文档内容
专题 11 与圆有关的位置关系
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r P
点在圆外 点在圆的外部 d＞r ⇔点P在⊙O的外
O
点在圆上 r P 点在圆周上 d＝r ⇔点P在⊙O上
O
r P
点在圆内 点在圆的内部 d＜r ⇔点P在⊙O的内
O
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 d＞r ⇔直线 与⊙O相离
d l
直线与圆有唯一公共
r
相切 O 点，直线叫做圆的切 d＝r ⇔直线 与⊙O相切
d l
线，公共点叫做切点
直线与圆有两个公共
r
相交
d
O 点，直线叫做圆的割 d＜r ⇔直线 与⊙O相交
l
线
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切
线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距
离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是
三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
1
S ×R×（AB+BC+AC）
△ABC=
2
③直角三角形的三边与内切圆的关系
1
R= （两直角边和-斜边长）
2
模块三 考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，
C
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证
得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然后与200m比较大小，
即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是
解题的关键．
【详解】解：∵AB=300m，BC=400m，AC=500m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∵点D是斜边AC的中点，
1
∴AD=CD=250m，BD= AC=250m，
2
如图，以D为圆心，200m为半径画圆，
∵250>200
，
∴点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
【变式1】如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时
针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，
若以点B为圆心，1.6为半径作⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（ ）A．11.6且3−x>1.6，
∴0.63/33【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在
圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d3，
故答案为：r>3；
（2）∵ r=3，AB=5,BC=4,AC=3，
则AB=5>AC=r=3，
∴点C在⊙A上，点B在⊙A外，
故答案为：上，外；
（3）∵点A,B,C中只有两点在⊙A内，AB=5,BC=4,AC=3，
∴点A,C两点在⊙A内，点B在⊙A外，
∴ r的取值范围是：33，
∴点C在⊙A外，故B错误；
∵AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，故C正确，D错误；
故选：C．
【变式1】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的
圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
12
A．r≥ B．r=3或r=4
512 12
C． ≤r≤3 D． ≤r≤4
5 5
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作CD⊥AB于D，由
12
勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC>BC,可得以C为圆心，r= 或4为半径所作
5
的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围，掌握相关知
识是解题的关键．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图：
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4
，
∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5,
1 1
∵△ABC的面积= AB⋅CD= AC⋅BC,
2 2
AC⋅BC 3×4 12 12
∴CD= = = 即圆心C到AB的距离d= ,
AB 5 5 5
∵ACd>1
【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离、利用平移的性质求解
【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的
性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离d的取值范围是1
