专题 12 与圆有关的计算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，
它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，
则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】根据S =S AOD-S BOC求解即可．
阴影 扇形 扇形
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
120π⋅OA2 120π⋅OB2
= −
360 360
120π(OA2−OB2)
=
360
π(32−1.52)
=
3
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
2．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的
面积为（ ）8√3 10√3
A．2√3 B．3√3 C． D．
3 3
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角
形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角
三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
√3 4√3
∴EG= EF= ，
3 3
1 1 4√3 8√3
∴△GEF的面积= ×EF•GE= ×4× = ，
2 2 3 3
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
3．如图， ▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则A´E的长为（ ）
π 7π 7π 2π
A． B． C． D．
9 18 9 9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、求弧长
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与nπr
内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l＝ ，即可计算出A´E的长．
180
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
140π×1 7π
∴A´E的长为： = ，
180 9
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧
nπr
长公式l= 和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
180
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，AB=4，则阴影部分的面积是（ ）8 2
A．4π B． π C． π D．π
3 3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】连接OD，AD，AB交CD于点E，根据圆周角定理得到∠AOD=60°，得出△ADO是等
边三角形，结合CD⊥AB，求出DE的长，利用勾股定理求出DE的长，根据
S =S −S +S 求出结果即可．
阴影 扇形AOD △DEO △AOC
【详解】解：如图，连接OD，AD，AB交CD于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOD=2∠C=60°，
1
∵AO=DO= AB=2，
2
∴△ADO是等边三角形，
∵CD⊥AB，
1
∴AE=EO= AO=1，
2
∴DE=√AD2−AE2=√22−12=√3，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=√3，
60π×OD2 1 1
∴S =S −S +S = − ×OE×DE+ ×AE×CE，
阴影 扇形AOD △DEO △AOC 360 2 2
2π 1 1 2
∴S = − ×1×√3+ ×1×√3= π，
阴影 3 2 2 3
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积，
勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这
样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．π−√3 D．2π
【答案】A
【知识点】求弧长、求其他不规则图形的面积
【分析】先由弧三角形的周长得出等边三角形ABC的边长，然后根据等边三角形的面积及弓形面积
可进行求解．
【详解】解：在等边△ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴A´B=B´C=A´C，
60π⋅BC π
∴l = = ⋅BC，
A´B 180 3
∵弧三角形的周长为2π，
π
∴3× ⋅BC=2π，
3
∴BC=2=AB，
过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∴BD=1，
∴AD=√AB2−BD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3，
△ABC 2
(60π×22
)
∴弧三角形的面积为3× −√3 +√3=2π−2√3；
360
故选A．
【点睛】本题主要考查扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质是解题的关键．
6．如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7，AB的长度为（ ）．
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥的高
【分析】根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△AOB中，AB=√OA2+OB2=√2.42+0.72=2.5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理，掌握圆锥的定义、勾股定理是解题的关键．
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数
学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接
正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
√2
A．π B．2π C． D．2√2
4
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作AC⊥OB于C，求得OC，利用三角形
的面积公式求解即可．
360°
【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角∠AOB= =45°，
8
过A作AC⊥OB于C，则∠OCA=90°，
∵OA=1，√2
∴AC=OA⋅sin∠AOB= ，
2
1 √2
∴这个圆内接正八边形的面积为 ×1× ×8=2√2，
2 2
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三
角形是解答的关键．
8．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于
点D，则阴影部分面积是（ ）
√3 π √3 π π
A． − B． − C．√3− D．2√3−π
2 3 2 6 6
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、求其他不规则图形的面积
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=√3AC=√3，∠A=60°，根据扇形和三角形的面积公式
即可得到结论．
【详解】解：△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴BC=√3AC=√3，∠A=60°，
∴S =S −S
阴影 ΔABC 扇 形ACD
1 60π×12 √3 π
= ×1×√3− = − ．
2 360 2 6
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为A´B上的一点（点P不与点A，B重合），则∠CPE
的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 OC、OD、OE，由正六边形的性质得
出∠COE=120°，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出
∠COE=120°是解决问题的关键．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠COD=∠DOE= =60°，
6
∴∠COE=∠COD+∠DOE=120°，
1
∴∠CPE= ∠COE=60°，
2
故选：C．
10．把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别
相切于点B，C．若AB=3，则B´C=（ ）
A．π B．√2π C．1.5π D．√3π【答案】C
【知识点】求弧长、切线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接OC，OB，根据切线的性质得到
∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，推出四边形ABOC是正方形，求得ZBOC=90°，∠BOC=90°
OB=AB=3，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接OC，OB
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB
∵∠CAB=180°−60°−30°=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC=90°,OB=AB=3，
90°π×3
∴B´C= =1.5π
180°
