专题 11 与圆有关的位置关系
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r P
点在圆外 点在圆的外部 d＞r ⇔点P在⊙O的外
O
点在圆上 r P 点在圆周上 d＝r ⇔点P在⊙O上
O
r P
点在圆内 点在圆的内部 d＜r ⇔点P在⊙O的内
O
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 d＞r ⇔直线 与⊙O相离
d l
直线与圆有唯一公共
r
相切 O 点，直线叫做圆的切 d＝r ⇔直线 与⊙O相切
d l
线，公共点叫做切点
直线与圆有两个公共
r
相交
d
O 点，直线叫做圆的割 d＜r ⇔直线 与⊙O相交
l
线
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切
线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距
离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是
三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
1
S ×R×（AB+BC+AC）
△ABC=
2
③直角三角形的三边与内切圆的关系
1
R= （两直角边和-斜边长）
2
模块三 考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，
C
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证
得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然后与200m比较大小，
即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是
解题的关键．
【详解】解：∵AB=300m，BC=400m，AC=500m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∵点D是斜边AC的中点，
1
∴AD=CD=250m，BD= AC=250m，
2
如图，以D为圆心，200m为半径画圆，
∵250>200
，
∴点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
【变式1】如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时
针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，
若以点B为圆心，1.6为半径作⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（ ）A．1<x<2 B．1<x<1.4 C．1<x<1.6 D．0.6<x<1.4
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三
边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可．
【详解】解：在△ABC中，
∵AC=1,AB=x,BC=BN=3−x，
∴¿，
解得：1<x<2；
∵以点B为圆心，1.6为半径作圆⊙B，使点M和点N都在⊙B外，
∴1+x>1.6且3−x>1.6，
∴0.6<x<1.4，
∴x的取值范围是1<x<1.4，
故选：B．
【变式2】如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为AD边的中点，正方形所在平面内有一个动
点P，它到点E的距离始终为1，以BP为直角边作等腰直角△PBQ，则PQ的最大值为 ，
最小值为 ．
【答案】 √10+√2 √10−√2
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、点与圆上一点的最值问题
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，由勾股定理可求BE的长，由题意可得
点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，即可求解．
【详解】解：如图，连接BE，
∵点E是AD的中点，∴AE=1，
∴BE=√AB2+AE2=√1+4=√5，
∵正方形所在平面内有一个到点E的距离始终为1的动点P，
∴点P在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当点P在BE的延长线上时，BP有最大值，最大值为√5+1，则PQ的最大值为
√2×(√5+1)=√10+√2，
当点P在线段BE上时，BP有最小值，最小值为√5−1，则PQ的最小值为√2×(√5−1)=√10−√2，
故答案为：√10+√2，√10−√2．
【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆．
（1）当点C在⊙A内时，r的取值范围是 ；
（2）若r=3，则点C在⊙A ，点B在⊙A ；
（3）当点A,B,C中只有两点在⊙A内时，r的取值范围是 ．
【答案】 r>3/3<r 上 外 3<r≤5/5≥r>3【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在
圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出
AC=√AB2−BC2=3．
（1）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（2）根据点与圆的位置关系即可解答即可；
（3）根据点与圆的位置关系即可解答即可．
【详解】解：∵ △ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=4，
∴ AC=√AB2−BC2=3．
（1）当点C在⊙A内时，则AC<r，即r>3，
故答案为：r>3；
（2）∵ r=3，AB=5,BC=4,AC=3，
则AB=5>AC=r=3，
∴点C在⊙A上，点B在⊙A外，
故答案为：上，外；
（3）∵点A,B,C中只有两点在⊙A内，AB=5,BC=4,AC=3，
∴点A,C两点在⊙A内，点B在⊙A外，
∴ r的取值范围是：3<r≤5．
故答案为：3<r≤5
考点2：三角形的外接圆
典例2：如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M
的坐标为（ ）
A．(1,−1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
【答案】C
【知识点】利用垂径定理求解其他问题、求三角形外心坐标、判断三角形外接圆的圆心位置
【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形．由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标．
【详解】解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为(2,0)，
故选：C
1
【变式1】如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于 BC长为半
2
径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AD，∠B=25°，
则下列结论中错误的是( )
A．∠ACD=65° B．∠ACB=90°
C．∠CAD=50° D．点D是△ABC的外心
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、 三角形外接圆的概念
辨析
【分析】本题考查的是作图−基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理
的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，故BN=CN，
∠B=∠C，故可得出∠CDA的度数，根据CD=AD可知∠DCA=∠CAD，故可得出∠CAD的度
数，进而可得出结论．
【详解】解：∵由题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=25°，
∴∠B=∠BCD=25°，
∴∠CDA=25°+25°=50°．
∵CD=AD，180°−50°
∴∠ACD=∠CAD= =65°，
2
∴A正确，C错误；
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴点D为△ABC的外心，故D正确；
