专题 10 一次函数及其应用（12 个高频考点）（强化训练）
【考点1 一次函数的定义】
1．（2022·安徽·模拟预测）若点M(1,2)关于y轴的对称点在一次函数y=(3k+2)x+k的图象上，则k的值
为（ ）
3
A．−2 B．0 C．−1 D．−
7
【答案】A
【分析】依题意，点M(1,2) 关于y轴的对称点为M (−1,2)，然后将点M 带入一次函数解析式即可；
1 1
【详解】由题知，点关于y轴的对称点坐标的规律---横坐标变为相反数，纵坐标不变，
可得：对称点M (−1,2)
1
将点M (−1,2)代入一次函数y=(3k+2)x+k，即为2=(3k+2)×(−1)+k，可得：k=−2；
1
故选：A
【点睛】本题主要考查点的对称、一次函数解析式的性质，难点在熟悉二者的衔接.
2．（2022·辽宁沈阳·二模）若y=x+2−3b，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
2 2 3
A．0 B．− C． D．
3 3 2
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知2−3b=0，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，
∴2−3b=0，
2
解得：b= ，
3
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
3．（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）将正比例函数y=kx向右平移2个单位，再向下平移4个单
位，平移后依然是正比例函数，则k的值为（ ）
A．−4 B．−2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据正比例函数平移的性质求出平移后的解析式，再结合平移后依然是正比例函数得到−2k−4=0且k≠0来求解．
【详解】解：∵将正比例函数y=kx向右平移2个单位，再向下平移4个单位，
∴平移后的函数解析式为：y=k(x−2)−4=kx−2k−4．
∵平移后依然是正比例函数，
∴−2k−4=0且k≠0，
∴k=−2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数函数平移的性质和正比例函数的定义，求出平移后的正比例函数的解析
式是解答关键．
4．（2022·黑龙江大庆·一模）一次函数y=(1−k)x+k2−1的图象经过原点，则y随x的增大而 ___ .（填
“增大”或“减小”）
【答案】增大
【分析】由题意可得：k2−1=0且1−k≠0，求得k=−1，即可求解．
【详解】解：由题意可得：k2−1=0且1−k≠0，解得k=−1
则一次函数为：y=2x
因为2>0
所以y随x的增大而增大，
故答案为：增大
【点睛】此题考查了一次函数的定义，图像与性质，解题的关键是根据题意正确求得k的值．
5．（2022·河南省直辖县级单位·一模）请写出一个图象经过点(3,−2)的函数解析式________．
【答案】y=x-5(答案不唯一)
【分析】只要符合题意的函数解析式即可，可以是一次函数解析式、反比例函数函数解析式、二次函数解
析式，或其它函数解析式均可．
【详解】y=x-5满足题意
故答案为：y=x-5（答案不唯一）
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征：点在函数图象上，则其坐标满足函数解析式，理解这一特
征是解题的关键．要熟悉已学的一次函数、反比例函数函数、二次函数这三种函数解析式．
【考点2 一次函数的图像】
6．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）从3,−1,0,1,−2这五个数中任意取出一个数记作b，则既能使函数y=(b2−4)x的图象经过第二、第四象限，又能使关于x的一元二次方程x2−bx+b+1=0的根的判别式
小于零的概率为 _____．
2
【答案】 ##0.4
5
【分析】确定使函数的图象经过第二、四象限的b的取值范围，然后确定使方程根的判别式小于零的b的
取值范围，找到同时满足两个条件的b的值，利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵函数y=(b2−4)x的图象经过第二、四象限，
∴b2−4<0，
解得：−2<b<2；
∵关于x的一元二次方程x2−bx+b+1=0的根的判别式小于零，
∴(−b) 2−4(b+1)<0，
∴.2−2√2<b<2+2√2，
∴使函数的图象经过第二、四象限，且使方程的根的判别式小于零的b的值有为0、1，
2
∴此事件的概率为 ，
5
2
故答案为： ．
5
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现
m
m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
n
7．（2022·山东山东·三模）若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则化简√a2−√(b−a) 2=
________．
【答案】−b
【分析】首先根据一次函数的位置确定a和b的值，然后化简二次根式求值．
【详解】解：∵若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴b-a＞0，
∴√a2−√(b−a) 2=|a|−|b−a|=−a−b+a=−b ，故答案为-b．
【点睛】本题主要考查一次函数和图象和性质，熟记一次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2022·四川成都·三模）一次函数y =k x+b 和y =k x+b 的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与
1 1 1 2 2 2
y =k x+b 和y =k x+b 的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若k ＞0，k ＜0，则a、b、c
1 1 1 2 2 2 1 2
从大到小排列应为________．
【答案】c＞a＞b
【分析】依据条件画出一次函数图像可直观判断．
【详解】解：∵k ＞0，k ＜0，
1 2
点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）纵坐标相等
∴ y＝n﹣1是一条水平线
画出满足题意位置关系的函数图像如下，
由图像易得：c＞a＞b，
故答案为：c＞a＞b．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，依据性质去画出图像是解题关键．
9．（2022·广东珠海·模拟预测）先画图再填空：作出函数y=4x−4的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)y的值随x的增大而 ；
(2)图象与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是 ；
(3)当x 时，y<0；
(4)求函数y=4x−4的图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】(1)增大
(2)(1,0)；(0,−4)
(3)<1
(4)2
【分析】(1)根据一次项的图象判断增减性即可；
(2)分别求y=0时x的值、x=0时y的值即可求得；
(3)根据图象在x轴下方的部分对应的x的值解答即可；
(4)根据三角形的面积公式求解即可．
解：令y=0，则x=1，故函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
令x=0，则y=-4，故函数图象与y轴的交点坐标为(0,-4)，
画图如下，(1)
解：从图象可以看出y随x的增大而增大；
故答案为：增大；
(2)
解：图象与x轴的交点坐标是(1,0)，与y轴的交点坐标是(0,−4)；
故答案为：(1,0)，(0,−4)；
(3)
解：由图象可知：当x<1时，y<0；
故答案为：<1；
(4)
1
解：函数y=4x−4的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是 ×4×1=2．
2
【点睛】此题考查了一次函数中的综合知识，涉及作图、增减性、交点坐标、与不等式的关系及与坐标轴
围成的图形的面积，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键．
10．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m
﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．
(1)求点C坐标 ．(2)若m＝2，
①求△ABC的面积；
②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；
(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值
范围．
【答案】(1)（0，-1）
3
(2)①6；②−3<k<−
5
(3)2<m<4
【分析】（1）求x=0时y的值，即可得到点C的坐标；
（2）①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），延长线段AB交y轴于点D，求出CD，AB，利用面积公式
计算即可；
②求出直线AC和直线BC的解析式，即可得到；
（3）当k=-1时，直线为y=-x-1，当x=-5时，y=4，只有A B 情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不
3 3
与A、B点重合，此时m<4；得到点P的坐标，求出AP的长度，即可得到答案．
【详解】（1）解：直线y=kx-1与y轴交于点C，
当x=0时y=-1，故C（0，-1），
故答案为（0，-1）；
（2）①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），
∵点A、B纵坐标相同，
∴AB∥x轴，AB⊥y轴，
延长线段AB交y轴于点D，
∴线段CD为△ABC以AB边为底的高，
∵CD=2-(-1)=3，AB=-1-（-5）=4，1
∴S = AB⋅CD=6；
△ABC 2
②设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得¿，
3
∴直线AC的解析式为y=− x−1，
5
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∴¿，解得¿，
∴直线BC的解析式为y=−3x−1，
∵点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，
