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专题 11 与圆有关的位置关系（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，O为线段BC的中点，⊙O的半径为1，点M是AB边
上的动点，过点M作⊙O的一条切线MN（点N为切点），则线段MN的长不可能为（ ）
A．√2 B．√3 C．√11 D．√15
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及勾股定理．首先连接OA，OM，ON，根
据勾股定理知M N2=OM2−ON2，可得当OM⊥AB时，即线段MN最短，然后由勾股定理即可
求得答案．
【详解】解：连接OA，OM，ON，
∵在边长为4的等边三角形ABC中，O为线段BC的中点，
1
∴OB= BC=2，AO=√AB2−OB2=2√3，
2
∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥MN；
根据勾股定理知M N2=OM2−ON2，
∵ON为定值，
∴当OM的值最小时，MN的值最小，当OM的值最大时，MN的值最长，
∴当OM⊥AB时，线段MN最小，当M与点A重合时，线段MN最长，∵在Rt△AOB中， OA=OB=4√2，
∴AB=√OA2+OB2=8，
1 1
∵S = AO·BO= AB·OM，
△ABO 2 2
OA·OB
∴OM= =√3，
AB
∴线段MN最小值=√OM2−ON2=√2，线段MN最大值=√OM2−ON2=√11．
∴√2≤MN≤√11，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
与AC相交于点F，连接DE．若AC=8，BC=6，则DE的长是（ ）
4√10 8√10 80 8
A． B． C． D．
9 9 27 3
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】连接OE，AE，首先根据勾股定理求出AB=√AC2+BC2=10，然后证明出
40 10
△BCA∽△BEO，利用相似三角形的性质得到OE= ，BE= ，证明出△DBE∽△EBA，利用
9 3
8√10
相似三角形的性质求出DE= ．
9
【详解】如图所示，连接OE，AE，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=√AC2+BC2=10，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEB=90°，
∴AC∥OE，
∴∠A=∠EOB，
∴△BCA∽△BEO，
OE OB BE OE 10−OE BE
∴ = = ，即 = = ，
AC AB 6 8 10 6
40 10
∴OE= ，BE= ，
9 3
10 8
∴CE=CB−BE=6− = ，
3 3
8
∴AE=√AC2+CE2= √10，
3
∵∠OEB=90°，
∴∠OED+∠DEB=90°，
∵∠ODE+∠EAD=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠EAD=∠DEB，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△EBA，
10
DE BE DE 3
∴ = ，即 = ，
AE AB 8 10
√10
3
8√10
∴解得DE= ．
9
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等
知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．如图，PA,PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA,PB于点M，N，若
PA=6.5cm，则△PMN的周长是（ ）A．6.5cm B．10cm C．12.5cm D．13cm
【答案】D
【分析】利用切线长定理，得PA=PB，AM=CM，BN=CN，即可证明C =PA+PB．
△PMN
【详解】解：∵PA,PB分别切⊙O与点A，B，
∴PA=PB，
同理AM=CM，BN=CN，
∴C =PM+MN+PN=PM+MC+CN+PN=PA+PB=13cm．
△PMN
故选：D．
【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练运用切线长定理．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABDE中，AB是直径，∠E＝106°，过D点的切线DC与AB延长线
交于点C，则∠C的度数为（ ）
A．58° B．32° C．74° D．48°
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接OB，首先利用圆内接四边形对角互补求出∠ABD，利用等腰三角形两底角度数相等求
出∠ODB，再利用切线的性质求出∠ODC、∠BDC，最后利用三角形外角性质求出∠C．
【详解】解：连接OD，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∠E＝106°，
∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝74°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD＝74°，
∵过D点的切线DC与AB延长线交于点C，
∴∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣74°＝16°，
∵∠ABD＝∠C+∠BDC，
∴∠C＝∠ABD﹣∠BDC＝74°﹣16°＝58°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆内接四边形、切线、等腰三角形、三角形外角的性质与运用等知识点，由圆内
接四边形对角互补求出∠ABD的长度是解答本题的关键．
5．把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置于桌面上，AB与螺母相切，D为螺母与桌面
的切点，∠CAB=60°．若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A．12√3cm B．12cm C．6√3cm D．4√3cm
【答案】A
【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算
【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为
1
∠DAB的平分线，OD⊥AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD= ∠DAB=60°，根据三角函数的定
2
义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD⊥AC，OD⊥AC，又∠CAB=60°，
1
∴∠OAE=∠OAD= ∠DAB=60°，
2
在Rt AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
△ OD OD
∴tan∠OAD=tan60°= ，即 =√3，
AD 6
∴OD=6√3cm，
则圆形螺母的直径为12√3cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟
练掌握性质及定理是解本题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．
则∠ODB的度数是（ ）．
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】B
【知识点】等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是其所对
圆心角的一半即可求出∠ABD的度数，根据OB=OD，得出∠ODB=∠ABD，即可得出答案．
【详解】∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵∠ABD与∠AOD所对的弧相同，
1
∴∠ABD= ∠AOC=25°，
2
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABD=25°，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是求出∠AOC
的度数．
7．如图，⊙O与△ABO的边AB相切，切点为B，将△ABO绕点B顺时针旋转得到△O' A'B，使
点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C，∠A=25°，则∠OCB为（ ）
A．85° B．87.5° C．88° D．90°
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、切线的性质定理、等边三角形的判定和性质
【分析】
本题考查了切线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质；
根据切线的性质得到∠OBA=90°，连接OO′，根据旋转的性质得∠ABA′=∠OBO′，OB=O′B，
