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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 （ 全国通用 ）
专题11 二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点
为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
（2）在y轴上有一点M（0， m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐
标即可得出结论；
②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣
4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0， m），点C在线段
MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得
出m的取值范围即可；
②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，﹣2m）；
∵y＝﹣（x﹣m）2+2，
∴抛物线的顶点为D（m，2），
令x＝0，则y＝﹣m2+2，
∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，
∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．
②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．
如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
设点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．
∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，
∴△PAB的面积为： ×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，
∵﹣1＜0，
∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．
此时P（1，1）．
（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），
①∵y轴上有一点M（0， m），点C在线段MB上，
∴需要分两种情况：
当 m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得 ≤m≤1+ ，
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣ ，
∴m的取值范围为： ≤m≤1+ 或﹣3≤m≤1﹣ ．
②当 ≤m≤1+ 时，
∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；
当 m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣ ，
∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，
当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．
∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．
【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中
顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另
一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当
点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最
大值．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ，
解得： ；
（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣ m2+m＝﹣ （m﹣ ）2+ （0≤m≤3），
∵﹣ ＜0，
∴当m＝ 时，n的值最大，最大值是 ．
【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，
点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝ 时，求P点的
坐标．
【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即
可．【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，
得 ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣2x+2＞2，
当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，
解得x＝0或x＝﹣2，
由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣x+2＞x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，
①如图1，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝ ，
∴PD＝ ＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣2x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝± ﹣1，
由图象知此时P点在第三象限，
∴x＝﹣ ﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣ ﹣1，﹣ ），
③如图3，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝ ，
∴PD＝ ＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝± ﹣1，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x＝ ﹣1，
∴此时P点的坐标为（ ﹣1， ），
综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣ ﹣1，﹣ ）或（ ﹣1， ）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点
C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点 E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，
请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；
（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，
然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；
（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心， 为半径的圆上，进一步求得结果．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，∴m＝ ，
∴E （1， ），
1
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣ ，
∴E （1，﹣ ），
2
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E （1，﹣1），E （1，﹣2），
3 4
综上所述：点E（1， ）或（1，﹣ ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝ ＝2 ，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠ADP＝90°，
∴点P在以AD的中点I为圆心， 为半径的圆上，
∵BI＝ ＝ ，
∴PB最小 ＝ ﹣ ．
1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，
0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．
【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物
线C于点N．
①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的
最大值．
【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的
