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专题 05 二次根式
【专题目录】
技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值
技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧
【题型】一、二次根式有意义的条件
【题型】二、利用二次根式的性质化简
【题型】三、二次根式的乘除运算
【题型】四、最简二次根式
【题型】五、同类二次根式
【题型】六、二次根式的加减
【题型】七、二次根式乘除混合运算
【考纲要求】
1、掌握二次根式有意义的条件和基本性质()2＝a(a≥0)，能用二次根式的性质＝|a|来化简根式．
2、能识别最简二次根式、同类二次根式．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.
【考点总结】一、二次根式
二次根式的概念 形如(a≥0)的式子.
概 二次根式有意义的条件 要使二次根式有意义，则a≥0.
二 念 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根
最简二次根式
号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
次
①被开方数是非负数，即a≥0；
根
双重非负性
式 ②二次根式的值是非负数，即 ≥0.
性
①()2＝a(a≥0)；
质
两个重要性质
②＝|a|＝ ；
【考点总结】二、二次根式的运算二次根式的加 合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次
减法 根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
二
次
(1)二次根式的乘法： (a≥0，b≥0)；
· =
二次根式的乘
根
除法
式
(2)二次根式的除法： = (a≥0，b＞0)．
运
算
二次根式的混 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号
合运算 的先算括号里面的（或先去括号）．
【注意】
1、化简二次根式的步骤（易错点）
（1）把被开方数分解因式(或因数) ；
（2）把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式()2＝a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化
简。
2、二次根式运算中的注意事项
（1）一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
（2）二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根
式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
【技巧归纳】
技巧1：巧用二次根式求字母或代数式的值
【类型】一、利用二次根式的定义判定二次根式
1．下列式子中为二次根式的是( )
A. B. C. D.(x＜0)
【类型】二、利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
2．无论x取何实数，代数式都有意义，化简式子＋.
【类型】三、利用最简二次根式的定义识别最简二次根式
3．把下列各式化成最简二次根式．
(1)； (2)(a≥0，b≥0)；
(3)(mn＞0)； (4)(x≠y)．
【类型】四、利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值
4．如果最简根式和是被开方数相同的最简二次根式，那么( )
A．a＝0，b＝2 B．a＝2，b＝0
C．a＝－1，b＝1 D．a＝1，b＝－2
5．如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围．参考答案
1．C
2．解：∵＝，
且无论x取何实数，代数式都有意义，
∴m－4≥0，∴m≥4.
当m≥4时，＋＝(m－3)＋(m－4)＝2m－7.
3．解：(1)＝＝.
(2)＝＝2a(a≥0，b≥0)．
(3)由－≥0，mn＞0知：m＜0，n＜0，∴＝＝＝－.
(4)＝＝(x≠y)．
4．A 点拨：由题意得
解得故选A.
5．解：由题意得3a－8＝17－2a.
∴a＝5.∴＝.
要使有意义，只需有意义即可．
∴20－2x≥0，∴x≤10.
技巧2：常见二次根式化简求值的九种技巧
【类型】一、估算法
1．若将三个数－，，表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
【类型】二、公式法
2．计算：(5＋)×(5－2)．
【类型】三、拆项法
3．计算：.[提示：＋4＋3＝(＋)＋3(＋)]
【类型】四、换元法
4．已知n＝＋1，求＋的值．
【类型】五、整体代入法
5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．
【类型】六、因式分解法
6．计算：.【类型】七、配方法
7．若a，b为实数，且b＝＋＋15，试求－的值．
【类型】八、辅元法
8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值．[来源:学§科§
【类型】九、先判后算法
9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b＋a的值．
参考答案
1. 点拨：因为－＜0，2＜＜3，3＜＜4，所以被墨汁覆盖的数为.
2．解：原式＝(5＋)×[5－()2×]
＝(5＋)×[×(5－)]
＝×(5＋)×(5－)
＝×(25－6)＝19.
3．解：原式＝[来源:学科网]
＝＋
＝＋
＝－＋－
＝－.
4．解：设x＝n＋2＋，
y＝n＋2－，
则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8.
原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n.
当n＝＋1时，原式＝＋1.
5．解：由已知得：x＝3＋2，y＝3－2，所以x＋y＝6，xy＝1，
所以原式＝＝＝30.
6．解：＝
＝[来源:Z*xx*k.Com]
＝＝＝＝.
7．解：由二次根式的定义，得∴3－5a＝0，∴a＝.
∴b＝15，∴a＋b＞0，a－b＜0.
∴－＝－＝－＝(－)＝.当a＝，b＝15时，
原式＝×＝.
方法点拨：对于形如＋＋2或＋－2的代数式一般要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，
要注意a＋b和a－b以及ab的符号．
8．解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
∴原式＝＝＝－2.
9．解：∵a＋b＝－6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0.
∴b＋a＝－－＝－·＝－＝－＝－＝－.
点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求
值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解．
【题型讲解】
【题型】一、二次根式有意义的条件
例1、函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．
【详解】解：由题意得：
故选：
【题型】二、利用二次根式的性质化简
例2、 化简的结果是（）
A．－2 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
【详解】
= =2，故选：B．
【题型】三、二次根式的乘除运算
例3、计算 的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】解：
，
故选：A．
【题型】四、最简二次根式
例4、下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、 是最简二次根式，故选项正确；
B、 = ，不是最简二次根式，故选项错误；
C、 ，不是最简二次根式，故选项错误；D、 ，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【题型】五、同类二次根式
例5、下列各式中与 是同类二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解】解：A、 和 是最简二次根式， 与 的被开方数不同，故A选项错误；
B、 ，3不是二次根式，故B选项错误；
C、 ， 与 的被开方数相同，故C选项正确；
D、 ， 与 的被开方数不同，故D选项错误；
故选：C.