证明△OO′B为等边三角形，得到∠OBO′=60°，所以∠ABA′=60°，然后利用三角形外角的性
质计算∠OCB．
【详解】
解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
连接OO′，如图，∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O' A'B，
∴∠ABA′=∠OBO′，OB=O′B，
∴O′B=OB=OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′=60°，
∴∠ABA′=60°，
∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°．
故选：A．
4
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，以点C为圆心，r为半径，作⊙C，当r＝3
5
时，⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系、已知余弦求边长
【分析】如图，作CD⊥AB，由余弦值求 AC的值，在Rt△ABC中，由勾股定理求
1 1
BC=√AB2−AC2，由S = ×AC×BC= ×AB×CD求得CD的值，比较CD与半径的大小，
△ABC 2 2
即可判断位置关系．
【详解】解：如图，作CD⊥AB4
∵AB＝5，cosA＝
5
∴AC=4
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2−AC2=3
1 1
∵S = ×AC×BC= ×AB×CD
△ABC 2 2
12
∴CD=
5
12
∵ <3
5
∴以点C为圆心，3为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交
故选C．
【点睛】本题考查了余弦，勾股定理，直线与圆的位置关系．解题的关键在于确定圆心到直线的距
离．
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若
∠C=50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】切线的性质定理
【分析】根据切线的性质求出∠BCA，根据直角三角形的性质求出∠ABC，由等腰三角形的性质和
三角形的内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠BCA=90°，
∵∠C=50°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=40°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=40°+40°=80°，
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及三角形的内角和定理，掌握切线的性质
和直角三角形的边角关系是正确计算的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AD6 D．r≥6
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】此题考查直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小
关系完成判定．根据直线l和⊙O相交⇔d6．
故选：C．
12．如图，在⊙O中，AB为弦，OQ⊥AB于点Q，∠BOQ=57°，过点A作圆O的切线，交OQ
的延长线于点P，则∠P的度数为（ ）
A．47° B．37° C．33° D．63°
【答案】C
【知识点】切线的性质定理、利用垂径定理求值、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了垂径定理，切线性质，直角三角形两个锐角互余，连接OA，根据垂径定理可得
∠AOQ=∠BOQ=57°，由切线性质可得OA⊥AP，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，连接OA，∵OQ⊥AB，∠BOQ=57°，
∴∠AOQ=∠BOQ=57°，
∵AP为圆的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠P=90°−∠AOP=90°−57°=33°，
故选：C．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P=80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数
是（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】D
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠AOB，进而在AB的优弧上找一点E，连接
EA、EB，根据圆周角及内接圆的性质即可解答．
【详解】解：连接OA、OB，AB所在的优弧上找一点E，连接EA、EB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=180°−∠P=100°，
∴∠AEB=50°，
∵四边形ACBE是⊙O内接四边形，∴∠E+∠ACB=180°，
∴∠ACB=130°，
故选D．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性
质是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，
AB 1 AD
切点为E．若 = ，则 的值是（ ）
CD 3 CD
2 √5 3 √7
A． B． C． D．
3 3 4 4
【答案】B
【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次
方程
【分析】作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股
定理求解在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到DE可求解．
【详解】解：如图所示，作CF⊥AB延长线于F点，连接DE，
∵AD⊥AB，AB∥CD，
∴∠FAD=∠ADC=∠F=90°，
∴四边形ADCF为矩形，AF=DC，AD=FC，∴AB为⊙D的切线，
由题意，BE为⊙D的切线，
∴DE⊥BC，AB=BE，
AB 1
∵ = ，
CD 3
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF=AF−AB=CD−AB=2a，BC=BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2=CD2−CE2=9a2−x2，
在Rt△BFC中，FC2=BC2−BF2=(a+x) 2−(2a) 2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2−x2=(a+x) 2−(2a) 2，
解得：x=2a或x=−3a（不合题意，舍去），
∴CE=2a，
∴DE=√CD2−CE2=√9a2−4a2=√5a=AD，
AD √5a √5
∴ = = ，
CD 3a 3
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，切线长定理的应用，，以及勾股定理的应用，一元二次
方程的应用等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
4
15．如图，在平面直角坐标系中直线y= x−4与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的
3
4
⊙C，从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线y= x−4相切时，
3
则该圆运动的时间为（ ）
A．6秒 B．8秒 C．6秒或8秒 D．6秒或16秒
【答案】D【知识点】一次函数与几何综合、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】求出A(3,0)，B(0,−4)，分两种情况画出图形，由切线的性质及相似三角形的判定与性
质可求出答案．
4
【详解】解：直线y= x−4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
3
当x=0时，y=−4，
4
当y=0时， x−4=0，x=3，
3
∴A(3,0)，B(0,−4)，
∴OA=3，OB=4，
如图，当点C在线段OB上时，
∵⊙C AB
与 相切，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDB=∠BOA，
又∵∠CBD=∠OBA，
∴△CDB∽△AOB，
CD BC
∴ = ，
OA AB
1.5 BC
∴ = ，
3 5
5
∴BC= ，
2
5 3
∴OC=4− = ，
2 2
3 3
∴运动的时间为( + )÷0.5=6（秒），
2 2
当点C在线段OB的延长线上时，同理△CBE∽△ABO，BC CE
∴ =
AB OA
，
5
∴BC= ，
2
3 5
则运动的时间为( +4+ )÷0.5=16（秒）．
2 2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练
