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专题 14 反比例函数
【专题目录】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【题型】一、反比例的定义
【题型】二、反比例函数的图象
【题型】三、反比例函数的性质
【题型】四、求反比例函数解析式
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
【题型】七、实际问题与反比例函数
【考纲要求】
1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3、能用反比例函数解决某些实际问题.
【考点总结】一、反比例函数的概念
k
反比例函数的 y=
x
反比 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数,且k≠0)的形式，那么称y
定义
是x的反比例函数.
例函
k
数的
y=
二次函数的图
x
概念 图象的特征:反比例函数 的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两
象及性质
个分支在第一、三象限或第二、四象限.
【考点总结】二、反比例函数的图象和性质函数 图象 所在象限 性质
反比例函数
反 比
k 一、三象限 在每个象限内,y
例 函 y= k k>0
x
(k≠0,k
y= (x,y同号) 随x增大而减小
数 的 x
为常数)的图象和
二、四象限 在每个象限内,y
图 象 (k≠0,k为常数) k<0
性质
(x,y异号) 随x增大而增大
和 性
反比例函数的解 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
质
析式的确定
【注意】
k
y=
x
反比例函数 （k≠0）系数k的几何意义
k
y=
x
从反比例函数 （k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。
常见模型如图：
【技巧归纳】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．
【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，
求此函数的表达式．
【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式
3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一象
限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
【类型】四、利用待定系数法求表达式4．已知y 与x成正比例，y 与x成反比例，若函数y＝y ＋y 的图象经过点(1，2)，，求y与x的函数表达
1 2 1 2
式．
【类型】五、利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD
的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
【类型】一、反比例函数的系数k与面积的关系
1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于A点和B点，
若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的
面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
3．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图
象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S －S 为( )
△OAC △BAD
A．36 B．12 C．6 D．34．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面
积为( )
A．1 B．2 C． 3 D．4
5．如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别
为点C，D，则四边形ACBD的面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，C为反比例函数y＝(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分
别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，
k的值为( )
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式
题型1：已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图
象交于点B(2，n)，连接BO，已知S ＝4.
△AOB
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
题型2：已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝在第二象限的图象的交点，AB⊥x
轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S ＝5，求点P的坐标．
△APC
【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1：利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－，
y＝，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助
工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
题型2：利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A
1
的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)求△AOC的面积．题型3：利用面积关系求点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(，1)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S ＝S ，求点P的坐标；
△AOP △AOB
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出
点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是( )
2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取
值范围是( )
A．k>0，b>0 B．k<0，b>0 C．k<0，b<0 D．k>0，b<0【类型】二、反比例函数与一次函数的图象与性质
3．如图，正比例函数y＝kx和反比例函数y＝的图象交于A(1，2)，B两点，给出下列结论：
1 1 2
①ky 时，x>1；④当x<0时，y 随x的增大而减小．其中正确的
1 2 1 2 1 2 2
有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知函数y＝x(x≥0)，y＝(x>0)的图象如图所示，则以下结论：
1 2
①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；
②当x>2时，y>y；
1 2
③当x＝1时，BC＝2；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x逐渐增大时，y 随着x的增大而增大，y 随着x的增大而减小．
1 2
其中正确结论的序号是____________．
【类型】三、反比例函数与一次函数的有关计算
题型1：利用点的坐标求面积
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一
象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝交于点P，Q，求△APQ
的面积．题型2：利用面积求点的坐标
6．如图，A，B(－1，2)是一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，
1 2
BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y－y>0?
1 2
(2)求一次函数表达式及m的值．
(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
【题型讲解】
【题型】一、反比例的定义
例1、反比例函数 经过点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小
【题型】二、反比例函数的图象
例2、已知点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，且
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、反比例函数的性质
例3、已知正比例函数 和反比例函数 ，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【题型】四、求反比例函数解析式
例4、已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
例5、如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作 轴，垂足为点C，D为AC的中点，
若 的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
例6、如图，函数 与 的图象相交于点 两点，则不等式
的解集为（ ）A． B． 或 C． D． 或
【题型】七、实际问题与反比例函数
例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量
600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100
天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
反比例函数（达标训练）
一、单选题
1．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升 ，加热到 时，自动停止加热，水温开始下降．
此时水温 与通电时间 成反比例关系．当水温降至 时，饮水机再自动加热，若水温在
时接通电源，水温 与通电时间 之间的关系如图所示，则水温要从 加热到 ，所需要的时
间为（ ）A． B． C． D．
2．如图是反比例函数 的图象，当 时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数 的图象经过点 ，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
4．若点P（1，3）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A． B．3 C．- D．-3
5．若点 在反比例函数 的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．6 C． D．3
二、填空题
6．点 ， ， ， 在函数 的图像上，若 ，则 __ ．（填“ ”、“ ”或“
”）7．当 时，函数 的值是______．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，
再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数 的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求 的面积．
反比例函数（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，
垂足为点D，若S BCD＝5，则a的值为（ ）
△A．8 B．9 C．10 D．11
2．已知一次函数 与反比例函数 的图象有 个公共点，则 的取值范围是( )
A． B． C． 或 D．
3．关于函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限 B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小
4．已知函数 ，当 时， 随 增大而减小，则关于 的方程 的根的情况是( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
5．如果A（2，y），B（3，y）两点都在反比例函数y= 的图象上，那么y 与y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，A、B是双曲线y＝ 上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若
△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________．7．已知点 在反比例函数 的图象上，则 的大小关系为
________．（用“ ”连接）
三、解答题
8．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足 的 的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求 ABC的面积．