故选∶C．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．15π B．22π C．21π D．24π
【答案】D
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、求弧长、求圆锥侧面积、由三视图还原几何体
【分析】先把三视图转化为几何体的直观图，即可求出几何体的表面积．
【详解】解：将该几何体的三视图转化为直观图：该几何体为底面直径为6，高为4的圆锥
如图，1 1
∴S =S + lr=π⋅32+ ⋅2π×3×√32+42=9π+15π=24π
表面积 圆 2 2
故选：D．
【点睛】本题考查三视图与几何题直观图的转换、圆锥的表面积、勾股定理等知识，是基础考点，
掌握相关知识是解题关键．
12．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃
的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得
∠AFE的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180°
∴∠AFE= =120°，
6
1
∴由对称性可知∠AFC=∠EFC= ∠AFE=60°，
2
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B
为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，若AC=4，则图中阴影部分
的面积为（ ）2π 2π π π
A． −√3 B．2√3− C．2√3− D．√3−
3 3 3 3
【答案】D
【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角
的直角三角形
【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质
与判定是解题的关键．连接BD，先判定△ABD是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾
股定理、30°直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接BD，
∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，
∴AB=AD，
∵以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，
∴AB=BD=BE，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠ABD=60°，
∵∠ABC=90°，AC=4，
∴∠C=30°，∠DBC=30°，
1
∴AB=AD= AC=2，BC=√3AB=2√3，
2
∴D为AC中点，
1 1 1
∴S = S = × ×2×2√3=√3，
△ABD 2 △ABC 2 230π×22 (60π×22 ) π
∴S =S −(S −S )= − −√3 =√3− ，
阴影 扇形DBE 扇形BAD △ABD 360 360 3
故选：D．
14．如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为S )变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形
1
(面积记为S )，则S 与S 的关系为（ ）
2 1 2
A．S >S B．S =S C．S <S D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【答案】B
【知识点】根据正方形的性质求面积、求扇形面积
【分析】本题考查正方形的性质，扇形面积公式， 先用正方形面积公式求出正方形面积S ，再根据
1
题意结合图形得出AB=BC=CD=AD=4，l =AC+CD=8，利用扇形面积与弧长的关系式求出
A´C
S ，从而比较得解．熟练掌握扇形面积公式是解题关键．
2
⏜
【详解】解：根据图形可得：AB=BC=CD=AD=4，弧长l，即 的长=AD+DC=8，
AC
1 1 1
∴S =AB2=16，S = lr= l ⋅AB= ×8×4=16，
1 2 2 2 A´C 2
∴S =S ，
1 2
故选：B．
15．已知扇形的弧长为6πcm，该弧所对圆心角为90∘，则此扇形的面积为（ ）
A．36πcm2 B．72πcm2 C．36cm2 D．72cm2
【答案】A
【知识点】求扇形半径、求扇形面积
nπr 1
【分析】先根据弧长公式：l= 列方程求r，再利用扇形面积公式S = lr求面积即可.
180 扇 2
90πr
【详解】依题意可得6π= ，
180
解得r=12，
1
所以扇形的面积为：S = lr
扇 2
1
= •6π•12
2=36πcm2
故选A.
nπr 1
【点睛】此题考查的是弧长公式：l= 和扇形的面积公式：S = lr.
180 扇 2
二、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标
.
【答案】(2,2√3)
【知识点】坐标与图形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合
【分析】作OE、CD的垂直平分线交于点M，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，根据正六边形
的性质及等边三角形的性质得出MO=2OH=4，再由勾股定理确定MH，即可求解．
【详解】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点M，即为内切圆圆心M，连接MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH=HE=2，△OME为等边三角形，∠OMH=30°，
∴MO=2OH=4，
∴ MH=√OM2−OH2=2√3，
∴点M的坐标为(2,2√3)，故答案为：(2,2√3)．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图
形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．
17．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为√3，点C是OB上一点，将△AOC沿AC边翻折，圆
心O恰好落在弧AB上的点O′，则图中阴影部分的面积为 ．
3π
【答案】 −√3
4
【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、求扇形面积、等边三角形的判定和性质
【分析】连接OO′，则OO′=OA，由折叠得O′ A=OA，则△OAO'是等边三角形，可求得
√3
∠OAO′=60°，则∠OAC=∠O′ AC=30°，所以OC= OA=1，即可由
3
S =S −S −S 求出阴影部分的面积．
阴影 扇形AOB △OAC △O′AC
【详解】解：连接OO'，
则OO′=OA=√3，
由折叠得O' A=OA，△OAC≌△O′ AC，
∴OO'=OA=O' A，
∴∠OAO'=60°，
∴∠OAC=∠O' AC=30°，
∵∠AOB=90°，
OC √3
∴ =tan30°= ，
OA 3
√3 √3
∴OC= OA= ×√3=1，
3 31 √3
∴S =S = ×1×√3= ，
△OAC △O′AC 2 2
2
90π×(√3) 3π
∵S = = ，
扇形AOB 360 4
3π √3 √3 3π
∴S =S −S −S = − − = −√3，
阴影 扇形AOB △OAC △O′AC 4 2 2 4
3π
故答案为： −√3．
4
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式、
根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．如图，已知扇形AOB，点C为OA中点，点D在弧AB上，将扇形沿直线CD折叠，点A恰好落
在点O，若∠AOB=120°，OA=4，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4√3
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】连接DA，根据中点的性质得到DA=DO，证明△AOD为等边三角形，根据扇形面积公式、
三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接DA．
由题意得，CD是线段OA的垂直平分线，
∴DA=DO，
∵OA=DO，
∴OA=DA=DO=4，
∴△AOD为等边三角形，
∴AC=2
∴CD=√AD2−AC2=2√31 1
∴S = AO×CD= ×4×2√3=4√3
△AOD 2 2
∴∠AOD=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOB=60°，
∴S =S ，
扇形OAD 扇形BOD
∴图象中阴影部分的面积=S −(S −S )
扇形BOD 扇形OAD △AOD
=S
△AOD
=4√3，
故答案为：4√3．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、等边三角形的性质、折叠的性质是解题
的关键．
19．如图，n个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，n的值为＝ ．
【答案】6
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的
关键．
【详解】解：如图，延长正六边形的两边，
360°
∵正六边形的每个外角为 =60°
6
∴圆心角为180°−60°−60°=60°，
360
∴n的值为 =6，
60
故答案为：6．
20．将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】4【知识点】求圆锥底面半径
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r的方程，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
120π×12
根据题意得2πr=
180
解得r=4，即这个圆锥的底面圆的半径为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方
程是解题的关键.
