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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 （ 全国通用 ）
专题12二次函数与线段和（将军饮马型）最值问题
二次函数与将军饮马问题必备的基础模型有：
模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．
B
A
B
l
A P
l B'
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得 最大．
A
A
B
B
l
l P
连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点， 的最大值为AB
模型3：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得 最大．
A
A
B'
l l
P
B B
作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点． 的最大值
为AB'
模型4：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．A
P'
A
C
P
P O D B
O B P''
分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．
△PCD周长的最小值为P′P″
模型5：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．
A
A
C P
P O D B
O B P'
作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C
【例1】（2022•黑龙江）如图，已知抛物线y＝ （x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y
轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
【例2】（2022•甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ （x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，
B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．
【例3】．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣
1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一
动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定
值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【例4】．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，
求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的
动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【例5】（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛
物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最
大值．
1．（2022•滨城区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC ＝S△ABC 时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴
上，连接
PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．2．（2022•淮北模拟）已知抛物线l ：y＝ax2+bx﹣2和直线l ：y＝﹣ x﹣ 均与x轴相交于点A，抛物线
1 2
l 与x轴的另一个交点为点B（3，0）．
1
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线l 向右平移h个单位长度，使其顶点C落在直线l 上，求h的值；
1 2
（3）设抛物线l 和直线l 的另一个交点为点D，点P为抛物线上一个动点，且点P在线段AD的下方
1 2
（点 P 不与点 A，D 重合），过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，交直线 l 于点 M，N，记 W＝
2
PM+PN，求W的最大值．
3．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；
②如图2，当点P在x轴下方的抛物线上时，过点 B（3，3）的直线 AB与直线PQ交于点C，求
PC+CQ的最大值．
4．（2022•成都模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x
轴分别相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点．（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP ＝S△ACB ，求点P的坐标；
（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°，连接MD，MC，求2MD+MC的最小值．
5．（2022•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于
点A，B（A在B的左边），且经过点C（﹣2，3），P为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求
使点H运动的总路径最短的点M，点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；
（3）如图2，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连
BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OF﹣OG|是否为定值，若是，求出该定值；若
不是，请说明理由．
6．（2022•沈阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的“衍生直线”为y＝﹣ax+ b，
有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在“衍生直线”上的三角形为该抛物线的“衍生三角形”．
如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与其“衍生直线”交于A，D两点（点A在点D的左侧），与x轴正半轴相交于点B，与y轴正半轴相交于点C，点P为抛物线的顶点．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ；B的坐标为 ；D的坐标为
．
（2）如图1，动点E在线段AB上，连接DE，DB，将△BDE以DE所在直线为对称轴翻折，点B的对
称点为F，若三角形△DEF为该抛物线的“衍生三角形”，且F不在抛物线上，求点F坐标．
（3）抛物线的“衍生直线”上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝ ，连接PM，CN，
当PM+MN+CN最短时，请直接写出此时点N的坐标．
7．（2022•沈阳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+ （a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣ ），且与y
轴交于点C．
（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上
一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
8．（2022•沈河区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（点B在A的右侧），与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；
（3）连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE+CQ的值最小时，
请直接写出点Q的坐标．
9．（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物
线C： 与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．
（1）求抛物线C的对称轴．
（2）将直线l向右平移得到直线l ．
1
①如图①，直线l 与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l 的解析式．
1 1
②如图 ②，直线l 与直线BC相交于点F，直线l 上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的
1 1
四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•越秀区校级二模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，
抛物线y＝﹣ x2+bx+c的对称轴是直线x＝ 与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，求出点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC
相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022•立山区一模）已知点A（﹣2，0），B（3，0），抛物线y＝ax2+bx+4过A，B两点，交y轴于
点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AC上一动点（不与C点重合），作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．
①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为 时，求P点的坐标；
②直接写出PH+PQ的取值范围．
12．（2021•招远市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，
与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物
线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明
理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．13．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐
标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，
将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；
（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．
14．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B
（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与
抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF+HF的最大值；
②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．15．（2020•朝阳）如图，抛物线y＝﹣ +bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称
轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明
理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线
BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与
点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
16．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐
标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点 F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G
到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时， + 是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，
直接写出P，Q的坐标．
17．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣ ），点F（2，1）为其
对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线
l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点 D（4，3），请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ的周长最小，并求此时
△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
18．（2018•贺州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），
且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、
D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求
出该定值；若不是，请说明理由．
19．（2018•烟台）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线
y＝kx+ 分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t
秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对
称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点
M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝ x2上一动点．
（1）若抛物线y＝ x2是由抛物线y＝ （x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
