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专题 14 函数中的最值问题
函数中的最值问题在中考中的考查频率较高，主要包括求线段之和的最小值（将军饮马型）、求线段之
和的最小值（修桥模型）、胡不归求最值问题等。
一、求线段之和的最小值（将军饮马型）
1.在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
A A
m m
P
B B
（2）点A、B在直线同侧：
A
B
m
A P
B
m A'
A、A'是关于直线m的对称点。
2.在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
A
A
m
B
n
m
P P'
B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
m P
B
B n
Q
n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB
周长最短.
n
A
n A'
B
A
D
B
m
E
m B'
变式二：已知点A位于直线m，n 的内侧， 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
A'
n
A
Q
A
m
P
m A"二、求线段之和的最小值（修桥模型）
已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要
求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
A C
A
m
P Q m P Q
B B
过A点作AC//m，且AC长等于PQ长，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、
Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：
A E
B
A
B
m
P Q
m
P Q B'
过A点作AE//m，且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B'，连接B'E，交直线m于Q，Q向左平移PQ
长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
三、胡不归求最值（胡不归模型）
一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C
在直线MN上，确定点C的位置使 的值最小．
B
V
1
M N
A V C
2
，记 ，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
B
M α N
A C
CH
H
sinα= =k
AC
D
CH=kAC
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小
值，即BC+kAC最小．
B
C
M α N
A
H
D
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为
“PA+PC”型．
（2022·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B
（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请
求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接
CP．设△PEF的面积为S，△PEC的面积为S，是否存在点P，使得 最大，若存在，请求出点P的坐
1 2
标，若不存在，请说明理由．
（1）将B（4，0）代入 ，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点 ，连接A 交BC 于点M，连接B ，当A、M、 三点共线时，AM＋
OM有最小值，分别求出直线A 的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；
（3）连接PB，过P点作PG y轴交CB于点G， 设 ，则G（t，－t＋4），由
求出 ，再由PF CD，可得 则 当t
＝2时， 有最大值，同时可求P的坐标．
【答案】(1) ，A（﹣2，0）；C（0，4）
(2)存在点M使AM＋OM最小， M（ ， ）(3)存在， P（2，4）
【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣ ＋x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣ ＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）
存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点 ，连接A 交BC于点M，连接B ，
由对称性可知，OM＝ M，
∴AM＋OM＝AM＋ M A ，
当A、M、 三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠ BM＝45°，
∴B ⊥BO，
∴ （4，4），
设直线A 的解析式为y＝kx＋b，∴ ，
解得 ，
∴y＝ x＋ ，
设直线BC的解析式为 ，
∴4 ＋4＝0，
∴ ＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组 ，
解得 ，
∴M（ ）；
（3）
在点P，使得 最大，理由如下：
连接PB，过P点作PG y轴交CB于点G，
设P（t，﹣ ＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣ ＋2t，∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4 ，
∴S BCP＝ ×4×（﹣ ＋2t）＝﹣ ＋4t＝ ×4 ×PF，
△
∴PF＝﹣ ＋ t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PF CD，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4 ，
∴ ＝﹣ （ ﹣4t）＝﹣ ＋ ，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时， 有最大值 ，
此时P（2，4）．
本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的
性质是解题的关键．
（2022·四川广元·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点
B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当a＝ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，
求此时点Q的坐标及QD的最大值．
（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：
PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；
（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED= EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．