21．半径为2，圆心角为60°的扇形弧长为 ．
2π 2
【答案】 / π
3 3
【知识点】求弧长
【分析】把已知条件代入弧长公式计算即可．
60π×2 2
【详解】解：扇形的弧长= = π
180 3
2
故答案为 π．
3
nπr
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，掌握弧长公式l= 是解答本题的关键．
180
22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形
的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 ．
【答案】12
【知识点】圆锥的实际问题
【分析】首先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长为圆锥底面圆周长可以求得扇形的弧长为，8π，
nπR
扇形的弧长同时还可以根据公式 ，此时扇形的半径等于圆锥的母线长，所以即可列出等式求解；
180
【详解】由题意可得：圆锥的底面圆周长为8π
120πl
∴根据扇形的弧长公式可得： =8π
180解得：l=12
即该圆锥母线l的长为12
故答案是：12.
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关计算，明白圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周
长是求解本题的关键.
23．△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接
EF，则图中阴影部分的面积是 ．
2
【答案】 π
3
【分析】连接BF，OF，根据圆周角定理得到∠BFC＝90°，根据等边三角形的性质得到∠ACB＝
60°，AB＝AC＝BC，得到点F是AC的中点，同理，点E是AB的中点，求得△AEF≌△COF
（SSS），于是得到结论．
【详解】解：连接BF，OF，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠CBF＝30°，
1
∴CF＝ BC=OC=OF, ，
2
1
∴CF＝ AC，△COF为等边三角形，
2
∴点F是AC的中点，
同理，点E是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
1
∴EF＝ BC=OC,
2∴AE=AF=EF=OC
∴△AEF为等边三角形，
∴△AEF≌△COF（SSS），
∵BC=4,
∴OC=2,
60⋅π×22 2π
∴图中阴影部分的面积＝S ＝ ＝ ，
扇 形COF 360 3
2π
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同时考查了
圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
24．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积 ．
【答案】3π
【知识点】求圆锥侧面积、由三视图还原几何体
【分析】易得圆锥的底面直径为2，母线长为2，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底
面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：观察几何体的三视图，易得此几何体为圆锥，且底面直径为2，母线长为2，
所以圆锥的侧面积=πrl=2×1×π=2π，
底面圆的面积=πr2=π，
所以这个几何体的全面积=2π+π=3π，
故答案为：3π．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算的知识，解题的关键是能够确定几何体的形
状，难度不大．
25．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ．
【答案】6π
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于
圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
1
【详解】解：该圆锥的侧面积＝ ×2π×2×3＝6π．
2
故答案为6π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题
26．如图，在等腰三角形OBC中，OB=OC，以点O为圆心画圆，BC与⊙O相切于点P，
OB，OC 分别与⊙O相交于点M，N， 连接PM，PN．
(1)求证：PM=PN；
(2)若PM=BM=2，求扇形OMN (即阴影部分)的面积．
【答案】(1)证明见解析
4
(2) π
3
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、求扇形面积
【分析】本题主要考查了切线的性质，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质
与判定等等：
（1）由切线的性质得到OP⊥BC，由三线合一定理得到∠POM=∠PON，进而可证明
△OMP≌△ONP(SAS)，得到PM=PN；
（2）由切线的性质得到∠OPB=90°，则∠B+∠POB=90°，∠MPB+∠OPM=90°，证明
∠MOP=∠MPO，推出△POM是等边三角形，得到∠POM=60°，则
∠MON=2∠POM=120°，再由扇形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵BC与⊙O相切于点P，∴OP⊥BC，
∵OB=OC，
∴∠POM=∠PON，
又∵OM=ON，OP=OP，
∴△OMP≌△ONP(SAS)，
∴PM=PN；
（2）解：∵BC与⊙O相切于点P，
∴OP⊥BC，
∴∠OPB=90°，
∴∠B+∠POB=90°，∠MPB+∠OPM=90°，
∵PM=BM=2，
∴∠MPB=∠B，
∴∠MOP=∠MPO，
∴OM=PM=OP=2，
∴△POM是等边三角形，
∴∠POM=60°，
∴∠MON=2∠POM=120°，
120π×22 4
∴S = = π．
阴影 360 3
27．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为
⊙O上一点，DO⊥BE于点O，连接AD交BC于F，AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线．
(2)若BF=8，DF=2√10，求⊙O的半径．
(3)若∠ADB=60°，BD=2，则阴影部分的面积为 ．【答案】(1)见解析
(2)⊙O的半径为6
π
(3)√3−
3
【知识点】求其他不规则图形的面积、证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、用勾股定理解三
角形
【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知
识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
