时，
1
− (x−2) 2+2=0.5．
8
解得x=2±2√3，
∵x>0，
∴x=2+2√3．当x>0时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2√3．
∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3．
∵DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2+2√3)−3=2√3−1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2√3−1．
65
（2）ℎ的最小值为 ．
32
由题意得A(2,ℎ +0.5)是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为y=a(x−2) 2+
ℎ
+0.5．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴y=4a+
ℎ
+0.5=
ℎ
1
解得a=−
8
1
∴上边缘抛物线解析式为y=− (x−2) 2+ ℎ +0.5
8
∵对称轴为直线x=2，
∴点(0,ℎ)的对称点的坐标为(4,ℎ)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
1
∴下边缘抛物线解析式为y=− (x+2) 2+
ℎ
+0.5．
8
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，∵DE=3
∴设点D(m,0)，E(m+3,0)，F ( m+3,− 1 (m+3−2) 2+ ℎ +0.5 ) ，
8
∵D在下边缘抛物线上，
1
∴− (m+2) 2+ ℎ +0.5=0
8
∵EF=1
1
∴− (m+3−2) 2+ ℎ +0.5=1
8
1 [ 1 ]
∴− (m+3−2) 2+ ℎ +0.5− − (m+2) 2+ ℎ +0.5 =1，
8 8
解得m=2.5，
1 65
代入− (m+2) 2+ ℎ +0.5=0，得ℎ = ．
8 32
65
所以ℎ的最小值为 ．
32
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二
次函数上的坐标是解题的关键．
【变式6-3】（2022·北京·北京四中校考模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过
助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距
离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O为原点，OB所在直线为x轴，
OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．
(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；
(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；
(3)落点P与坡顶C之间的距离为 m．1 3
【答案】(1)y=− x2+ x+70
16 2
121
(2) m
4
(3)50
【分析】（1）由待定系数法解答；
（2）由正切定义解得OB＝80，继而求得直线BC的解析式，设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
由d＝y－y 得到二次函数，再利用配方法求最值；
1
3 1 3
（3）求直线与抛物线的交点，转化为求一元二次方程− x＋60=− x2+ x+70的解，再根据三角形
4 16 2
中位线的性质解得HC，PH的长，最后根据勾股定理解答．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
将（0，70）（4，75）、（8，78）代入可得，
¿
解得¿
1 3
∴二次函数的表达式为y=− x2+ x+70；
16 2
（2）设线段BC表示的y 与x之间的函数表达式为y=kx＋b（k为常数，k≠0），
1 1
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
OC 3
∴tan∠CBO＝tan α＝ =
OB 4
∵OC＝60，
∴OB＝80
将C（0，60），B（80，0）代入y=kx＋b可得，
1
¿
解得¿
3
∴线段BC表示的y 与x之间的函数表达式为y＝− x＋60（0≤x≤80）
1 1 4
设运动员到坡面BC竖直方向上的为距离d，
1 3 3 1 9 1 121
则d＝y－y＝－ x2＋ x＋70－(− x＋60)＝－ x2＋ x＋10＝－ (x－18)2＋
1 16 2 4 16 4 16 4121
∴当x＝18时，d的最大值为 .
4
121
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离为 m.
4
（3）¿
3 1 3
− x＋60=− x2+ x+70
4 16 2
x2−36x−160=0
∴(x+4)(x−40)=0
∴x=40或x=−4（舍去）
即Px=40，
过点P作PH//x轴，PH=40
又OB=80
1
∴HP= OB
2
∴HP是△OBC的中位线
1
∴HC= OC=30
2
∴PC=√302+402=50
故答案为：50．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式、配方法、勾股定理、中位
线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【考点7 增长率问题】
【例7】（2022·山东东营·统考一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种
型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列
出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元，列不等式，求出a的范围，
再求出w的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：2560(1+x) 2=2560+3200，
解得:x =0.5=50%，x =−2.5（舍去）.
1 2
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元.
1
根据题意，得:a⩽ (200−a)，
2
2
解得:a≤66 ，
3
w=3.5a+4(200−a)=−0.5a+800，
∵−0.5<0，
∴w随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当a=66时，w最小，最小值为−0.5×66+800=767（万元）.
此时，200−a=134.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解
析式和一元一次不等式，是解题的关键.