速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线
AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．
【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣
2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式即可求解；
【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，即| k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3 或3 ，
②MN＝（﹣k+6）﹣（ k2﹣4k+6）＝﹣ k2+3k，即可求解；
【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的
封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，
即 x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4 （舍去4﹣2 ），即可求解．
【解答】解：【问题背景】
A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），
将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为： …①；
【尝试探索】
①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，
直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，
四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，
设点N的坐标为：（x， k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），
即| k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3 或3 ，
故k的值为： ；
②联立①②并解得：x＝0或6，
故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，
MN＝（﹣k+6）﹣（ k2﹣4k+6）＝﹣ k2+3k，
∵ 0，故MN有最大值，最大值为 ；
【拓展延伸】
由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，
（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公
共部分，
（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，
即 x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4 （舍去4﹣2 ），
即x＝4+2 ，则t＝3+4+2 ＝7+2 ，
故t的取值范围为：2≤t≤ ．
2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），
（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；
（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；
（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段
BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．
【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C
（2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x
＝﹣1，求得M（﹣1，2）；
（3）由题意得出 E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知 EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣
（m+3），再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，
将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，
解得a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
则A（1，0），C（﹣3，0），
当x＝0时，y＝3，则B（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（0，3），C（﹣3，0）代入得 ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
所以点M坐标为（﹣1，2）；
（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），
则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，线段EF最长．
3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点
C，且CO＝BO，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；
（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是
否存在点 P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可
得到抛物线解析式；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析
式，再求DE即可；
（3）根据△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得： ＝ ，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为
（t，﹣t+3），建立关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∴CO＝3，
∵CO＝BO，
∴BO＝3，
∴B（3，0），
∵A（﹣1，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），
∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝2；
（3）∵PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
当 ＝ 时，△PCF∽△CDE，
由D（1，4），C（0，3），E（1，2），
利用勾股定理，可得CE＝ ＝ ，
DE＝4﹣2＝2，
设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），
∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝ ＝ t，
∴ ＝ ，
∵t≠0，
∴t＝2，
当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P坐标为（2，3）．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐
标原点，与x轴负半轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点
D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相
似时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限
交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG
的长．
【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入，即可求解；
（2）根据题意得OC＝2，AC＝4，设点D（x，﹣x2﹣4x），则DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根据∠ACO＝∠DEO＝90°，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝
∠ODE或∠AOC＝∠DOE，分两种讨论，即可求解；
（3）求出直线BD的解析式y＝ x+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线
AM的解析式为y＝ x+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为y＝ x+ ，联立方程组，