【题型】六、二次根式的加减
例6、计算 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减法法则进行运算即可
【详解】
2 － ＝
故选A
【题型】七、二次根式乘除混合运算
例7、下列各式不成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【详解】 ，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；
，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意；
故选C．
二次根式（达标训练）
一、单选题
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各式中与 是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将选项化简为最简二次根式，然后找出与 是同类二次根式的选项．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，故A不符合题意；
B、 与 是同类二次根式，故B符合题意；C、 ，与 不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式
叫做同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．（2022·上海金山·二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、 ，分母中含有分式，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，被开方数中没有可开方的因数且分母中没有分式，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，被开方数中含有可开方的因数，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了，最简二次根式的定义．即：被开方数中不含可开方的因数且分母中不含根式的
二次根式，称为最简二次根式．掌握最简二次根式的定义，是解决本题的关键．
3．（2022·黑龙江绥化·三模）函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质及分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意得，
，解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质及分式的意义求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的性
质及分式有意义的条件是解题的关键．
4．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）下列各式正确的是（ ）A． ＝±4 B． ＝3 C． ＝﹣8 D．4 ﹣4＝
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减法分别化简计算并判断．
【详解】解：A、 =4，故该项不正确；
B、 =3，故该项正确；
C、 没有意义，故该项不正确；
D、4 -4=4 -4，故该项不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．（2022·重庆·模拟预测）估算 的结果最接近的整数是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先化简二次根式得 ，再由 ，即可求出 ，从而得出答案．
【详解】 ，
∵ ，
∴ ，
∴估算 的结果最接近的整数是4．
故选B．
【点睛】本题主要考查化最简二次根式和二次根式的减法运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
二、填空题6．（2022·广东顺德德胜学校三模）二次根式 中，字母m的取值范围是 _____________．
【答案】 ##
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
7．（2022·重庆·二模）计算：（3.14﹣π）0﹣| 4|＝_____．
【答案】 ##
【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：（3.14-π）0-| -4|
=1-（4-2 ）
=1-4+2
=-3+2 ．
故答案为：-3+2 ．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．
三、解答题
8．（2022·山东临沂·模拟预测）计算： ．
【答案】0
【分析】直接利用绝对值的性质以及结合积的乘方运算法则、平方差公式计算、二次根式的混合运算，进
而得出答案．【详解】解：原式＝
＝
＝
＝0．
【点睛】本题主要考查看去绝对值、积的乘方运算法则、平方差公式、二次根式混合运算，注意运算法则
以及运算顺序是解题的关键．
9．（2021·山东青岛·二模）若矩形的周长是 cm，一边长是 cm，求它的面积．
【答案】（1+3 ）cm2
【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．
【详解】解：∵矩形的周长是 cm，一边长是 cm，
∴另一边长为： ﹣（ ﹣2）＝（17+7 ）cm．
∴矩形的面积为：（17+7 ）（ ﹣2）＝（1+3 ）cm2．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长和面积，利用周长求出矩形的边长是解题的关键．
二次根式（提升测评）
一、单选题
1．（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
2．（2022·上海普陀·二模）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】解：A.原式= ，符合题意；
B.不是同类二次根式，不符合题意；
C.不是同类二次根式，不符合题意；
D.原式= ，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的
概念．
3．（2022·广东番禺中学三模）若 ，则 等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式中被开方数是非负数，得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运
算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得： ，
解得：x＝2，故y＝-3，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数为非负数是解
题关键．
4．（2022·河北·一模）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知 ，从而得到 ，代值求解即可．
【详解】解：对于 ，
，
，解得 ，则 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查利用二次根式非负性求值，涉及到二次根式的运算，熟练掌握二次根式非负性是解决问
题的关键．
5．（2022·重庆南开中学三模）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】D
【分析】利用二次根式的混合运算法则将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：=
=
∵25<30<36，
∴5< <6，
∴7< <8，
即 的值在7和8之间，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出 的范围，熟练掌握二次根
式的混合运算法则是解题关键．
6．（2022·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且 ， ， 是一个三角形的三边
的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造矩形 ， E、F分别为 、 的中点，设 ， ，将所求三角形面积转
化为 即可求解．
【详解】解：如图，在矩形 中， E、F分别为 、 的中点，
设 ， ，
∴ ， ，
∴在 、 、 中，依次可得到：
，
，
，∴
．
故选：A
【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积
转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
二、填空题
7．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）当 时，代数式 的值为_______．
【答案】 ##
【分析】把 代入代数式 ，求出其值即可．
【详解】解：把 代入代数式 得：
原式=
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根
式混合运算法则，是解题的关键．
8．（2022·四川广安·二模）如图所示，化简 的结果是___________．
【答案】-2
【分析】根据数轴即可判断a和b的取值范围，即可判断 的符号，最后利用二次根式的
性质去根号即可化简．
【详解】解：由数轴可知 ，
∴ ， ，
∴原式
．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查数轴、二次根式的化简，利用数轴判断出 的符号是解题关键．
三、解答题
9．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将 ，
代入，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式＝＝
＝ ，
当 ， 时，
原式＝
＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公
式是解本题的关键．
10．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足 ，且 ，则有：
（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求 的值；
【能力提升】
(2)设 ，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知 ，其中，且 ．当 取得最小值时，求x
的取值范围．【答案】(1)
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为 ，再根据 ||取最小值时，确定x的取值范围．
(1)
(2)
，
∴S的整数部分2019；
(3)
由已知得： ，且 ，，
∵ ，
∴原式 ，
当 时，
；
当 时，
；
∴当 ，即 时， 取得最小值为2，
∴代数式取得最小值时，x的取值范围是： ．
【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮
点．
