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专题 12 与圆有关的计算（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，
它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，
则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D
【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】根据S =S AOD-S BOC求解即可．
阴影 扇形 扇形
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
120π⋅OA2 120π⋅OB2
= −
360 360
120π(OA2−OB2)
=
360
π(32−1.52)
=
3
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
2．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的
面积为（ ）8√3 10√3
A．2√3 B．3√3 C． D．
3 3
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角
形内角和定理可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角
三角形可得EG的长，进而可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
√3 4√3
∴EG= EF= ，
3 3
1 1 4√3 8√3
∴△GEF的面积= ×EF•GE= ×4× = ，
2 2 3 3
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
3．如图， ▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则A´E的长为（ ）
π 7π 7π 2π
A． B． C． D．
9 18 9 9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、求弧长
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与nπr
内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l＝ ，即可计算出A´E的长．
180
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
140π×1 7π
∴A´E的长为： = ，
180 9
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧
nπr
长公式l= 和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
180
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，AB=4，则阴影部分的面积是（ ）8 2
A．4π B． π C． π D．π
3 3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积
【分析】连接OD，AD，AB交CD于点E，根据圆周角定理得到∠AOD=60°，得出△ADO是等
边三角形，结合CD⊥AB，求出DE的长，利用勾股定理求出DE的长，根据
S =S −S +S 求出结果即可．
阴影 扇形AOD △DEO △AOC
【详解】解：如图，连接OD，AD，AB交CD于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOD=2∠C=60°，
1
∵AO=DO= AB=2，
2
∴△ADO是等边三角形，
∵CD⊥AB，
1
∴AE=EO= AO=1，
2
∴DE=√AD2−AE2=√22−12=√3，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=√3，
60π×OD2 1 1
∴S =S −S +S = − ×OE×DE+ ×AE×CE，
阴影 扇形AOD △DEO △AOC 360 2 2
2π 1 1 2
∴S = − ×1×√3+ ×1×√3= π，
阴影 3 2 2 3
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积，
勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
5．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这
样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．π−√3 D．2π
【答案】A
【知识点】求弧长、求其他不规则图形的面积
【分析】先由弧三角形的周长得出等边三角形ABC的边长，然后根据等边三角形的面积及弓形面积
可进行求解．
【详解】解：在等边△ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴A´B=B´C=A´C，
60π⋅BC π
∴l = = ⋅BC，
A´B 180 3
∵弧三角形的周长为2π，
π
∴3× ⋅BC=2π，
3
∴BC=2=AB，
过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∴BD=1，
∴AD=√AB2−BD2=√3，
1
∴S = ×2×√3=√3，
△ABC 2
(60π×22
)
∴弧三角形的面积为3× −√3 +√3=2π−2√3；
360
故选A．
【点睛】本题主要考查扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积、弧长公式及等边三角形的性质是解题的关键．
6．如图，一个圆锥的高AO=2.4，底面半径OB=0.7，AB的长度为（ ）．
A．2.5 B．2.6 C．2.7 D．2.8
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥的高
【分析】根据勾股定理列式计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△AOB中，AB=√OA2+OB2=√2.42+0.72=2.5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理，掌握圆锥的定义、勾股定理是解题的关键．
7．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数
学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接
正八边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（ ）
√2