∴k <k<k ,
BC AC
3
∴−3<k<− ；
5
（3）当k=-1时，直线为y=-x-1，
当x=-5时，y=4，
如图，只有A B 情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；
3 3
当x=m-3时y=2-m，
由图知2-m<m，
∴m>1，
∴1<m<4，
当y=m时，x=-1-m，
∴点P坐标为（-1-m，m），
∴AP=|−5−(−1−m)|=|m−4|，
∵AP<2，∴|m−4|<2，
∵1<m<4，
∴m-4<0，
∴|m−4|=4-m，
∴4-m<2，
∴m>2，
综上，2<m<4．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．
【考点3 一次函数的性质】
11．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）已知一次函数y=-kx+k，y随x的增大而减小，则在直
角坐标系内大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于一次函数y=-kx+k（k≠0），y随x的增大而减小，可得-k＜0，然后，判断一次函数y=-kx+k的
图象经过的象限即可．
【详解】解：∵一次函数y=-kx+k（k≠0），y随x的增大而减小，
∴-k＜0，即k>0，
∴一次函数y=-kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b的图象性质：
①当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限．
12．（2022·河南·模拟预测）已知点（-1，y），（4，y）在一次函数y=3x-2的图象上，则y ，y ，0的大
1 2 1 2
小关系是（ ）
A．0<y <y B．y <0<y C．y <y <0 D．y <0<y
1 2 1 2 1 2 2 1【答案】B
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y 、y 的值，将其与0比较大小后
1 2
即可得出结论．
【详解】解：∵点（-1，y ），（4，y ）在一次函数y=3x-2的图象上，
1 2
∴y =-5，y =10，
1 2
∵10＞0＞-5，
∴y ＜0＜y ．
1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求
出y 、y 的值是解题的关键．
1 2
13．（2022·山东枣庄·一模）已知点P(a,b）在直线y=−3x−4上，且2a−5b≤0（ ）
b 2 b 2 a 5 a 5
A． ≥ B． ≤ C． ≤ D． ≥
a 5 a 5 b 2 b 2
【答案】B
【分析】根据P(a，b)是直线y=-3x-4上的点，得到b=-3a-4，代入2a−5b≤0，确定a是负数，后根据不等
式的性质计算判断即可．
【详解】∵P(a，b)是直线y=-3x-4上的点，
∴b=-3a-4，代入2a−5b≤0，
20
∴a≤− ＜0，
17
b 2
∴ ≤ ，
a 5
故选B．
【点睛】本题考查了点与一次函数，一次函数与不等式，不等式的性质，熟练掌握一次函数与不等式的关
系是解题的关键．
14．（2022·天津·模拟预测）已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是-2≤y≤4，b的
值为_________．
【答案】-2或4##4或-2
【分析】分两种情况进行分析：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数；（2）当k
＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数；利用待定系数法求解即可得出结果
【详解】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数，
∴当x=0时，y=-2，当x=2时，y=4，b=−2
代入一次函数解析式y=kx+b得：{ ，
2k+b=4
k=3
解得：{ ；
b=−2
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当x=0时，y=4，当x=2时，y=-2，
b=4
代入一次函数解析式y=kx+b得：{ ，
2k+b=−2
k=−3
解得：{ ，
b=4
综上所述：b的值为-2或4．
故答案为：-2或4．
【点睛】此题考查一次函数的性质及利用待定系数法确定函数解析式，根据一次函数图象的性质分情况讨
论是解题关键．
15．（2022·吉林四平·二模）如图，直线l的函数表达式为y=x−1，在直线l上顺次取点
A (2,1),A (3,2),A (4,3),A (5,4),⋅⋅⋅,A (n+1,n)，构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表
1 2 3 4 n
示为S ,S ,S ,⋅⋅⋅,S ，则S = __________．
1 2 3 n 2022
【答案】4046
【分析】分别求出S，S，S，S 的值，得出规律，根据规律即可求解．
1 2 3 4
【详解】解：由题意得：S=2×3-2×1=4=2×（1+1），
1
S=4×3-2×3=6=2×（2+1），
2
S=5×4-4×3=8=2×（3+1），
3
S=6×5-5×4=10=2×（4+1），
4
⋯
∴Sn=2（n+1），∴S =2×（2022+1）=4046．
2022
故答案为：4046．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的
变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
【考点4 一次函数的图像与系数的关系】
16．（2022·天津河东·中考模拟）若直线y=−2x+3b+2经过第一、二、四象限，则b的取值范围是_____．
2
【答案】b>−
3
【详解】解：由直线y=-2x+3b+2经过第一、二、四象限，
所以3b+2＞0
2
解得b>−
3
2
故答案为：b>−
3
17．（2022·吉林大学附属中学二模）如图已知直线l :y=−2x+4与直线l :y=kx+b(k≠0)在第一象限交
1 2
于点M，若直线l 与x轴的交点为A(−2,0)，则k的取值范围是__________.
2
【答案】0<k<2
【分析】根据l :y=kx+b(k≠0)经过点A(−2,0)，求出l 解析式为y=kx+2k(k≠0)，进而得出l 与y轴交
2 2 2
点为（0,2k），求出l :y=−2x+4与y轴交点坐标为（0,4），根据l 与l 交点在第一象限，得到k＞0,2k＜
1 1 2
4，即可求解．
【详解】解：∵l :y=kx+b(k≠0)经过点A(−2,0)，
2
∴−2k+b=0，
∴b=2k，
∴l 解析式为y=kx+2k(k≠0)，
2
∴l 与y轴交点为（0,2k），
2
由题意得l :y=−2x+4与y轴交点坐标为（0,4），
1
∵l 与l 交点在第一象限，
1 2∴k＞0,2k＜4，
∴0<k<2．
故答案为：0<k<2
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，根据题意求出l 与y轴交点，利用数形
2
结合得到关于k的不等式是解题关键．
18．（2022·四川师范大学附属中学模拟预测）一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与x轴的交点在正半轴上，
则k的取值范围_____．
【答案】k＞3．
【分析】求出一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1），根据一次函数y＝（3﹣k）x+1的图
象与x轴的交点在正半轴上，画出函数图象，确定函数经过第一、二、四象限，得到3﹣k＜0，解不等式
即可．
【详解】解：当x＝0时，y＝（3﹣k）x+1＝1，
∴一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1）．
大致画出函数图象，如图所示．
∵一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴3﹣k＜0，
∴k＞3．
故答案为：k＞3．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数图象确定函数解析式中字母取值，根据题意
画出函数大体图象，列出不等式是解题关键．
19．（2022·江苏南京·二模）已知一次函数y =ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y =x+1．
1 2
(1)当a=−1时，求两个函数图象的交点坐标；
(2)不论a为何值，y =ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______；
1
(3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)两个函数图象的交点坐标为(-1，0)；(2)(-3，2)
(3)a的取值范围是a>1或a<-1．
【分析】（1）把a=-1代入求得y=-x-1，再联立解方程组即可求解；
1
（2）把y=ax+3a+2变形为y-2=a(c+3)，据此即可求解；
1 1
（3）画出函数图象，当直线y=ax+3a+2经过y=x+1与x轴的交点B(-1，0)时，求得此时a的值；当直线
1 2
y=ax+3a+2与直线y=x+1平行时，求得此时a的值，结合图象即可求解．
1 2
(1)
解：∵y=ax+3a+2，
1
∴当a=-1时，y=-x-1，
1
联立¿，
解得¿，
故两个函数图象的交点坐标为(-1，0)；
(2)
解：因为y=ax+3a+2 (a为常数，a≠0),
1
所有y-2=a(c+3)，所以当x=-3时，y 恒等于2，
1 1
所以y=ax+3a+2的图象过定点A，其坐标为(-3，2)；
1
故答案为：(-3，2)；
(3)
解：画出函数图象如图：
当直线y=ax+3a+2绕着点A旋转，点B为y=x+1与x轴的交点，坐标为B(-1，0)，
1 2
此时0=-a+3a+2，
解得a=-1，当直线y=ax+3a+2与直线y=x+1平行时，
1 2
此时a=1，
∴当a>1或a<-1时，两个函数图象的交点在第三象限，
故a的取值范围是a>1或a<-1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是结合一次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定
点对函数自变量取值范围的影响．
20．（2022·安徽亳州·一模）已知一次函数y=(4m+1)x−(m+1)，
(1)m为何值时，直线与y轴交点在x轴上方?
(2)m为何值时，直线不经过第一象限?