（1）如图：连接OA，利用垂径定理的推论得到OD⊥BE，再利用CA=CF得到∠CAF=∠CFA，
然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=90°则OA⊥AC从而证明结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OF=8−r，在Rt△ODF中利用勾股定理得到(8−r) 2+r2=(2√10) 2，
然后解方程即可；
（3）先根据勾股定理求得OB=OD=√2,再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=120°，则
∠AOE=60°，接着在Rt△OAC中计算出AC，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积
去计算阴影部分的面积即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接OA，
∵OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA,
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠ODF+∠CAF=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8−r，
在Rt△ODF中，(8−r) 2+r2=(2√10) 2 ，解得：r =6或r =−2（舍去），
1 2
∴⊙O的半径为6．
（3）解：设⊙O的半径为r，则OA=OB=OD=r
∵BD=2，DO⊥BE，
∴BD2=OB2+OD2,即4=r2+r2，解得：r=√2（舍弃负值），
∵∠ADB=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°，
∴∠AOE=60°，∠C=30°，
在Rt△OAC中，OA=√2，
∴OC=2OA=2√2，AC=√OC2−AO2=√6，
2
1 60π×(√2) π
∴阴影部分的面积= ×√2×√6− =√3− ．
2 360 3
π
故答案为√3− ．
3
28．如图，边长为1的正五边形ABCDE内接于⊙O，延长AB，DC交于点F，过点C作⊙O的切
线CG交AF于点G．
(1)求证：CG∥BD；
BF
(2)求 的值．
GF
【答案】(1)见解析
BF √5+1
(2) =
GF 2
【知识点】公式法解一元二次方程、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与
性质综合
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥CG，根据CD=CB得到OC⊥BD，即可得到CG∥BD；
（2）通过求角度得到CG＝CB＝GF＝1，再证明△BCG∽△BFC计算即可．【详解】（1）连接OC．
∵正五边形ABCDE
∴CD=CB．
∴C´D=C´B．
∴OC⊥BD
∵CG是⊙O的切线，
∴OC⊥CG．
∴CG∥BD．
360°
（2）∵在正五边形ABCDE中，CD＝CB，∠CBG= =72°，
5
∴∠BDC=∠DBC=36°，∠DBF=∠DBC+∠CBG=108°．
∴∠F=180°−∠DBF−∠BDC=36°．
∵CG∥BD，
∴∠GCF=∠BDC=36°，∠BGC=180°−∠DBG=72°．
∴∠GCF＝∠F，∠CBG＝∠BGC．
∴CG＝GF，CG＝CB．
∴CG＝CB＝GF＝1．
∵∠CBG＝∠CBF，∠BCF＝∠CGB，
∴△BCG∽△BFC．
BG BC
∴ = ．
BC BF
∴BF⋅(BF−GF)=BC2．
即BF2−BF=1．
√5+1
解得BF= ．
2
BF √5+1
∴ = ．
GF 2
【点睛】本题考查圆与正多边形、相似三角形的判定与性质，熟记圆相关性质是解题的关键．29．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得 △A B C 其中点A，B，C 分别
1 1 1
和点A ,B ,C 对应，画出△A B C 点 A 的坐标为 ；
1 1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90° 得△A B C ，其中点A，B，C分别和点 A ,B ,C 对应，
2 2 2 2 2 2
画出△A B C ，点C 的坐标为 ；
2 2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点B运动的路径长．
【答案】(1)图见解析，(2,4)
(2)图见解析， (2,1)
√13
(3)点B 运动的路径长为 π
2
【知识点】画旋转图形、平移(作图)、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了平移和旋转作图，求弧长，解题的关键是掌握平移和旋转的作图方法，以及弧
nπr
长公式l= ．
180
（1）先根据平移的作图方法画出点A ,B ,C ，再依次连接即可；
1 1 1
（2）先根据旋转的作图方法画出点A ,B ,C ，再依次连接即可；
2 2 2
（3）先求出OB=√32+22=√13，再根据弧长公式即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：△A B C 即为所求，
1 1 1
由图可知：A (2,4)，
1
故答案为：(2,4)．
（2）解：如图所示：△A B C 即为所求，
2 2 2
由图可知：C (2,1) ，
2
故答案为：(2,1)．（3）解：∵B(−3,−2)，
∴OB=√32+22=√13，
90π×√13 √13
∴点B运动的路径长= = π．
180 2
30．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，过圆心O作BC的平行线OD与过点C的切线
交于点D，与AC交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
1
(2)如果∠CDO= ∠B，OD=3，求CD的长；
2
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
3√3
(2)
2
9√3−3π
(3)
8
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、
解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据切线的性质得出∠DCO=90°，根据平行线的性质及等腰三角形的性质得出∠2=∠3，利用SAS可证明△COD≌△AOD，即可得出∠DAO=∠DCO=90°，可得结论；
1
（2）由（1）可知∠B=∠1=∠2，根据∠CDO= ∠B得出∠CDO=30°，利用∠CDO的余弦
2
值即可得答案；
（3）设OD交⊙O于F，根据S =S −S ，利用扇形面积公式计算即可得答案．
阴影 ΔAOD 扇形AOF
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠1，
∵BC∥OD，
∴∠B=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，OD=OD，