掌握切线的性质是解题的关键．
二、填空题
16．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=4，则DE
的长为 ．
【答案】√5−1/−1+√5
【知识点】利用垂径定理求值、由平行截线求相关线段的长或比值、等边三角形的判定和性质、用
勾股定理解三角形
【分析】连接OA,OE，连接CO交EF于点M，延长CO交AB于点N．求得AN,CN，得出OA，
证明DG是△ABC的中位线，求出DG=2，证明△CGD是等边三角形，求出CM，OM，结合勾股
定理求出ME，从而可求出DE的长．
【详解】解：连接OA,OE，连接CO交EF于点M，延长CO交AB于点N．∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC=AB=4,∠ACB=∠BAC=∠ABC=60°，
1
由作图得，AN= AB=2,CN=√AC2−AN2=√42−22=2√3，
2
∴OA2=(2√3−OA) 2+22,
4√3
∴OA= ．
3
∵D是BC的中点，
∴BD=CD,
∵EF∥AB,
CG CD
∴ = =1，
AG BD
∴CG=AG,即点G是AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
1
∴DG= AB=CD=2，
2
又∠ACB=60°，
∴△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
1
∴DM=MG= DG=1,
2
∵CD=2,
∴CM=√22−12=√3．
4√3
∵OE=OC=OA= ,
3
√3
∴OM=OC−CM=
3
∴EM=√OE2−OM2=√5,∴DE=EM−DM=√5−1．
故答案为：√5−1．
【点睛】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理等知识，
能够证得△CDG为等边三角形是解答此题的关键．
17．如图，E为平行四边形ABCD中AD延长线上一点，且BE=BA，ΔABE的外接圆交CD于F，
若CF:DF=1:2，则AF:BC为 ．
【答案】√3
【分析】如图，延长AF交BC的延长线于M，连接BF，作BN⊥AE．首先证明BM是⊙O的切线，
CM MF CF 1
可得BM2=MF•MA，由CM∥AD，推出 = = = ，设FM=m，CM=n，则AF=2m，求出
AD FA FD 2
m与n之间的关系即可解决问题；
【详解】解：如图，延长AF交BC的延长线于M，连结BF，OF，作BN⊥AE，
∵BA=BE，BN⊥AE，
∴AN=NE，
∴BN经过圆心O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BM，
∴BN⊥BM，
∴BM是⊙O的切线，
∴∠CBF+∠OBF=90°，即∠OBF=90°−∠CBF，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
在ΔOBF中，∠FOB+∠OBF+∠OFB=180°，
将∠OBF=90°−∠CBF代入得，∠FOB=2∠CBF，
1
∵∠FAB= ∠FOB，
2
∴∠CBF=∠FAB，
在ΔMFB和ΔMBA中，
¿，
∴ΔMFB∼ΔMBA
BM FM
则 = ，
AM BM
∴BM2=MF⋅MA，
∵CM//AD，
CM MF CF 1
∴ = = = ，
AD FA FD 2
设FM=m，CM=n，则AF=2m，
AD=BC=2n，BM=3n，
∴9n2=m⋅3m，
∴m=√3n，
AF 2√3n
∴ = =√3．
BC 2n
故答案为：√3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形的外心、切线的判定和性
质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考选择题中的压轴
题．
18．如图，点A到直线l的距离为3,⊙A的半径为2,C,P分别为⊙A和l上的动点，且PC始终与
⊙A相切于点C．以PC为直角边作Rt△PBC，且使∠C=90°,∠P=30°，则斜边PB的最小值为
．
2√15 2
【答案】 / √15
3 3
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】连接AC，AP，根据题意，PC最小时，斜边PB有最小值，则当AP⊥l时，AP最小，即可求出PB最小值．
【详解】如图，连接AC，AP，
∵PC是⊙A的切线，
∴AC⊥PC，
∴∠ACP=90°，
又∵∠BCP=90°，
∴∠ACP+∠BCP=180°，
∴点A，C，B三点共线，
在Rt△ACP中，PC=√AP2−AC2=√AP2−4，
∵∠BPC=30°，∠BCP=90°，
1
∴BC= PB，
2
由勾股定理得：PB2=PC2+BC2，
2√3
∴PB= PC，
3
要使PB最小，则需PC最小，
∴当AP⊥l时，AP最小值为3，
∴此时PC=√5，
2√3 2√15
∴斜边PB的最小值为： ×√5= ，
3 3
2√15
故答案为： ．
3
【点睛】此题考查了圆的性质，圆的切线性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是正确找
到点P的位置，使得斜边PB的值最小.
19．AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，BC经过圆心．若∠C=40°，则∠B= ．【答案】25°
【知识点】切线的性质定理、圆周角定理
【分析】本题考查了圆的切线的性质，一般作法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定
理图，得出垂直关系；同时要熟练掌握圆的切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经
过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．连接OA，根
据切线性质得∠OAC=90°，再由三角形的内角和求出∠AOC的度数，并根据同圆的半径相等求
出结论．
【详解】解：连接OA，
∵AC ⊙O
是 的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=90°−40°=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOC=∠B+∠OAB=50°，
∴∠B=25°，
故答案为：25°．
20．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点F，G．点H是优弧FmG上任意一
点，则∠FHG= °．【答案】36
【知识点】正多边形和圆的综合、切线的性质定理、圆周角定理
【分析】本题考查了正多边形的内角和，切线的性质，圆周角定理等知识．熟练掌握正多边形的内
角和，切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
(5−2)×180°
由题意知，∠A= ，如图，连接OF，OG，由切线的性质可得
5
∠OFA=90°=∠OGA，则∠FOG=360°−∠OFA−∠OGA−∠A，由圆周角定理可得
1
∠FHG= ∠FOG，计算求解即可．
2
(5−2)×180°
【详解】解：由题意知，∠A= =108°，
5
如图，连接OF，OG，
∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点F，G，
∴∠OFA=90°=∠OGA，
∴∠FOG=360°−∠OFA−∠OGA−∠A=72°，
∵F´G=F´G，
1
∴∠FHG= ∠FOG=36°，
2
故答案为：36．
21．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连结AO并延长交⊙O于点C，连结BC．
若∠A=26°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】32°
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理【分析】连接OB，如图，先根据切线的性质得到∠ABO=90°，再利用互余计算出∠AOB=64°，然
后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．
【详解】解：连接OB，如图，
∵AB为圆O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-26°=64°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=32°，
2
故答案为：32°．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点
的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理，掌握切线的性质是解题关键．
22．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于
点D，E，若PA=6cm，则△PDE的周长是 cm．
【答案】12
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理；
根据切线长定理可得PB=PA=6cm，DC=DA，EC=EB，求出△PDE的周长为PA+AB即可．
