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专题 12 与圆有关的计算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，
它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，
则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
2．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的
面积为（ ）
8√3 10√3
A．2√3 B．3√3 C． D．
3 3
3．如图， ▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则A´E的长为（ ）
π 7π 7π 2π
A． B． C． D．
9 18 9 9
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，AB=4，则阴影部分的面积是（ ）8 2
A．4π B． π C． π D．π
3 3
5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这
样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的
周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．π−√3 D．2π
6．如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7，AB的长度为（ ）．
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数
学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接
正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）√2
A．π B．2π C． D．2√2
4
8．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于
点D，则阴影部分面积是（ ）
√3 π √3 π π
A． − B． − C．√3− D．2√3−π
2 3 2 6 6
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为A´B上的一点（点P不与点A，B重合），则∠CPE
的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
10．把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别
相切于点B，C．若AB=3，则B´C=（ ）
A．π B．√2π C．1.5π D．√3π
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．15π B．22π C．21π D．24π
12．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃
的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B
为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，若AC=4，则图中阴影部分
的面积为（ ）
2π 2π π π
A． −√3 B．2√3− C．2√3− D．√3−
3 3 3 3
14．如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为S )变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形
1
(面积记为S )，则S 与S 的关系为（ ）
2 1 2
A．S >S B．S =S C．S <S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
15．已知扇形的弧长为6πcm，该弧所对圆心角为90∘，则此扇形的面积为（ ）A．36πcm2 B．72πcm2 C．36cm2 D．72cm2
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标
.
17．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为√3，点C是OB上一点，将△AOC沿AC边翻折，圆
心O恰好落在弧AB上的点O′，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，已知扇形AOB，点C为OA中点，点D在弧AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落
在点O，若∠AOB=120°，OA=4，则图中阴影部分的面积是 ．
19．如图，n个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，n的值为＝ ．
20．将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
21．半径为2，圆心角为60°的扇形弧长为 ．
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形
的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．23．△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接
EF，则图中阴影部分的面积是 ．
24．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积 ．
25．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．
三、解答题
26．如图，在等腰三角形OBC中，OB=OC，以点O为圆心画圆，BC与⊙O相切于点P，
OB，OC 分别与⊙O相交于点M，N， 连接PM，PN．
(1)求证：PM=PN；
(2)若PM=BM=2，求扇形OMN (即阴影部分)的面积．
27．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为
⊙O上一点，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，AC=FC．(1)求证：AC是⊙O的切线．
(2)若BF=8，DF=2√10，求⊙O的半径．
(3)若∠ADB=60°，BD=2，则阴影部分的面积为 ．
28．如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于⊙O，延长AB，DC交于点F，过点C作⊙O的切
线CG交AF于点G．
(1)求证：CG∥BD；
BF
(2)求 的值．
GF
29．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得 △A B C 其中点A，B，C 分别
1 1 1
和点A ,B ,C 对应，画出△A B C 点 A 的坐标为 ；
1 1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90° 得△A B C ，其中点A，B，C分别和点 A ,B ,C 对应，
2 2 2 2 2 2
画出△A B C ，点C 的坐标为 ；
2 2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点B运动的路径长．30．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线
交于点D，与AC交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
1
(2)如果∠CDO= ∠B，OD=3，求CD的长；
2
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
31．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的⊙O的切线AD∥BC，并交BO的延长线于点D，BD分
别与AC和⊙O相交于点E和F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若BC=BE=8．
①求∠BAC的度数；
②求阴影部分的面积．
32．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠ACB=60°，以AC为直径的⊙O分别与AB,BC交于
点F，E，∠ADB=∠ADC=60°．
(1)求证：∠BCF=∠EAC；(2)若⊙O的半径为4，求阴影部分的面积；
(3)求证：AD=BD+CD．
33．如图，已知的△ABC三个顶点坐标分别是A(−1,5)，B(−4,3)，C(−2,2)，将△ABC绕原点
O顺时针旋转90°后得到△A B C ．请按要求完成下列各题：
1 1 1
(1)请在直角坐标系中画出△A B C ，并写出点B 的坐标_________．
1 1 1 1
(2)求出点B到点B 所经过的路径长．
1
34．在扇形AOB中，半径OA=6，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
(1)如图1，若∠O=75°，且BO′与A´B所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求△O′BP的面积．
(2)如图2，BO′与A´B相交于点D，若点D为A´B的中点，且PD∥OB，求A´B的长．
35．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
(1)求AD的长；
(2)试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求BM的最小值．
【能力提升】
36．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰
AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即 ∠A的对边(底边) BC，
T(A)= =
∠A的邻边(腰) AB
如T（60°）＝1．
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面
爬行到点Q．
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T
（40°）≈0.68）
37．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是A´C的中点．DE⊥AB于点E，交AC于点F，
连接DB，交AC于点G．
1
(1)求证：DF= AG．
2
(2)若AE=1，DE=√3，试求B´D的长度．
38．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所
以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.
可以将房脊抽象成数学问题.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点C,D，连接CD.连接PO，交⊙O
于点F，交CD于点E.PO延长交⊙O于点G，(1)若∠CPD=90°，①连接OC,OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由.
②若⊙O的半径为20cm，直接写出劣弧CD的长为______.
(2)若PF=20cm,EG=30cm，求EF的长.
39．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作
∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于
点G．
(1)求证：GE是⊙O的切线；
(2)若OA=2，∠G=50°，求弧AD的长；
(3)若OF:OB=1:3，BE=4，求AG的长．
40．如图①，已知线段AC=6，B，O是线段AC的三等分点，以O为圆心，OB长为半径在线段BC
的上方作半圆O，以AB为边在AB的上方作正方形ABFE，将正方形ABFE沿AC所在直线水平向右
移动．
(1)如图②，连接AF，当AF与半圆O相切时，设切点为D，求C´D的长（结果保留π）；
(2)如图②，在平移的过程中，设BF与半圆O交于点M，连接OM，CM，当∠BOM=60°时，求
CM的长；
(3)如图③，点G是半圆O上的一点，且到OC的距离为1，当点B到达点C后，正方形ABFE立即
绕着点C顺时针旋转，当边AB旋转90°时停止，若正方形ABFE向右平移的速度为每秒2个单位长度，绕点C旋转的速度为每秒15°，求点G在正方形ABFE内（含边界）的时长．