得到点F．G的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2，4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），
把点（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4．
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．
令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0，
解得：x ＝﹣4，x ＝0，
1 2
∴点B（﹣4，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4，0）；
（2）∵AC⊥x轴，点A （﹣2，4），
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2，AC＝4，
∵∠ACO＝∠DEO＝90°，
∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝
∠DOE，
设D（x，﹣x2﹣4x），
①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图：∵∠AOC＝∠ODE，
∴tan∠AOC＝tan∠ODE，
∴ ＝ ＝2，
∴ ＝2，
∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x），
∴x ＝0（舍去），x ＝﹣ 或x ＝0（舍去），x ＝﹣ ，
1 2 3 4
∴点D的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ， ）；
②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图：
∵∠AOC＝∠DOE，
∴tan∠AOC＝tan∠DOE，
∴ ＝ ＝2，∴ ＝2，
∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x，
∴x ＝0（舍去），x ＝﹣6或x ＝0（舍去），x ＝﹣2（舍去），
1 2 3 4
∴点D的坐标为（﹣6，﹣12）；
点D（﹣6，﹣12）；
综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（﹣
6，﹣12）或（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ， ）；
（3）∵在（2）的条件下，点D在第二象限，
∴点D的坐标为（﹣ ， ），
直线BD的解析式y＝kx+m，
∴ ，解得 ，
∴直线BD的解析式y＝ x+14，直线BD与y轴交于（0，14），
∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝ x+11，交y轴于（0，11），
∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，
∴直线FG的的解析式为y＝ x+ ，
联立得 ，解得 ， ，
∴F（﹣ ， ），G（﹣5，﹣5），
∴FG＝ ＝ ．
5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交
于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．
（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点
F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；
（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，
再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形
OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式，
得： ，
解得： ，
∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，顶点D坐标为（2，﹣9）；
（2）延长FG交y轴于点I，
∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9），
∴AE＝3，DE＝9，∴在Rt△EAD中，
，
∵EF∥AD，FG∥x轴，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，
∴在Rt△EHF中，EH＝3HF，
设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，
把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，
得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5，
解得： 或m＝ （舍去），
∴ ．
6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG
交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的
取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴
上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE
＝3PF，求QN的长．
【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t， t2﹣ t﹣4），则G（1﹣t， t2﹣ t﹣4），利用tan∠GCH＝ ＝ ，求出CN，即
可得出答案；
（3）过点P作PT⊥x轴于点T，可证得△PDH≌△PBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过
点 D 作 KF 的垂线，垂足为 R，KR 与 PH 交于点 M，再证得△DRF≌△QKF（ASA），过点 Q 作
QW∥PD，可证得△DPF≌△QWF（AAS），过点 Q 作 QZ⊥PE 于点 Z，再证明△EQZ≌△EPT
（AAS），再利用HL证明Rt△QWZ≌Rt△PBT，设EB＝m，运用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，设P（t， t2﹣ t﹣4），
∵抛物线的对称轴为直线 ，PG∥x轴，
∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，
∴G（1﹣t， t2﹣ t﹣4），
设PG与y轴交于点H，则H（0， t2﹣ t﹣4），
在抛物线 中，
令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
又CH＝ t2﹣ t﹣4﹣（﹣4）＝ t2﹣ t，GH＝t﹣1，
∵tan∠GCH＝ ＝ ，∴ ，
解得： ，
∴d与t之间的函数解析式为d＝ ；
（3）如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，
∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，
∴四边形PHOT为矩形，
∴∠HPT＝90°，
∴∠DPH＝∠BPT，
∵PD＝PB，
∴△PDH≌△PBT（AAS），
∴DH＝BT，PH＝PT，
∴ ，
解得：t ＝6，t ＝﹣2（舍），
1 2
∴P（6，6），
∴T（6，0），
∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，
过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，
∵PE＝3PF，
∴EF＝2PF，
∵cos∠PFM＝cos∠EFK，
∴ ，
∴FK＝2FM，
∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，
∴四边形PMKT为矩形，
∴MK＝PT＝6，
∴FM＝2，FK＝4，
同理四边形DHMR为矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，
∵∠DFR＝∠KFQ，
∴△DRF≌△QKF（ASA），
∴DF＝QF，
过点Q作QW∥PD，
∴∠DPF＝∠QWF
∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，
∴△DPF≌△QWF（AAS），
∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，
∴ ，
过点Q作QZ⊥PE于点Z，
∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，
∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，
∴△EQZ≌△EPT（AAS），
∴PT＝QZ，EZ＝ET，
∵QW＝PB，
∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL），
∴WZ＝BT，
∴EW＝EB．
设EB＝m，
则EW＝WF＝FP＝m，
∴EP＝3m，
∵BT＝2，
∴ET＝m+2，PT＝6，
在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2，
∴（3m）2＝（m+2）2+62，
解得： ，m ＝﹣2（舍），
2
∴ ，
∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，
∴OQ＝9，
∵ON＝2，
∴QN＝OQ+ON＝11．
7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，
抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大
时，求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解
析式即可；
（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积
即可；
（3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求
出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．
【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0），
∴OB＝1，
又∵OA＝OC＝3OB，
∴OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
将A，B，C三点代入解析式得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，
∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝ ＝2 ，|AC|＝ ＝3 ，|CD|＝
＝ ，
∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，
∴△ACD是直角三角形，
S△ABC ＝ |AC|•|CD|＝ × ＝3；
（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，
代入A，C点坐标，
得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHE＝∠OCA＝45°，
设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），
∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）× ＝﹣ （x+ ）2+ ，
∴当x＝﹣ 时，PE有最大值为 ，
此时P点的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐
标；
（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，
若EF＝ OC，求点P的坐标．
【分析】（1）设A（x ，0），B（x ，0），因为OB＝3OA，所以x ＝﹣3x ，又由于x ，x 是方程mx2
1 2 2 1 1 2
﹣2mx+3＝0的两根，所以x +x ＝2，从而求出x 的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即
1 2 1
可解决问题；
（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使△BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，
设M（a，﹣a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到 G（a，﹣a+3），从而得的MG＝﹣
a2+3a，利用S△MBC ＝S△MGC +S△MGB ，得到S△MBC ＝ ，当a＝ 时，△MBC面积最大，
从而求得M点坐标；
（3）由EF＝ 得EF＝1，过D作DQ∥y轴交BP于Q点，设出P点坐标，求出D点坐标和直线BP
解析式，从而表示出DQ的长度，由△PEF∽△PQD，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，
列出方程，即可解决．
【解答】解：（1）设A（x ，0），B（x ，0），
1 2
∵OB＝3OA，
∴x ＝﹣3x ，
2 1令y＝0，则mx2﹣2mx+3＝0，
∵x 与x 是方程的两根，
1 2
∴x +x ＝2，
1 2
又x ＝﹣3x ，
2 1
∴x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
将x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx+3，
代入点B的坐标得，k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设M（a，﹣a2+2a+3），
如图1，过M作MG∥y轴交直线BC于G点，则G（a，﹣a+3），
∴MG＝﹣a2+3a，
∴S△MBC ＝S△MGC +S△MGB ＝ ＝ ，
当a＝ 时，△MBC面积最大，此时△BCN的面积总小于△BCM的面积，
∴M（ ）；
（3）如图2，由（1）可得，OC＝3，
∴EF＝ ，
设P（t，﹣t2+2t+3），
∵B（3，0），
∴直线BP的解析式为y＝﹣（t+1）（x﹣3），
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，
∴Q（1，2t+2），∴DQ＝2﹣2t，
∵DQ∥y轴，
∴△PEF∽△PQD，
∴ ，
∴ ，
∴P（ ）．
9．（2021•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B
（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴
的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）△AMC的面积＝S△MHC +S△MHA ＝ ×MH×OA，即可求解；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣ m+ ），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即
当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）＝a（x﹣5）（x+1），
1 2
将点C的坐标代入上式得： ＝a（0﹣5）（0+1），解得a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为y＝﹣ （x﹣5）（x+1）＝﹣ x2+2x+ ；
（2）由抛物线的表达式得顶点M（2， ），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC的表达式为y＝kx+t，则 ，解得 ，
故直线AC的表达式为y＝﹣ x+ ，
当x＝2时，y＝ ，则MH＝ ﹣ ＝3，
则△AMC的面积＝S△MHC +S△MHA ＝ ×MH×OA＝ ×3×5＝ ；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，﹣ m+ ），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，
则EF2＝OD2＝m2+（﹣ m+ ）2＝ m2﹣ m+ ，
∵ ＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
故点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
故2＝﹣ x2+2x+ ，解得x＝2± ，
故点P的坐标为（2 ，2）或（2﹣ ，2）．
10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右
侧），与y轴交于点C．
（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，
若E为GA的中点，求m的值．
（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x ，y ），N（x ，y ）两点，其中x ＜x ．若x ﹣x ＞3且y ﹣y ＞
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
0，结合函数图象，探究n的取值范围．
【分析】（1）由y＝﹣（x﹣1）2+4中，得A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即
可得，直线CA的解析式为y＝﹣x+3；
（2）根据直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，可得D（m，﹣（m
﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），从而AF＝3﹣m，DE＝﹣m2+3m，而△EAF