∵∠ACD=65°，∠BCD=25°，
∴∠ACB=65°+25°=90°，故B正确．
故选：C．
【变式2】一个直角三角形的两条直角边长是方程x2−7x+12=0的两个根，则此直角三角形外接圆
的半径等于
【答案】2.5
【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，以及外接圆，掌握直角三角形的外接圆半径等于
斜边的一半是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程，得到直角三角形的两条直角边长，再结
合勾股定理求出斜边长，即可得到外接圆的半径．
【详解】解：∵x2−7x+12=0，
∴(x−3)(x−4)=0，
解得：x =3，x =4，
1 2
∵一个直角三角形的两条直角边长是方程x2−7x+12=0的两个根，
∴直角三角形的斜边长为√32+42=5，
∴此直角三角形外接圆的半径等于5÷2=2.5，
故答案为：2.5．
【变式3】如图，△ABC中，AB=7，AC=4，BC上的高AD=3．则△ABC外接圆的半径长为
．
14 2
【答案】 /4
3 3
【知识点】解直角三角形的相关计算、求特殊三角形外接圆的半径、半圆（直径）所对的圆周角是
直角【分析】此题考查三角形与外接圆，解三角形的运用，解题关键在于能够熟练运用三角函数求解一
些简单的直角三角形的计算问题．作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AG交⊙O于
3 AC 3
G，连接CG，先求出sinG=sinB= ，再由AC=4，sinG= = 即可求出直径AG，由此即可
7 AG 7
解题．
【详解】解：作△ABC的外接圆，设圆心为O，过点A作直径AG交⊙O于G，连接CG，如图所示：
则∠B=∠G，∠ACG=90∘，
∵AD是△ABC的高，
∴在Rt△ABD中，AD=3，AB=7，
AD 3
∴sinB= = ，
AB 7
3
∴sinG=sinB= ，
7
AC 3
在Rt△ACG中，AC=4，sinG= =
AG 7
4 3
∴ = ，
AG 7
28
∴AG= ，
3
1 14
∴OA=OD= AG= ，
2 3
14
即△ABC外接圆的半径长为 ．．
3
14
故答案为： ．
3
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的
是（ ）
A．点A在⊙A上 B．点C在⊙A内C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【答案】C
【知识点】判断直线和圆的位置关系、判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，作
1
AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质可得BH=CH= BC=4，由勾股定理可得
2
AH=√AB2−BH2=3，再逐项分析即可得解．
【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，
，
∵AB=AC，
1
∴BH=CH= BC=4，
2
∴AH=√AB2−BH2=3，
∵以A为圆心作一个半径为3的圆，
∴点A为圆心，故A错误，
∵AC=5>3，
∴点C在⊙A外，故B错误；
∵AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，故C正确，D错误；
故选：C．
【变式1】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的
圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
12
A．r≥ B．r=3或r=4
512 12
C． ≤r≤3 D． ≤r≤4
5 5
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作CD⊥AB于D，由
12
勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC>BC,可得以C为圆心，r= 或4为半径所作
5
的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围，掌握相关知
识是解题的关键．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图：
∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4
，
∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5,
1 1
∵△ABC的面积= AB⋅CD= AC⋅BC,
2 2
AC⋅BC 3×4 12 12
∴CD= = = 即圆心C到AB的距离d= ,
AB 5 5 5
∵AC<BC,
12
∴以C为圆心，r= 或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
5
12
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是： ≤r≤4，
5
故选：D．
【变式2】如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A(−3,0)，点B(0,√3)，圆心P的
坐标为(1,0)，圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与线段AB有公共点时，令圆
心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ．【答案】−4<m≤−1
【知识点】解直角三角形的相关计算、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、切线的性质
定理
【分析】根据题意可得，进行分类讨论：①当点P在点A右边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，
P N⊥AB；②当点P在点A左边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，⊙P与线段AB相交于点
1
A．
【详解】解：∵点A(−3,0)，点B(0,√3)，
∴OA=3,OB=√3，
OB √3
∴tan∠BAO= = ，
OA 3
∴∠BAO=30°，
当点P在点A右边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P ：
1
∵⊙P与线段AB只有一个交点，
∴P N⊥AB，
1
∴AP =2P N=2，
1 1
则P (−1,0)；
1
当点P在点A左边，且⊙P与线段AB只有一个交点时，如图中P ：
2
∵⊙P与线段AB只有一个交点，
∴⊙P与线段AB相交于点A，
∴P A=1，A(−3,0)，
2
则P (−4,0)；
2
综上：m的取值范围是−4<m≤−1，
故答案为：−4<m≤−1．【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步
骤，圆与直线的位置关系．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴
正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】1<d<5/5>d>1
【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离、利用平移的性质求解
【分析】分两种情况讨论：⊙P位于y轴左侧和⊙P位于y轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的
性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，
∴OP=3，
∵⊙P的半径为2，
∴AP=BP=2，
∴OA=1，OB=5，
∴当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1，
当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5，
∴平移的距离d的取值范围是1<d<5，
故答案为：1<d<5．【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到
圆心的距离等于圆的半径．
考点4：切线的判定综合
典例4：如图，在△ABC中，∠C=90°，点F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O与边BC，AC
分别相交于点D，E，且D´E=E´F.