A．π B．2π C． D．2√2
4
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，先求得圆内接正八边形的圆心角，再过O作AC⊥OB于C，求得OC，利用三角形
的面积公式求解即可．
360°
【详解】解：如图，圆内接正八边形的圆心角∠AOB= =45°，
8
过A作AC⊥OB于C，则∠OCA=90°，
∵OA=1，√2
∴AC=OA⋅sin∠AOB= ，
2
1 √2
∴这个圆内接正八边形的面积为 ×1× ×8=2√2，
2 2
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆、解直角三角形、三角形的面积计算，正确作出辅助线构造直角三
角形是解答的关键．
8．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以A为圆心AC为半径画圆，交AB于
点D，则阴影部分面积是（ ）
√3 π √3 π π
A． − B． − C．√3− D．2√3−π
2 3 2 6 6
【答案】B
【知识点】含30度角的直角三角形、求其他不规则图形的面积
【分析】根据直角三角形的性质得到BC=√3AC=√3，∠A=60°，根据扇形和三角形的面积公式
即可得到结论．
【详解】解：△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴BC=√3AC=√3，∠A=60°，
∴S =S −S
阴影 ΔABC 扇 形ACD
1 60π×12 √3 π
= ×1×√3− = − ．
2 360 2 6
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为A´B上的一点（点P不与点A，B重合），则∠CPE
的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合、圆周角定理
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 OC、OD、OE，由正六边形的性质得
出∠COE=120°，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出
∠COE=120°是解决问题的关键．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠COD=∠DOE= =60°，
6
∴∠COE=∠COD+∠DOE=120°，
1
∴∠CPE= ∠COE=60°，
2
故选：C．
10．把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别
相切于点B，C．若AB=3，则B´C=（ ）
A．π B．√2π C．1.5π D．√3π【答案】C
【知识点】求弧长、切线的性质定理、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接OC，OB，根据切线的性质得到
∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，推出四边形ABOC是正方形，求得ZBOC=90°，∠BOC=90°
OB=AB=3，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：连接OC，OB
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB
∵∠CAB=180°−60°−30°=90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC=90°,OB=AB=3，
90°π×3
∴B´C= =1.5π
180°
故选∶C．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．15π B．22π C．21π D．24π
【答案】D
【知识点】由展开图计算几何体的表面积、求弧长、求圆锥侧面积、由三视图还原几何体
【分析】先把三视图转化为几何体的直观图，即可求出几何体的表面积．
【详解】解：将该几何体的三视图转化为直观图：该几何体为底面直径为6，高为4的圆锥
如图，1 1
∴S =S + lr=π⋅32+ ⋅2π×3×√32+42=9π+15π=24π
表面积 圆 2 2
故选：D．
【点睛】本题考查三视图与几何题直观图的转换、圆锥的表面积、勾股定理等知识，是基础考点，
掌握相关知识是解题关键．
12．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃
的平面示意图，其底部可抽象为正六边形ABCDEF，连接CF，则∠AFC的度数为为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得
∠AFE的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180°
∴∠AFE= =120°，
6
1
∴由对称性可知∠AFC=∠EFC= ∠AFE=60°，
2
故选：C．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，以点B
为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，若AC=4，则图中阴影部分
的面积为（ ）2π 2π π π
A． −√3 B．2√3− C．2√3− D．√3−
3 3 3 3
【答案】D
【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角
的直角三角形
【分析】本题考查了圆中不规则图形的面积求法，熟练掌握割补法、勾股定理、等边三角形的性质
与判定是解题的关键．连接BD，先判定△ABD是等边三角形，得出有关三角形的角度，再利用勾
股定理、30°直角三角形的性质进行边的求解，最后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接BD，
∵以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AC于点D，
∴AB=AD，
∵以点B为圆心，AB的长为半径画弧交BC于点E，且这条弧恰好也经过点D，
∴AB=BD=BE，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠A=∠ABD=60°，
∵∠ABC=90°，AC=4，
∴∠C=30°，∠DBC=30°，
1
∴AB=AD= AC=2，BC=√3AB=2√3，
2
∴D为AC中点，
1 1 1
∴S = S = × ×2×2√3=√3，
△ABD 2 △ABC 2 230π×22 (60π×22 ) π
∴S =S −(S −S )= − −√3 =√3− ，
阴影 扇形DBE 扇形BAD △ABD 360 360 3
故选：D．
14．如图，将边长为4的正方形铁丝框ABCD(面积记为S )变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形
1
(面积记为S )，则S 与S 的关系为（ ）
2 1 2
A．S >S B．S =S C．S
