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专题 12 二次函数的图象及性质（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 二次函数的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 二次函数的图象与性质】.......................................................................................................................2
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】...........................................................................................................3
【考点4 二次函数的对称性】...............................................................................................................................5
【考点5 二次函数的最值】...................................................................................................................................6
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】.......................................................................................................7
【考点7 二次函数图象的平移】.........................................................................................................................10
【考点8 二次函数与一元二次方程】.................................................................................................................12
【考点9 利用二次函数的图象确定一元二次方程的近似根】..........................................................................14
【考点10 二次函数与不等式】.............................................................................................................................16
【要点1 二次函数的概念】
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c
是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二
次函数的一般形式．
【考点1 二次函数的定义】
【例1】（2022·安徽合肥·校考一模）已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为______
【变式1-1】（2022·湖南怀化·中考真题）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x+1 B．y=−2x+1 C．y=x2+2 D．y= x−2
2
【变式1-2】（2022·重庆永川·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，
把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【变式1-3】（2022·江苏徐州·统考一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当 时， 随 的增大而增大；当
y=ax2+bx+c(a≠0) x<2 y x x>2
时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是________．
【要点2 二次函数的图象与性质】
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，
抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增 大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
【考点2 二次函数的图象与性质】
【例2】（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，
1 1 2 2 1 2
则下列结论正确的是( )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
【变式2-1】（2022·湖南郴州·统考中考真题）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
y=(x−1) 2+5
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分
别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的△距离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象
大致是（ ） △
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到
y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【要点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数 ：总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定
开口的大小．
②一次项系数 ：在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置，对称轴 在 轴左边则
，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”
③常数项 ：总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置．
【考点3 二次函数的图象与系数的关系】
【例3】（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣
1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）A．abc＞0 B．3a+c＞0
2
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
3
【变式3-1】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物
线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)），下列结论：①abc<0；②3a+c=0；③当y>0时，x的取值范围是
；④点 ， 都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）
−1⩽x<3 (−2,y ) (2,y ) y <00)顶点在线段
AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
1
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．
2
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【变式4-1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于
A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0【变式4-2】（2022·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
xOy y=ax2+bx−1(a>0)
(1)若抛物线过点(4,−1)．
①求抛物线的对称轴；
②当−1y >y x=t
1 2 3 3 1 2
写出t的取值范围．
【变式4-3】（2022·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx（b是常数）经过
点(2,0)．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，
PQ=2|m|，且PQ⊥x轴．
(1)求该抛物线对应的函数表达式：
(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC．
当BC=4时，求点B的坐标；
(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求
m的取值范围；
3
(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出m的值．
4
【考点5 二次函数的最值】
【例5】（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数 ，当 时， 的最
y=a(x−1) 2−a(a≠0) −1≤x≤4 y
小值为−4，则a的值为（ ）1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
【变式5-1】（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知点 在二次函数
M(x ,y ),N(x ,y )
1 1 2 2
的图像上，且 ．
y=a(x−2) 2−1(a>0) x −x =3
2 1
(1)若二次函数的图像经过点(3,1)．
①求这个二次函数的表达式；
②若y = y ，求顶点到MN的距离；
1 2
(2)当x ≤x≤x 时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
1 2
【变式5-2】（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为抛物线顶点．连接AD交y轴于点E，点P在
第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设w=S :S ，则w的最小值是（ ）
ΔABG ΔBGP
24 25 5 145
A． B． C． D．
25 24 8 16
1
【变式5-3】（2022·天津滨海新·统考二模）已知：抛物线y=− x2+bx+c（b，c为常数），经过点A