(1)如图1，求证：AC是⊙O的切线；
(2)如图2，连接ED，若∠A=30°,BC=6，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
16
(2)S = π−8√3
阴影 3
【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求扇形面积
【分析】（1）连接OE,OD，由D´E=E´F.得∠FOE=∠EOD，根据三角形外角的性质得
∠OBD=∠FOE，从而判断OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，从而可得出结论；
（2）过点O作OG⊥DE于点G．则△OEG为直角三角形．设⊙O的半径为r．求出r=2，证明
△BOD、△EOD为等边三角形，得出∠OED=60°,DE=OE=4，解直角三角形求出OG=2√3，
从而得出结论
【详解】（1）解：证明：如图1，连接OE,OD
∵D´E=E´F
∴∠FOE=∠EOD．
∵OB=OD．
∴∠OBD=∠ODB
又∵∠FOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD,∠FOD=∠FOE+∠EOD=2∠FOE
∴∠OBD=∠FOE
∴OE∥BC．
∴∠AEO=∠C．
又∵∠C=90°
∴∠AEO=90°
∴OE⊥AE．
又∵OE是半径，∴AC是⊙O的切线；
（2）如图2，过点O作OG⊥DE于点G.
∴∠OGE=90°，
设⊙O的半径为r.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,BC=6,∠C=90°，
∴AB=2BC=12,∠ABC=60∘，则OA=12−r．
同理，在Rt△AOE中，∠A=30°,∠AEO=90°，
则OA=2r，
∴12−r=2r，
解得：r=4，
∵∠ABC=60°,OD=OB
∴△BOD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵OE∥BC
∴∠EOD=∠ODB=60°，
又∵OE=OD
∴△EOD为等边三角形，
∴∠OED=60°,DE=OE=4
1
∴EG= ED=2，
2
∴在Rt△GOE中，根据勾股定理得，OG=√OE2−EG2=√42−22=2√3，
(60π×42 1 ) 16
∴S =2 − ×4×2√3 = π−8√3．
阴影 360 2 3【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理以及勾股定理，求扇形面积；正确
作出辅助线是解答本题的关键．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC
上，且AD平分∠BAC．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若BD=4,BE=2，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)8．
【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、证明某直线
是圆的切线
【分析】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，掌握
相关知识是解题的关键．
（1）连接OD，根据平行线的判定得出OD∥AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定可得出结
论；
（2）根据勾股定理求出OD=OA=OE=3，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠C+∠ODC=180°，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设OD=OE=r，
在Rt△ODB中，BD=4，BE=2，
∴OB=r+2，
由勾股定理，得r2+42=(r+2) 2 ，
解得：r=3，
∴OD=OA=OE=3，
∴AB=6+2=8．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧与BC
交于点E，且AB=BE．
(1)求证：BC与⊙D相切；
(2)若CD=2AB,AD=6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6√3−3π
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明某直线是圆的切线、求扇形面积、解直角三角形的相关
计算
【分析】（1）如图，连接BD，DE，证明△ABD≌△EBD，可得∠BED=∠BAD=90°，从而
可得结论；
（2）如图，过B作BH⊥CD于H，证明四边形ADHB为矩形，可得AB=DH，证明△CBD为等边
三角形，可得∠BDC=∠C=60°，∠EDC=30°，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接BD，DE，∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，∠DAB=90°，
∵DA=DE，AB=BE，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠BED=∠BAD=90°，
∴DE⊥BC，
∵DE为半径，
∴BC与⊙D相切．
（2）解：如图，过B作BH⊥CD于H，
∵∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ADHB为矩形，
∴AB=DH，
∵CD=2AB，即CH+DH=2AB，
∴CH=DH=AB，
∵BH⊥CD
∴BD=BC，
∵△ABD≌△EBD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠EBD，∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴CB=CD=BD，
∴△CBD为等边三角形，
∴∠BDC=∠C=60°，
∴∠EDC=30°，
∵∠DEC=∠DEB=90°，DE=AD=6，∴CE=DE⋅tan30°=2√3，
1 30π×62
∴S = ×6×2√3− =6√3−3π．
阴影 2 360
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，扇形面
积的计算，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式3】如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作
DF⊥AC于F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G，⊙O半径为3，则阴影部分面积=______．
【答案】(1)见解析
36−9π
(2)
4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定求角度、证明某直线是圆的切线、
求其他不规则图形的面积
【分析】（1）连接OD，由∠ODB=∠B，∠C=∠B，得∠ODB=∠C，则OD∥AC，所以
∠ODF=180°−∠AFD=90°，即可证明DF是⊙O的切线；
（2）连接OG，可证明四边形ODFG是正方形，则FG=OG=OD=OB，∠DOG=90°，根据
