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专题 12 几何初步与平行线
1．直线、射线、线段与角
（1）直线：经过两点有且只有一条直线，直线是向两方无限延伸的，直线没有端点.
（2）射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，射线向一方无限延伸，射线只
有一个端点.
（3）线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，线段有两个端点，有长短之分，将某一线段分成
两条相等的线段的点叫做该线段的中点.
（4）两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
（5）1°=60'，1'=60″.
（6）1周角=2平角=4直角=360°.
（7）余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个
角的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.
2. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
3. 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
4. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
6. 线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义：垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
7. 平行线
（1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
（2）平行线的性质:
① 两条直线平行，同位角相等;
② 两条直线平行，内错角相等;
③ 两条直线平行，同旁内角互补.
（3）平行线的判定:
① 同位角相等，两条直线平行;
② 内错角相等，两条直线平行;
③ 同旁内角互补，两条直线平行.
【考点1】直线、射线、线段
（1）直线没有端点，射线有1个端点，线段有2端点。
（2）经过两点有且只有一条直线，简述为两点确定一条直线。
（3）两点之间的所有连线中，线段最短，简述为两点之间线段最短。
（4）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
考点例题
【例1】如图，已知三点A、B、C．
（1）请读下列语句，并分别画出图形
画直线AB； 画射线AC； 连接BC．
①（2）在（1）的条②件下，图中共有③ 条射线．
（3）从点C到点B的最短路径是 ，依据是 ．
【分析】（1）按题意，直接作图即可．
（2）根据射线的定义进行判断，写出即可．
（3）根据两点间线段最短的性质即可求解．【解答】解：（1）如图所示：直线AB、射线AC、线段BC即为所求．
（2）图中共有3+2+1＝6条射线．
（3）最短路径是CB，依据：两点间线段最短．
故答案为：6；CB，两点间线段最短．
【例2】请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理．
情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数学道理是
．
情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后
站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理： ．
【分析】根据线段的性质和直线的性质填空即可．
【解西】解：情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数
学道理是两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短；
情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后
站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理：两点确定一条直线，
故答案为：两点确定一条直线．
1．（2021·浙江台州市）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三
条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质即可求解．
【解析】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比
两地距离要长，
故选：A．
2．如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有 条．
【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，线段BC，射线AC；
（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；
（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数．
【解析】解：（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；
（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；
（3）由题可得，图中线段的条数为8，
故答案为：8．
3．已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）．
（1）经过这四点最多能确定 条直线．（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑
桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，
应选择哪一条？为什么？
【分析】（1）两点确定一条直线，即可得出经过这四点最多能确定6条直线；
（2）依据两点之间线段最短，即可得到结论．
【解析】解：（1）经过这四点最多能确定6条直线：直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，
直线BD，
故答案为：6；
（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中路线2；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线
1，因为两点之间，线段最短，路线2比路线1短，可以节省材料；而路线1较长，可以在桥上较长时间观
赏湖面风光．
【考点2】角的有关概念与计算
1．由两条具有公共端点的射线所组成的图形叫做角．两条射线的公共端点是这个角的顶点．
2．按照角的大小，角可分为锐角、直角、钝角、平角和周角．
3．1°=60'，1'=60″.
4．1周角=2平角=4直角=360°.
5．余角、补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果两个角
的和等于180°，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.
6．对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角相等.
考点例题
【例3】35.48°＝ 度 分 秒．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．
【详解】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，
0.8′＝（0.8×60）″＝48″，
所以35.48°＝35°28′48″．故答案为：35，28，48．
【例4】已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【分析】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°
﹣∠2．
【详解】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵∠2与∠3互补，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．
故选：D．
（1）互为余角的两个角的和等于90°;
（2）互为补角的两个角的和等于180°.
1．如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（ ）
A. 内错角 B. 对顶角 C. 同位角 D. 同旁内角
【答案】A
【分析】根据三线八角的概念，以及内错角的定义即可做出判断．
【详解】如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，
故∠1与∠2是内错角，
故选：A．
2．如图，八点三十分时针与分针所成的角是（ ）A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答
案．
【详解】解：钟面每份是30°，上午8：30时时针与分针相距2.5份，
此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是30°×2.5＝75°．
故选：A．
3．（2021·上海） 的余角是__________．
【答案】
【分析】根据余角的定义即可求解．
【详解】70°的余角是90°-70°=20°
故答案为：20°．
4．一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】设这个角为 ，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根
据题意列出方程求解即α可．
【详解】解：设这个角为 ，则它的补角为180°﹣ ，余角为90°﹣ ，
根据题意得，180°﹣ ＝3（α90°﹣ ）﹣20°， α α
解得 ＝35°． α α
故选：αB．
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，∠AOC＝50°．求∠BOE的度数.