1
【答案】（1）m＜-1；（2）-1≤m＜- ．
4
【分析】（1）根据一次函数的性质得出不等式-（m+1）＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据一次函数的性质得出不等式4m+1＜0和-（m+1）＜0，求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），
∵直线与y轴的交点在x轴上方，
∴-（m+1）＞0，
解得：m＜-1，
故：当m＜-1时，直线与y轴的交点在x轴上方．
（2）一次函数y=（4m+1）x-（m+1），
∵直线不经过第一象限，即位于第二、三、四象限，
∴4m+1＜0且-（m+1）≤0，
1
解得：-1≤m＜- ，
4
1
故当：-1≤m＜- 时，直线不经过第一象限．
4
【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质，一次函数的性质等知识点的理解和掌
握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式是解此题的关键．
【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】
1
21．（2022·河南·模拟预测）若点A(−2,m)在函数y=− x的图象上，则m的值是（ ）
2
1 1
A．1 B．－1 C． D．−
4 4【答案】A
【分析】将x=-2代入一次函数解析式中求出m值，此题得解．
1
【详解】当x=-2时，y=- ×（-2）=1，
2
∴m=1．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键．
22.（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，平面直角坐标系中，在直线y=x+1和x轴之间由小到大依次画出若
干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第
100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298 B．299 C．2197 D．2198
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，可得第1个等腰直角三角形的直角边长，求出第1个等腰直角
三角形的面积，用同样的方法求出第2个等腰直角三角形的面积，第3个等腰直角三角形的面积，找出其中
的规律即可求出第100个等腰直角三角形的面积．
【详解】解：当x=0时，y=x+1=1，
根据题意，第1个等腰直角三角形的直角边长为1，
1 1
第1个等腰直角三角形的面积为 ×1×1= ，
2 2
当x=1时，y=x+1=2，
∴第2个等腰直角三角形的直角边长为2，
1
第2个等腰直角三角形的面积为 ×2×2=2，
2
当x=3时，y=x+1=4，
∴第3个等腰直角三角形的直角边长为4，
1
第3个等腰直角三角形的面积为 ×4×4=8，
21
依此规律，第100个等腰直角三角形的面积为 ×4100−1=2197 ，
2
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与规律的综合，涉及等腰直角三角形的性质，找出规律
是解题的关键．
23.（2022·浙江·杭州育才中学模拟预测）若一个正比例函数的图象经过点A(2，−6)，B(−3，n)，则n
的值为（ ）
A．4 B．9 C．1 D．−9
【答案】B
【分析】设正比例函数解析式为y=kx，利用A点坐标求出解析式，再将B点坐标代入解析式即可求出n．
【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx，
∵A(−2,6)在函数图象上，
∴6=−2k，解之得：k=−3，故其解析式为y=−3x，
∵B(−3,n)在函数图象上，将其代入y=−3x得到：n=−3(−3)=9，
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数，会利用待定系数法求解析式，已知解析式和解析式上点的横坐标，会求纵
坐标，解题的关键是利用A点坐标求出解析式．
24．（2022·江苏盐城·中考真题）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线
1
l :y= x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l :y=x于点O ，过点O 作y轴的平行线交直
1 2 2 1 1
线l 于点A ，以此类推，令OA=a ，O A =a ，⋯，O A =a ，若a +a +⋯+a ≤S对任意大于1
1 1 1 1 1 2 n−1 n−1 n 1 2 n
的整数n恒成立，则S的最小值为___________．【答案】2
【分析】先由直线l :y=x与y轴的夹角是45°，得出△OAO ，△O A O ，…都是等腰直角三角形，
2 1 1 1 2
∴OA=O A，O A =O A ，O A =O A ，…，得出点O 的横坐标为1，得到当x=1时，
1 1 1 2 1 2 2 3 2 1
1 3 ( 3) 3 1 1 3 3
y= ×1+1= ，点A 的坐标为 1, ，O A =O A = −1= ，点O 的横坐标1+ = ，当x= 时，
2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 3 7 (3 7)
y= × +1= ，得出点A 的坐标为 , ，以此类推，最后得出结果．
2 2 4 2 2 4
【详解】解：∵直线l :y=x与y轴的夹角是45°，
2
∴△OAO ，△O A O ，…都是等腰直角三角形，
1 1 1 2
∴OA=O A，O A =O A ，O A =O A ，…
1 1 1 2 1 2 2 3 2
∵点A的坐标为(0,1)，∴点O 的横坐标为1，
1
1 3 ( 3)
当x=1时，y= ×1+1= ，∴点A 的坐标为 1, ，
2 2 1 2
3 1
∴O A =O A = −1= ，
1 1 2 1 2 2
1 3
∴点O 的横坐标1+ = ，
2 2 2
3 1 3 7
当x= 时，y= × +1= ，
2 2 2 4(3 7)
∴点A 的坐标为 , ，
2 2 4
7 1 1
∴O A =O A = − −1= ，……
3 2 2 2 4 2 4
1 1 1 1
以此类推，得OA=a =1，O A =a = ，O A =a = ，O A =a = ，……，O A =a = ，
1 1 1 2 2 2 2 3 4 3 3 4 8 n−1 n−1 n 2n−1
1 1 1 1
∴a +a +a +⋯+a =1+ + +⋯+ =2− ≤S，
1 2 3 n 2 4 2n−1 2n−1
∴S的最小值为2．
【点睛】本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一是要
破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所得数据并找出数据
之间的规律．
25．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，A ……在x轴上且OA =1，
1 2 3 4 1
OA =2OA ，OA =2OA ，OA =2OA ……按此规律，过点A ，A ，A ，A ……作x轴的垂线分
2 1 3 2 4 3 1 2 3 4
别与直线y=√3x交于点B ，B ，B ，B ……记△OA B ，△OA B ，△OA B ，△OA B ……的面
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
积分别为S ，S ，S ，S ……，则S = ______．
1 2 3 4 2022
【答案】24041√3
√3
【分析】先求出A B =√3，可得S = ，再根据题意可得A B ∥A B ∥A B ∥……∥A B ，
1 1 △OA 1 B 1 2 1 1 2 2 3 3 n n
从而得到△OA B ∽△OA B ∽△OA B ∽△OA B ∽……∽△OA B ，再利用相似三角形的性质，
1 1 2 2 3 3 4 4 n n可得S
△OA B
∶S
△OA B
∶S
△OA B
∶S
△OA B
∶……∶S
△OA B
=1:22:(22) 2 :(23) 2 :⋯⋯:(2n) 2 ，即可求解．
1 1 2 2 3 3 4 4 n n
【详解】解：当x=1时，y=√3，
∴点B (1,√3)，
1
∴A B =√3，
1 1
1 √3
∴S = ×1×√3= ，
△OA 1 B 1 2 2
∵根据题意得：A B ∥A B ∥A B ∥……∥A B ，
1 1 2 2 3 3 n n
∴△OA B ∽△OA B ∽△OA B ∽△OA B ∽……∽△OA B ，
1 1 2 2 3 3 4 4 n n
∴S ∶S ∶S ∶S ：……∶S = OA2∶OA2∶OA2∶……∶OAn2，
△OA B △OA B △OA B △OA B △OA B 1 2 3
1 1 2 2 3 3 4 4 n n
∵OA =1，OA =2OA ，OA =2OA ，OA =2OA ，……，
1 2 1 3 2 4 3
∴OA =2，OA =4=22 ，OA =8=23 ，……，OA =2n−1 ，
2 3 4 n
∴S
△OA B
∶S
△OA B
∶S
△OA B
∶S
△OA B
∶……∶S
△OA B
=1:22:(22) 2 :(23) 2 :⋯⋯:(2n−1) 2 =1:22:24:26:⋯⋯:22n−2
1 1 2 2 3 3 4 4 n n
，
∴S =22n−2S ，
△OA B △OA B
n n 1 1
√3
∴S =22×2022−2× =24041√3．
2022 2
故答案为：24041√3．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是
解题的关键．
【考点6 一次函数的图像与几何变换】
26.（2022·宁夏·中考真题）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应
点E恰好落在直线y=2x−3上，则点A移动的距离是______．【答案】3
【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出 OAB
沿x轴向右平移3个单位得到 CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离． △
【详解】解：当y=2x−3=3△时，x=3，
∴点E的坐标为(3,3)，
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3，
即点A移动的距离是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解
析式中求出点E的横坐标是解题的关键．
27．（2022·陕西省西安爱知中学模拟预测）已知直线l :y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将
1
直线l 向右平移m（m>0）个单位得到直线l ，直线l 与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为
1 2 2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出点B（0，4），可得OB=4，再根据平移的性质，可得AC=m，再根据△ABC的面积为6，
即可求解．
【详解】解：∵直线l :y=2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，
1
当x=0时，y=4，
∴点B（0，4），
∴OB=4，
∵将直线l 向右平移m（m>0）个单位得到直线l ，直线l 与x轴交于C点，
1 2 2
∴AC=m，∵△ABC的面积为6，
1
∴ ×4m=6，
2
解得：m=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题
的关键．
28．（2022·陕西延安·二模）将一次函数y=kx+2的图象向下平移3个单位长度后经过点（-4，3），则k的
值为（ ）
A．-1 B．2 C．1 D．-2
【答案】A
【分析】根据平移的规律得到y=kx+2-3，然后根据待定系数法即可求得k的值，从而求得正比例函数的表
达式．
【详解】解：将一次函数y=kx+2的图象向下平移3个单位长度后得到y=kx+2-3=kx-1，
∵平移后的函数图象经过点（-4，3），
∴3=-4k-1，
解得k=-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了待定系数法
求一次函数的解析式．
29．（2022·河南许昌·二模）如图，△ABC的顶点A(−4,0)，B(−1,4)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，
将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为（ ）
(7 ) ( 7)
A． ,3 B． 3, C．(2,3) D．(3,2)
4 4
【答案】A【分析】设点C的坐标为（0，m），利用勾股定理分别求出AB，AC的长，结合AB=AC，即可求出点C
的坐标，求出直线AB的解析式，即可求出直线A′B′的解析式，从而推出直线A′B′相当于直线AB向右平
7
移 个单位得到的，由此即可得到答案．
4
【详解】解：设点C的坐标为（0，m），
则由勾股定理得：AB=√[−1−(−4)] 2 +(4−0) 2=5，AC=√(−4) 2+m2，
∴AB=AC，
∴√(−4) 2+m2=5，
∴m=3或m=−3（舍去），
∴点C的坐标为（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
4 16
∴直线AB的解析式为y= x+ ，
3 3
∵A′B′是经过AB平移得到的，
4
∴可设直线A′B′的解析式为y= x+n，
3
∵A′B′经过点C，
∴n=3，
4 4( 7) 16
∴直线A′B′的解析式为y= x+3= x− + ，
3 3 4 3
7
∴直线A′B′相当于直线AB向右平移 个单位得到的，
4
(7 )