【变式 】（ 浙江丽水校联考三模）据省统计局公布的数据，合肥市 年第一季度GDP总值约
为 千7亿-1元人2民0币22，· 若我市第· 三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个2季02度1GDP增长的百分率为x，
2.4则y关于x的函数表达式是（ ）
A． y=2.4(1+2x) B． y=2.4(1−x) 2
C． y=2.4(1+x) 2 D． y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)
【答案】C
【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4(1+x)元，第三季度
GDP总值为2.4(1+x) 2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：根据题意得：
y关于x的函数表达式是：y=2.4(1+x) 2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
【变式7-2】（2022·浙江宁波·统考一模）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，
预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式．
（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？
（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？
【答案】（1）y=10(1+x) 2；（2）14.4万元；（3）36.4万元．
【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)= 10(1＋x)² ；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.
【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)² ；
(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)² =14.4万元；
(3) 依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+ 10(1＋x)²=36.4(万元).
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．
【变式7-3】（2022·广东广州·广州大学附属中学校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出
《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房
改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：3(1+x) 2=4.32，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质
进行求解．
【考点8 车过隧道问题】
【例8】（2022·广东深圳·统考二模）【综合与实践】如图1，一个横断面呈抛物线状的公路隧道，其高度
PH为8米，宽度OA为16米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离
1
路边缘2米（AB=2米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙CD不少于 米．如图2，以
2
O点为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，根据题中的信息回答下列问题：(1)直接写出点A的坐标是______，抛物线顶点P的坐标是______；
(2)求出这条抛物线的函数表达式；
(3)根据题中的要求，可以确定通过隧道车辆的高度不能超过______米．
【答案】(1)A(16,0),P(8,8)；
1
(2)y=− (x−8) 2+8
8
(3)3米
【分析】（1）直接根据题意以及图形可知点A、点P的坐标．
（2）根据图像假设函数表达式，进而根据待定系数法求解即可．
（3）由图可知，当车高ℎ一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，将x=14代入函数解析式中表示出
1
CD，进而根据“最小空隙CD不少于 米”可求解出答案．
2
（1）
解：由题意可知：
点A的坐标是(16,0)，抛物线顶点P的坐标(8,8)
（2）
解：法1：∵顶点坐标(8,8)
∴设y=a(x−8) 2+8（a≠0）
又∵图象经过(0,0)，∴0=a(0−8) 2+8，
1
∴a=− ，
8
1 1
∴这条抛物线的函数表达式为y=− (x−8) 2+8，即y=− x2+2x；
8 8
法2：∵抛物线与x轴两交点分别为(0,0)和(16,0)
∴设y=ax(x−16)（a≠0）
又∵图象经过(8,8)，∴8a×(8−16)=8，
1
∴a=−
8
1 1
∴这条抛物线的函数表达式为y=− x2+2x，即y=− (x−8) 2+8；
8 8（3）
解：通过隧道车辆的高度不能超过3米．
理由：以下图为例，由图可知，当车高ℎ一定时，空隙的最小值CD，在x=14时取得，
1 7
此时，y=− (14−8) 2+8= ，
8 2
7
此时，CD= −ℎ，
2
7 1
由题意，CD= −ℎ≥ ，
2 2
所以，ℎ≤3．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的性质以及利用数形结合思想将图像与图形对应
起来是解决本题的关键．
【变式8-1】（2022·北京房山·统考一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经
测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，
隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；
(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，
为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断
该卡车能否通过隧道．
【答案】(1)见解析