【详解】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PB=PA=6cm，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DA，EC=EB，
∴△PDE的周长为：PD+PE+DE=PD+PE+DC+EC=PD+PE+DA+EB=PA+AB=12cm，
故答案为：12．23．如图，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AC过圆心O，且交⊙O于点D．若AB=6，
CD=2AD，则AC的长度为 ．
【答案】6√3
【知识点】圆周角的概念辨析、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，勾股定理等；连接OB，由圆的基本性质得
AD=OD=OB，由切线的性质得OB⊥AB，由勾股定理得AB=√OA2−OB2，即可求解；掌握切
线的性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：连接OB，
∴CD=2OD
，
∵ CD=2AD，
∴AD=OD=OB，
∴AC=3OB，
OA=2OB，
∵ AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
∴AB=√OA2−OB2，
∴6=√(2OB) 2−OB2，
解得：OB=2√3，
∴AC=6√3；
故答案：6√3．
24．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径=
．
【答案】1【知识点】判断三边能否构成直角三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】先将b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19变形成(√b−1−2) 2+|c−3|+(a−4) 2=0，然后
根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据
直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【详解】解：b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19
(√b−1 2 −4√b−1+4)+|c−3|+(a2−8a+16)=0
(√b−1−2) 2+|c−3|+(a−4) 2=0
则√b−1−2=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
a+c−b 3+4−5
∴△ABC的内切圆半径= = =1．
2 2
故答案为1．
【点睛】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌
握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，BE=8，
⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F．
（1）若∠DBE=40°，则D´E的长为 ；
（2）若EF=6，则CE= ．
16π 16
【答案】 / π 2.24
9 9
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求弧长、切线的性质定理
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质
及定理是解题关键．
①先证明BE是⊙O的直径，再求得∠DOE=80°，最后利用弧长公式进行计算即可；
②先证明△BEF∽△ACB，得到BE:AC=EF:BC=6:8，设BE=6m，则AC=8m，则，由勾股定理可得方程 ，求出m的值，最后得出答案．
CE=8m−8 (8m−8) 2+(6m) 2=82
【详解】①如图，连接OD，
∵∠C=90°，
∴BE是⊙O的直径，
∵BE=8，
∴OE=OB=4，
∵∠DBE=40°，OD=OB，
∴∠DBE=∠ODB=40°，
∴∠DOE=80°，
80°⋅π⋅4 16π
∴ ^DE的长为 = ，
180° 9
16π
故答案为： ；
9
②∵EF是⊙O的切线，
∴∠BEF=90°，
在Rt△BEF中，EF=6，BE=8，
∴BF=√AE2+BE2=10，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE，
又∠C=∠BEF=90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴EF:BE=BC:AC=6:8，
设BC=6m，则AC=8m，则CE=8m−8，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2=BE2，
即(8m−8) 2+(6m) 2=82，
解得：m=1.28或m=0（不合题意，舍去），∴CE=8m−8=2.24．
故答案为：2.24
三、解答题
26．如图，在锐角△ABC中，AB=BC，以BC为直径画⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点
E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AC=4AE，DE=√3时，求劣弧C´D的长．
2
【答案】（1）见详解；（2） π
3
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长
【分析】（1）连接OD，由直径所对圆周角性质可得∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得到
∠CBD=∠ABD，由OD=OB，∠ODB=∠ABD，可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得
到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝
60°，利用勾股定理求出AE，CD，然后根据扇形弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，BD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵AB=BC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
在Rt ADE中，根据勾股定理AD2=DE2+AE2，
∵DE△ =√3，
∴（2AE）2=（√3）2+AE2，
解得AE=1，
∴AD＝CD＝2AE＝2，
60π×2 2
∴劣弧C´D的长= = π．
180 3
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾
股定理，扇形弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于A，连接PO，过点B作BC∥PO，与
⊙O交于点C，连接PC．(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若AB=6，BC=4，求PA的长度．
【答案】(1)见解析
3√5
(2)
2
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、半圆（直径）所对的圆
周角是直角、用勾股定理解三角形
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质得到∠OAP=90∘，利用平行线性质结合等量代换得到
∠AOP=∠COP，证明△AOP≌△COP(SAS),得到∠OCP=∠OAP=90∘，即可证明PC是⊙O
的切线；
（2）连接AC，利用圆周角定理得到∠ACB=90∘，利用勾股定理得到AC，证明△AOP∽△CBA，
利用相似的性质即可得到PA的长度．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵PA ⊙O
是 的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90∘，
∵BC∥PO，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，
¿，
∴△AOP≌△COP(SAS)，
∴∠OCP=∠OAP=90∘，
∴OC⊥CP ，
又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，∵AB ⊙O AB=6
是 的直径， ，
∴∠ACB=90∘，OA=3，
∴在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√62−42=2√5，∠OAP=∠BCA=90∘，
又∵∠AOP=∠CBA，
∴△AOP∽△CBA，
OA AP 3 PA
∴ = ，即 = ，
BC CA 4 2√5
3√5
解得：PA= ．
2
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行线性质，全等三角形性质和判定，直径所对的圆周角
是直角，勾股定理，相似三角形性质和判定，掌握以上知识是解题的关键．
28．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）EF=1.