∴点C′的坐标为 ,3 ，
4
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数
的相关知识是解题的关键．
30．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）已知直线l：y=2x+4，若将直线l 向右平移m （m＞0）个单位
1 1
得到直线l，直线l 恰好经过原点，则m的值为（ ）
2 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数平移的性质，即可得出结论．
【详解】解：由题意得l：y=2(x−m)+4 ，
2
∵l 经过原点，
2
∴2(0−m)+4=0，解得m＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查函数图像平移，左加右减，上加下减，熟练掌握此知识点是解本题的关键．
【考点7 待定系数法求一次函数解析式】
31．（2022·山东威海·模拟预测）在如图的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A(1,7)，
B(5,9)，C(6,6)，格点D(7,1)，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图结果用实线表示，过程用
虚线表示，并回答问题．
(1)作△ABC的中线AE；
(2)在AB上找一点P，使得BP：AP=2：3；
(3)作点B关于AC的对称点F；
(4)线段AC和线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段沿某条直线对折可以得到另一条线段，直接写出
这条直线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)直线y=x
【分析】（1）取格点M，N，连接MN交BC于点E，连接AE，线段AE即为所求作．（2）取格点T，Q，连接TQ交AB于点P，点P即为所求作．
（3）取格点J，作直线BJ，取格点W，K，连接AW，CK，WK，WK交直线BJ于点F，点F即为所求
作．
（4）关于直线y=x对称．
【详解】（1）解：如图，线段AE即为所求作．
（2）解：如图，点P即为所求作．
（3）解：如图，点F即为所求作．
（4）解：观察图象可知，线段AC，CD关于直线y=x对称．
【点睛】本题考查作图−轴对称变换，三角形的中线，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用，解题
的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
32．（2022·四川·绵阳中学英才学校模拟预测）如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(−2,−1)，
B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D，
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求tan∠OCD的值．
4 5
【答案】(1)y= x+
3 34
(2)
3
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而
得到一次函数的解析式；
5 5
（2）先分别求出确定点C，D点坐标，可得OD= ，OC= ，再根据正切的定义，即可求解．
3 4
【详解】（1）解：把A(−2,−1)，B(1,3)代入y=kx+b，得
¿，解得¿，
4 5
∴一次函数解析式为y= x+ ；
3 3
4 5 5
（2）解：把x=0代入y= x+ 得∶y= ，
3 3 3
4 5 5
把y=0代入y= x+ 得∶x=− ，
3 3 4
( 5) ( 5 )
所以D点坐标为 0, ，点C的坐标为 − ,0 ，
3 4
5 5
所以OD= ，OC= ，
3 4
5
OD 3 4
所以tan∠OCD= = = ．
OC 5 3
4
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方
程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式，也考查了锐角三角函数．
33．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线
OB
y=x+b交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B， AB=6√2，点C在x轴的正半轴上， =3，
OC
点D在第四象限的直线BC上，DE⊥AB 于点E，DE＝AB．(1)求直线BC的解析式；
(2)求点D的坐标．
【答案】(1)y=−3x+6
(2)(3,−3)
OB
【分析】（1）将A,B的坐标用b表示，利用勾股定理求出b，得到A,B的坐标，利用 =3，求出C的坐
OC
标，用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）过点D作DK∥y轴交直线AB于点K，利用平行线的性质，得到△DEK为等腰直角三角形，求出
DK的长，设D(t,−3t+6),K(t,t+6)，利用含t的代数式表示DK，即可得解。
（1）
∵直线y=x+b交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，
∴A(−b,0),B(0,b)，
∴OA=OB=b，
在△OAB中，∠AOB=90°， AB=6√2，
由勾股定理可得， b2+b2=(6√2) 2 ，
解得：b=6或b=−6 （舍）
∴OA=OB=6，
OB
∵ =3，
OC
∴OC=2，
∴C(2,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+6，
将点C(2,0)代入得2k+6=0，解得k=−3，
∴直线BC的解析式为y=−3x+6；
（2）解：如图，过点D作DK∥y轴交直线AB于点K，
∴∠ABO=∠AKD=45°，
∵AB=DE=6√2，
∴DK=12，设点D的横坐标为t，则D(t,−3t+6),K(t,t+6)，
∴DK=t+6−(−3t+6)=12，解得t=3，
∴D(3,−3)．
【点睛】本题考查一次函数和三角形的综合应用，利用已知条件准确的求出一次函数的解析式是解题的关
键.
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，B(−8,0)，∠B=45°．
(1)如图1，求直线AB的解析式；
(2)如图2，点P、Q在直线AB上，点P在第二象限，横坐标为t，点Q在第一象限，横坐标为d，
PQ=AB，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点C、点D在x轴的正半轴上（C在D的左侧），连接AC、AD，
∠ADO=2∠CAO，OC=2CD，点E是AC中点，连接DE、QE、QD，若S =24，求t值．
△DEQ
【答案】(1)y=x+8
(2)d=t+8
(3)-3
【分析】（1）首先确定点A坐标为（0，8），然后利用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）由P(t,t+8)，Q(d,d+8)，PQ=AB，可得
(d−t)2+[(d+8)−(t +8)]2=[0− 2(+−(88)−]0)2，解得d=t+8；
（3）在OB上取OF，使得OF=OC，连接AF，延长DE交AB于点G，由∠ADO=2∠CAO，可得
AD=DF，设CD=m，则OC=2m，OD=3m， AD=5m，由勾股定理可知OA=4m，结合OA=8，解
得m=2，即可确定C(4,0)，D(6,0)，再根据A(0,8)，点E是AC中点，可知点E(2,4)，
DE=√(6−2)2+(0−4)2=4√2，然后利用待定系数法确定直线DE解析式为y=− x+6，将直线AB和直线
DE的解析式联立，解得点G(−1,7)，可得 QG=√(d+1)2+(d+8−7)2=√2(d+1)，根据S =24，
△DEQ
可解得 d=5，由（2）可知，d=t+8，故t=−3．
（1）
解：∵B(−8,0)，
∴OB=8，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°−∠ AOB−∠B=45°，
∴∠B=∠OAB，
∴OA=OB=8，
∴点A坐标为（0，8），
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(0,8)，点B(−8,0)代入，
可得¿，解得¿，
∴直线AB的解析式为y=x+8；
（2）
∵点P、Q在直线AB上，点P横坐标为t，点Q横坐标为d，
∴P(t,t+8)，Q(d,d+8)，
∵PQ=AB，A(0,8)，B(−8,0)，
∴(d−t)2+[(d+8)−(t +8)]2=[0− 2(+−(88)−]0)2，
∴(d−t)2=64，
∵点P在第二象限，点Q在第一象限，
∴d>t，
∴d−t=8，即d=t+8；
（3）在OB上取OF，使得OF=OC，连接AF，延长DE交AB于点G，如下图，
∵OF=OC，OA⊥FC，
∴AF=AC，
∴∠CAO=∠FAO，∠AFC=∠ACF=∠CAD+∠ADO，
∴∠CAF=2∠CAO，
∵∠ADO=2∠CAO，
∴∠CAF=∠ADO，
∴∠AFC=∠ACF=∠CAD+∠CAF=∠DAF，
∴AD=DF，
设CD=m，则OC=OF=2CD=2m，OD=CD+OC=3m，
∴AD=DF=OF+OD=5m，
∴OA=√AD2 −OD2=4m，
∵OA=8，
∴4m=8，解得m=2，
∴OC=4，OD=6，
∴C(4,0)，D(6,0)，
∵A(0,8)，点E是AC中点，
∴点E(2,4)，
∴DE=√(6−2)2+(0−4)2=4√2，
设直线DE解析式为y=k′x+b′，将点D(6,0)、E(2,4)代入，
可得¿，解得¿，
∴直线DE解析式为y=− x+6，
∴∠EDB=45°，∵直线AB的解析式为y=x+8，∠GBD=45°，
∴∠DGB=90°=∠DGQ，
将直线AB和直线DE的解析式联立，
可得¿，解得¿，
∴点G(−1,7)，
由（2）可知，点Q(d,d+8)，
∴QG=√(d+1)2+(d+8−7)2=√2(d+1)，
∵S =24，
△DEQ
1 1
∴ DE⋅QG=24，即 ×4√2×√2(d+1)=24，
2 2
解得 d=5，
由（2）可知，d=t+8，
∴t=−3，
答：t的值为-3．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理的应用等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
35．（2022·浙江·杭州江南实验学校三模）一次函数y =ax−a+1（a为常数，且a≠0）．
1
(1)若点（﹣1，3）在一次函数y =ax−a+1的图像上，求a的值；
1
(2)若a>0，当−1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y 的表达式；
1
(3)对于一次函数y =kx+2k−4（k≠0），若对任意实数x，y >y 都成立，求k的取值范围．
2 1 2
【答案】(1)a=−1
(2)y =4x−3
1
5
(3)k< 且k≠0
3
【分析】（1）将点（﹣1，3）代入一次函数解析式，转化为关于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由a>0时，y随x的增大而增大，可确定当x=2时，函数有最大值，然后代入函数解析式求解即可；
（3）由题意可知，两直线应该平行，即有k=a，再根据y >y 列出不等式并求解即可．
1 2
【详解】（1）解：将点（﹣1，3）代入一次函数y =ax−a+1，
1
可得3=−a−a+1，解得a=−1；
（2）∵a>0时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，函数有最大值，即y =2a−a+1=5，
1最大
解得a=4，
∴此时一次函数y 的表达式为y =4x−3；
1 1
（3）由题意可知，k=a≠0，
∴y =kx−k+1，
1
∵对任意实数x，y >y 都成立，
1 2
∴−k+1>2k−4，
5
解得k< ，
3
5
的取值范围为k< 且k≠0．
3
∴k
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式与点的关系、一次函数的图像与性质、一次函数与不等式的综合
应用等知识，熟练掌握一次函数的性质，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
【考点8 一次函数与一元一次方程】
36．（2022·山东·青岛大学附属中学二模）若关于x的方程−2x+b=0的解是x=2，则直线y=−2x+b一
定经过点（ ）
A．(2,0) B．(0,2) C．(−2,0) D．(0,−2)
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题
的关键．
37．（2022·广东东莞·一模）如图，已知直线y＝kx+3和直线y＝﹣x+b交于点P（2，4），则关于x的方程
kx+3＝﹣x+b的解是_____．【答案】x=2
【分析】根据一次函数y＝kx＋3和y＝－x＋b的图象的交点坐标结合图像的性质求解即可．
【详解】∵已知一次函数y=kx+3和y=﹣x+b的图象交于点P（2，4），
∴关于x的方程kx+3=﹣x+b的解是：x=2．
故答案为：x=2．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程结合的问题，解题的关键是数形结合思想在一次函数与一元
一次方程的运用．
38．（2022·山西大同·一模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可
迎刃而解，且解法简捷．如图所示是一次函数y=kx+b在平面直角坐标系中的图象，通过观察图象我们就
可以得到方程kx+b=0的解为___________________．
【答案】x=−1
【分析】观察题图，可知一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（-1,0），即可求解．
