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专题 28 投影与视图
【专题目录】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
技巧3：三视图与实物的互相转化
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
【题型】一、与平行投影有关的计算
【题型】二、与中心投影有关的计算
【题型】三、确定正投影的图像
【题型】四、判断几何体的三视图
【题型】五、画三视图
【题型】六、由三视图还原原图形
【题型】七、与三视图有关的计算问题
【考纲要求】
1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．
2.会判断简单物体的三视图．
3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠.
【考点总结】一、由立体图形到视图
1．视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影
面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向
下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
2．常见几何体的三种视图：
几何体 主视图 左视图 俯视图
圆柱 长方形 长方形 圆
圆锥 三角形 三角形 圆和圆心
球 圆 圆 圆
3．三视图的画法：
(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．
【考点总结】二、由视图到立体图形
由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．
由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．
【考点总结】三、物体的投影
1．平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影．物体的正投影称为物
体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
2．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成
的投影称为中心投影．
【技巧归纳】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
类型一：利用平行投影与中心投影的定义判断投影
1．如图，下列判断正确的是( )
(第1题)
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确
的是( )
(第2题)
A．③④②① B．②④③①
C．③④①② D．③①②④
类型二：利用平行投影与中心投影的特征作图
3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表
示)
(第3题)4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(第4题)
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
类型三：正投影的识别与画法
5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )
(第5题)
6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝EF，如图所示．若正方体的面ABCD平行于投影面P，且
垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．
(第6题)
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
角度一：平行投影的实际应用
投影线不受限时的测量
1．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得
到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图③，测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90 cm，灯
杆被阳光照射到的部分PG长为50 cm，未被照射到的部分KP长为32 cm.(第1题)
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径MK的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
投影线在特定条件时的测量
2．如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为
3 m，两楼之间的距离为30 m．为了了解太阳光与水平线的夹角为30°时，甲楼对乙楼采光的影响情况，
请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
(第2题)
角度二：中心投影的实际应用
3．如图，一位同学身高1.6 m，晚上站在路灯下A处，他在地面上的影长AB是2 m，当他沿着影长的方
向移动2 m站在B处时，影长增加了0.5 m，求路灯的高度．
(第3题)
技巧3：三视图与实物的互相转化
角度一：判断物体的三视图
1．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是( )2．【中考·丽水】由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
(第2题)
角度二：画物体的三视图
3．观察如图所示的几何体，画出它的三视图．
(第3题)
角度三：已知三视图想象物体的形状
4．【中考·河北】如图所示的三视图所对应的几何体是( )
(第4题)
5．请根据如图所示物体的三视图画出该物体．
(第5题)
角度四：由三视图确定小正方体的个数
6．已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有( )(第6题)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体只有一
种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
(第7题)
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
类型一：利用三视图求几何体的表面积
1．如图是一个几何体的三视图．
(1)写出此几何体的名称；
(2)求此几何体的表面积S.
(第1题)
2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)
(第2题)
类型二：利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计
算其体积．(球的体积公式：V＝πr3，其中r为球的半径)(第3题)
4．如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积．
(第4题)
【题型讲解】
【题型】一、与平行投影有关的计算
例1、 和 是直立在水平地面上的两根立柱， 米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，
同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则 的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【题型】二、与中心投影有关的计算
例2、如图，位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距
离的比为 ，且三角板的一边长为 ，则投影三角形的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
例3、如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，
1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）A．3 B．5 C．6 D．7
【题型】三、确定正投影的图像
例3、把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A． B． C． D．
例4、如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、判断几何体的三视图
例4、如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
例5、下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体
【题型】五、画三视图
例6、如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（
）
A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同
例7、下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型】六、由三视图还原原图形
例8、已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是A． B． C． D．
例9、如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【题型】七、与三视图有关的计算问题
例10、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
例11、如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）A．20π B．18π C．16π D．14π
投影与视图（达标训练）
一、单选题
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）A． B．
C． D．
3．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A．④③②① B．③④①② C．②④③① D．①②③④
4．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．6．四个几何体中，左视图不是四边形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．校园内一棵松树在一天不同时刻的影子如图所示，按时间的顺序排列，第一个序号是__________．
三、解答题10．下图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
(1)这个几何体的名称为______．
(2)求该几何体的左视图中 的值．
投影与视图（提升测评）
一、单选题
1．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A． B．C． D．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长
6．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积， 则 （ ）A． B． C． D．
7．由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
8．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 的正方形，若拿掉若干个小立方
块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
二、填空题
9．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位
置小正方体的个数，则这个几何体至少有_______个小正方体组成，至多又是______个．
三、解答题
10．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规
律．如图，在同一时间，身高为 的小明 的影子 长是 ，而小颖 刚好在路灯灯泡的正下
方 点，并测得 ．
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置 ；(2)求路灯灯泡的垂直高度 ；
(3)如果小明沿线段 向小颖（点 走去，当小明走到 中点 处时，求其影子 的长；当小明继续
走剩下路程的 到 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处， 按此规律继续走
下去，当小明走剩下路程的 到 处时，其影子 的长为 ．（直接用 的代数式表示）