36−9π
r=3，则S =S −S = ．
阴影 正方形ODFG 扇形DOG 4
【详解】（1）证明：连接OD，
则OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∴∠ODF=180°−∠AFD=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：连接OG，
∵AC ⊙O G
与 相切于点 ，
∴AC⊥OG，
∴∠OGF=∠ODF=∠GFD=90°，
∴四边形ODFG是矩形，
∵OG=OD，
∴四边形ODFG是正方形，
∴FG=OG=OD=OB，∠DOG=90°，
∵ ⊙O半径为3，
90×π×32 36−9π
∴S =S −S =32− = ，
阴影 正方形ODFG 扇形DOG 360 4
36−9π
∴阴影部分面积为 ．
4
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定
与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式4】如图，△ABC内接于⊙O, 且AB为⊙O的直径，过点O作OE∥BC，交⊙O于点E，
交AC于点D. 过A点作直线l交OE的延长线于点F，且∠F=∠BAC．(1)求证：直线AF与⊙O相切；
(2)若OF=8，∠F=30°，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2√3
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证
明某直线是圆的切线
【分析】本题是圆与三角形的综合题目，考查切线的判定与性质、圆周角定理的推论、勾股定理应
用，解题的关键是掌握相关的性质定理，进行证明．
（1）先证明∠AOF+∠F=90°即可得出∠OAF=90°，从而证明结论；
1 1
（2）先求出OA= OF=4，再求出OD= OA=2，利用勾股定理求出结论．
2 2
【详解】（1）证明：∵OE∥BC
∴∠AOF=∠ABC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即∠ABC+∠BAC=90°
∵∠F=∠BAC
∴∠AOF+∠F=90°
∴∠OAF=90°
∴OA⊥AF
∵OA是⊙O的半径
∴直线AF与⊙O相切；
（2）∵OF=8，∠F=30°,∠OAF=90°
1
∴OA= OF=4
2
∵OE∥BC
∴∠ODA=∠BCA=90°
∵∠BAC=∠F=30°1
∴OD= OA=2
2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，
∴22+AD2=42
解得AD=2√3
∴AD的长为2√3．
【变式5】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，点
D为BE的下面半圆的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若EF=EC=2，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)DF=√10
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）连接OA，由OA=OD，可得∠OAD=∠ODA，根据AC=FC，推出
∠CAF=∠CFA=∠OFD，根据垂径定理可得∠DOF=90°，推出∠OAC=90°，即可证明；
（2）由EF=EC=2，可得AC=CF=4，设半径为r，则OC=r+2，在Rt△OAC中，根据勾股定
理求出r，进而求出OF，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵ OA=OD
，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∵ AC=FC，
∴ ∠CAF=∠CFA=∠OFD，
∵点D为BE的下面半圆的中点，，
∴ OD⊥BE，即∠DOF=90°，∴ ∠ODA+∠OFD=90°，
∴ ∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴ AC是⊙O的切线；
（2）解：∵ EF=EC=2，
∴ AC=CF=EF+EC=4，
设半径为r，则OC=OE+CE=r+2，
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=(r+2) 2，
解得：r=3，
∴ OA=OD=OE=3，
∴ OF=OE−EF=3−2=1，
∴ DF=√OF2+OD2=√12+32=√10．
【变式6】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点O作OP⊥AC于点M，交⊙O
于点N，连接CP，∠PCA=∠CBA．
(1)求证：CP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，PN=6，求BC的长．
【答案】(1)见解析
16
(2)
5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、
相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）连接OC，得到∠BCO=∠CBA，根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由
∠PCA=∠CBA，推出∠PCA+∠ACO=∠BCO+∠ACO=90°，即可得到结论；
（2）根据题意得到OM∥BC，推出∠AOP=∠CBA，证明∠AOP=∠COP，推出
∠COP=∠CBA，证明△PCO∽△ACB，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PCA=∠CBA，
∴∠BCO=∠PCA，
∴∠PCA+∠ACO=∠BCO+∠ACO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：∵OP⊥AC，
∴∠AMO=∠ACB=90°，
∴OM∥BC，
∴∠AOP=∠CBA，
∵OC=OA，OP⊥AC，
∴∠AOP=∠COP，
∴∠COP=∠CBA，
∴△PCO∽△ACB，
OC PO
∴ = ，
BC AB
∵⊙O的半径为4，PN=6，
∴AB=8,ON=OC=4，
∴PO=PN+ON=10，
4 10
∴ = ，
BC 8
16
∴BC= ．
5【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直线对的圆周角是直角，切线的判定定理，相似三
角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式7】如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线
AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．
(1)求证：BD=CD；
(2)求证：直线DE是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】根据等边对等角证明、利用弧、弦、圆心角的关系求证、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系、等腰三角形的性质，切线的证明，掌握圆中相关结论