【详解】解：观察题图，可知一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标是（-1,0），所以方程kx+b=0
的解为x=−1．
故答案为：x=−1
【点睛】此题主要考查一次函数与一元一次方程之间的关系，熟练利用数形结合的思想是解题关键．
39．（2022·贵州黔南·二模）直线y=ax+b(a≠0)过点A(0,4),B(−3,0)，则方程ax+b=0的解是______．
【答案】x=−3【分析】所求方程的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【详解】方程ax＋b＝0的解，即为函数y＝ax＋b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y＝ax＋b过B（−3，0），
∴方程ax＋b＝0的解是x＝−3，
故答案为：x=−3．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 （a，b为常数，
a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图
象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
40．（2022·江苏盐城·一模）如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1＝b的解x＝_____．
【答案】4
【分析】观察图形可直接得出答案.
【详解】解：根据图形知，当y＝1时，x＝4，
即ax﹣b＝1时，x＝4．
故方程ax﹣1＝b的解是x＝4．
故答案为4．
【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想．
【考点9 一次函数与一元一次不等式】
41．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，函数y=kx+b(k<0)的图像经过点P，则关于x的不等式kx+b>3
的解集为________．【答案】x<−1
【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是x<−1，则kx+b>3的解集亦同．
【详解】由一次函数图像得，当y>3时，x<−1，
则y=kx+b>3的解集是x<−1．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．
42．（2022·江苏泰州·中考真题）一次函数y=ax+2的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是
__________．
【答案】x<1
【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可．
【详解】解：把(1，0)代入一次函数y=ax+2，得
a+2=0，
解得：a=-2，
∴y=-2x+2，
当y>0时，即-2x+2>0，
解得：x<1．
故答案为：x<1．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确列
出不等式，算出x的取值范围．
43.（2022·四川·成都西川中学三模）如图，一次函数y =x+1与y =2x−1图象的交点是（2，3），观
1 2
察图象，写出满足y >y 的x的取值范围___________．
2 1【答案】x>2
【分析】根据一次函数图象即可确定x的取值范围．
【详解】解：∵一次函数y =x+1与y =2x−1图象的交点是（2，3），
1 2
根据图象可知，y >y 的x的取值范围是x>2，
2 1
故答案为：x>2．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
1
44.（2022·吉林·前郭县一中）如图，已知函数y=–2x+3与y=– x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交
2
于点A，点B．
(1)求出m、n的值；
1
(2)直接写出不等式– x+m ＞–2x+3；
2
(3)求出△ABP的面积．
5 3
【答案】(1)n= ，m=-
2 4
5
(2)x＞
2
75
(3)
161
【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得P的坐标，进而代入y=– x+m即可求解；
2
（2）根据函数图象与交点P的横坐标即可求解；
1 3
（3）分别求得y=-2x+3，y=- x- 与y轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即
2 4
可求解．
（1）
解：∵y=-2x+3过P（n，-2）
∴-2=-2n+3，
5
解得：n= ，
2
5
∴P( ，−2) ，
2
1 5
∵y=- x+m的图像过P( ，−2) ，
2 2
1 5
∴-2=- × +m，
2 2
3
解得：m=- ，
4
（2）
5
∵ P( ，−2)，根据函数图象可得，
2
1 5
不等式- x+m＞-2x+3的解集为x＞ ；
2 2
（3）
∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3
∴A(0，3)
1 3 3
∵y=- x- 中，x=0时，y=- ，
2 4 4
3
∴B(0， - )．
4
3
∴AB=3 ，
4
1 5 1 15 5 75
∴△ABP的面积： AB× = × × =
2 2 2 4 2 16【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三
角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．
45.（2022·福建省南平市教师进修学院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟预
测）如图，已知一次函数y=mx+n的图像经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx−m+n<3的解集为
_______．
【答案】x＞-1
【分析】由一次函数y＝mx＋n的图像经过点P（-2，3）可知，一次函数的图像向右平移一个单位经过点
（-1，3），然后根据图像即可得到不等式mx−m＋n＜3的解集．
【详解】解：∵一次函数y＝mx＋n的图像经过点P（-2，3），
∴一次函数y＝m（x−1）＋n的图像是一次函数y＝mx＋n的图像向右平移1个单位长度得到的，故经过点
（-1，3），
∴一次函数y＝m（x−1）＋n的图像如图所示：
由图像可知，关于x的不等式mx−m＋n＜3的解集为x＞-1，
故答案为：x＞-1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握用数形结合的方法解题．
【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】
46．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，
3x−y=1
2），则方程组{ 的解是_________．
kx−y=0
x=1
【答案】{
y=2【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组¿的解为：¿，
即¿的解为：¿，
故答案为：¿．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的
关系是解题的关键．
47.（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知直线l：y＝kx＋k＋1与直线l：y＝(k＋1)x＋k＋2(k为正整数)，记直线
1 2
l 和l 与x轴围成的三角形面积为Sk，则S＋S＋S＋…＋S 的值为( )
1 2 1 2 3 10
5 10 9 50
A． B． C． D．
11 11 20 101
【答案】A
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（−1，1），即可证出无论k取何值，直线l 与l 的交点均为定
1 2
点（−1，1）；先求出y＝kx＋k＋1与x轴的交点和y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点坐标，再根据三角形
1 1 1 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
面积公式求出Sk，求出S = × = ，S = × − ，以此类推，S = × − ，相加后得
1 2 1×2 4 2 2 2 3 10 2 10 11
1 ( 1 )
到 × 1− ．
2 11
【详解】解：∵直线l：y＝kx＋k＋1＝k（x＋1）＋1，
1
∴直线l：y＝kx＋k＋1经过点（−1，1）；
1
∵直线l：y＝（k＋1）x＋k＋2＝k（x＋1）＋（x＋1）＋1＝（k＋1）（x＋1）＋1，
2
∴直线l：y＝（k＋1）x＋k＋2经过点（−1，1），
2
∴无论k取何值，直线l 与l 的交点均为定点（−1，1），
1 2
(
k+1
)
∵直线l：y＝kx＋k＋1与x轴的交点为 − ，0 ，
1 k
(
k+2
)
直线l：y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点为 − ，0 ，
2 k+1
1 | k+1 k+2| 1
∴S = × − + ×1= ，
k 2 k k+1 2k(k+1)
1 1 1
∴S = × = ，……
1 2 1×2 41[ 1 1 1 1 ]
S +S +S +⋅⋅⋅+S = + + +⋅⋅⋅+
1 2 3 10 2 1×2 2×3 3×4 10×11
[( 1) (1 1) ( 1 1 )]
= 1− + − +⋅⋅⋅+ −
2 2 3 10 11
1 ( 1 )
= × 1−
2 11
1 10
= ×
2 11
5
= ，故A正确．
11
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题，解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x
轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．
48．（2022·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 、l 、l 所对应的函数表达式分别为
1 2 3
y =x+2、y =x−3、y =kx−2k+4（k≠0且k≠1），若l 与x轴相交于点A，l 与l 、l 分别相交于点
1 2 3 1 3 1 2
P、Q，则 APQ的面积（ ）
△
A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化
【答案】B
【分析】设l 与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据
3
1
S = AB⋅(x −x )即可求出答案．
△APQ 2 P Q
【详解】联立¿，
解得：¿，
∴P(2，4)．
联立¿，解得：¿，
7−2k 4+k
∴Q( ， )．
1−k 1−k
对于y =x+2，令y =0，则x+2=0，
1 1
解得：x=−2，
∴A(-2，0)．
设l 与x轴的交点为B，
3
对于y =kx−2k+4，令y =0，则kx−2k+4=0，
3 3
2k−4
解得：x= ，
k
2k−4
∴B( ，0)．
k
|2k−4 | |4k−4|
∴AB=|x −x |= +2 = ，
B A k k
1 1 |4k−4| 4+k −10k |k−1|
∴S = AB⋅(x −x )= × ×(4− )= ×
△APQ 2 P Q 2 k 1−k 1−k k
−10k k−1
当k>1时，S = × =10，
△APQ 1−k k
−10k 1−k
当0<k<1时，S = × =−10（不合题意），
△APQ 1−k k
−10k 1−k
当k<0时，S = × =10．
△APQ 1−k −k
综上可知△APQ的面积为10．
故选B．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合．根据各直线解析式求出其交点坐标，直线与坐标轴交点坐标是
解题关键．
49．（2022·山东淄博·一模）下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程
5x−1=2x+5，其中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把x=0代入解析式求出直线与y轴的交点，再根据k的值判断y随x的增大而增大还是减小即可判
断选项．
【详解】解：5x-1=2x+5，
∴实际上求出直线y=5x-1和 y=2x+5的交点坐标，
把x=0分别代入解析式得：y =-1，y =5，
1 2
∴直线y=5x-1与y轴的交点是（0，-1），y=2x+5与y轴的交点是（0，5），选项A、B、C、D都符合，
∴直线y=5x-1中y随x的增大而增大，故选项D错误；
∵直线y=2x+5中y随x的增大而增大，故选项C错误；
当x=2时，y=5x-1=9，故选项B错误；选项A正确；故选A．
【点睛】考核知识点：一次函数图象.
50．（2022·福建·一模）若一次函数y=ax+b（a，b是常数）和y=cx+d（c，d是常数）图象相交于点
a−c
A(−2,1)，则式子 的值是__________．
b−d
1
【答案】
2
【分析】根据一次函数的交点的横纵坐标是对应的方程组的解，将交点A(-2，1)代入两个一次函数，即可
得到两个方程，再根据所求式子的特点，对两个方程进行化简，代入即可求解．
【详解】解：将点A(-2，1)代入函数y=ax+b（a，b是常数）和y=cx+d（c，d是常数），得：
1=−2a+b①
{ ，
1=−2c+d②
②-①得：0=−2c+2a+d−b，
化简得：b−d=2(a−c)，
a−c a−c 1
∴ = = ．
b−d 2(a−c) 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的交点的横纵坐标是对应的方程组的解，以及整体代入思想．