(2)直线x=2
(3)不能通过隧道
【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所
画的曲线；
（2）
（1）（2）
由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2
（3）
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
把A、B、C三点的坐标代入得：¿
解得：¿
1
故函数解析式为y=− x2+x+3
4
1 1
当x=2− ×2.4=0.8时，y=− ×0.82+0.8+3=3.64
2 4
∵3.64−3.2=0.44<0.6
∴卡车不能通过隧道
【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的
对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答．
【变式8-2】（2022·湖北武汉·统考一模）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物
线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为
5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物
线的解析式；
（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；
（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现
每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，
试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？
3
【答案】（1）y＝﹣ x2+6；（2）70万元；（3）2.9分
50
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．
（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．
【详解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，
3
得a=− ,c=6．
50
3
∴y＝﹣ x2+6．
50
3 9
（2）当x＝5时，y＝﹣ ×52+6＝ ，
50 2
9 11
∴EF＝10﹣ ＝ ，CD＝10﹣6＝4，
2 2
11
支柱的总造价为2（2× +2×10+4）＝70（万元）．
2
3
（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，﹣ x2+6＝3，
50
解得：x＝±5√2，
∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，
∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），
坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，1000+160
∴通过隧道的最短时间为 ＝2.9（分）．
400
【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练掌握根据题
目所给条件选取相应表达式，然后运用待定系数法求函数解析式，在解决实际问题中，要正确理解题意结
合二次函数的性质加以解决
【变式8-3】（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(0<m≤6)，
求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计方案，
请你从中选择一种，求出该方案下矩形P P P P 面积的最大值，及取最大值时点P 的横坐标的取值范围
1 2 3 4 1
（P 在P 右侧）．
1 4
1
【答案】(1)y＝− x2＋8
6
1
(2)（ⅰ）l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，−√30＋9≤P 横坐标≤√30；
2 1
81 9
方案二：最大面积 −√21＋ ≤P 横坐标≤√21
4 2 1
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；1
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P 的坐标为（m，－ m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数
2 6
的性质分析最值；
（ⅱ）设PP＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数
2 1
形结合思想确定取值范围．
【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
1
解得：a＝− ，
6
1
∴抛物线对应的函数表达式为y＝− x2＋8；
6
（2）（ⅰ）∵点P 的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形PPPP 为矩形，点P，P 在抛物线AED上，
1 1 2 3 4 2 3
1
∴P 的坐标为（m，− m2＋8），
2 6
1
∴PP＝PP＝MN＝− m2＋8，PP＝2m，
1 2 3 4 6 2 3
1 1 1
∴l＝3（− m2＋8）＋2m＝− m2＋2m＋24＝− （m－2）2＋26，
6 2 2
1
∵− ＜0，
2
∴当m＝2时，l有最大值为26，
1
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝− m2＋2m＋24，l的最大值为26；
2
（ⅱ）方案一：设PP＝n，则PP＝18－3n，
2 1 2 3
∴矩形PPPP 面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
1 2 3 4
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时PP＝3，PP＝9，
2 1 2 3
1
令− x2＋8＝3，
6
解得：x＝±√30，
∴此时P 的横坐标的取值范围为−√30＋9≤P 横坐标≤√30，