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可；
1
（2）过O作OG⊥AF于G，得到AF=2AG，根据直角三角形的性质得到AG= OA=1，得到
2
AF=2，推出四边形AODF是菱形，得到DF∥OA，DF=OA=2，于是得到结论．
【详解】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∵AF=2AG，
∴∠BAC=60°，OA=2，
1
∴AG= OA=1，
2
∴AF=2，
∴AF=OD，
∴四边形AODF是菱形，
∵DF∥OA，DF=OA=2，
∴∠EFD=∠BAC=60°，
1
∴EF= DF=1．
2
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，属于中考常考题型．
29．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC
交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠DAB=30°,⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
4
(3)若sin∠EAF= ,DF=4，求AE的长．
5
【答案】(1)证明见解析
2
(2)2√3− π
3
24
(3)
5
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积、相似三角形的判定与性质综
合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AE即可得到OD⊥DE，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）先求出∠DOB=60°，解直角△ODF求出DF的长，然后根据S =S −S 进行求解
阴影 △ODF 扇形BOD
即可；
5
（3）先证明∠DOF=∠EAF，解直角△DOF得到OF= DF=5，则OA=OD=√OF2−DF2=3，
4
AE AF AF⋅OD 24
即可求出AF=OA+OF=8，证明△AEF∽△ODF得到 = ，则AE= = ．
OD OF OF 5
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵D为弧BC中点，
∴B´D=C´D，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵EF是切线，
∴∠ODF=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠DOB=∠OAD+∠ODA=60°，
∴DF=OD⋅tan∠DOF=2√3，
∴S =S −S
阴影 △ODF 扇形BOD
1 60×π×22
= ×2×2√3−
2 360
2
=2√3− π
3
（3）解：∵OD∥AE，
∴∠DOF=∠EAF，
∵∠ODF=90°
DF 4
∴sin∠EAF=sin∠DOF= = ，
OF 5
5
∴OF= DF=5，
4
∴OA=OD=√OF2−DF2=3，
∴AF=OA+OF=8，
∵OD∥AE，
∴△AEF∽△ODF
AE AF
∴ = ，
OD OFAF⋅OD 24
∴AE= =
OF 5
【点睛】本题主要考查了圆切线的性质与判定，扇形面积，三角形面积，相似三角形的性质与判定，
解直角三角形，勾股定理，平行线的性质与判定，等腰对等角，三角形外角的性质，正确作出辅助
线是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切，切点为D，
连接AD，⊙O与AB相交于点E．
(1)求证：AD是∠BAC的角平分线；
(2)若BE=4，BD=8，求AC的长．
【答案】(1)见解析；
48
(2)AC= ．
5
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质
及判定是解本题的关键．
（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；
（2）设OE=OD=r，再根据勾股定理列式求出r，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵BC ⊙O
与 相切，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
又∠C=90°=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BD是圆的切线，
∴∠ODB=90°，
在Rt△BOD中，BD2+OD2=BO2；
∵若BE=4，BD=8，
设圆的半径OE=r，
∴r2+82=(r+4) 2
解得：r=6，
∴OE=6，
∴AB=16，
∵OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB，
OD OB
∴ = ，
AC AB
6 10
∴ = ，
AC 16
48
∴AC= ．
5
31．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足
为E，延长CA交⊙O于点F．(1)求证：∠BAF=2∠B；
1
(2)若AE=3,tanB= ，求AF的长．
2
【答案】(1)见解析
(2)9
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、已知正切值求边长、圆与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）如图：连接OD．根据切线的性质可得OD⊥DE，进而得到∠CED=∠ODE=90°，
即OD∥AC，则∠B=∠ODB，然后得到∠B=∠C，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）如图：连接DF，DA,根据圆周角定理结合（1）的相关结论可得∠F=∠C，即DF=DC；再
根据等腰三角形的性质可得FE=EC，然后再证△DAE∽△CDE可得DE:CE=AE:DE，最后根
据正切的定义列比例式求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接OD．
∵DE是⊙O的切线．
∴半径OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°．
∴OD∥AC，
∴∠C=∠ODB．
∵OD=OB．
∴∠B=∠ODB．
∴∠B=∠C，
∴∠BAF是△ABC的外角，
∴∠BAF=∠B+∠C=2∠B．
（2）解：如图：连接DF，DA,∵∠F=∠B，∠B=∠C，
∴∠F=∠C．
∴DF=DC．
∵DE⊥CF．
∴FE=EC．
∵AB是圆的直径．
∴∠ADB=90°．
∴∠ADC=90°．∠ADE+∠CDE=90°．
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°．
∴∠C=∠ADE．
∴△DAE∽△CDE
∴DE:CE=AE:DE，
AB AB 3
在Rt△AED中，tan∠ADE= ,DE= = =6,
BD tan∠ADE tanB
∴6:CE=3:6，
∴CE=12，
∴EF=EC=12，
∴AF=EF−AE=12−3=9．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和
性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
32．如图，AB为⊙O，C为AB的中点，D为OC延长上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接
BO并延长，交⊙O点E，直线DA于点F．
（1）求证：∠B=∠D；1
（2）若AF=4√2,sinB= ，求⊙O的半径．
3
【答案】（1）见解析；（2）7
【知识点】与三角形中位线有关的证明、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、已知正
弦值求边长
【分析】（1）证明：如图，连接OA．由DA与⊙O相切，切点为A，OA为⊙O的半径，可得
DA⊥OA．∠OAD=90°，∠OAC+∠CAD=90°．由OA=OB，C为AB的中点，
OC⊥AB，∠OAC=∠B．可得∠D+∠CAD=90°．∠OAC=∠D即可；
（2）如图，连接AE．设⊙O的半径为r．由O为BE的中点，C为AB的中点， 可得
1 FA AE
AE//OC，OC= AE，可证 AFE∽△DFO，可得 = ． OD=3r，AD=2√2r．
2 FD OD
△
2
2 r
AE= r．AF=4√2， 4√2 3 ， 解得r=7即可．
3 =
4√2+2√2r 3r
【详解】（1）证明：如图，连接OA．
∵DA与⊙O相切，切点为A，OA为⊙O的半径，
∴DA⊥OA．
∴∠OAD=90°，∠OAC+∠CAD=90°．