【考点11 一次函数的应用】
51．（2022·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条
公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中DE ，OC 分别表示甲，乙离开A地的路程s
（km）与时间t（h）的函数关系，则乙出发__________小时被甲追上．
【答案】1.8
【分析】用待定系数法求出两条直线的解析式，联立方程组即可求出交点的横坐标，即乙被甲追上的时间．
【详解】设直线DE 为s=kt+b过点D(1,0) ,E(3,120)
∵¿
∴¿
∴直线DE 为s=60t−60
∴设直线OC 为s=mt
过点,E(3,80)
∵3m=80
∴ 80
m=
3
∴
80
直线OC 为s= t
3
∴
80
s=60t−60和s= t联立方程组可得：
3
80
60t−60= t
3
解得：t=1.8
乙出发1.8小时被甲追上．
∴故答案为：1.8
【点睛】本题考查待定系数法和两直线交点坐标的求法，找出关键点的坐标求出解析式是解题的关键．
52.（2022·吉林长春·模拟预测）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57
万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，
B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
(1)请你设计出进货方案；
(2)求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最
大利润是多少元？
【答案】(1)方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案
3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
(2)采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【分析】（1）根据题意，列出不等式组进行求解即可．
（2）根据总利润等于单件利润乘以数量求出函数关系式，根据函数的的性质，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设A型电脑购进x台，则：B型电脑购进(40−x)台，由题意得：¿，
解得：21≤x≤24，
∵x为整数，
∴x=21,22,23,24
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得：
y=(3000−2500)x+(3200−2800)(40−x)
=500x+16000−400x，
=100x+16000．
∵k=100>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=24时，y =18400元．
max
答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用和一次函数的应用．根据题意，正确的列出不等式组，一次函
数解析式，是解题的关键．
53.（2022·江苏南通·中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹
果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取
值范围；(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2)y=20x(0≤x≤120)，y=¿
(3)80
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为
1500元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知：y=kx+b过(0,0)，(60,1200)，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=kx，
∴60k=1200，解得：k=20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=20x(0≤x≤120)；
当0≤x≤30时，乙函数图象过(0,0)，(30,750)，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=mx，利用待定系
数法得：30m=750，解得：m=25，
∴y=25x；
当30＜x≤120时，乙函数图象过(60,1200)，(30,750)，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=ax+c，利用待定
系数法得：¿，解得：¿，
∴y=15x+300；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y=¿；
（3）解：甲的利润为：20x−8x=12x，
乙的利润为：¿
∴当0≤a≤30时，
甲乙的利润和为：12a+13a=1500，解得a=60（舍去）；
当30＜a≤120时，
甲乙的利润和为：3a+300+12a=1500，解得a=80；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为80kg时，它们的利润和为1500元．【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用
信息．
54.（2022·吉林长春·中考真题）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、
B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以
另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A
地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
(1)m=_______，n=_______；
(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【答案】(1)2.6
(2)甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式y=60x+80（2≤x≤6）
(3)300千米
【分析】（1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加4即可得n
的值；
（2）由（1）得（2，200）和（6，440），再运用待定系数法求解即可；
（3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．
（1）
根据题意得，m=200÷100=2（时）
n=m+4=2+4=6（时）
故答案为：2.6；
（2）
由（1）得（2，200）和（6，440），设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为y=kx+b
则有：¿，
解得，¿
甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式y=60x+80（2≤x≤6）
（3）
甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为440-200=240千米，
∴乙车的速度为：240 2=120（千米/时）
÷ 11
∴乙车行完全程用时为：440 20= （时）
3
÷1
11
∵ >2
3
11 11
∴当x= 时，y=60× +80=300千米，
3 3
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
55.（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地
步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二
人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图
所示，请结合图像解答下列问题：
(1)A、B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中a= ，b= ，c= ；
(3)求线段MN的函数解析式；
(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可）
【答案】(1)1200，60(2)900，800，15
(3)y =-20x+1200（15≤x≤20）
64
(4)8分钟， 分钟
7
【分析】（1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟
时到达A地，所以乙的速度为可计算出来；
60
（2）由函数图像可知，经过 分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最
7
大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可
算出b；
（3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出；
（4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出．
（1）
由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米，
因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离，
所以A、B两地之间距离为1200米；
由图像可知乙经过20分时到达A地，
1200
∴乙的步行速度为 =60（米/分）；
20
故答案为：1200，60；
（2）
60
由函数图像可知，经过 分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未
7
到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，
60
设甲的步行速度为x米/分，则 (x+60)=1200，
7
解得：x=80（米/分）
1200
∴c= =15（分），
80
a=15×60=900（米），
b=1200−(80×20−1200)=800（米）．
故答案为：900，800，15；（3）
由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800），
设线段MN的解析式为y=kx+b（15≤x≤20），
则有¿ ，
解得：¿
∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20）
（4）
设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米，
相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8；
64
相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x= ，
7
64
所以经过8分钟和 分钟时两人相距80米．
7
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况．
【考点12 一次函数的综合】
56．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，
与y轴交于点B(0,9)，与直线OC交于点C(8,3)．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对
应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′=m，当点A′与点B
重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为________（用含有m的代数式表示）；
10
②当0<m< 时，S与m的关系式为________；
3
24
③当S= 时，m的值为________．
53
【答案】(1)y＝﹣ x+9；
4
9 9 15−√15
(2)① m；② m2；③ 或15﹣2√5．
10 25 3
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得 CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的
坐标，由点C的坐标可得出直线O△C的解析式，代入可得点E的坐标；
10
②根据题意可知，当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果；
3
10 10
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜ 时，当 ＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的
3 3
24
关系式，分别令S＝ ，建立方程，求出m即可．
5
（1）
解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴¿，
解得¿．
3
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9；
4
（2）
3
①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣ x+9，
4
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
4 3
∴CF＝ m，C′F＝ m，
5 5
4 3 4 3 4 3
∴C′（8﹣ m，3+ m），A′（12﹣ m， m），D′（8﹣ m， m），
5 5 5 5 5 5
∵C（8，3），
3
∴直线OC的解析式为：y＝ x，
8
4 3
∴E（8﹣ m，3﹣ m）.