【答案】∠BOE＝40°【分析】先算出∠DOE和∠DOB，相减即可算出∠BOE.
【详解】解：如图所示．
∵∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°
∴∠BOE＝90°－50°＝40°
【考点3】角平分线与垂直平分线
1．角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
2．线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直
平分线上.
考点例题
【例5】如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，
∠COE＝80°，求∠EOB的度数．
【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得
到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．
【详解】解：如图，设∠DOE＝2x，
∵∠DOE：∠BOD＝2：5，
∴∠BOE＝3x，
又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，
∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，
解得x＝20°
∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．
故答案为：60°．
【例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，
若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AF＝BF，然后根据三角形的周长推出
△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．
【详解】解：∵DF为AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC，AB+BC＝6，
∴AC+BC＝6，
∴△BCF的周长为6．
故选：D．
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在
角的平分线上;
（2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相
等的点在线段的垂直平分线上.
1．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延
长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分
∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据
角平分线的判定与性质判断④．
【详解】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
1
∴∠BAD+∠ABE= （∠BAC+∠ABC）＝45°，
2
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
2．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 BP＝CP，根据角平分
线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三
角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、
AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，
∴DP＝EP，
{BP=CP
在Rt△BDP和Rt△CEP中， ，
DP=EP
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），
∴BD＝CE；
{AP=AP
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中， ，
DP=EP∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），
∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，
∴6+AD＝10﹣AE，
即6+AD＝10﹣AD，
解得AD＝2cm．
3．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）若∠AOB＝120°，则∠COE是多少度？
（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？
1
【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．可得∠COE= ∠AOB＝60°；
2
（2）用∠BOE，表示∠COD，∠AOC，∠BOC和∠AOD，列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC＝∠DOC．
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠DOE，
1
所以∠COE= ∠AOB=60°．
2
（2）设∠BOE的度数为x，则∠DOE的度数也为x．
∵∠EOD﹣∠COD＝30°，
∴∠COD＝∠AOC＝x﹣30°，
∴∠AOD＝2∠AOC＝2（x﹣30°）．
∴∠BOC＝3∠AOD，
∴可列方程为x+x+x﹣30°＝3×2（x﹣30°），
解得x＝50°，
即∠BOE的度数为50°．【考点4】平行线的性质与判定
1．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质:
① 两条直线平行，同位角相等；② 两条直线平行，内错角相等；③ 两条直线平行，同旁内角互补.
3．平行线的判定:
① 同位角相等，两条直线平行；② 内错角相等，两条直线平行；③ 同旁内角互补，两条直线平行.
考点例题
【例1】（性质）（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板 的直角顶点B放在直线 上，
，AC EF，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根据三角板的角度，可得 ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解： ，
AC EF， 故选C
【例2】（判定）（2022·湖南郴州）如图，直线 ，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判
定直线 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当 时， ；故A不符合题意；
B、当 时， ；故B不符合题意；
C、当 时， ；故C符合题意；D、∵ ，则 ，∵ ，则 ，∴ ；故D不符合题意；故选：C
（1）同位角相等，两直线平行;
（2）内错角相等，两直线平行;
（3）同旁内角互补，两直线平行.
1．（2021·山东聊城市）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】由 平行的性质可知 ，再结合 即可求解．
【详解】解：
故答案是：B．
2．（2022·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】如图，由平行线的性质可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得： ，
故选C
3．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线 先后经平面镜 ， 反射后，反射光线 与 平行，当
时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，∴∠OBC=35°，∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴ ．故选：A
4．如图，下列条件中，不能判定 的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据同位角相等，两直线平行﹔内错角相等，两直线平行﹔同旁内角互补，两直线平行，进行判
断即可．
【详解】解： 、 ，根据同旁内角互补，两直线平行，可得 ∥ ，故 不符
合题意；
、 ，根据内错角相等，两直线平行，可得 ∥ ，故 不符合题意；
、 ，根据内错角相等，两直线平行，可得 ∥ ，故 符合题意；；
、 ，根据同位角相等，两直线平行，可得 ∥ ，故 不符合题意．
故选： ．