是解题关键．
（1）证∠CAD=∠BAD，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解；
（2）连接半径OD，可得∠OAD=∠ODA；根据∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD=∠BAD即可
求证．
【详解】（1）证明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴BD=CD；
（2）证明：连接半径OD，如图所示：
则OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，∠EAD+∠ADE=90°，
由（1）知∠EAD=∠BAD，
∴∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠ODA+∠ADE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
考点5：切线的性质综合
典例5：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OE⊥AC于点E，延长OE至点
D，连接CD，且CD是⊙O的切线．
(1)求证：∠D=∠A；
(2)若AB=CD=2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
4√5
(2)
5
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、切线的性质定理
【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌
握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接OC，根据CD是⊙O的切线，可得∠ACO+∠DCE=90°，根据垂线的定义得到
∠DEC=90°，求得∠D+∠DCE=90°，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACO，等量代换即
可得证；
OC⋅CD
（2）由勾股定理可得OD=√5，根据三角形的面积公式得到CE= ，根据垂径定理即可得
OD
出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵ CD ⊙O
是 的切线．
∴OC⊥CD∴ ∠OCD=∠ACO+∠DCE=90°
∵OD⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠D+∠DCE=90°，
∴ ∠D=∠ACO
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴ ∠D=∠A
（2）解：∵AB=CD=2，
∴OC=1，
∴OD=√CD2+OC2=√5，
1 1
∵S = OC⋅CD= OD⋅CE，
△COD 2 2
OC⋅CD 1×2 2√5
∴CE= = = ，
OD √5 5
∵OD⊥AC，
4√5
∴AC=2CE= ．
5
【变式1】已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°．
(1)如图①，若D为A´B的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
【答案】(1)∠ABC=52°，∠ABD=45°
(2)26°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边对等角、三角形外角的定义及性质．
（1）根据直径所对圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（2）由切线的性质可得∠ODP=90°，由平行线的性质可得∠P=∠BAC=38°，有三角形外角的1
定义及性质可得∠AOD=∠ODP+∠P=128°，由圆周角定理可得∠ACD= ∠AOD=64°，由
2
等边对等角可得∠ACO=∠BAC=38°，即可得解．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠BAC=38°，
∴∠ABC=52°，
∵D为A´B的中点，
∴A´D=B´D，
1
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°，
2
∴∠ABD=∠ACD=45°；
（2）解：如图，连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，即∠ODP=90°，
∵DP∥AC，
∴∠P=∠BAC=38°，
∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°，
1
∴∠ACD= ∠AOD=64°，
2
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC=38°，
∴∠OCD=∠ACD−∠ACO=26°．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
AD交⊙O于点E，AE=3，CD=2．(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
5
(2)
2
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用垂径定理求值、切线的性
质定理
【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键．
（1）连接OC，CD是过点C的切线，得到CO∥AD，然后可以推出∠OCA=∠DAC，结合
OA=OC推导出∠OAC=∠OCA，∠DAC=∠OAC，即AC平分∠DAB；
（2）过点O作OF⊥AD，首先证得四边形CDFO是矩形，OF=CD=2，然后利用勾股定理解答
即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OC．
AD
∵ 和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴∠ADC=90°．
∵CD是过点C的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠DCO=90°．
∴∠DCO+∠ADC=90°+90°=180°．
∴CO∥AD．
∴∠OCA=∠DAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠DAC=∠OAC．
即AC平分∠DAB．
（2）解：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F．1 3
∠DFO=∠AFO=90° AF=EF= AE=
2 2
∴ ， ．
由（1）知，∠ADC=90°，∠DCO=90°，
∴四边形CDFO是矩形．
∴OF=CD=2．
在Rt△AFO中，OA2=AF2+OF2=
(3) 2
+22=
25
，
2 4
√25 5
∴OA= = ．
4 2
5
即⊙O的半径为 ．
2
【变式3】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC=54°.