∵OA=OB，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，∠OAC=∠B．
∴∠D+∠CAD=90°．
∴∠OAC=∠D．
∴∠B=∠D；
（2）解：如图3，连接AE．设⊙O的半径为r．
∵O为BE的中点，C为AB的中点，
1
∴AE//OC，OC= AE，
2
∵∠FEA=∠AOD，∠EAF=∠D=90°，∴ AFE∽△DFO，
△FA AE
∴ = ．
FD OD
1
∵∠B=∠D，sinB= ，
3
1
∴sinD=sin∠OAC=sinB= ，
3
OA
在Rt△OAD中． OD= =3r，AD=√OD2−OA2=2√2r．
sinD
1
在Rt△OAC中，OC=OA⋅sin∠OAC= r．
3
2
∴AE=2OC= r．
3
∵AF=4√2，
2
r
∴ 4√2 3 ，
=
4√2+2√2r 3r
4 2
化简，得 = ，
4+2r 9
解得r=7．
经检验，r=7是原方程的解．
∴r=7．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线
性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对
圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函
数，勾股定理，解方程是解题关键．
33．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°．以点C为圆心，CA为半径作圆，延长BA交
⊙O于点D．
(1)请在图中作出点C关于直线BD的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
1
(2)在（1）的条件下，连接C D，证明：直线C D与⊙C相切．
1 1
【答案】(1)见解析(2)见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）作线段AD的垂直平分线即可；
（2）连接CC ，DC ，CC 交AD于点E，根据垂直平分线的性质和圆性质即可证明．
1 1 1
【详解】（1）解：如图点C 即为所求，
1
作线段AD的垂直平分线，利用对称轴垂直平分对应点所连线段即可得到点C关于直线BD的对称点
C ；
1
（2）证明：连接CC ，DC ，CC 交AD于点E，如图所示，
1 1 1
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=22.5°，
又∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD=2∠B=45°，
在⊙C中，CA=CD，
∴∠CDA=∠CAD=45°，
由（1）得，DA垂直平分CC .
1
∴DC =DC，
1
∴在△C DC中，DE平分∠C DC，
1 1
∴∠C DC=2∠CDA=90°，
1
即C D⊥CD，
1
∴直线C D与⊙C相切；
1【点睛】本题考查了尺规作图和切线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
34．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为
⊙O上一点，且D´F=B´F，连接AD．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AB=6，AC=8，求⊙O的半径的长．
【答案】(1)证明见解析
7
(2)
4
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、利用弧、弦、圆心角的关系求证、用勾股定理解三角形、
全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，
勾股定理等等：
（1）如图所示，连接OD，OB，由切线的性质得到∠ABO=90°，再由D´F=B´F得到
∠AOD=∠AOB，证明△AOD≌△AOB(SAS)，得到∠ADO=∠ABO=90°，据此可证明结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OB=r，OA=AC−OC=8−r，在Rt△ABO中利用勾股定理建立方
程求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接OD，OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90° ，
∵D´F=B´F，
∴∠AOD=∠AOB，
又∵OD=OB，OA=OA，
∴△AOD≌△AOB(SAS)，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OB=r，OA=AC−OC=8−r，
在Rt△ABO中，由勾股定理得OA 2=OB2+AB2，
❑
∴(8−r) 2=r2+62，
7
解得r= ，
4
7
∴⊙O的半径为 ．
4
35．如图，以AB为直径的⊙O上有两点C,D，点C是弧BD的中点，垂足为点E，EC交AB的延长
线于点P，与⊙O相交于点M,N．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
1
(2)若tan∠EAC= ，CP=8，求⊙O的半径和PN的长．
2
【答案】(1)详见解析
(2)⊙O的半径为：6，PN=4√5+4
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、用勾股定理解三
角形
【分析】（1）连接OC，由点C是弧BD的中点，得到B´C=C´D，求得∠BAC=∠CAD，根据等腰
三角形的性质得到∠ACO=∠BAC，根据平行线的性质得到OC⊥PE，根据切线的判定定理即可
证明；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，设BC=x,AC=2x，根据勾股定理得到AB=√5x，根据
BC PB PC 1
相似三角形的判定和性质得到 = = = ,PA=16，设⊙O的半径为R，根据勾股定理得
AC PC PA 24√5 8√5
到R=6，求得PB=4，根据三角函数的定义得到BH= ,PH= ，过点O作OF⊥MN于F，
5 5
PH PB 12√5
由BH∥OF，得到 = ，求得HF= 根据勾股定理即可得到结论．
HF OB 5
【详解】（1）证明：连接OC
∵点C是弧BD的中点
∴B´C=C´D
∴∠BAC=∠CAD
∵OA=OC
∴∠ACO=∠BAC
∴∠ACO=∠CAD
∴OC∥AE
∵PE⊥AE
∴∠AEP=90°
∴∠OCP=90°
∴OC⊥PE
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
（2）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
BC 1
∵tan∠BAC= =tan∠EAC=
AC 2
∴设BC=x,AC=2x
∴AB=√5x
∵△PBC∽△PCA
BC PB PC 1
∴ = = = ,PA=16
AC PC PA 2
设⊙O的半径为R
∵OC2+PC2=OP2∴R2+82=(16−R) 2
解得：R=6
∴PB=4
∵AC∥PN
∴∠BPH=∠BAC,∠BHP=∠ACB=90°，
BH 1
∴tan∠BPH= =
PH 2
设BH=x,PH=2x
∴PB=√BH2+PH2=√5x=4
4√5
∴x=
5
4√5 8√5
∴BH= ,PH=
5 5
过点O作OF⊥MN于F
∴BH∥OF
PH PB
∴ =
HF OB
8√5
5 4
∴ =
HF 6
12√5
∴HF=
5
∴OP=OB+PB=6+4=10
∴OF=√PO2−PF2=
√
102−
(8√5
+
12√5) 2
=2√5
5 5
连接OM
∴FM=FN=√OM2−OF2=4
∴PN=PF+FN=4√5+4【点睛】本题考查了切线的切线的性质和判定、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定和性
质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【能力提升】
36．如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，
∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终
在直线BC上．设运动的时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
(1)当t= s时，⊙O与AC所在的直线第一次相切，点C到直线AB的距离为______cm．
(2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？
(3)当△ABC的一边所在的直线与⊙O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，求重叠部分的面积．
【答案】(1)1，6