是等腰直角三角形，可得AE＝ AF＝3 ﹣ m，△DEG是等腰直角三角形，即可列﹣m2+3m＝
（3 ﹣ m），解得m＝2或m＝3（舍去）；
（3）由 得 或 ，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，根据x ﹣x ＞3且y ﹣
2 1 2
y ＞0，可得3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，即解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，可得：
1
﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，即解得n＞7．
【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，
∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
设直线CA的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），
∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（3，0），C（0，3），
∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，
∴AE＝ AF＝3 ﹣ m，∠DEG＝∠AEF＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝ GE，
∵E为GA的中点，
∴GE＝AE＝3 ﹣ m，
∴﹣m2+3m＝ （3 ﹣ m），
解得m＝2或m＝3，
∵m＝3时，D与A重合，舍去，
∴m＝2；
（3）由 得 或 ，
①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：
∵x ﹣x ＞3且y ﹣y ＞0，
2 1 2 1
∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，
解得0＜n＜1；
②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：
﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，
解得n＞7，
综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．
11．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，m的值和点C的坐标；
（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当 ＝ 时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M
的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）设P（t，0），则有 ＝ ，解方程，可得结论．
（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
②CM′∥AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5），
∴5＝﹣20a，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣3）（x+6），
令y＝0，则﹣ （x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6，
∴C（3，0），
当x＝﹣5时，y＝﹣ ×（﹣8）×1＝2，
∴B（﹣5，2），
∴m＝2．（2）设P（t，0），则有 ＝ ，
整理得，21t2+242t+621＝0，
解得t＝﹣ 或﹣ ，
经检验t＝﹣ 或﹣ 是方程的解，
∴满足条件的点P坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）．
（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，
∴T（﹣3， ），
∵C（3，0），
∴直线CT的解析式为y＝﹣ x+ ，
由 ，解得 （即点C）或 ，
∴M（﹣ ， ），
②CM′∥AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y＝ x+ ，
∴直线CM′的解析式为y＝ x﹣ ，
由 ，解得 （即点C）或 ，
∴M′（﹣9，﹣9），综上所述，满足条件的点M的横坐标为﹣ 或﹣9．
12．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣ ），点B
（1， ）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已
知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜ ）的图象交点个数及对应的m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解．
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范围，
②通过数形结合求解．
【解答】解：（1）将A（0，﹣ ），点B（1， ）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴y＝x2+x﹣ ．
（2）∵y＝x2+x﹣ ＝（x+ ）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ．
∴当x＝﹣ 时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣ ）＞﹣ ﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣ ＝ ．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜ ．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜ ，
如图，当m＝﹣ 时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣ ＜m＜ ，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝ 关于抛物线对称轴直线x＝﹣ 对称后直线为x＝﹣ ，∴﹣ ＜m＜﹣ 时，PQ与图象有2个交点，
当﹣2≤m≤﹣ 时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣ 或﹣ ≤m 时，PQ与图象交点个数为1，﹣ ＜m＜﹣ 时，PQ与图象
有2个交点．
13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A
在点B的左边），交y轴负半轴于点C．
（1）则点A的坐标为 （﹣ 1 ， 0 ） ，点B的坐标为 （ 3 ， 0 ） ．
（2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD
于E，求证：AF＝DE．
（3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满
足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．【分析】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，解出x即可；
（2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H，证明∴&△FAO≌△DEH即可；
（3）令x^{2}﹣2 x﹣3＝kx+b得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，得出k与b的关系，然后求出D，E的坐标，
根据FE＝FD，列方程求出F的坐标．
【解答】（1）令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0
即x2﹣2x﹣3＝0
得x ＝3，x ＝﹣1
1 2
∴A（﹣1，0）B（3，0）
（2）过E，D分别作x轴，y轴的平行线，交于H．
令ax+a＝ax2﹣2ax﹣3a
得ax2﹣3ax﹣4a＝0，
∴x2﹣3x﹣4＝0
∴x ＝4，x ＝﹣1
1 2
∴x ＝4
D
∴EH＝AO＝1
＝∠AOF＝∠EHD，∠FAO＝∠DEH
∴△FAO≌△DEH
∴AF＝DE（3）令x^{2}﹣2 x﹣3＝kx+b
得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0
（2+k）2+4（3+b）＝0
∴
＝
＝
∴
∴
＝
∴ ，
∴
＝
＝
∴
＝
＝
∵EF＝DF
∴整理得
∴y ＝﹣
F
F的坐标为（1，﹣ ）
14．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tanC＝ ，
