文档内容
专题 10 一元一次不等式(组)
【专题目录】
技巧1：一元一次不等式组的解法技巧
技巧2：一元一次不等式的解法的应用
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【题型】一、不等式的性质
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
【题型】六、一元一次不等式的应用
【考纲要求】
1、了解不等式(组)有关的概念，理解不等式的基本性质；
2、会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3、能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【考点总结】一、一元一次不等式(组)不等 （1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
式的 （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
不 基本 （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
等 性质
式 ① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 未知数的系数化为1.
解法
或 在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.
组 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不
定义
等式组.
解法 先求出各个不等式的解再确定其公共部分，即为原不等式组的解集。
不等式组(a－1.
解不等式②，得x≤8.
所以不等式组的解集为－10.
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．
参考答案
1．解：(1)x＞x－2，
x＞ －2，
x＞ －3.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(2)－x＞1，
4x－1－3x＞ 3，
x＞ 4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
(3)≥2(x＋1)，
x＋1≥ 6x＋6，
－5x≥ 5，x≤ －1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2．解：第①步开始错误，应该改成：
去分母，得5(4－3x)－15＜3(7＋5x)．
去括号，得20－15x－15＜21＋15x.
移项，合并同类项，得－30x＜16.
系数化为1，得x＞－.
3．解：移项，合并同类项得，(a－1)x＞2，
当a－1＞0，即a＞1时，x＞；
当a－1＝0，即a＝1时，x无解；
当a－1＜0，即a＜1时，x＜.
4．解：解方程得x＝－(m＋1)，由题意得－(m＋1)≥0，解得m≤－1.
5．解：解方程组得代入不等式得2a＋2＞4.所以a＞1.
6．解：(1)(－2)★3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11.
(2)∵3★x＜13，∴3(3－x)＋1＜13，
去括号，得9－3x＋1＜13，
移项，合并同类项，得－3x＜3，
系数化为1，得x＞－1.
在数轴上表示如图所示．
7．解：解不等式得x≤，由题意得4≤＜5，解得12≤m＜15.
方法规律：已知一个不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可先解出这个含字
母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可求出字母参数的
取值范围．
8．解：(1)由①得x＜，由②得x＜，由两个不等的解集相同，得＝，解得a＝1.
(2)由不等式①的解都是②的解，得≤，解得a≥1.
技巧3：含字母系数的一元一次不等式(组)的应用
【类型】一、与方程组的综合问题
1．已知实数x，y同时满足三个条件：①x－y＝2－m；②4x－3y＝2＋m；③x＞y.那么实数m的取值范围是( )
A．m＞－2 B．m＜2 C．m＜－2 D．m＞2
2．已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围； (2)化简|a－3|＋|a＋2|.
3．在等式y＝ax＋b中，当x＝1时，y＝－3；当x＝－3时，y＝13.
(1)求a，b的值；
(2)当－1＜x＜2时，求y的取值范围．
【类型】二、与不等式(组)的解集的综合问题
题型1：已知解集求字母系数的值或范围
4．已知不等式(a－2)x＞4－2a的解集为x＜－2，则a的取值范围是__________．
5．若不等式组的解集为－1＜x＜1，求(b－1)a＋1的值．
题型2：已知整数解的情况求字母系数的值或取值范围
6．已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为( )
A．7＜a≤8 B．6＜a≤7 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
7．如果不等式组的整数解是1，2，3，求适合这个不等式组的整数a，b的值．
题型3：已知不等式组有无解求字母系数的取值范围
8．如果不等式组无解，则a的取值范围是__________．
9．若不等式组有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B
2．解：(1)解方程组得∵x为非正数，y为负数，∴解得－2＜a≤3.
(2)∵－2＜a≤3，即a－3≤0，a＋2＞0，∴原式＝3－a＋a＋2＝5.
3．解：(1)将x＝1时，y＝－3；x＝－3时，y＝13代入y＝ax＋b，得解得
(2)由y＝－4x＋1，得x＝.∵－1＜x＜2，∴－1＜＜2，解得－7＜y＜5.
4．a＜2
5．解：解①得x＜；解②得x＞2b＋3.根据题意得＝1，且2b＋3＝－1，解得a＝1，b＝－2，则(b－1)a＋1＝
(－3)2＝9.
6．A
7．解：解不等式组得≤x＜.
∵不等式组仅有整数解1，2，3，∴0＜≤1，3＜≤4.
解得0＜a≤2，9＜b≤12.
∵a，b为整数，
∴a＝1，2，b＝10，11，12.
8．a≤1
9．解：解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，则a－1＞－6，a
＞－5.
【题型讲解】
【题型】一、不等式的性质
例1、若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2 B．a+1＞b+1 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【答案】B
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【详解】A、由a＞b不一定能得出a＞b+2，故本选项不合题意；
B、若a＞b，则a+1＞b+1，故本选项符合题意；
C、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项不合题意；
D、由a＞b不一定能得出|a|＞|b|，故本选项不合题意．
故选：B．
【题型】二、不等式(组)的解集的数轴表示
例2、不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：
故选C．
【题型】三、求一元一次不等式的特解的方法
例3、不等式 的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】
解： ，
解得： ，
则不等式 的非负整数解有：0，1，2，3共4个．
故选：D．
【题型】四、确定不等式(组)中字母的取值范围
例4、若不等式组 的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.
【题型】五、求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
例5、若不等式组 的解集是 x＞3，则m的取值范围是（ ）.
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【答案】C
【解析】
详解： ，
解①得，x>3；
解②得，x>m，
∵不等式组 的解集是x>3，
则m⩽3.
故选：C.