∴△COD≌△AOD(SAS)，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）知：∠B=∠1=∠2，
1
∵∠CDO= ∠B，
2
1
∴∠CDO= ∠2，
2
∵∠CDO+∠2=90°，
∴∠CDO=30°，
∵∠DCO=90°，3√3
∴CD=OD⋅cos∠CDO=3cos30°= ．
2
（3）如（1）中图，设OD交⊙O于F，
1 3 3√3
由（1）（2）知，∠3=∠2=2∠DCO=60°，OA=OC= OD= ，AD=CD= ，
2 2 2
1 1 3 3√3 9√3
∴S = OA⋅AD= × × = ，
ΔAOD 2 2 2 2 8
(3) 2
60⋅π×
2 3 ，
S = = π
扇形AOF 360 8
9√3−3π
∴S =S −S = ．
阴影 ΔAOD 扇形AOF 8
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、
扇形面积的计算及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
31．如图，△ABC内接于⊙O，过点A的⊙O的切线AD∥BC，并交BO的延长线于点D，BD分
别与AC和⊙O相交于点E和F．
(1)求证：AB=AC；
(2)若BC=BE=8．
①求∠BAC的度数；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)①∠BAC=45°；②16−4π
【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积
【分析】（1）连接AO并延长交BC于点H，由AD与⊙O相切于A可得AH⊥AD，由AD∥BC
可得AH⊥BC，进一步得出AH垂直平分BC，即可证明问题；
（2）①由等腰三角形的性质，直角三角形的性质推出4∠BAO=90°，求出∠BAC的度数；②先
证得△OBH，△AOD是等腰直角三角形，求出OB长，即可求出扇形OAE的面积，△AOD的面积，
从而得到阴影的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点H，∵AD与⊙O相切于A，
∴AH⊥AD，
∵AD∥BC
∴AH⊥BC，
∴AH垂直平分BC，
∴AB=AC；
（2）①∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∵AB=AC，
∴∠BCE=∠ABC，
∴∠OBH=∠BAC=2∠BAO，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠ABH=3∠BAO，
∵∠ABH+∠BAO=90°，
∴4∠BAO=90°，
∴∠BAO=22.5°，
∴∠BAC=2∠BAO=45°；
②∵AH垂直平分BC，
1
∴BH= BC=4，
2
∵∠BAO=22.5°，
∴∠OBH=2×22.5°=45°，
∴△BOH是等腰直角三角形，
∴OB=√2BH=4√2，
∵∠AOD=∠BOH=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴AD=AO=4√2，45π×(4√2) 2 1 1
∴S = =4π, S = AO⋅AD= ×4√2×4√2=16,
扇OAF 360 △OAD 2 2
∴ S =S −S =16−4π.
阴 △OAD 扇OAF
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形、直角三角形的性质，扇形面积的计算，三角形面积的
计算，关键是由等腰三角形，直角三角形的性质求出∠BAO的度数．
32．如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠ACB=60°，以AC为直径的⊙O分别与AB,BC交于
点F，E，∠ADB=∠ADC=60°．
(1)求证：∠BCF=∠EAC；
(2)若⊙O的半径为4，求阴影部分的面积；
(3)求证：AD=BD+CD．
【答案】(1)见解析
8
(2) π−4√3
3
(3)见解析
【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、圆周角定理、全等的性质和SAS
综合（SAS）
【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，再求出∠AFC=∠AEC=90°，进而可证
∠BCF=∠EAC；
（2）连接OF，作EH⊥OA于点H，证明△AOF为等边三角形得AO=FO=AF=4，分别求出
△AOF和扇形AOF的面积即可求解；
（3）延长DB到H使得DH=AD，连接AH，证明△ADH为等边三角形得
AD=AH=DH,∠HAD=∠BAC=60°，根据SAS证明△AHB≌△ADC得CD=BH，进而可证结
论成立．
【详解】（1）∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵AC为直径，
∴∠AFC=∠AEC=90°．∵∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠BCF=∠EAC=90°−60°=30°；
（2）连接OF，作EH⊥OA于点H，
∵∠ACF=90°−60°=30°，
∴∠AOF=60°
∴△AOF为等边三角形，AO=FO=AF=4
FH=sin60°×FO=2√3，
1 8
∴S = ×4×2√3=4√3，S =π⋅42÷6= π
AOF 2 扇形AOF 3
8
∴S = π−4√3
阴影部分 3
（3）延长DB到H使得DH=AD，连接AH
∵∠ADB=60°，DH=AD，
∴△ADH为等边三角形
∴AD=AH=DH,∠HAD=∠BAC=60°，
∴∠HAB=∠DAC
在等边△ABC中，AB=AC，
∴△AHB≌△ADC(SAS)
∴CD=BH
∴CD+BD=BH+BD=DH=AD
即AD=BD+CD
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，圆周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
33．如图，已知的△ABC三个顶点坐标分别是A(−1,5)，B(−4,3)，C(−2,2)，将△ABC绕原点
O顺时针旋转90°后得到△A B C ．请按要求完成下列各题：
1 1 1
(1)请在直角坐标系中画出△A B C ，并写出点B 的坐标_________．
1 1 1 1
(2)求出点B到点B 所经过的路径长．
1
【答案】(1)B (3,4)
1
5π
(2)
2
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求某点的弧形运动路径长度
【分析】本题考查了作图——旋转变换、坐标与图形、弧长公式计算等知识，熟练掌握作图依据和
弧长公式是解题关键．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A 、B 、C ，连接即可，根据坐标直接写
1 1 1
出B 即可；
1
（2）根据勾股定理可得OB的长度，利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