5OA＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积
为S，求S与t的函数解析式；
（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接 QH，若∠BQC＝
45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．
【分析】（1）c＝5，OC＝5，tanC＝ ，则OA＝3，5OA＝3OB，则OB＝5，故点A、B、C的坐标分
别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），即可求解；
（2）S＝ CE×（x ﹣x ）＝ ×（5+ t﹣5）×（t+5）＝ t2+ t；
Q B
（3）证明△CTE≌△QTJ（AAS），故 CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝
tan∠JCN，即 ，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q
（3m，5﹣6m），将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或 ，故点Q（4，﹣3），设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣ k2+ ），
QS＝y ﹣y ＝ k2﹣ ，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（ k2﹣ ）2+25＝k2，即可求解．
Q R
【解答】解：（1）c＝5，OC＝5，tanC＝ ，则OA＝3，
5OA＝3OB，则OB＝5，
故点A、B、C的坐标分别为：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），
则抛物线表达式为：y＝a（x+5）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣15），
即﹣15a＝5，解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2﹣ x+5；
（2）设点Q（t，﹣ t2﹣ t+5），点B（﹣5，0），
由点B、Q的坐标得：直线BQ的表达式为：y＝﹣ （t﹣3）（x+5），
故点E（0，﹣ t+5），
S＝ CE×（x ﹣x ）＝ ×（5+ t﹣5）×（t+5）＝ t2+ t；
Q B
（3）过点Q作QJ∥x轴交y轴于点N，交对称轴于点L，过点C作CT⊥BQ于点T，
延长CT交QJ于点J，过点Q作y轴的平行线交x轴于点K，交HR于点S，
则OKQN为矩形，OK＝QN＝t，由（2）知，CE＝ t，故QN：CE＝3：5，
设QN＝3m，则CE＝5m，
∵∠BQC＝45°，故CT＝QT，
∠EQN＝90°﹣∠NEQ＝90°﹣∠CET＝∠TCE＝∠JCN，
故△CTE≌△QTJ（AAS），
故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，
tan∠EQN＝tan∠JCN，即 ，
解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；
CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故点Q（3m，5﹣6m），
将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝0（舍去）或 ，
故点Q（4，﹣3），
抛物线的顶点D坐标为：（﹣1， ），
QL＝4+1＝5＝HS，
设：HR＝k，则点R（k﹣1，﹣ k2+ ），
QS＝y ﹣y ＝ k2﹣ ，
Q R
由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，
即（ k2﹣ ）2+25＝k2，
解得：k＝ （不合题意值已舍去），
故点R（ ﹣1，﹣6）．
15．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴
交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂
线与y轴交于点E．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个
最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性
质可求出线段OE的最大值；
（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB ＝S△BMH +S△MNH ＝ 即可求解．
【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
把A、B两点坐标代入上式， ，
解得： ，
故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥PE，
∴∠OPE+∠CPB＝90°，
∠CPB+∠PCB＝90°，
∴∠OPE＝∠PCB，
又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，
∴△POE∽△CBP，
∴ ，
设OP＝x，则PB＝3﹣x，
∴ ，∴OE＝ ，
∵0＜x＜3，
∴ 时，线段OE长有最大值，最大值为 ．
即OP＝ 时，点P在线段OB上运动至P（ ，0）时，线段OE有最大值．最大值是 ．
（3）存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0，y＝﹣3，
∴N点坐标为（0，﹣3），
设直线BN的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，
设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），
∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴S△MNB ＝S△BMH +S△MNH ＝ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴a＝ 时，△MBN的面积有最大值，最大值是 ，此时M点的坐标为（ ）．
16．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E
是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2 ．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是 ？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，
m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m
的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN＝ EF＝ ．求出MC＝﹣ m，当MC≥ ，即m≤﹣1时，当MC＜ ，即﹣1＜m＜
0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE＝ ＝﹣ m，
∵AE＝EF＝2 ，
∴﹣ m＝2 ，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF＝ ＝ ．
∴点F的坐标为（0，﹣2﹣ ）或（0，﹣2+ ）．
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得CN＝ EF＝ ．
根据题意，点N在以点C为圆心、 为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC＝ ＝﹣ m．
当MC≥ ，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC＝﹣ m﹣ ＝ ，解得m＝﹣ ；
当MC＜ ，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC＝
﹣（﹣ m）＝ ，解得m＝﹣ ．
∴当m的值为﹣ 或﹣ 时，MN的最小值是 ．
17．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（ ， ）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直
线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段
PQ的长最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x轴正半轴的夹角为60°，故
设CD的表达式为：y＝﹣ x+b，而OB中点的坐标为（ ， ），将该点坐标代入CD表达式，即
可求解；
（3）过点P作y轴额平行线交CD于点Q，PQ＝﹣ x+ ﹣（ x2﹣ x）＝﹣ x2﹣
x+ ，即可求解．
【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，∵BO⊥AD，
则∠BOA+∠BOC＝90°，∠BOC+∠OCA＝90°，