【答案】(1)2a=b+1，c=-2；
(2)△PAB的周长最小值是2 +2 ；
(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为 ．
【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，
∴ ，∴2a=b+1，c=-2；
（2）解：当a= 时，则b=- ，
∴抛物线的解析式为y= x2- x-2，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点A的坐标为(-2，0)，
∴点C的坐标为(4，0) ，
△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，
∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，
∵点A、C关于直线x=1对称，
∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，
∵AP=CP，
∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，
∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
由勾股定理得BC=2 ，AB=2 ，
∴△PAB的周长最小值是：2 +2 ．
（3）解：当a=1时，b=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，
过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵QD⊥AB，
∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，
∴QD=ED= EQ，
设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），
∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，
∴DQ= QE=- (t2+2t)= - (t+1)2+ ，
当t=-1时，DQ有最大值 ，此时Q（-1，-2）．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线 （a，b，c是常数， ）的顶点为P，与x轴相
交于点 和点B．
(1)若 ，①求点P的坐标；
②直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与 相交于点G，当 取得最大值时，求
点M，G的坐标；
(2)若 ，直线 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，
当 的最小值为5时，求点E，F的坐标．
（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即
可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为 ，则点G的坐
标为 ，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据 ，解析式经过A点，可得到解析式： ，再表示出P点坐标，N点坐标，
接着作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，再把 和 的坐标表示出来，由题意可
知，当 取得最小值，此时 ，将字母代入可得：
，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【答案】(1)① ；②点M的坐标为 ，点G的坐标为 ；
(2)点 和点 ；
【详解】（1）①∵抛物线 与x轴相交于点 ，
∴ ．又 ，得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴点P的坐标为 ．②当 时，由 ，
解得 ．
∴点B的坐标为 ．
设经过B，P两点的直线的解析式为 ，
有 解得
∴直线 的解析式为 ．
∵直线 （m是常数， ）与抛物线 相交于点M，与 相交于点G，如图所示：
∴点M的坐标为 ，点G的坐标为 ．
∴ ．
∴当 时， 有最大值1．
此时，点M的坐标为 ，点G的坐标为 ．
（2）由（1）知 ，又 ，
∴ ．
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，∴顶点P的坐标为 ．
∵直线 与抛物线 相交于点N，
∴点N的坐标为 ．
作点P关于y轴的对称点 ，作点N关于x轴的对称点 ，如图所示：
得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
当满足条件的点E，F落在直线 上时， 取得最小值，
此时， ．
延长 与直线 相交于点H，则 ．
在 中， ．
∴ ．
解得 （舍）．
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
则直线 的解析式为 ．
∴点 和点 ．本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定
理解直角三角形等是解决此类问题的关键．
1．（2022·山东济南·校考一模）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求 面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3)3．
【思路与分析】（1）利用函数 求解 的坐标，再把 的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点 作 轴交 于 ，得到 ，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点 ，
证明 ，从而得到 ，从而可得答案．【详解】（1）解：令 ，解得： ，
∴点 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ．
（2）解：令 ，化简可得：
解得 或 ，
如图，过点 作 轴交 于 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
所以：①当 时，
；
②当 时，
；
∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，
此时 点坐标为 ．
（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，交 轴于点．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 则
∴ ，
∴ ，
∵ 、 关于 轴对称，∴ ，
∴ ，此时 最小．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值是3．
2．（2022·重庆铜梁·统考一模）如图1，二次函数 （ ）的图象与x轴交于点A，B，与
y轴交于点C， ，点 ．(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，点P是直线 上方抛物线上一点， 轴交 于点D， 交x轴于点E，求
的最大值；
(3)在（2）的条件下，当 取最大值时，点M在该抛物线的对称轴上，满足 的周长最小，点
N为该坐标平面内一点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标为 或 或 ．