5 10
3 3 9
∴C′E＝3+ m﹣（3﹣ m）＝ m．
5 10 10
9
故答案为： m．
10
3 3 4
②当点D′落在直线OC上时，有 m＝ （8﹣ m），
5 8 5
10
解得m＝ ，
3
10
∴当0＜m＜ 时，点D′未到直线OC，
3
1 1 9 4 9
此时S＝ C′E•CF＝ • m• m＝ m2；
2 2 10 5 259
故答案为： m2．
25
③分情况讨论，
10 9
当0＜m＜ 时，由②可知，S＝ m2；
3 25
9 24 2√30 10 2√30
令S＝ m2＝ ，解得m＝ ＞ （舍）或m＝﹣ （舍）；
25 5 3 3 3
10
当 ≤m＜5时，如图2，
3
设线段A′D′与直线OC交于点M，
8 3
∴M（ m， m），
5 5
3 3 9
∴D′E＝ m﹣（3﹣ m）＝ m﹣3，
5 10 10
8 4 12
D′M＝ m﹣（8﹣ m）＝ m﹣8；
5 5 5
9 1 9 12
∴S＝ m2﹣ •（ m﹣3）•（ m﹣8）
25 2 10 5
18 36
＝﹣ m2+ m﹣12，
25 5
18 36 24
令﹣ m2+ m﹣12＝ ；
25 5 5
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
15−√15 15+√15
解得m＝ 或m＝ ＞5（舍）；
3 3
当5≤m＜10时，如图3，1 24
S＝S ACD＝ ×4×3＝6≠ ，不符合题意；
′ ′ ′ 2 5
△
当10≤m＜15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
3 4
∴BN＝ （15﹣m），A′N＝ （15﹣m），
5 5
1 3 4 6
∴S＝ • （15﹣m）• （15﹣m）＝ （15﹣m）2，
2 5 5 25
6 24
令 （15﹣m）2＝ ，解得m＝15+2 √5＞15（舍）或m＝15﹣2√5．
25 5
15−√15
故答案为： 或15﹣2√5．
3
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与
判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据 A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
57.（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在菱形ABC△D中，AB=4，∠A=60°．动点P从点A出发，沿折线
AB−BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动；点P出发2秒后，动点Q从点A出发，沿折线AB−BC
向点C运动，在AB上的速度为1个单位长度/秒，在BC上的速度为2个单位长度/秒．过P、Q两点分别作BD的平行线，这两条平行线在菱形上截出的阴影部分图形记作G．点P运动的时间为t秒．
(1)直接写出BD的长为______．
(2)当t=3时，G的面积是多少？
(3)设G的周长为y，当2<t<8时，求y与t之间的函数关系式．
(4)若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，直接写出t值．
【答案】(1)4
(2)2√3
(3)y=¿
(4)5
【分析】（1）利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可；
（2）当t=3时，利用梯形的面积公式解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答即可；
（4）利用剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形可得：当剩余部分均为全等的等边三角形时符合
条件，利用此条件列出关于t的方程即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=AB=4．
故答案为：4；
（2）解：当t=3时，AP=3，AQ=1，
设过P、Q两点分别作BD的平行线交AD于点M，N，如图，由（1）知：△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵NQ∥MP∥BD，
∴∠NQA=∠MPA=∠ABD=60°，
∵∠A=60°，
∴△AQN，△APM为等边三角形，
∴AN=AQ=1，AP=AM=3．
∴G的面积=S −S
△AMP △AQN
1 1
= ×AP⋅AM⋅sin60°− ×AQ⋅AN⋅sin60°
2 2
1 √3 1 √3
= ×3×3× − ×1×1×
2 2 2 2
=2√3；
（3）解：①当2<t≤4时，
设过P、Q两点分别作BD的平行线交AD于点M，N，如图，
由（1）知：△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵NQ∥MP∥BD，
∴∠NQA=∠MPA=∠ABD=60°，
∵∠A=60°，
∴△△AQN，△APM为等边三角形，∴AN=AQ=NQ=t−2，AP=AM=MP=t．
∴PQ=AP−AQ=2，MN=AM−AN=2，
∴y=NQ+PQ+MP+MN=t−2+2+2+t=2t+2；
∴当2<t≤4时，y=2t+2；
②当4<t≤6时，
设过P、Q两点分别作BD的平行线交CD于点M，交AD于点N，如图，
由（1）知：△ABD为等边三角形，
同理，△CBD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，∠CBD=60°，
∵NQ∥MP∥BD，
∴∠NQA=∠ABD=60°，∠MPC=∠CBD=60°，
∵∠A=∠C=60°，
∴△AQN，△CPM为等边三角形，
∴AN=AQ=NQ=t−2，BP=DM=t−4，
∴CP=CM=MP=8−t．
∴BQ=AB−AQ=6−t，ND=AD−AN=6−t，
∴y=NQ+BQ+BP+MP+DM+ND
=t−2+6−t+t−4+8−t+t−4+6−t
=10；
∴当4<t≤6时，y=10；
③当6<t<8时，
设过P、Q两点分别作BD的平行线交CD于点M，N，如图，由②知：△CBD为等边三角形，
∴∠CBD=60°．
∵NQ∥MP∥BD，
∴∠NQC=∠MPC=∠CBD=60°，
∵∠C=60°，
∴△CQN，△CPM为等边三角形，
∵BQ=2(t−6)，
∴CN=CQ=NQ=4−2(t−6)=16−2t，
CP=CM=MP=8−t，
∴PQ=CQ−CP=8−t，MN=CN−CM=8−t，
∴y=MP+MN+NQ+PQ
=8−t+8−t+8−t+16−2t
=40−5t，
∴当6<t<8时，y=40−5t．
综上，当2<t<8时，y与t之间的函数关系式为y=¿；
（4）若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，
则剩余的两部分图形为全等的等边三角形，如图，
∴NQ=MP，即AQ=CP，
∴t−2=8−t，
∴t=5．则若去掉G以后，剩余的两部分图形可以拼成一个轴对称四边形，则t=5．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的面积，一
次函数的性质，本题是动点问题，利用已知条件表示出相应线段的长度是解题的关键．
58．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，4)，B(6，0)，
动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单
位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接
PM、PN．设运动时间为t（秒）．
(1)求点M的坐标（用含t的式子表示）；
(2)求四边形MNBP面积的最大值；
(3)连接AP，当∠OAP=∠BPN时，求点N到OA的距离．
(3 )
【答案】(1) t,2t
2
(2)6
24 10
(3) 或
5 3
【分析】（1）先求出OA所在直线的函数表达式，再将点M的纵坐标代入求解即可；
（2）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，用t表示出四边形MNBP的面积，再根据二次函
数的性质求出最大值即可；
（3）分三种情况进行谈论即可：①当t=0时，②当0<t<2时，③当t=2时．
【详解】（1）解：设OA所在直线的函数表达式为y=kx(k≠0)，
4
把点A(3，4)代入y=kx得； 4=3k，解得：k= ，
3
4
∴OA所在直线的函数表达式为y= x，
3∵OQ=2t，
∴点M的纵坐标为2t，
4 4 3
把y=2t代入y= x得：2t= x，解得：x= t，
3 3 2
(3 )
∴点M的坐标为： t,2t ，
2
(3 )
故答案为： t,2t ；
2
(3 )
（2）∵点M的坐标是 t,2t ，OP=3t，
2
1
∴S = ×2t×3t=3t2 ，
△OMP 2
过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
∵A(3，4)，MN∥OB，
∴AE=4−2t，△AMN∽△AOB，
∴
S
△AMN =
(AE) 2
，
S AF
△AOB
1 1 AE 4−2t 2−t
∵S = OB×AF= ×6×4=12， = = ，
△AOB 2 2 AF 4 2
S 4−4t+t2
∴ △AMN = ，即S =3t2−12t+12，
12 4 △AMN
∴S =S −S −S =12−(3t2−12t+12)−3t2=−6t2+12t，
四边形PBNM △AOB △AMN △OMP
∵−6<0，
12
∴当t=−
2×(−6)
=1时，S
四边形PBNM
有最大值，为6．
（3）∵A(3，4)，B(6，0)，∴OA=√32+42=5，OB=√(6−3) 2+42=5，
∴OA=AB，
∴∠AOB=∠PBN，
①当t=0时，点M和点P均在点O处，∠BPN=∠OAP=0°，
此时点N在点B处，
∴点N到OA的距离为△OAB边OA上的高，记为h，
1 1
∵S = OB⋅AF= OA⋅ℎ，
△OAB 2 2
1 1
∴ ×6×4= ×5ℎ，
2 2
24
∴点N到OA的距离为：ℎ = ；
5
②当0<t<2时，连接AP．