(2)t为4秒或16秒
(3)9πcm2或(6π+9√3)cm2
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、求扇形面积、圆与三角形的综合(圆的综合
问题)
【分析】（1）由题意可知，DE为⊙O的直径，即OE=6，OC=8，所以EC=2，⊙O与AC所在
的直线第一次相切，即点C与点E重合，也就是t=1时；由∠ABC=30°，再根据在直角三角形中，
1
30°所对的直角边等于斜边的一半，可知CF= AC=6；
2
（2）此题有两种情况：第一种情况，直线AB与半圆O相切，即过点O的半径与AB所在的直线垂直，
也就是CF⊥AB，即点O与点C重合时，也就是t=4；第二种情况，直线Ab与半圆O相切，即点O
运动到点B的右侧时，即过点O的半径与AB的延长线垂直，此时OC=24，也就是
t=(24+8)÷2=16；（3）此题有两种情况：第一种情况是O与AB相切时，此时重叠的部分为O的四分之一，即为
9πcm2；第二种情况是O与AC第二次相切时，此时⊙O的直径DE与△ABC的边BC重合，重叠部
分的面积等于△BOG与扇形GOC的和，即(6π+9√3)cm2．
【详解】（1）解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵DE=12，
∴OE=OD=6，
∵OC=8，
∴EC=8−6=2，
∴t=2÷2=1，
∴当t=1s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；
∵∠ABC=30°，BC=12，
1
∴CF= AC=6；
2
故答案为：1，6．
（2）解：如图2，过C作CF⊥AB于F，
同理得：OF=6，
当直线AB与半圆O所在的圆相切时，
又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，
此时，点O运动了8cm，
所求运动时间t=8÷2=4；
如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，
过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q，1
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ= OB=6，
2
即OQ与半圆O所在的圆相切，
此时点O运动了12+12+8=32(cm)，
所求运动时间t=32÷2=16，
综上所述，当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切；
（3）解：有两种情况：
1
①当半圆O与AB边相切于F时，如图1，重叠部分的面积S= π×62=9π；
4
②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG，
∵BC=DE=12，
∴C与D重合，E与B重合，
∵OG=OB，
∴∠ABC=∠OGB=30°，
∴∠COG=60°．过O作OH⊥AB于H，
∵OB=6，
1
∴OH= OB=3，
2
由勾股定理得：BH=3√3，
60π×62 1
∴BG=2BH=6√3，此时重叠部分的面积S= + ×6√3×3=6π+9√3；
360 2综上所述，重叠部分的面积为9πcm2或(6π+9√3)cm2
【点睛】本题考查切线，求扇形面积，熟练掌握勾股定理的性质是解题关键．
37．如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分
∠OAM，AO＋CO＝6
(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长；
(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．
【答案】(1)⊙M与x轴相切，理由见解析
(2)6
1
(3)y=− x+2
2
【知识点】求一次函数解析式、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、判断直线
和圆的位置关系
【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；
（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则
OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得
AB=2AN即可求解；
（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，
OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC=4√5，在
Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，
求得CP=2，PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．
【详解】（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，如图，∵MC=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，
∴⊙M与x轴相切；
（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
由（1）知，∠MCO=90°，
∵MN⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
又∵∠CON=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
设AN=x，
∴OA=5-x，MN=OC=6-(5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得x2+(1+x)2=52，
解得：x=3，x=-4（不符合题意，舍去），
1 2
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，
由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC=√OB2+OC2=√82+42=4√5，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD=√BD2−BC2=√102−(4√5) 2=2√5，即CD2=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，
∴20-CP2=10CP-CP2，
∴CP=2，
∴PD2=20-CP2=20-4=16，
∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
¿，解得：¿，
1
∴直线CD的解析式为：y=− x+2．
2
【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求
一次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
38．如图，平行四边形ABCD中，BC=6√2，∠B=45°，AC⊥BC于C，经过点C作圆O和AB
边切于E点（E点可与点A、B重合），分别交BC边、AC边于点F、G．
(1)求AB的长度；
(2)若点O在边BC上，求C´E的长；
(3)设圆O的半径为r，直接写出r的最小值．
【答案】(1)12
(18−9√2)π
(2)
2
(3)3≤r≤6
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、求弧长
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理进行计算即可得到答案；
（2）先求出∠COE的度数以及半径的长，再根据弧长公式进行计算即可得到答案；
（3）找到当r最小时，O、C、E在同一直线上，此时Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径；当
⊙O与AB边相切于点B时，此时r最大，连接OB，过点O作BC垂线OH交BC于H，分别求解即可
得到答案．
【详解】（1）解：∵ BC=6√2，∠B=45°，AC⊥BC，
∴BC=AC=6√2，
∴AB=√BC2+AC2=√(6√2) 2+(6√2) 2=12；
（2）解：如图，连接OE，
，
∵∠ACB=90°，
∴ AC切圆O于点C点，
∵∠OEB=90°，∴AE=AC=6√2，
∴BE=AB−AE=12−6√2，
∵ ∠B=45°，
∴OE=BE=12−6√2，∠EOB=45°，
∴∠COE=180°−∠EOB=135°，
135π(12−6√2) (18−9√2)π
∴C´E= = ；
180 2
（3）解：当r最小时，O、C、E在同一直线上，此时Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径，
