文档内容
专题 10 一次函数及其应用（12 个高频考点）（举一反三）
【考点1 一次函数的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 一次函数的图像】...................................................................................................................................3
【考点3 一次函数的性质】...................................................................................................................................4
【考点4 一次函数的图像与系数的关系】...........................................................................................................5
【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】.......................................................................................................6
【考点6 一次函数的图像与几何变换】...............................................................................................................7
【考点7 待定系数法求一次函数解析式】...........................................................................................................8
【考点8 一次函数与一元一次方程】.................................................................................................................10
【考点9 一次函数与一元一次不等式】.............................................................................................................11
【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】.....................................................................................................12
【考点11 一次函数的应用】.................................................................................................................................13
【考点12 一次函数的综合】.................................................................................................................................15
【要点1 一次函数和正比例函数的概念】
y=kx+b
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成 （k，b为常数，k¿0）的形式，则称y是x
的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
y=kx+b y=kx
特别地，当一次函数 中的b=0时（即 ）（k为常数，k¿0），称y是x的正比例函
数。
【考点1 一次函数的定义】
【例1】（2022·山东济宁·二模）若函数y＝(m-1)x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【变式1-1】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数
（ ）
2
A．y=2x B．y= C．y=2x2 D．y2=4x
x
8
【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·一模）已知下列函数：（1）y=8x；（2）y=− ；（3）y=8x2；（4）
xs=8t+1，其中是一次函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-3】（2022·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，
另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范
围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【要点2 一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
解析式 y=kx(k≠0)
自变量取值范围 全体实数
形状 过原点的一条直线
k的取值 k>0 k<0
y y
图象
示意图
x x
O O
位置 经过一、三象限 经过二、四象限
趋势 从左向右上升 从左向右下降
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小
函数增减性
即：当x >x 时，y >y 即：当x >x 时，y 0 k<0
k、b的
取值
b>0 b<0 b>0 b<0
图象
y y y y
示意图
O x O x O x O x
经过一、二、 经过一、三、 经过一、二、 经过二、三、
位置
三象限 四象限 四象限 四象限
趋势 从左向右上升 从左向右下降
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小
函数增减性
即：当x >x 时，y >y 即：当x >x 时，y y C．y ≤ y D．y ≥ y
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式3-1】（2022·山东济宁·中考真题）已知直线y＝x－1与y＝kx＋b相交于点（2，1）．请写出b值
1 2
____（写出一个即可），使x＞2时，y＞y．
1 2
【变式3-2】（2022·江苏泰州·中考真题）定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d ，我们称函数
1 2
y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y 、y 的“组合函数”.
1 2
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y =x+1,y =2x−1的“组合函数”，并说明理由;
1 2
(2)设函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P.
1 2
①若m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
1 2②若p≠1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数
1 2
p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，
请说明理由.
【变式3-3】（2022·广西柳州·中考真题）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y＝
1 2
﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值
与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【考点4 一次函数的图像与系数的关系】
【例4】（2022·辽宁·本溪市教师进修学院中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数
y=k x+b 与y=k x+b 的图象分别为直线l 和直线l ，下列结论正确的是（ ）
1 1 2 2 1 2
A．k ⋅k <0 B．k +k <0 C．b −b <0 D．b ⋅b <0
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式4-1】（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数y=(k+3)x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值
可能是（ ）
3 1
A．2 B． C．− D．−4
2 2
【变式4-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增
大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点5 一次函数的图像上点的坐标特征】
【例5】（2022·浙江绍兴·中考真题）已知(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )为直线y=−2x+3上的三个
1 1 2 2 3 3
点，且x 0，则y y >0 B．若x x <0，则y y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
【变式5-1】（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，
若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
5 3
A． B．2 C． D．1
2 2
1
【变式5-2】（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线l是函数y= x+3的图象．若点P（a，b）满足a<5，
2
1
且b> x+3，则P点的坐标可能是（ ）
2
1 1
A．(2,3 ) B．(3,5) C．(4,4 ) D．(5,6)
2 2
【变式5-3】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，过原点的两条直线分别为l：y＝2x，l：y＝﹣x，过点A
1 2
（1，0）作x轴的垂线与l 交于点A，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A，过点A 作x轴的垂线与l 交于
1 1 1 2 2 2 1
点A，过点A 作y轴的垂线与l 交于点A，过点A 作x轴的垂线与l 交于点A，⋯，依次进行下去，则点