1 1方案二：设PP＝n，则PP＝9－n，
2 1 2 3
9 81
∴矩形PPPP 面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－ ）2＋ ，
1 2 3 4 2 4
∵－1＜0，
9 81
∴当n＝ 时，矩形面积有最大值为 ，
2 4
9 9
此时PP＝ ，PP＝ ，
2 1 2 2 3 2
1 9
令− x2＋8＝ ，
6 2
解得：x＝±√21，
9
∴此时P 的横坐标的取值范围为−√21＋ ≤P 横坐标≤√21．
1 2 1
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用
数形结合思想解题是关键．
【考点9 行程问题】
【例9】（2022·浙江金华·统考一模）如图1是城市平直道路，道路限速60km/h，A路口停车线l 和B路口
1
停车线l 之间相距S＝400m，A、B两路口各有一个红绿灯．在停车线l 后面停着一辆汽车，该汽车的车头
2 1
恰好与停车线l 平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程S、速度v与时间t的关系分别可
1
以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示．某时刻A路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身
长忽略不计）
(1)求该汽车从停车线l 出发加速到限速所需的时间．
1
(2)求该汽车最快需要多少时间可以通过停车线l ．
2
(3)若A路口绿灯亮起29s后B路口绿灯亮起，且B路口绿灯的持续时间为23s．该汽车先加速行驶，然后
一直匀速行驶．若该汽车在B路口绿灯期间能顺利通过停车线l ，求该汽车匀速行驶过程中速度的取值范
2
围．25
【答案】(1) s
3
1
(2)28 s
6
(3)不小于8m/s，不大于16m/s
【分析】（1）先将限速单位化为m/s，根据图3求得v=2t，代入求解即可；
（2）根据（1）的结论求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求
得答案；
（3）设该汽车匀速行驶过程中速度的为v,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中
绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围．
(1)
50
解：∵限速为60km/h = m/s
3
由图3可知当t=1时，v=2，设v=kt，解得k=2
∴ v=2t
v 1 50 25
∴t= = × = s
2 2 3 3
(2)
由图2可知当t=1时，S=1，且x=0,S=0，设S=at2
解得a=1，
∴ S=t2 (t≥0)
25
由（1）可知汽车从停车线l 出发加速到限速所需的时间 s
1 3
(25) 2 625
则S= = m
3 9
625
400−
50 9 119
以 m/s行驶的时间为 = s
3 50 6
3
25 119 169 1
∴ + = =28 s
3 6 6 6
1
∴该汽车最快需要28 s可以通过停车线l
6 2(3)
设该汽车匀速行驶过程中速度的为v,即汽车加速到v．
v
由（1）可得汽车加速到v所用的时间为t= ，
2
(v) 2 400−
(v) 2
则汽车从停车线l 出发加速到v m/s的路程为S= ，匀速所用时间为 2 ，
1 2
v
根据题意可得当B路口绿灯亮起时通过则，
(v) 2
v 400−
+ 2 =29
2
v
v2+1600
整理得： =29
4v
解得：v =16，v =100（舍），经检验,v=16是原方程的解,
1 2
可得当B路口绿灯熄灭时候通过，
(v) 2
v 400−
+ 2 =29+23
2
v
解得：v =8，v =200（舍），经检验,v=8是原方程的解,
1 2
综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为v的范围为：8≤v≤16
答：该汽车匀速行驶过程中速度的为v的范围为：8≤v≤16
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程
是解题的关键．
【变式9-1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶
的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）
的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米
【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为s=at2+bt，一次函数表达式为v=kt+c，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），
则¿，解得：¿，
∴一次函数表达式为v=−t+16，
令v=9，则t=7，
∴当t=7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），
则¿，解得：¿，
1
∴二次函数表达式为s=− t2+16t，
2
49
令t=7，则s=− +16×7=87.5，
2
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，
∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，
∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入v=−t+16中，得t=6，
1
将t=6代入s=− t2+16t中，得s=78，
2
此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基
本前提．
【变式9-2】（2022·安徽合肥·校考二模）某汽车公司为确定一种型号的新能源汽车在高速公路上紧急刹车
后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/ℎ）函数关系．测得该汽车在速度大小为
40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m．已知
紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速度大小x（单位：km/ℎ）函数关系满足y=ax2+bx．