【题型】六、一元一次不等式的应用
例6、某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要
答对的题的个数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据竞赛得分 答对的题数 未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出
不等式即可．
【详解】解：设要答对x道．
，
，
，
解得： ，根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．
故选C．
一元一次不等式(组)（达标训练）
一、单选题
1．若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含
有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、∵m>n，∴-2m<-2n，则-2m+1<-2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则 ，故该选项成立，符合题意；
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，-am<-an；当a<0时，-am>-an；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售
价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得
到的不等式是（ ）
A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤900
【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融
单价×雪容融个数≤900”可得不等式．
【详解】解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等
关系．
3．不等式组 的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】C
【分析】先求出每个不等式的解集，再结合起来即可得到不等式组的解集．
【详解】由 得：
由 得：
∴
故选C
【点睛】本题考查一元一次方程组的求解，掌握方法是关键．
4．不等式3﹣x＜2x+6的解集是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项、系数化1求解即可．
【详解】解： ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化1得 ，
不等式 的解集是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解决问题的关键．
5．在数轴上表示不等式 的解集正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据不等式解集的表示方法依次判断．
【详解】解：在数轴上表示不等式x>−1的解集的是A．
故选：A．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法,区分实心点与空心点，
是解题的关键．
二、填空题
6．超市用1200元钱批发了A，B两种西瓜进行销售，两种西瓜的批发价和零售价如下表所示，若计划将
这批西瓜全部售完后，所获利润率不低于40%，则该超市至少批发A种西瓜__________ ．
名称 A B
批发价（元/ ） 4 3
零售价（元/ ） 6 4
【答案】120
【分析】设批发A种西瓜x kg，根据“利润率不低于40%”列出不等式，求解即可．
【详解】解：设批发A种西瓜xkg，则
（6-4）x+ ×（4-3）≥1200×40%，
解得x≥120．
答：该超市至少批发A种西瓜120kg．
故答案为：120．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的不等关系，列不等
式求解．
7．不等式 的解集为____．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；本题可以采用去括号、移项、合并同类项即可求解．
【详解】解：去分母，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ．
∴不等式的解集为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意∶不等式两
边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向改变；在数轴上表示不等式的解集要注意实心点和空心点的区
别．
三、解答题
8．解不等式组： 并将解集在数轴上表示．
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分，即是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵ 与 的公共部分为 ，
∴不等式组的解集是： ．
在数轴上表示解集如下：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解集的求解方法是解题关键．
一元一次不等式(组)（提升测评）
一、单选题
1．2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；
②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ；
③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示；
④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧．
则整数k的最小值为（ ）
A．511 B．510 C．509 D．500
【答案】A
【分析】根据题意可得 ，列出不等式，求得最小整数解即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧，
，
即 ，
解得 ，
为正整数，
∴ 的最小值为 ，
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出 是解题的关键．
2．不等式 的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为1，得 ，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注
意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．已知实数a，b，c满足 ， ．则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．a，b，c不可能同时相等 D．若 ，则
【答案】B
【分析】A.根据 ，则 ，根据 ，得出 ；
B.根据 ，得出 ，把 代入得： ，即可得出答案；
C.当 时，可以使 ， ，即可判断出答案；
D.根据解析B可知， ，即可判断．
【详解】A.∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
B.∵ ，即 ，∴ ，
把 代入得： ，
，
解得： ，故B正确；
C.当 时，可以使 ， ，
∴a，b，c可能同时相等，故C错误；
D.根据解析B可知， ，把 代入得： ，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和
等式的性质，是解题的关键．
4．若数a使关于x的分式方程 有非负整数解，且使关于y的不等式组 至少有
3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2
【答案】D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即
可．
【详解】解： ，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x ，∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴ 为非负整数，且 3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组
的一般步骤是解题的关键．
5．已知三个实数a、b、c，满足 ， ，且 、 、 ，则 的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两个已知等式3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1．可用其中一个未知数表示另两个未知数，然后由条
件：a，b，c均是非负数，列出c的不等式组，可求出未知数c的取值范围，再把m＝3a+b﹣7c中a，b转
化为c，即可得解．
【详解】解：联立方程组 ，
解得， ，
由题意知：a，b，c均是非负数，
则 ，
解得 ，
∴3a+b﹣7c
＝3（﹣3+7c）+（7﹣11c）﹣7c
＝﹣2+3c，当c＝ 时，3a+b﹣7c有最小值，即3a+b﹣7c＝﹣2+3× ＝﹣ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查代数式求值，考查的知识点相对较多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另
外还要求有充分利用已知条件的能力．
二、填空题
6．一元二次方程x2+5x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
【答案】 ## ##
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得 ，进行计算即可得．
【详解】解：根据题意得 ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式并认真计算．
7．若关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程 的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程 的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．故答案为：m≤6且m≠4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情
况，这是解题的关键．
三、解答题
8．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得
圆满成功．飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天
宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为
15元．设购买“神舟”模型 个，销售这批模型的利润为 元．
①求 与 的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模
型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元
(2)① ②购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为1250元
【分析】（1）根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解.
（2）①设“神舟”模型 个，则“天宫”模型为 个，根据利润关系即可表示w与a的关系式.
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，即可找到a的取值范围，利用一次函数性
质即可求解.
（1）
解：设“天宫”模型成本为每个 元，则“神舟”模型成本为每个 元.依题意得 .
解得 .
经检验， 是原方程的解.
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
（2）
解：① “神舟”模型 个，则“天宫”模型为 个.
.
② 购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 .
.
解得： .
.
.
.
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润.最大利润为1250元.
【点睛】本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型.
9．解不等式组：
【答案】
【分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大
大小小找不到”即可求解．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，理解并掌握求不等式组的原则“同大取大、同小取小，小大大小取中间、大大小小找不到”是解题的关键．