(1)如图①，若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小：
(2)如图②，若CD⊥AB,过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【答案】(1)∠BAD=46°，∠CDB=36°
(2)∠E=18°
【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线
的性质定理
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求得∠ADC，进而根据三角形的外角性质可得∠BAD；
由直径所对的圆周角等于90度，根据∠CDB=∠ADB−∠ADC，即可求得∠CDB；
（2）连接OD，求出∠PCB=32°，由切线的性质得出∠ODE=90°，由圆周角定理得出
∠BOD=2∠PCB=64°，即可得出答案．
【详解】（1）如图1，
∵A´C=A´C，∠ABC=54°，
∴∠ADC=∠ABC=54°，∵ ∠APC=100°，
∴ ∠BAD=∠APC−∠ADC=100°−54°=46°，
∵ AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴ ∠CDB=∠ADB−∠ADC=90°−54°=36°；
（2）连接OD，如图②所示：
∵CD⊥AB
，
∴∠CPB=90°，
∴∠PCB=90°−∠ABC=90°−54°=36°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∵∠BOD=2∠PCB=72°，
∴∠E=90°−∠BOD=90°−72°=18°．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟
练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
【变式4】如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切
线CE交AB的延长线于点E，EF=EC．
(1)求证：OD⊥AB；
(2)若⊙O的半径长为3，且BF=BE，求OF的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)OF=1．
【知识点】对顶角相等、等边对等角、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】（1）连接OC，根据半径相等，利用切线的性质得OC⊥CE，则∠OCF+∠ECF=90°，
根据等腰三角形的性质得∠EFC=∠ECF，∠ODC=∠OCD，由对等角得∠OFD=∠EFC，故有∠ODF+∠OFD=90°，则∠FOD=90°，从而得证；
（2）设BF=BE=x，则EC=EF=2x，OE=3+x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x=2，
最后由OF=OB−BF即可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠OCF+∠ECF=90°，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠OFD=∠EFC，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∴∠FOD=90°，
∴OD⊥AB；
（2）解：∵BF=BE，
∴设BF=BE=x，则EC=EF=2x，OE=3+x，
在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2，
∴32+(2x) 2=(3+x) 2，
解得x =0（舍去），x =2，
1 2
∴OF=OB−BF=3−2=1．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等，勾股定理，解一元二次方程等
知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【变式5】如图，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线l，过⊙O上一点A作直线l的垂线交⊙O
于点B，垂足为D，连接BC，OB．(1)求证：∠ABO=2∠BCD；
1
(2)若tan∠BCD= ，AB=8，求BD的长．
3
【答案】(1)见解析
(2)BD=1
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA
（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）连接OC，由题意可得OC⊥CD，AD⊥CD，从而得出AD∥OC，
∠BCD+∠OCB=90°，进而得出∠ABO=∠BOC，2∠BCD+2∠OCB=180°，再由等边对等
角并结合三角形内角和定理即可得证；
（2）作OG⊥AD于G，OE⊥BC于E，CF⊥OB于F，证明△OBG≌△COF(AAS)，得出
OF=BG=4，设BD=x，则CD=3x，BC=√BD2+CD2=√10x，再由等腰三角形的性质可得
1 √10
BE=CE= BC= x，再由等面积法求出CF=3x，再由勾股定理得出
2 2
OF=√OC2−CF2=4x=4，即可得解．
【详解】（1）证明：如图：连接OC，
由题意可得：OC⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥OC，∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠BOC，2∠BCD+2∠OCB=180°，∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠OBC+∠OCB+∠ABO=180°，
∴2∠OCB+∠ABO=180°，
∴∠ABO=2∠BCD；
（2）解：如图，作OG⊥AD于G，OE⊥BC于E，CF⊥OB于F，
则∠OGB=∠CFO=90°，
1
由垂径定理可得：BG= AB=4，
2
由（1）可得∠ABO=∠BOC=2∠BCD，
∵OB=OC，
∴△OBG≌△COF(AAS)，
∴OF=BG=4，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠COE=∠BCD，BE=CE，
1
∴tan∠BCD=tan∠COE= ，
3
设BD=x，则CD=3x，BC=√BD2+CD2=√10x，
1 √10
∴BE=CE= BC= x，
2 2
3√10
∴OE=3CE= x，
2
∴OC=OB=√CE2+OE2=5x，
1 1
∵S = BC⋅OE= OB⋅CF，
△OBC 2 2
3√10
∴√10x⋅ x=5x⋅CF，
2∴CF=3x，
∴OF=√OC2−CF2=4x=4，
∴x=1，
∴BD=1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性
质、切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此
题的关键．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点 O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，
作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点 E，交AD于点 F，连接AE，DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
【答案】(1)详见解析
(2)AF的长为4√3
【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定的综合应用、圆