(3 )
∵M t,2t ，
2
∴OM= √ (3 t ) 2 +(2t) 2= 5 t，
2 2
∵MN∥OB，
5
∴BN=OM= t，
2
由（2）可知：△AMN∽△AOB，
5
MN AM 5− t
∴ = ，即MN 2 ，
OB AO =
6 5
解得：MN=6−3t，
又∵∠OAP=∠BPN，∴△AOP∽△PBN，
OA OP
∴ = ，
BP BN
5 3t
=
∴6−3t 5 ，
t
2
11
解得：t = ，t =0（舍去）．
1 18 2
3
∵MN=6−3t，AE=AF−OQ，ME=3− t，
2
11 25 11 25 3 11 25
∴MN=6−3× = ，AE=4−2× = ，ME=3− × = ，
18 6 18 9 2 18 12
√ 25 2 25 2 125
∴AM=√M E2+AE2= ( ) +( ) = ．
12 9 36
设点N到OA的距离为h，
1 1
∵S = MN⋅AE= AM⋅ℎ，
△AMN 2 2
1 25 25 1 125
∴ × × = × ⋅ℎ，
2 6 9 2 36
10
解得：ℎ = ；
3
③当t=2时，不符合题意；
24 10
综上所述：点N到OA的距离为 或 ．
5 3
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识点．根据
题意作出辅助线并证明出相似三角形是解决本题的关键．
59．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，在平面直角坐标中，直线y=−√3x+b与x轴交
于点A(5，0)，与y轴交于点B．(1)求直线AB的解析式；
(2)点C为x轴负半轴上一点，点D为线段AB上一点，且AC=BD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋
转60°得到线段CE，连接BE，设点C的横坐标为t，BE的长为d，求d与t之间的函数关系式．（不要求
写出自变量t的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点F为x轴上点C左侧一点，连接BF、DF，BF交线段CE于点G，若
∠CGF=30°，BE=2CF，求∠BFD的正切值．
【答案】(1)y=−√3x+5√3
(2)d=5+t
√3
(3)
2
【分析】（1）根据条件求出A、B坐标，代入解析式求b的值即可；
（2）注意到旋转60°，以及AC=BD，连接DE即可找到全等关系△BDE≌△ACD，进而得出BE=AD；
（3）先用t表示图中各点的坐标，容易发现DE⊥BF，得出BG∥CM，根据tan∠MCO=tan∠BFO，
得出关于t的等式，求出t．t确定后，D、E、F三个点的坐标就确定了，进而可求出∠BFD的正切．
（1）
解：∵A(5,0)．
令x=5，y=0，
∴b=5√3，
∴OB=5√3．
∴直线AB的解析式为y=−√3x+5√3．
（2）
由（1）可知OA=5,OB=5√3，
∴AB=10，∠BAC=60°．
∵点C的横坐标为t，
∴AC=5−t连接DE，则由CD=CE，∠DCE=60°，
可知△CDE为等边三角形，DE=CD，∠EDC=60°．
又∠CDB=∠DCA+∠DAC，∠EDC=60°=∠DAC，
∴∠BDE=∠DCA，
又∵BD=CA，
∴△BDE≌△ACD（SAS）．
∴∠EBD=∠DAC=60°，BE=AD=AB−BD=10−AC=5+t．
即d=5+t．
（3）
∵BE=2CF，BE=5+t
1 5+t
∴CF= BE=
2 2
∵△BDE≌△ACD
∴BD=AC=5−t
∴BD=5−t，
由（2）可知∠EBD=60°，∠EBD=60°
t−5
∴∠EBO=30°，F的坐标为( ,0)，
2
5−t
∴OF=
2
由BD=5−t，∠BOA=30°
1 5−t √3 √3 5+t
∴x = BD= ,y =OB− BD=5√3− (5−t)= √3
D 2 2 D 2 2 2
5−t 5+t
∴点D的坐标为( , √3)，
2 2
5+t 5−t
同理可得点E的坐标为(− , √3)．
2 2
∵∠CGF=30°，
∴∠BGE=∠CGF=30°，∠CED=60°，
∴BG⊥DE．
t 5√3
取DE中点M，连接CM，则M的坐标为(− , )．
2 2
在等边三角形CDE中，CM⊥DE，
∴BG∥CM，∴tan∠MCO=tan∠BFO
BO x
∴ = M
OF x −t
M
5√3
5√3 2
∴ = ，
5−t t
− −t
2 2
得t=−1．
∴F(−3,0),D(3,2√3),AD=4,AF=8，
又∠BAF=60°，
∴DF⊥AB,DF=4√3．
又BD=6，
BD √3
∴tan∠DFB= = ．
DF 2
【点睛】本题考查了一次函数的综合问题，全等三角形的性质与判断，等边三角形的性质与判定，解直角
三角形，求正切，解题的关键在于观察题目中的等量关系，发现△BDE≌△ACD．第（3）问关键在于利
用题目条件列出等式，求出满足条件的t的值．
60．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P
从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD
于点E．(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直
接写出答案，不要求解答过程）．
5 5
【答案】(1)y关于t的函数关系式为y=5− t(0≤t≤4)，或y= t−5(t>4)
4 4
16 12
(2)当t为 或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为 或12
7 7
5 100
(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为 或8或 或10
2 7
256
(4)t=
125
【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；
PE AP AE 3 5
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式 = = ，得出PE= t，AE= t，当
OD OA AD 4 4
以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，
解方程即可；
5
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当DP=DE= t−5
4
时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当
PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
8
（4）设直线AD交BB′于F，连接BB′，则AF⊥BB′，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出BF= ，得出
5
16 64
BB′= ，证明△AOE∼△BOB′，得出比例式求出AE= ，即可得出t的值．
5 25
（1）
解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：AD=√32+42=5，
①当0≤t≤4时，∵PE∥x轴，
AP AE
∴ = ，
OA AD
t AE
∴ = ，
4 5
5
∴AE= t，
4
5
∴DE=5− t，
4
5
即y=5− t(0≤t≤4)；
4
5
②当t＞4时，y= t−5(t>4)；
4
5 5
综上所述，y关于t的函数关系式为y=5− t(0≤t≤4)，或y= t−5(t>4)；
4 4
（2）
解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，
∵PE∥OD，
PE AP AE
∴ = = ，
OD OA AD
PE t AE
即 = = ，
3 4 5
3 5
解得：PE= t,AE= t，
4 4
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
3
①当0＜t＜4时， t=4− t，
416 12
解得：t= ，此时PE= ；
7 7
3
②当t＞4时， t=t−4，
4
解得：t=16，此时12；
16 12
综上所述，当t为 或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为 或12；
7 7
（3）
解：当0≤t≤4时，由PE=DE，
3 5
∴ t=5− t，
4 4
5
解得：t= ；
2
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
5
①当DP=DE= t−5时，
4
由勾股定理得：OP2+OD2=DP2，
5 2
即(t−4)2+32=( t−5)
，
4
解得：t=8；
②当PE=PD时，
3 2
由勾股定理得：(t−4)2+32=(
t
)
，
4
100
解得：t= ，或t=4（舍去）；
7
100
∴t= ；
7
3 5
③当PE=DE时， t= t−5
4 4
解得：t=10；
5 100
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为 或8或 或10；
2 7
（4）
解：设AD交BB′于F，连接BB′，如图3所示：
则AF⊥BB′，∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
BF BD BF 2
∴ = ，即 = ，
AO AD 4 5
8
∴BF= ，
5
16
∴BB′=2BF=
，
5
∵∠AOE=∠BOB′，∠OAD=∠FBD，
∴△AOE∼△BOB′，
AE 4
AE AO =
∴ = ，即16 5，
BB′ BO
5
64 5
∴AE= = t，
25 4
256
∴t= ．
125
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性
质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是
（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．