由图可知，B (3,4)，
1故答案为：B (3,4)；
1
（2）由勾股定理可得OB=√32+42=5，
90 5π
∴点B到点B 所经过的路径长为 ×5π= ．
1 180 2
34．在扇形AOB中，半径OA=6，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
(1)如图1，若∠O=75°，且BO′与A´B所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求△O′BP的面积．
(2)如图2，BO′与A´B相交于点D，若点D为A´B的中点，且PD∥OB，求A´B的长．
【答案】(1)①60°；②9√3；
12π
(2) ．
5
【知识点】折叠问题、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、求弧长
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、解直角三角形、弧长公式、全等三角形的判断与性质等
知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）①由圆的切线的性质可得∠OBO′=90°，再根据折叠的性质可得
∠OBP=∠PBO′=45°，∠OPB=∠BPO′，然后利用三角形内角和定理可得∠OPO′=120°，
最后根据平角的定义求解即可．②如图：如图：连接OO′交PB于T，则BP⊥OO′，由折叠可知：
S =S ,然后解三角形求得OT=3√2、PB=3√6，然后根据三角形的面积公式计算即可；
△O′BP △OBP
（2）如图2中，连接AD，OD，由弧、弦、圆周角的关系可得AD=BD，∠AOD=∠BOD，
然后证明△AOD≌△BOD可得∠OBD=∠OAD=∠AOB=2∠BOD，进而 说明∠AOB=72°，
最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′=90°，
由翻折的性质可知，∠OBP=∠PBO′=45°，∠OPB=∠BPO′，
∵∠AOB=75°，
∴∠OPB=∠BPO′=180°−75°−45°=60°，
∴∠OPO′=120°，∴∠APO′=180°﹣∠OPO′=180°−120°=60°．
②如图：连接OO′交PB于T，则BP⊥OO′，
由折叠可知：S =S ,
△O′BP △OBP
在Rt△OBT中，OT=OB×sin45°=3√2．
OT
在Rt△OTP中，OP= =2√6，
sin60°
∴TP=OP·cos60°=√6．
∴PB=3√6，
1 1
∴S =S = PB·OT= ×3√2×3√6=9√3．
△O′BP △OBP 2 2
（2）解：如图2中，连接AD，OD．
∵A´D=B´D，
∴AD=BD，∠AOD=∠BOD，
由翻折的性质可知，∠OBP=∠PBD，
∵PD∥OB，
∴∠DPB=∠OBP，
∴∠DPB=∠PBD，
∴DP=DB=AD，
∴∠DAP=∠APD=∠AOB，
∵AO=OD=OB，AD=DB，
∴△AOD≌△BOD，
∴∠OBD=∠OAD=∠AOB=2∠BOD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=2∠DOB，
∴∠DOB=36°，∴∠AOB=72°，
72π⋅6 12
∴A´B的长= = π．
180 5
35．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
(1)求AD的长；
(2)试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接OD，P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E，设△OPE的内心为M，当点P
在半圆上从点B运动到点A时，求BM的最小值．
【答案】(1)AD=5√2
(2)CA+CB=√2CD，证明见解析
5 5
(3)BM= √10− √2
2 2
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求弧长、圆与三角形的综合(圆的综合
问题)
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，由勾股定理可求出答案；
（2）延长CA到F，使AF=CB，连接DF，证明ΔADF≌ΔBDC，由全等三角形的性质得出
CD=FD，∠CDB=∠FDA，得出∠CDF=∠ADB=90°，则△CDF为等腰直角三角形，由等
腰直角三角形的性质得出结论；
（3）连接OM、PM，证明ΔOMD≌ΔOMP，由全等三角形的性质得出
∠OMD=∠OMP=135°，则点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD
左右两种情况），求出OO′的长，由弧长公式可得出答案．
【详解】（1）∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴A´D=B´D
∴AD=BD
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2√2 √2
∴AD=BD= AB= ×10=5√2
2 2
（2）CA+CB=√2CD，证明如下
延长CA到F，使AF=CB，连接DF
∵∠CBD+∠CAD=180°,∠FAD+∠CAD=180°
∴∠CBD=∠FAD
又AD=BD,AF=BC
∴ΔADF≌ΔBDC，
∴CD=FD,∠CDF=90°,
∴△CDF为等腰直角三角形
∴CA+CB=CF=√2CD
（3）连接OM、PM
∵PE⊥OD
∴∠PEO=90°
∵点M为ΔOPE的内心
∴∠OMP=135°
∵ OD=OP，∠DOM=∠POM，OM=OM
∴ΔOMD≌ΔOMP
∴∠OMD=∠OMP=135°
∴所以点M在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（分OD左右两种情况）；
设OMD所在圆的圆心O′
∵∠OMD=135°∴∠OO′D=90°
√2 5√2
∴O'O= OD=
2 2
连接O′B交弧OD于M，则有BM最小
过O′作O′Q⊥AB，则△QO′O为等腰直角三角形，
5
∴O′Q=OQ=
2
5
∴O′B=√O′Q2+BQ2= √10
2
5 5
∴BM=O′B−O′M= √10− √2
2 2
【点睛】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，
等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三
角形的判定与性质是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰
∠A的对边(底边) BC
AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T(A)= = ，
∠A的邻边(腰) AB
如T（60°）＝1．
（1）理解巩固：T（90°）＝ ，T（120°）＝ ；
（2）学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ＝8，一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面