与三角形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC（SAS），得到∠OBC=∠ODC=90°，即可求
证；
（2）由OA=OD，AE=DE=8，可得OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE，进而可得
∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°，即可求出EF，再利用勾股定理得到AF的长即可．
【详解】（1）如图，连接OD，∵AO平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAO，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠ABO，∠ADO=∠DAO，
∴∠BOC=2∠BAO，∠DOC=2∠DAO，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
∵⊙O与BC相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵OA=OD，AE=DE=8，
∴OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE，
∴∠AFE=90°，
∵∠ADE=∠ABE，
∴∠DAE=∠ABE，
∵∠BAO=∠DAO=∠ABO，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAO=∠DAO=∠DAE=30°，
1 1
∴EF= AE= ×8=4，
2 2
∴AF=√AE2−EF2=√82−42=4√3．
【点晴】本题主要考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆
的有关性质是解决此题的关键．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作
BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC=8，DA=4，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的
关键．
（1）根据切线的性质得到OC⊥DC，得到OC//BE，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBE，
根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BE⊥DC，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r+4，
在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2，
即(r+4) 2=r2+82，
解得，r=6，
则AB=2r=12．
O P R
【变式2】⊙O 与⊙O 的半径分别为R、r，如果在直线O O 取一点P，使 1 = =k，那么称
1 2 1 2 O P r
2
⊙O 与⊙O 关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作⊙O 与⊙O 的位似比（规定：同心圆关于圆
1 2 1 2
心位似）．(1)如图①，已知⊙O 和点P，画⊙O ，使⊙O 与⊙O 关于点P位似，且⊙O 与⊙O 的位似比
1 2 2 1 2 1
1
为 ；
2
(2)如图②，已知⊙O 和⊙O 关于点P位似，直线l经过点P且与⊙O 相切，切点为A，请判断直
1 2 1
线l与⊙O 的位置关系，并说明理由．
2
【答案】(1)见解析
(2)直线l是⊙O 的切线，理由见解析
2
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质
和判定的综合应用
【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定：
（1）根据题意可得O P=5，r=2，据此作图即可；
2
（2）连接AO ，作O C⊥l于点C，设⊙O 和⊙O 的半径分别为r ，r ．由切线的性质得到
1 2 1 2 1 2
PO AO
∠PAO =∠PCO =90°，则可证明△PAO ∽△PCO ，得到 1= 1 ，再由⊙O 和⊙O 的
1 2 1 2 PO CO 1 2
2 2
PO r
关于点P位似，得到 1= 1 ，则O C=r ，据此可证明直线l是⊙O 的切线．
PO r 2 2 2
2 2
【详解】（1）解：如图所示，⊙O 和⊙O ′即为所求；
2 2
O P R 1
由题意得， 1 = =k= ，
O P r 2
2
由O P=10，R=4得到O P=5，r=2；
1 2
（2）解：直线l是⊙O 的切线，理由如下：
2如图，连接AO ，作O C⊥l于点C，
1 2
设⊙O 和⊙O 的半径分别为r ，r ．
1 2 1 2
∵直线l是⊙O 的切线，
1
∴AO ⊥AC，O C⊥l，
1 2
∴∠PAO =∠PCO =90°，
1 2
∵∠APO =∠CPO ，
1 2
∴△PAO ∽△PCO ，
1 2
PO AO
∴
1= 1
，
PO CO
2 2
∵⊙O 和⊙O 的关于点P位似，
1 2
PO r
∴
1= 1
，
PO r
2 2
∴O C=r ，
2 2
∵O C⊥l，O C是⊙O 的半径，
2 2 2
∴直线l是⊙O 的切线．
2
【变式3】如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂
线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED, CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC=3, PF=1，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质和判定的综合应用、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）连接OC，欲证明PC是⊙O的切线，只要证明PC⊥OC即可；
（2）延长PO交圆于G点，由切割线定理求出PG即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，
∵PD⊥AB
，
∴∠ADE=90°，
又∵OA=OC，
∴∠EAD=∠ACO，
∵∠ECP=∠AED，
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O切线；
（2）解：延长PO交圆于G点，连接CF,CG
∵PC ⊙O
是 切线，
∴∠PCF+∠FCO=∠PCO=90°，
∵FG是⊙O的直径，
∴∠GCO+∠FCO=∠FCG=90°，
∴∠PCF=∠GCO，
∵OC=OG，
∴∠GCO=∠G，
∴∠PCF=∠G，
∵∠P=∠P，
∴△PCF∽△PGC，PC PF
∴ = ，
PG PC
∵PC=3，PF=1，
∴PG=9，
∴FG=9−1=8，
∴AB=FG=8．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角
三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式4】如如图，BC是半圆⊙O的直径，PB是切线，点A是半圆上一点，且PA=PB，连接AC，
OA，OP．
(1)PA与OA的位置关系为________；
(2)求证：AC∥OP；
(3)若四边形OCAP是平行四边形，当BC=4时，求S 的值．
▱OCAP
【答案】(1)PA⊥OA
(2)见解析
(3)4
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、圆周角定理、利用平行四边形的性质证明、全等的性质