(1)求a，b的值
(2)若两次测量中，刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，求两次测量中，刹车时的速度大小的
平均值．
1 1
【答案】(1)a= ，b=
800 20
(2)100km/h
【分析】（1）根据40km/ ℎ时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/ ℎ时，紧急刹车后滑
行的距离为12m，将y=4，x=40，和y=12，x=80代入函数解析式中可得；
1 1 1 1
（2）由（1）知a= ，b= ，则函数解析式为：y= x2+ x，刹车时的速度大小之差为20，
800 20 800 20
1 1
滑行距离之差为6，则|x −x |=20，|y −y |=6，则可知 (x +x )(x −x )+ (x −x )，根据
1 2 1 2 800 1 2 1 2 20 1 2
1 1
题意可知| (x +x )(x −x )+ (x −x )|=60本别计算当x −x =20时， 以及x −x =−20时，
800 1 2 1 2 20 1 2 1 2 1 2
可计算出x +x 的值，即可计算出其平均速度．
1 2
(1)
根据40km/h时，紧急刹车后滑行的距离为4m；速度大小为80km/h时，紧急刹车后滑行的距离为12m，
4=1600a+40b
将其代入函数解析式中可得：{ ，
12=6400a+80b
1
a=
800
解得{ ；
1
b=
20
(2)1 1 1 1
由（1）知a= ，b= ，则函数解析式为：y= x2+ x，
800 20 800 20
∵刹车时的速度大小之差为20，滑行距离之差为6，
∴|x −x |=20，|y −y |=6，
1 2 1 2
1 1 1 1
∴y −y =( x ❑ 2+ x )−( x ❑ 2+ x )，
1 2 800 1 20 1 800 2 20 2
1 1 1 1
= x ❑ 2− x ❑ 2+ x − x
800 1 800 2 20 1 20 2
1 1
= (x ❑ 2−x ❑ 2 )+ (x −x )
800 1 2 20 1 2
1 1
= (x +x )(x −x )+ (x −x )
800 1 2 1 2 20 1 2
1 1
∴| (x +x )(x −x )+ (x −x )|=60
800 1 2 1 2 20 1 2
1 1
当x −x =20时，| (x +x )⋅20+ ×20|=6，
1 2 800 1 2 20
解得x +x =200或x +x =−280（舍去），
1 2 1 2
x −x 200
∴x= 1 2= =100km/ ℎ，
2 2
1 1
当x −x =−20时，| (x +x )⋅(−20)+ ×(−20)|=6，
1 2 800 1 2 20
解得x +x =200或x +x =−280（舍去）
1 2 1 2
x −x 200
∴x= 1 2= =100km/ ℎ，
2 2
综上所述，两次测量中，刹车时的速度大小的平均值为100km/h．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的实际应用，能够掌握数形结合思想是解决
本题的关键．
【变式9-3】（2022·北京·校考一模）某地想要建造儿童直线斜坡轨道滑车设施（如图），为防止滑车下滑
速度过快，轨道与地面夹角要适度，根据儿童能够在斜坡轨道上的滑行时间来确定直线斜坡轨道的长度．
为解决此问题，小明用小车沿斜面滑下的实验来模拟此过程．借助打点计时器（一种测量短暂时间的工具，
每隔0.02s打一次点），让小车带动纸带通过打点计时器，再按顺序测得相邻各点之间的距离数据如下表：时间（秒） 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
相邻各点的距离（厘米） 0 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0
(1)当时间为0.04秒时，滑行距离是______厘米；
(2)请在下图网格中建立平面直角坐标系，以时间为横坐标，以滑行距离为纵坐标，根据表格中的数据计算
并描点，用平滑的曲线连起来；
(3)通过计算确定滑车能够在斜坡轨道上滑行10秒时直线斜坡轨道的长度．
【答案】(1)0.8
(2)见解析
(3)250米
【分析】（1）根据表格即可求得答案；
（2）设时间为x秒，滑行距离为y cm，计算出y的对应值，画出图象即可；（3）根据图象求出二次函数解析式，再把x的值代入可得答案．
（1）
解：由表格可知，OA=0.3，AB=0.5，
∴当时间为0.04秒时，滑行距离是0.8厘米；
（2）
解：如图，
（3）
根据图象设y=ax2+bx，
把（0.02，0.3）和（0.04，0.8）代入得
¿
解得
¿
∴y与x的关系式为y=250x2+10x，
当x=10时，y=250×100+10×10=25100，
答：滑行10秒时直线斜坡轨道的长度是251m．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练应用待定系数法确定函数关系式是解题关键．
【考点10 其他问题】
【例10】（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；
防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：
人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=¿数据如下表．时间x（分钟） 0 1 2 3 … 8 8<x⩽10
累计人数y（人） 0 150 280 390 … 640 640
(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人
数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核
酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】(1)a=−10，b=160，c=0
(2)490人
(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【分析】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数
的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有
同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建