爬行到点Q．
①求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数；
②求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T
（40°）≈0.68）【答案】（1）√2，√3；（2）①160°；②11.61．
【知识点】三线合一、求某点的弧形运动路径长度、求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）①根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；
②根据T（A）的定义解答即可．
【详解】解：（1）如图1，∠A＝90°，AB＝AC，
BC
则 =√2
AB
∴T（90°）＝√2，
如图2，∠A＝120°，AB＝AC，作AD⊥BC于D，则∠BAD＝60°，
√3
∴BD＝ AB，
2
∴BC＝√3AB，
∴T（120°）＝√3；
故答案为：√2，√3；
（2）①∵圆锥的底面直径PQ＝8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
n⋅π×9
则 ＝8π，
180
解得：n＝160，
∴圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160°；
②∵160°÷2＝80°，
∴T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.61．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等，
熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
37．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是A´C的中点．DE⊥AB于点E，交AC于点F，
连接DB，交AC于点G．
1
(1)求证：DF= AG．
2
(2)若AE=1，DE=√3，试求B´D的长度．
【答案】(1)详见解析
4π
(2)B´D=
3
【知识点】解直角三角形的相关计算、求弧长、圆周角定理、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）如图，连接AD．根据D是A´C的中点．得出∠DAC=∠DBA．根据圆周角定理得
出∠ADB=90°．根据DE⊥AB，得出∠AED=90°，从而得出∠ADE=∠DBA，
∠ADE=∠DAC，FA=FD．根据∠ADG=90°，和∠ADF=∠DAF，得出∠DGF=∠FDG，
1
FG=FD，即可证明DF= AG．
2
DE
（2）如图，连接OD，在Rt△AED中，根据勾股定理得出AD=2．结合tan∠DAE= =√3，
AE
得出∠DAE=60°，△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOD=60°，即可得出
∠BOD=120°，根据弧长公式即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接AD．∵D A´C
是 的中点，
∴A´D=C´D，
∴∠DAC=∠DBA．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADE=∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠ADE=∠DAC，
∴FA=FD．
在△ADG中，∠ADG=90°，
∴∠DAF+∠DGF=∠ADF+∠FDG=90°．
又∵∠ADF=∠DAF，
∴∠DGF=∠FDG，
∴FG=FD，
1
∴DF= AG．
2
（2）解：如图，连接OD，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，AD=√AE2+DE2=√12+(√3) 2=2．
DE
tan∠DAE= =√3，
AE
∴∠DAE=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=120°，
120π×2 4π
∴B´D= = ．
180 3
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
38．我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴.与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所
以一般不会形成渗漏并影响下部结构.各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备.
可以将房脊抽象成数学问题.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点C,D，连接CD.连接PO，交⊙O
于点F，交CD于点E.PO延长交⊙O于点G，
(1)若∠CPD=90°，①连接OC,OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由.
②若⊙O的半径为20cm，直接写出劣弧CD的长为______.
(2)若PF=20cm,EG=30cm，求EF的长.
【答案】(1)①四边形CODP是正方形，理由见解析；②10π cm；
(2)EF=10cm
【知识点】证明四边形是正方形、求弧长、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的
综合问题)
【分析】（1）①根据四个角是90°证明四边形CODP是矩形，根据邻边相等证明是正方形即可；
②根据弧长公式求解即可；
（2）设EF=x，并用x表示各线段的长度，证明△OEC∽△OCP，根据对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：①四边形CODP是正方形，
理由：∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP=∠ODP=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠OCP=∠ODP=∠CPD=90°，
∴四边形CODP是矩形，
∵OC=OD，
∴四边形CODP是正方形；
②由（1）知，四边形CODP是正方形，
∴∠COD=90°，
∵ OC=20cm，
90
∴劣弧CD的长为 ×2π×20=10π(cm)；
360
故答案为：10πcm．（2）设EF=x，则GF=EG+EF=30+x，
GF 30+x
∴OG=OF= = ，
2 2
30+x 30−x
OE=OF−EF= −x= ，
2 2
30+x 70+x
OP=OF+PE= +20= ，
2 2
∵ PA，PB分别与⊙O相切于点C，D，
∴ PC=PD，PO平分∠APB，∠PCO=90°，
∴ PE⊥CD，
∴ ∠PEC=90°，
∴△OEC∽△OCP，
30+x 30−x
OC OE 2 2
∴ = ，即： =
OP OC 70+x 30+x
2 2