，
∵ BC=AC=6√2，∠ABC=90°，AB=12，
1 1 1 1
∴ BC⋅AC= AB⋅CE，即 ×6√2×6√2= ×12CE，
2 2 2 2
∴CE=6，
即半径为3；
当⊙O与AB边相切于点B时，此时r最大，连接OB，过点O作BC垂线OH交BC于H，
，
∵∠ABO=90°，∠ABC=45°，
∴∠OBC=45°，
∵OH⊥BC，OB=OC，
1
∴BH= BC=3√2，∠OBH=∠BOH=45°，
2
∴BH=OH=3√2，
∴OB=√BH2+OH2=√(3√2) 2+(3√2) 2=6，
即半径为6，
∴3≤r≤6．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、弧长公式、切线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
39．某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平
直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点
O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一
步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，
OP=2分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑
到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
(2)如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为这个判断对
吗？说明理由；
(3)当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
【答案】(1)4，5，6
(2)不对，理由见解析
(3)所求最大圆心角的度数为120°
【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求解、已知直线和圆的位置关系求圆
心到直线的距离、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）点Q运动到点H时，点Q与O的距离最小，即可求解；点O、P、Q在一条直线上时，
点Q与O的距离最大，即可求解；点Q滑动到最左端时，由HQ=√OH2+OQ2即可求解；当点Q
运动到最右端时，同理可求．
（2）可证OQ2≠PQ2+OP2，即可求解；
（3）PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，连接P′P，交OH于点D，过点P′作P′Q′垂直l．可证
OD 1
PD=P′D，在Rt△ODP中，sin∠OPD= = ，从而可求∠OPD=30°，接可求解．
OP 2
【详解】（1）解：∵点Q运动到点H时，点Q与O的距离最小，由于OH=4分米，
∴Q与O的最小距离为4分米，
∵点O、P、Q在一条直线上时，点Q与O的距离最大，∴最大距离为：OP+PQ=2+3=5（分米），
点Q滑动到最左端时，
∵ OH=4分米，QO=5分米，OH⊥l，
∴ HQ=√OH2+OQ2=3分米，
同理可得，当点Q运动到最右端时，HQ=3分米，
∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离为6分米．
故答案为：4，5，6．
（2）解：不对．
理由如下：
∵ OP=2，PQ=3，OH=4，
∴当Q、H重合时，OQ=OH=4，
∵ 42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，
∴ △QPO不是直角三角形，
∴ OP与PQ不垂直．
∴ PQ与⊙O不相切．
（3）解：∵ PQ=3分米，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，
∴在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3．此时，OP将不能再向下转动，
如图，连接P′P，交OH于点D，过点P′作P′Q′垂直l．
则OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP．
∵ PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ=P′Q′=3分米，
∴四边形PQQ′P′是矩形，
∴ OH⊥PP′，
∴ PD=P′D，
∵ OP=2，OD=OH−HD=1，
OD 1
在Rt△ODP中，sin∠OPD= = ，
OP 2
∴∠OPD=30°，
∴ ∠DOP=60°，
∴ ∠POP′=120°，∴所求最大圆心角的度数为120°．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆心的距离最值问题，切线的判定，勾股定理，特殊角的三角函数
值等，理解距离取得最值的条件，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
40．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作
⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
(1)求证：∠B=∠E；
(2)若⊙O的半径为4，OE=6，求AD的长．
2
(3)若S =9，tan∠ADE= ，求⊙O的半径．
△ABD 3
【答案】(1)见解析
4√21
(2)
3
5√3
(3)
2
【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、用勾股定
理解三角形
【分析】（1）根据题意可得∠ODB=∠OAE=90°，∠BOD=∠AOE，再根据三角形内角和可
推出∠B=∠E，得证；
BD OB 4
（2）连接AC，OC，由（1）可得△BOD∽△EOA，推出 = = ，结合勾股定理计算得到
AE OE 6
AE，从而得到BD，再由OD⊥BC，OB=OC，得到BC，根据勾股定理计算AC=√AB2−BC2，
最后计算AD=√AC2+CD2即可；
（3）由∠ACB=∠ADB=90°，推出AC∥ED，得到∠CAD=∠ADE，从而得到
CD 2 1
tan∠CAD= = ，再根据S = BD⋅AC=9，推出AC、BD，最后根据勾股定理可得AB
AC 3 △ABD 2
长度，即可求得半径．【详解】（1）证明：∵OD⊥BC，垂足为D，
∴ ∠ODB=90°，
∵过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E，
∴∠OAE=90°，
∵∠BOD=∠AOE，
∵∠B=180°−(∠BOD+∠ODB)=90°−∠BOD，
∠E=180°−(∠OAE+∠AOE)=90°−∠AOE，
∴∠B=∠E．
（2）连接AC，OC，
∵∠BOD=∠AOE ∠B=∠E
， ，
∴△BOD∽△EOA，
BD OB
∴ = ，
AE OE
∵OA=4，OE=6，
∴在Rt△OAE中，AE=√OE2−OA2=√62−42=2√5，
BD 4
∴ = ，
2√5 6
4√5
∴BD= ，
3
∵OD⊥BC，垂足为D，OB=OC，
4√5
∴BD=CD= ，
3
8√5
∴BC= ，
3
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=
√
82−
(8√5) 2
=
16
，
3 3√ 16 2 4√5 2 4√21
∴在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2= ( ) +( ) = ，
3 3 3
4√21
∴ AD的长为 ．
3
（3）∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴AC∥ED，
∴∠CAD=∠ADE，
2 CD
∴tan∠CAD=tan∠ADE= = ，
3 AC
1
设AC=3x，则CD=BD=2x，由S =9，得： BD⋅AC=9，
△ABD 2
1
∴ ⋅2x⋅3x=9，解得：x=±√3，
2
∵x>0，
∴x=√3，
∴AC=3√3，BD=2√3，BC=4√3，
∴AB=√AC2+BC2=√ (3√3) 2+(4√3) 2=5√3，
1 1 5√3
∴AO= AB= ×5√3= ，
2 2 2
5√3
∴⊙O的半径为 ．
2
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90度，切线的性质定理，勾股定理，解直角三角形，相似
三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，平行的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．