立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【详解】（1）（1）将(0,0)，(1,150)，(2,280)代入y=ax2+bx+c，
得¿，
解之得a=−10，b=160，c=0；
（2）设排队人数为w，由（1）知y=¿，
由题意可知，w= y−20x，
当0≤x≤8时，y=−10x2+160x，w=−10x2+160x−20x=−10(x−7) 2+490
∴x=7时，排队人数w的最大值是490人，
当8<x≤10时，y=640，w=640−20x，
∵w随自变量x的增大而减小，
∴440≤w<480，
由480<490得，排队人数最大值是490人；
（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间=640÷(4×5)=32（分钟）640
设从一开始增加n个检测点，则 ≤20，解得n≥2.4，n为整数，
(4+n)×5
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次
不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
【变式10-1】（2022·湖北黄冈·统考中考真题）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工
程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花
卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
【答案】(1)¿；
(2)①甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元；
②30≤x≤40或60≤x≤360．
【分析】（1）根据函数图像分两种情况，x≤40时y为常数，40≤x≤100时y为一次函数，设出函数
解析式，将两端点值代入求出解析式，将两种情况汇总即可；
（2）①设甲种花卉种植面积为m，则乙种花卉种植面积为360−m，根据乙的面积不低于甲的3倍可求出
30≤m≤90，利用总费用等于两种花卉费用之和，将m分不同范围进行讨论列出总费用代数式，根据m
的范围解出最小值进行比较即可；
②将x按图像分3种范围分别计算总费用的取值范围即可．
【详解】（1）由图像可知，当甲种花卉种植面积x≤40m2时，费用y保持不变，为30（元/m2），
所以此区间的函数关系式为：y=30(0<x≤40)，
当甲种花卉种植面积40≤x≤100m2时，函数图像为直线，
设函数关系式为：y=kx+b(40≤x≤100)，∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
¿，
1
解得：k=− ,b=40，
4
1
∴y=− x+40(40≤x≤100)
4
∴当x≤100时，y与x的函数关系式应为：
¿；
（2）①设甲种花卉种植面积为m（m≥30），则乙种花卉种植面积为360−m，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360−m≥3m，
解得：m≤90，
∴m的范围为：30≤m≤90
当30≤m≤40时，w=30m+15(360−m)=15m+5400，
此时当m最小时，w最小，
即当m=30时，w有最小值15×30+5400=5850（元），
1 1
当40<m≤90时，w=m(− m+40)+15(360−m)=− (m−50) 2+6025，
4 4
此时当m=90时，离对称轴m=50最远，w最小，
1
即当m=90时，w有最小值− (90−50) 2+6025=5625（元）
4
∵5625<5850，
∴当m=90时种植的总费用w最少，为5625元，此时乙种花卉种植面积为360−m=270，
故甲种花卉种植90m2， 乙种花卉种植270m2时，种植的总费用w最少，最少为5625元．
②由以上解析可知：
（1）当x≤40时，总费用=15x+5400≤15×40+5400=6000（元），
1
（2）当40<x≤100时，总费用=− (x−50) 2+6025，
4
1
令− (x−50) 2+6025≤6000，
4
解得：x≤40或x≥60，
又∵40<x≤100，
∴60≤x≤100（3）当100<x≤360时，总费用=360×15=5400（元），
综上，在30≤x≤40、60≤x≤100和100<x≤360时种植总费用不会超过6000元，
所以甲种花卉种植面积x的取值范围为：30≤x≤40或60≤x≤360．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题关键是根据函数图像获取自变量的取值范围，仔细分情况讨
论，掌握二次函数在自变量取值范围内求最小值的方法．
【变式10-2】（2022·河北保定·校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等
建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙
体材料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用
新型建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水
保温隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x
（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新
型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数据：
x（单位：m2） 20 50
y（单位：万元） 240 600
(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；
(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；
(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，
且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）
1
【答案】(1)y= x2+5x+100
10
(2)此时完成的建筑面积为20m2或50m2；
(3)¿