3 3 2 4 4 1 5
A 的坐标为 _____．
20【考点6 一次函数的图像与几何变换】
【例6】（2022·陕西铜川·一模）把函数y=3x−3的图象向上平移5个单位，则下列各坐标所表示的点中，
在平移后的直线上的是（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(2,6) D．(2,8)
1
【变式6-1】（2022·广西贵港·三模）将直线y= x+2向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线
2
必定经过（ ）
( 3)
A．(0,0) B．(0,−1) C．(1,0) D． −1,
2
【变式6-2】（2022·辽宁阜新·中考真题）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发
生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整．
(1)如图1，将一次函数y=x+2的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度；
(2)将一次函数y=−2x+4的图像向下平移1个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移
了______个单位长度；
(3)综上，对于一次函数y=kx+b(k≠0)的图像而言，将它向下平移m(m>0)个单位长度，相当于将它向
______（填“左”或“右”）（k>0时）或将它向______（填“左”或“右”）（k<0时）平移了n(n>0)个单位长度，且m，n，k满足等式_______．
【变式6-3】（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），
（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是( )
A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1）
【要点3 正比例函数和一次函数解析式的确定】
y=kx
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k¿0）中的常数k。确定一个一次函数，
y=kx+b
需要确定一次函数定义式 （k¿0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【考点7 待定系数法求一次函数解析式】
【例7】（2022·福建省南平市教师进修学院（南平市教育科学研究院、南平市普通教育教学研究室）模拟
预测）如果P（2，m），A（1，1），B（4，0）三点在同一直线上，则m的值为（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．
3
1
【变式7-1】（2022·湖南益阳·中考真题）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为
2
A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．
【变式7-2】（2022·河北·中考真题）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(−8,19)，B(6,5)．(1)求AB所在直线的解析式；
(2)某同学设计了一个动画：在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其
中C(c,0)．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数
m的个数．
【变式7-3】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为
4
(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE= ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分
3
成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
3 15
A．y=3x B．y=− x+
4 2
C．y=−2x+11 D．y=−2x+12【要点4 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方
程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以
转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【考点8 一次函数与一元一次方程】
【例8】（2022·山东·青岛大学附属中学二模）若关于x的方程−2x+b=0的解是x=2，则直线
y=−2x+b一定经过点（ ）
A．(2,0) B．(0,2) C．(−2,0) D．(0,−2)
【变式8-1】（2022·山西大同·二模）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多
问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，直线y＝3x和直线y＝ax+b交于点（1，3），根据图象分析，方程
3x＝ax+b的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【变式8-2】（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b为常
数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x的方程kx+b＝﹣1的解为_____．【变式8-3】（2022·山东淄博·二模）若一次函数y=kx+3（k为常数且k≠0）的图像经过点（－2，0），
则关于x的方程k(x−5)+3=0的解为（ ）
A．x=−5 B．x=−3 C．x=3 D．x=5
【考点9 一次函数与一元一次不等式】
【例9】（2022·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b
1 1
（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，x的取值范围是（
3 3
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【变式9-1】（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y=kx与直线y=kx+b交于点A(1，2)．当y−2 D．x>4
【考点10 一次函数与二元一次方程（组）】
【例10】（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交
于点A，则关于x，y的二元一次方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式10-1】（2022·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点
P(3,n)，则关于x，y的方程组¿的解为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式10-2】（2022·甘肃·平凉市第十中学三模）已知关于x，y的方程组¿的解是¿，则直线y=−x+b与
y=−3x+2的交点在第______象限．【变式10-3】（2022·山西·太原师范学院附属中学一模）图中两直线l 、l 的交点坐标可以看作方程组
1 2
（ ）的解．
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【考点11 一次函数的应用】
【例11】（2022·四川攀枝花·中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．
雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、
科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，
线段OM表示货车离西昌距离y (km)与时间x(h)之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离
1
y (km)与时间x(h)之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
2
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60km
【变式11-1】（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑
道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像
如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）A．12 B．16 C．20 D．24
【变式11-2】（2022·湖北襄阳·中考真题）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加
工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y
（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为
12元/kg和18元/kg．
(1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不
高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：
元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
(3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、
乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
【变式11-3】（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地
骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间
忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路
程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【考点12 一次函数的综合】
【例12】（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原
点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若
OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4