【思路与分析】（1）先由点 的坐标求得 的长，然后结合 的大小求得 的值，即可得到点
的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）过点 作 轴交 于点 ，然后结合 得到四边形 为平行四边形，进而得到
，然后求得直线 的解析式，设点 的坐标，进而得到点 和点 的坐标，从而求得
和 的长，再利用二次函数的性质求得 最大值；
（3）求出直线 的解析式为 ，得出 ，分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）因为二次函数解析式为 ，
点 的坐标为 ，
，
，
，
点 的坐标为 ，由抛物线经过点 ， 设抛物线的解析式为 ，
将点 代入解析式为 ，
，
抛物线的解析式为 ．
（2）过点 作 轴交 于点 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
设直线 的解析式为 ，则
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
，
轴，
点 和点 的纵坐标相等，即 ，
，
点 的坐标为 ， ，，
，
当 时， 的最大值为 ；
（3）由（2）可得点 的坐标为 ，
抛物线的解析式为 ．
抛物线的对称轴为 ，
连接 交抛物线的对称轴于点 ，则 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
又 ，
存在以点 ， ， ， 为顶点的平行四边形，
若以 为平行四边形的一边，，
或 ，
若以 为平行四边形的一条对角线，
．
综上所述，存在以点 ， ， ， 为顶点的平行四边形，点 的坐标为 或 或 ．
3．（2022·广东中山·统考三模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛
物线的对称轴为直线 ，点 ，过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得 的面积最大，求出点P的坐标；
(3)点M是线段BE上的一点，求 的最小值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【思路与分析】(1) 由 得点A的对称点B的坐标，将A、B坐标代入 中， 利用待定系数
法可求；(2)求出直线BE的解析式，用m表示点P、H的坐标，进而表示线段PH,根据S△BDP= ×PH×3，用含m
的代数式表示 的面积，利用二次函数的性质，求出S关于m的二次函数的顶点横坐标即可得出结论；
(3) 过点M作 轴，过点E作 轴，过A作 交于点T，构造出直角三角形，利用三角函
数找到与 相等的线段，根据“垂线段最短”得 的最小值，将二次函数与直线方程联立，
解方程组，先求出点E坐标，点M坐标可求．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴
∵抛物线 经过A、B两点，
∴ 解得：
∴
（2）∵ ，
∴ ，
∴直线BE的解析式为：
过P作 轴，交AB于点H设 ，则
∴
当 时，即 时 的面积最大．
（3）（3）过点M作 轴，过点E作 轴，过A作 交于点T
∵ 轴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 的最小值为AT．由 得： 或
∴
∴ 的最小值为 ，此时
4．（2022·贵州黔东南·统考二模）如图，抛物线 与x轴交于点 、 ，与y轴交
于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线对称轴上的动点，求 的最小值；
(3)若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作 于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，
求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)线段PQ存在最大值，此时点P坐标为
【思路与分析】（1）根据点A和点B坐标使用待定系数法求解即可．
（2）连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．根据轴对称的性质，两点之间，线段最短确定当点M与点N重合时，MB+MC取得最小值为AC，根据二次函数解析式求出点C坐标，再根据勾股定理即
可求解．
（3）过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 ，其中 ，设直线AC解析式为
y=kx+d．根据等边对等角，三角形内角和定理，等角对等边确定QE=PQ，根据勾股定理确定 ，
进而确定当EP取得最大值时，PQ取得最大值，根据点A和点C坐标使用待定系数法求出直线AC解析式，
进而用p表示EP的长度，再根据二次函数的最值求出p的值，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：把点A和点B坐标代入抛物线解析式得
解得
所以抛物线的解析式为 ．
（2）解：如下图所示，连接MA，设直线AC与二次函数的对称轴交于N．
∵ 、 ，
∴点A和点B关于二次函数的对称轴对称，OA=2．
∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．
∴当点M与点N重合时MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值为AC．
∵抛物线 与y轴交于点C，
∴ ．
∴OC=2．
∴ ．
∴MB+MC的最小值为 ．
（3）解：如下图所示，过点P作PD⊥x轴于D，交直线AC于E，设 ，其中 ，设
直线AC解析式为y=kx+d．
∵OA=2，OC=2，
∴OA=OC．
∴ ．
∵PD⊥x轴，
∴∠ADE=90°．
∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．
∴∠QEP=∠DEA=45°．
∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°， ．
∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．
∴∠QPE=∠QEP．
∴QE=PQ．
∴ ．
∴ ．
∴当EP取得最大值时，PQ取得最大值．
把点A和点C坐标代入直线AC解析式得
解得
∴直线AC解析式为 ．
∴ ．
∴ ．
∴当 时，EP取得最大值．
∴ ．
∴线段PQ存在最大值，此时点P坐标为 ．
5．（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，抛物线 经过点 和
点 ，且与 轴交于点 ．(1)分别求抛物线和直线 的解析式；
(2)在 轴上有一动点 ，抛物线上有一动点 ，是否存在以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点 为抛物线上位于直线 上方的一点，过点 作 轴交直线 于点 ，点 为对称轴上一动
点，当线段 的长度最大时，求 的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为
(2)存在， 的坐标为 或 或
(3)
【思路与分析】（1）将点A（3，2）和点B（4，− ）代入y＝ax2＋bx＋ 得
，可解得抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋ ，令x＝0得y＝ ，得C（0， ），设直线