∴∠OCA＝∠BOA＝30°，
则CD与x轴负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y＝﹣ x+b，而OB中点的坐标为（ ， ），
将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝ ，
故直线CD的表达式为：y＝﹣ x+ ；
（3）设点P（x， x2﹣ x），则点Q（x，﹣ x+ ），
则PQ＝﹣ x+ ﹣（ x2﹣ x）＝﹣ x2﹣ x+ ，
∵ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，PQ有最大值，
此时点P的坐标为（﹣ ， ）．
18．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣ ），点F（2，1）为其
对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线
l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点 D（4，3），请在抛物线上找一点 Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把
点B坐标代入求出a即可．
（2）由题意P（m， m2﹣ m﹣ ），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点 Q 作 QH⊥直线 l 于 H，过点 D 作 DN⊥直线 l 于 N．因为△DFQ 的周长＝
DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ＝2 ，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂
线段最短解决问题即可．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣
1，
∵抛物线经过B（0，﹣ ），
∴﹣ ＝4a﹣1，
∴a＝
∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣2）2﹣1．
（2）证明：过点P作PJ⊥AF于J．
∵P（m，n），
∴n＝ （m﹣2）2﹣1＝ m2﹣ m﹣ ，
∴P（m， m2﹣ m﹣ ），
∴d＝ m2﹣ m﹣ ﹣（﹣3）＝ m2﹣ m+ ，∵F（2，1），
∴PF＝ ＝ ＝ ，
∵d2＝ m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ，PF2＝ m4﹣ m3+ m2﹣ m+ ，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝ ＝2 ，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
由（2）可知QF＝QH，
∴DQ+QF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN
上，
∴DQ+QH的最小值为6，
∴△DFQ的周长的最小值为2 +6，此时Q（4，﹣ ）．
19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣ x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作
AC⊥x轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；
（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；
（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长
为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．【分析】（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y＝0，即可求出D坐标，根据A、C两点
横坐标相等，即可求出点C坐标．
（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．
（3）设点P（x， x2﹣ x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即
可解决问题．
【解答】解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y＝ax2﹣ x+c，得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣ x．
当x＝6时，y＝2×6﹣2＝10，
当y＝0时，2x﹣2＝0，解得x＝1，
∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）
（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，
∵点D（1，0），A（6，0），可得AD＝5，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝5 ，
∵点A与点A′关于直线y＝2x﹣2对称，
∴∠AED＝90°，
∴S△ADC ＝ × •AE＝ ×5×10，
解得AE＝2 ，
∴AA′＝2AE＝4 ，DE＝ ＝ ，
∵∠AED＝∠AFA′＝90°，∠DAE＝∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，
∴ ＝ ＝ ，
解得AF＝4，A′F＝8，
∴OF＝8﹣6＝2，
∴点A′坐标为（﹣2，4），
当x＝﹣2时，y＝ ×4﹣ ×（﹣2）＝4，
∴A′在抛物线上．
（3）∵点P在抛物线上，则点P（x， x2﹣ x），
设直线A′C的解析式为y＝kx+b，
∵直线A经过A′（﹣2，4），C（6，10）两点，
∴ ，解得 ，
∴直线A′C的解析式为y＝ x+ ，
∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x， x+ ），
∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，
∴l＝（ x+ ）﹣（ x2﹣ x）＝﹣ x2+ x+ ，
∴l与x的函数关系式为l＝﹣ x2+ x+ ，（﹣2＜x≤6），
∵l＝﹣ x2+ x+ ＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当x＝ 时，l的最大值为 ．20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于
点B，连接AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．
①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；
②当点F到直线AE的距离为 时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐
标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据旋转的性质，可得关于n的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得 F点的坐标，根
据面积的和差，可得答案；
②根据相似三角形的判定与性质，可得HG＝CG＝ ，根据勾股定理，可得HC，根据平移的规律，
可得直线l，直线l ，根据解方程组，可得答案．
1
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），E（4，5）点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+5，
（2）①设AE的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），E（4，5）点坐标代入，得
，
解得 ，
AE的解析式为y＝x+1，
x＝0时，y＝1即C（0，1），
设F点坐标为（n，n+1），
由旋转的性质得，OF＝OB＝5，
n2+（n+1）2＝25，解得n ＝﹣4，n ＝3，
1 2
F（﹣4，﹣3），F（3，4），
当F（﹣4，﹣3）时如图1 ，
S△ABF ＝S△BCF ﹣S△ABC ＝ BC•|x
F
|﹣ BC•|x
A
|＝ BC•（x
A
﹣x
F
）
S△ABF ＝ ×4（﹣1+4）＝6；
当F（3，4）时，如图2 ，
S△ABF ＝S△BCF +S△ABC ＝ BC•|x
F
|+ BC•|x
A
|＝ BC•（x
F
﹣x
A
）S△ABF ＝ ×4（3+1）＝8；
②如图3 ，
∵∠HCG＝∠ACO，∠HGC＝∠COA，
∴△HGC∽△COA，
∵OA＝OC＝1，∴CG＝HG＝ ，
由勾股定理，得
HC＝ ＝2，
直线AE向上平移2个单位或向下平移2个单位，
l的解析是为y＝x+3，l 的解析是为y＝x﹣1，
1
联立 解得x ＝ ，x ＝ ，
1 2
，解得x ＝ ，x ＝ ，
3 4
交点的坐标为（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ，
）．