【分析】（1）根据题意得出y=ax2+bx+100，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据每平方米的平均成本为12万元可知总成本为12x万元，然后列方程求解即可；
（3）求出纯利润为W = ( k− 1 ) x2+(b−5)x−100，然后根据二次函数的最值问题结合题意列方程组解
10
答即可．
（1）
解：∵新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，
∴设新型墙体材料成本y =bx，新型防水保温隔热密封材料成本y =ax2 ，
1 2
∴y=ax2+bx+100，
把x＝20，y＝240；x＝50，y＝600代入得：¿，
解得：¿，
1
∴新型建筑材料总成本y与建筑面积x的函数表达式为：y= x2+5x+100；
10
（2）
1
由题意得：12x= x2+5x+100，
10
解得：x =20，x =50，
1 2
答：每平方米的平均成本为12万元，此时完成的建筑面积为20m2或50m2；
（3）
∵每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），
∴总的毛利润为x(kx+b)=kx2+bx，
总的纯利润为：W =kx2+bx− ( 1 x2+5x+100 ) = ( k− 1 ) x2+(b−5)x−100，
10 10
∵当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，
∴¿，
解得：¿．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题等知识，
正确理解题意，列出函数关系式及一元二次方程是解答本题的关键．
【变式10-3】（2022·河北承德·统考二模）在建筑工人临时宿舍外，有两根高度相等且相距10米的立柱
AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其
1 7
形状可近似看成抛物线y= x2+bx+c，已知绳子最低点距离地面 米．以点B为坐标原点，直线BD为
20 4
x轴，直线AB为y轴建立平面直角坐标系，如图1所示．(1)求立柱AB的长度；
(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段BD之间与AB相距4米的地方加
上一根立柱MN撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线F 的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是1米，
1
如图2所示，求MN的长；
(3)若加在线段BD之间的立柱MN的长度是2.4米，并通过调整MN的位置，使抛物线F 的开口大小与抛
1
1
物线y= x2+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米．求MN与CD的距离．
12
【答案】(1)3
19
(2)
9
(3)4
【分析】（1）根据AB=CD，以及抛物线图像的对称轴性可知抛物线的对称轴x=5，据此可得求出系数b和
7
顶点坐标(5, )，再代入顶点坐标即可求出c，则抛物线与y轴的交点坐标可求，即AB可求；
4
（2）根据题意可得抛物线F 的顶点坐标为(3,2)，则设抛物线F 的解析式为y=a(x−3) 2+2，再根据A点
1 1
1
坐标即可求出抛物线F 的解析式为y= (x−3) 2+2，即当x=4时即可求出MN的长；
1 4
（3）设顶点坐标为(a,1.92)， M点坐标为(m,0)，根据题意有0＜a＜m＜10，根据抛物线F 的开口大小
1
1 1
与抛物线y= x2+1的开口大小相同，设抛物线F 的解析式为y= (x−a) 2+1.92，根据A(0,3)即可求
12 1 12
出a=3.6，根据M点坐标为(m,0)，得到N点坐标为(m,2.4)，结合抛物线F 过N点，可求得m-a=2.4，即可求
1
出m，则问题得解．
1 7
【详解】（1）根据题意有B(0,0)、D(10,0)，抛物线y= x2+bx+c的顶点的纵坐标为 ，
20 4
∵AB=CD，B(0,0)、D(10,0)，
∴根据题意可知抛物线的对称轴为x=5，
b b
− =− =−10b=5 1
∴ 2a 1 ，即b=− ，
2× 2
201 1 1
即：y= x2+bx+c= x2− x+c，
20 20 2
7
∵顶点的纵坐标为 ，
4
7
∴则抛物线的顶点坐标为(5, )，
4
7 1 1
∴将(5, )代入y= x2− x+c，
4 20 2
7 1 1
得： = ×52− ×5+c，解得c=3，
4 20 2
1 1
即抛物线解析式：y= x2− x+3，
20 2
∴当x=0时，y=3，
∴抛物线与y轴的交点A坐标为：(0,3)，
∴AB=3；
（2）根据题意有BM=4，
∵抛物线F 的顶点相对A下降了1米，顶点距离立柱MN也是1米，
1
∴抛物线F 的顶点的纵坐标为3-1=2，横坐标为4-1=3，
1
∴抛物线F 的顶点坐标为(3,2)，
1
∴设抛物线F 的解析式为y=a(x−3) 2+2，
1
∵抛物线F 与y轴交于点A(0,3)，
1
∴代入A点坐标有：3=a(0−3) 2+2，
1
解得a= ，
9
1
∴抛物线F 的解析式为y= (x−3) 2+2，
1 9
∵根据题意有M、N两点的横坐标相同，M(4,0)，
1 19
∴当x=4时，y= (4−3) 2+2= ，
9 9
19
∴N点坐标(4, )，
9
19
∴MN= ；
9（3）根据题意有抛物线F 的纵坐标为1.92，则设顶点坐标为(a,1.92)，
1
设M点坐标为(m,0)，
根据题意有0＜a＜m＜10，
1
∵抛物线F 的开口大小与抛物线y= x2+1的开口大小相同，
1 12
1
∴设抛物线F 的解析式为y= (x−a) 2+1.92，
1 12
∵抛物线F 过A(0,3)，
1
1
∴当x=0时，y= (0−a) 2+1.92=3，
12
解得a=3.6，
∵MN=2.4，M点坐标为(m,0)，
∴N点坐标为(m,2.4)，
∵抛物线F 过N点，
1
1
∴当x=m时，y= (m−a) 2+1.92=2.4，
12
解得m-a=2.4，
∴m=a+2.4=3.6+2.4=6，
即BM=6，
∴MD=BD-BM=10-6=4，
即MN与CD的距离为4．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及顶点式求二次函数解析式等知识，理解两个抛物线开口大小
相同即是二次项系数相同以及正确表示出函数解析式是解答本题的关键．