BC的解析式为y＝kx＋ ，将B（4，− ）代入可得直线BC的解析式为y＝−x＋ ；
（2）设G（m，0）， ，又O（0，0），A（3，2），分三种情况：①若GH、OA为对
角线，则GH、OA的中点重合，有 ，可解得H（−1，2），②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，有 ，可解得 或 ；③若
GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，有 ，解得H（−1，2）；
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 交抛物线对称轴于 ，设 ，则
，即知t＝2时，DE取最小值2，D（2， ），抛物线 的对称轴为直线 ，
得A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点 ，有 ，当D、P、 共线时， 最小，
即 最小， 的最小值为 的长， 的最小值为 ．
【详解】（1）解：把点A（3，2）和点B（4，− ）代入y＝ax2＋bx＋ 得
解得 ，
抛物线的解析式为 ，
在 中，令 得 ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
答：抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ．
（2）存在以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设 ， ，又 ， ，
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，
解得 此时 与 重合，舍去 或 ，
∴ ；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ；
若 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，
解得 舍去 或 ，∴ ，
综上所述， 的坐标为 或 或 ．
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 交抛物线对称轴于 ，如图：
设 ，则 ，
∴
，
时， 取最小值 ，此时 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ 关于对称轴直线 的对称点 ，
∴
∴ ，
又 、 、 共线，
此时 最小，即 最小， 的最小值为 的长，∵ ， ，
，
∴ 的最小值为 ．
6．（2022·黑龙江大庆·统考一模）如图，已知抛物线 与x轴相交于 ， 两点，
与y轴相交于点 ，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作 轴于点H，与BC交于点M．
①求线段PM长度的最大值．
②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求 的最小值．
【答案】(1)y＝x2－2x－3
(2)① ；②
【思路与分析】（1）将 ， 代入 ，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）①根据 的解析式和抛物线的解析式，设 ，则 ，表示 的长，根据二
次函数的最值可得：当 时， 的最大值；②当 取最大值时， ，确定 的位置：在 轴的负半轴取点 ，使 ，过 作
于 ，当 、 、 三点共线时，如图2， 最小，即 的值最小，根
据 的直角三角形的性质可得结论．
【详解】(1)解：把 ，点 代入抛物线 中
得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为： ；
(2)解：①如图，
令 ，即 ，解得 或 ，
，
，
设 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，的解析式为： ，
设 ，则 ，
，
当 时， 有最大值为 ；
②当 有最大值， ，
在 轴的负半轴上取一点 ，使 ，过 作 于 ，
当 、 、 三点共线时， 最小，即 的值最小，
中， ，
，
，
，
中， ，
，
，
的最小值是 ．
7．（2022·山东临沂·统考一模）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
直线 过B、C两点，连接AC．(1)求抛物线的解析式．
(2)点M(3，1)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC
于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．
【答案】(1) ；(2)
【思路与分析】（1）根据一次函数解析式可求出点B，C的坐标，再代入抛物线解析式进而求解即可；
（2）设点D的坐标为（x， ），则点E的坐标为（x， ），由坐标得DE＝
－（ ）= ，当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为
（2， ），点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，连接CM交直
线DE于点F，则∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝ ，根据PD＋PM＝PC＋PD＝CD，即可求解．
【详解】(1)解：∵直线 过B、C两点，且B，C分别在x轴和y轴上
当x=0时，y=1
当y=0时，x=4
∴点B（4，0），点C（0，1）
∵抛物线 与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为： ．
(2)解：设点D的坐标为（x， ），则点E的坐标为（x， ），
∵点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，
∴DE＝ －（ ）= ，
∵ ＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2， ），
∵C（0，1），M（3，1），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，1），
∴CD＝ = = ，
∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，
∴PD＋PM的最小值为 ．8．（2021·贵州遵义·校考二模）在平面直角坐标系中，有一抛物线 ： ，顶点为 ，点 ，
的坐标分别为 ， ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，连接 ， ， 得 ．把
向右平移，当点 刚好落在抛物线上时得 ，点 ， 的对应点分别是点 、 ，如图
（1）．
(1)线段 的长为__________，直角三角形平移的距离是__________，抛物线的对称轴是直线
__________；
(2)将 绕着点 沿逆时针方向旋转，点 、 的对应点分别记为点 、 ，当点 落在抛物线的对
称轴上时，在直线 的下方的抛物线上有一点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ．线段 的长是否存在最大值，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由；
(3)在（2）的条件下， 继续旋转，当点 与点 之间的距离最小时，求在整个旋转过程中点 所
经过的路径的长．
【答案】(1)3；5；1.