3
（－2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最
小值．
【考点6 待定系数法求二次函数的解析式】
( 5)
【例6】（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D −2,− 两点，与x轴的
2
另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并
求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足
条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【变式6-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y
轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请
求出这个定值；如果不是，请说明理由．
1
【变式6-2】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，
2
与y轴交于点C(0,2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PE与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB′，当直线
EB′与直线BP相交所成锐角为45°时，求点B′的坐标．
1
【变式6-3】（2022·江苏镇江·统考中考真题）一次函数y= x+1的图像与x轴交于点A，二次函数
2
1 5
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A、原点O和一次函数y= x+1图像上的点B(m, )．
2 4
(1)求这个二次函数的表达式；
1 9
(2)如图1，一次函数y= x+n(n>− ,n≠1)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像交于点C(x ,y )、
2 16 1 1
D(x ,y )（x 0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax2 y=ax2+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位 平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
（2）平移规律：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
【考点7 二次函数图象的平移】
【例7】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数 的图象是由函数
y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)
的图象 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，
y=ax2+bx+c(a>0,b2−4ac>0) x x
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④1
【变式7-1】（2022·上海·统考中考真题）已知：y= x2+bx+c经过点A(−2，−1)，B(0，−3)．
2
(1)求函数解析式；
(2)平移抛物线使得新顶点为P(m,n)（m＞0）．
①倘若S =3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；
△OPB
②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120∘时，求P点坐标．
【变式7-2】（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）已知抛物线L：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
1
(1)求抛物线L 的函数表达式．
1
(2)将抛物线L 向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L．若抛物线L 的顶点关于坐标原点O的对称点在
1 2 2
抛物线L 上，求m的值．
1
(3)把抛物线L 向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L，若点B(1，y)，C(3，y)在抛物线L 上，且y＞
1 3 1 2 3 1
y，求n的取值范围．
2
【变式7-3】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F ：
1
y=x2+bx+c经过点A(−3,0)和点B(1,0)．
(1)求抛物线F 的解析式；
1
(2)如图2，作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F 的解析式；
2 1 2
(3)如图3，将（2）中抛物线F 向上平移2个单位，得到抛物线F ，抛物线F 与抛物线F 相交于C，D两
2 3 1 3
点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F 和抛物线F 上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边
1 3
形CMDN面积的最大值．【要点5 二次函数与一元二次方程之间的关系】
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴
的交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
【考点8 二次函数与一元二次方程】
1
【例8】（2022·湖北恩施·统考中考真题）已知抛物线y= x2−bx+c，当x=1时，y<0；当x=2时，
2
y<0．下列判断：
3 1
①b2>2c；②若c>1，则b> ；③已知点A(m ,n )，B(m ,n )在抛物线y= x2−bx+c上，当
2 1 1 2 2 2
1
m n ；④若方程 x2−bx+c=0的两实数根为x ，x ，则x +x >3．
1 2 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实
数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
b 4ac−b2
下面根据抛物线的顶点坐标（− ， ）和一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别分a>0和
2a 4a
a<0两种情况进行分析：
（1）a>0时，抛物线开口向上．
4ac−b2
①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵a>0，∴顶点纵坐标 <0．
4a
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
4ac−b2
②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵a>0，∴顶点纵坐标 =0．
4a
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的分析过
程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【变式8-2】（2022·四川自贡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)若a=−1，且函数图象经过(0,3)，(2,−5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及
顶点的坐标；
(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
(3)若a+b+c=0且a>b>c，一元二次方程ax2+bx+c=0 两根之差等于a−c，函数图象经过
(1 )
P −c,y ，Q(1+3c,y )两点，试比较y ,y 的大小 ．
2 1 2 1 2
【变式8-3】（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c为实数．
(1)当a=1且b=c+1时
①若抛物线的对称轴为直线x=2，求抛物线的解析式；
②若−10时，满足条件的x的取值范围是______．
2
1
(4)在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线y=1．根据图象直接写出方程 x3−2x=1的近似解（结果保
2
留一位小数）．
【变式9-3】（2022·江苏宿迁·统考一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝
1﹣x的解为x＝1.5．
1
(1)如图（乙），已画出了反比例函数y= 在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的
x
正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1）
(2)选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 ．
A，有两个负根，一个正根
B．有三个负根
C．有一个负根，两个正根
D．有三个正根
【考点10 二次函数与不等式】
【例10】（2022·浙江宁波·一模）已知A，B两点的坐标分别为(2，−3)，(0，−1)，线段AB上有一动点
M(m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x−1)2+2于P(x ，y )，Q(x ，y )两点（P在Q
1 2 2 2
的左侧）．若x ≤m
ℎ
2
ℎ
x>4
C． 的解集是
ax2+(b−k)x+c>
ℎ
x<2
D． 的解是 或
ax2+(b−k)x+c=
ℎ
x=2 x=4
【变式10-2】（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=x2+mx与直线y=−x+b（m、b均为常数）交于点A(2,0)和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>−x+b的解集；
(3)点M是直线AB上的一个动点，点N在点M正下方（即MN∥y轴），且MN=2，若线段MN与抛物
线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
【变式10-3】（2022·河南洛阳·统考一模）如图，抛物线 的图象与x轴交点为A和B，与y
y =ax2−2x+c
1
轴交点为D(0,3)，与直线y =−x−3交点为A和C．
2(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标，并结合函数图象直接写出当y >y 时x的取值范围；
1 2
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点
G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标
x 的取值范围．
E