化简得：x2+50x−600=0，
解得：x=10或x=−60（不合题意，舍去），
故EF=10cm；
故答案为：EF=10cm．
【点睛】,本题主要考查圆的综合应用，牢记弧长计算公式，掌握圆的切线的性质是判定四边形形状
的关键，解题难点是利用三角形相似求得圆中线段的长度．
39．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作
∠CDE，使∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于
点G．(1)求证：GE是⊙O的切线；
(2)若OA=2，∠G=50°，求弧AD的长；
(3)若OF:OB=1:3，BE=4，求AG的长．
【答案】(1)证明见解析
13
(2) π
9
(3)12
【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求弧长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CDE=∠CFO，再证明∠C=∠CDO，然后利用
∠CFO+∠C=90°得到∠ODE=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由切线的性质得∠OAG=90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOD=130°，然后根据弧长
公式可计算出弧A´D的长；
（3由OF:OB=1:3，设OF=x，则OB=3x，则可表示出BF=2x，再利用∠CDE=∠CFO得到
ED=EF=2x+4，然后在Rt△ODE中，根据勾股定理得到(3x) 2+(2x+4) 2=(4+3x) 2，再解方
OD AG
程求出x即可得到OB、DE，由△GAE∽△ODE得到 = ，代值求解即可答案．
DE AE
【详解】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵∠CDE=∠DFE，∠CFO=∠DFE，
∴∠CDE=∠CFO，
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠C=90°，∴∠CDE+∠C=90°，
∵ OC=OD，
∴∠C=∠CDO，
∴∠CDE+∠CDO=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴≥¿是⊙O的切线；
（2）解：∵AG为切线，
∴AG⊥AB，
∴∠OAG=90°，
∵ ∠ODG=90°，
∴∠AOD=180°−50°=130°，
130 13
∴ A´D的长= ×2π×2= π；
360 9
（3）解：连接OD，如图所示：
∵ OF:OB=1:3，设OF=x，则OB=3x，
∴BF=2x，
∵∠CDE=∠DFE，BE=4，
∴ED=EF=2x+4，
在Rt△ODE中，由勾股定理可知OD2+DE2=OE2，即(3x) 2+(2x+4) 2=(4+3x) 2，解得x=2，
∴OB=3x=6，DE=8，
∵∠E=∠E,∠ODE=∠GAE=90°，
∴△GAE∽△ODE，
OD AG 6 AG
∴ = ，即 = ，解得AG=12．
DE AE 8 16
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的判断与性质、弧长公式求弧长、相似三角形的判定与性质、
勾股定理求线段长等知识．在判断切线时，理解圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端
且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共
点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．40．如图①，已知线段AC=6，B，O是线段AC的三等分点，以O为圆心，OB长为半径在线段BC
的上方作半圆O，以AB为边在AB的上方作正方形ABFE，将正方形ABFE沿AC所在直线水平向右
移动．
(1)如图②，连接AF，当AF与半圆O相切时，设切点为D，求C´D的长（结果保留π）；
(2)如图②，在平移的过程中，设BF与半圆O交于点M，连接OM，CM，当∠BOM=60°时，求
CM的长；
(3)如图③，点G是半圆O上的一点，且到OC的距离为1，当点B到达点C后，正方形ABFE立即
绕着点C顺时针旋转，当边AB旋转90°时停止，若正方形ABFE向右平移的速度为每秒2个单位长
度，绕点C旋转的速度为每秒15°，求点G在正方形ABFE内（含边界）的时长．
3
【答案】(1) π
2
(2)2√3
√3
(3)6− 秒
2
【知识点】利用垂径定理求值、求弧长、解直角三角形的相关计算、角度问题(旋转综合题)
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质求出∠DOA=45°,从而求出∠DOC=135°，再求出
OC=2，最后根据弧长公式求解即可；
（2）过点O作ON⊥MC于点N，得MN=CN；再求出∠OCM=30°，求出CN的长即可得出结
论；
2−√3
（3）分点G在正方形内部，当点B到达点C时，求出t = ；正方形进行绕点C顺时针旋转过
1 2
程中，当点G在AC上时，连接OG，过点G作GH⊥OC于点H，求出旋转时间t =5，相加后可得
2
结论
【详解】（1）解：连接OD
∵AF是正方形ABFE的对角线，
∴∠FAB=45°，∵AF为⊙O的切线，
∴OD⊥AF，即∠ADO=90°,
∵∠FAB=45°，
∴∠AOD=45°,
∴∠DOC=180°−∠DOA=180°−45°=135°；
又AC=6,B,O为AC的三等分点，
1
∴OC= AC=2,
3
135π×2 3
∴C´D的长为： = π；
180 2
（2）过点O作ON⊥MC于点N，则MN=CN；
∵∠BOM=60°，OM=OC,
∴∠OCM=30°,
∵OC=2,
1 1
∴ON= OC= ×2=1,
2 2
∴MN=CN=√CO2−ON2=√3,
∴CM=MN+CN=2√3；
（3）如图，当正方形ABFE向右运动时，点G在FB上时，连接OG，
∵OG=2,GB=1,
由勾股定理得，OB2=OG2−BG2=22−12=3,
∴OB=√3,
∴BC=2−√3,
∵正方形ABFE向右平移的速度为每秒2个单位长度，此时正方形ABFE向右运动，点G在正方形
2−√3
内部，当点B到达点C时，t = ；
1 2如图，正方形进行绕点C顺时针旋转过程中，当点G在AC上时，连接OG，过点G作GH⊥OC于
点H，
∵OG=2,GH=1,
GH 1
∴sin∠GOH= = ,
OG 2
∴∠GOH=30°,
又∵OC=OG，
1 1
∴∠OCG= (180°−∠GOH)= (180°−30°)=75°,
2 2
此时，正方形ABFE绕点C顺时针旋转了75°，旋转的速度为每秒15°，
75°
∴t = =5（秒）
2 15°
2−√3 √3
所以，点G在正方形ABFE内的时长为t +t = +5=6− （秒）
1 2 2 2
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三
角形等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