(2)存在， .
(3) .
【思路与分析】（1）将 代入二次函数解析式可得 或 ，由题意知 ， ，进而
可得 的长，直角三角形平移的距离，根据对称轴的求解公式计算可得对称轴；
（2）由题意知 ，在 中，由勾股定理得 ，进而可得 坐标，设 ，
则有 ，解得 或 。可知 点坐标为 或 ，如图1，由图可知
，设直线 的解析式为 ，待定系数法求解直线 的解析式为 ，设
，则 ，则 ，计算求解最大值即可；
（3）由 ，可知顶点坐标 ，由题意知 在以 为圆心，4为半径的圆
上，如图2，连接 ，与 的交点即为 最小时的 点，作 轴， 为 与直线 的交
点，求解 ，进而可得 的值，进而根据弧长的公式求解即可．
【详解】(1)解：将 代入 得 ，
解得 或 ，
∴ ， ,
∴ ， ，∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线 ，
故答案为：3；5；1．
(2)解：由题意知 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
解得 或 ，
∴ 点坐标为 或 ，
如图1，
由图可知 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴∵ ，
∴当 时，线段 的长最大，
∴ ，
∴存在，点 的坐标为 ．
(3)解：由 ，可知顶点坐标 ，
由题意知 在以 为圆心，4为半径的圆上，如图2，连接 ，与 的交点即为 最小时的 点，
作 轴， 为 与直线 的交点，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴整个旋转过程中点 所经过的路径的长为 ．9．（2022·甘肃天水·校考三模）如图，抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于点C，
直线 过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证： ；
（3）点 是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作 轴交直线
BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【思路与分析】（1）先利用直线 得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；（3）设点D的坐标为 ，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的
性质得到当 时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）解：∵直线 分别与 轴和 轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
把 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵抛物线 与x轴交于点A，
∴ ，
解得 ， ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ．
（3）设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴
=
∵ ，
∴当 时，线段DE的长度最大．
此时，点D的坐标为 ，
∵ ，
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时 最小．
连接CM交直线DE于点F，则 ，点F的坐标为 ，
∴ ，
∵
∴ 的最小值 ．．
10．（2021·湖北襄阳·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 和
．
（1）求 的值，并用含 的代数式表示 ．
（2）当 时，
①求此函数的表达式，并写出当 时， 的最大值和最小值．
②如图：抛物线 与 轴的左侧交点为 ，作直线 ， 为直线 下方抛物线上一动点，
过点 作 于点 ，与 交于点 ，作 于点 ．是否存在点 使 的周长最大？
若存在，请求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若线段 的端点 、 的坐标分别为 、 ，此二次函数的图象与线段 只有一个公共
点，求出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① ， 的最小值为 ， 的最大值为 ；②存在，；（3） 或
【思路与分析】（1）把A、B的坐标分别代入解析式即可求解；
（2）①把解析式化成顶点式即可求得结论；②根据图象上点的坐标特征即可求得；
（3）当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a+10）在D点的上方，即
可求解；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．
【详解】解：（1）把 代入 ，得 ．
把 代入 ，得 ，
．
（2）①当 时，此函数表达式为 ，图象开口向上．
由顶点坐标公式可知顶点坐标为 ，
，
当 时， 的最小值为 ．
观察图象结合增减性，当 时， 有最大值，当 时， 有最小值，
把 代入 ，得 ，即 的最大值为 ．
② ，
令 ，则 或 ，
点 在左侧，
，
设直线 的解析式为 ，把 ， ，
代入可求 ， ，
，
设 则， ，
，
，
，
设 的周长为 ，则
当 最大时，周长最大，
又 ，
又因为 且 ，
所以 时， 有最大值，即此刻 周长最大，
把 代入 ，得 ，
；
（3）①当 时，若抛物线与线段 只有一个公共点（如图1），
，当 时， ，则抛物线上的点 在 点的上方，
．
解得 ．
；
②当 时，因为抛物线与线段只有一个公共点，
又图象经过点 ，和 则抛物线的顶点必在线段 上，（如图2）
．
即 ，
解得 或 ，
，对称轴在 轴左侧，
∴ ，
∴ ，
，故只能是 ，
综上， 的取值范围是 或 ．