和SSS综合（SSS）
【分析】（1）先根据切线的性质得到∠PBO=90°，然后证明△POB≌△POA即可解题；
（2）根据△POB≌△POA得到∠POB=∠POA，然后利用等腰三角形的性质解题即可；
（3）证明OA⊥OC，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵PB是⊙O切线，
∴PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
∵PA=PB，OP=OP，OA=OB，
∴△POB≌△POA，
∴∠OAP=∠PBO=90°，
∴PA⊥OA．
故答案为：PA⊥OA；（2）∵△POB≌△POA，
∴∠POB=∠POA，
∴∠AOB=2∠POB，
∵∠AOB=2∠OCA，
∴∠AOP=∠OAC，
∴AC∥OP．
（3）∵四边形POCA是平行四边形，
∴PA∥OC，
∵PA⊥OA，
∴OA⊥OC，
∴∠AOC=90°．
∵BC是⊙O的直径，BC=4，
∴OA=OC=2，
∴S =2×2=4．
▱OCAP
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的性
质，正确掌握切线的性质是解题的关键．
【变式5】如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点B，D，与边BC，CD分别相交于点E，F．
(1)若AB与⊙O相切，求证：AD与⊙O相切；
(2)求证：BE=DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、圆周角定理、切线的性质和判
定的综合应用
【分析】此题考查的切线的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决
此题的关键．
（1）连接OD、OB、AC，根据菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得OD⊥AD，然后由切
线的判定方法可得结论；
（2）连接OE、OF，根据圆的性质及全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD、OB、AC，∵⊙O ABCD B D
经过菱形 的顶点 ， ，
∴AC过点O，AD=DC=BC=AB，∠DAO=∠BAO，∠DCO=∠BCO，
在△AOD和△AOB中，
¿，
∴△AOD≌△AOB(SAS)，
∴∠ADO=∠ABO，
∵AB与⊙O相切，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∵OD是半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）证明：在△DOC和△BOC中，
¿，
∴△DOC≌△BOC(SAS)，
∴∠ODF=∠OBE，
∵OD=OF=OB=OE，
∴∠ODF=∠OFD=∠OBE=∠OEB，
∴∠DOF=∠BOE，
∴DF=BE．
考点7：切线长定理
典例7：如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，
∠C=90°，AC=6，BC=8，则阴影部分的面积为（ ）
1 1 1
A．2− π B．4− π C．4−π D．1− π
2 2 4
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求扇形面积
【分析】连接OD，由题意，先利用勾股定理求出AB的长度，设半径为r，然后求出内切圆的半径，
再利用正方形的面积减去扇形的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接OD，如图：
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理，则
AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
设半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴∠C=90°=∠OFC=∠OEC，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形；
∴CF=CE=OE=OF=r，
由切线长定理，则AD=AF=6−r，BE=BD=8−r，
∵AB=AD+BD，
∴6−r+8−r=10，
解得：r=2，
∴OD=OE=OF=2；
90×π×22
∴阴影部分的面积为：S=2×2− =4−π；
360
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，切线长定理，求扇形的面积，勾股定理等知识，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
【变式1】小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把
直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得
AB＝1，则此光盘的直径为（ ）A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【答案】D
【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是
解题的关键．设光盘的圆心为O，直角三角板与光盘的切点为C，连接AO、BO，可求得
∠OAB=60∘，进而利用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，求得OB的长，即可求得答案．
【详解】解：设光盘的圆心为O，直角三角板与光盘的切点为C，连接AO、BO、CO；
∴AC、AB是⊙O的切线，∠CAB=120∘，
∴AC=AB=2，∠OAB=∠OAC=60∘，∠OBA=∠OCA=90∘，
1
∴AB= AO，OB=√3AB，
2
∵AB=1，
∴OB=√3．
故选：B．
【变式2】如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在PA,PB上，CD切
⊙O于点E．若△PCD的周长为12，则PA的长为 ．
【答案】6
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知PA=PB，以及CA=CE，DE=DB，再结合△PCD的周长为12，即可求出PA的长．
【详解】解：∵PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴PA=PB，
又∵CD切⊙O于点E，
∴CA=CE，DE=DB，
∵△PCD的周长为12，
∴PA+PB=PC+CA+DB+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CD+PD=12，
∴PA+PB=2PA=12，
∴PA=6．
故答案为：6．
【变式3】如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD=4，BD=5，则
△ABC的面积为 ．
【答案】20
【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解
【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定
理的相关内容，找到线段之间的关系．直接利用切线长定理得出AE=AD=4，BF=BD=5，
FC=EC，设FC=EC=x，再结合勾股定理得出FC的长，进而得出答案．
【详解】解：∵Rt△ABC的内切圆分别与斜边AB、直角边CA、BC切于点D、E、F，AD=4，
BD=5，
∴AE=AD=4，BF=BD=5，FC=EC，
设FC=EC=x，
则(4+x) 2+(5+x) 2=(4+5) 2，
整理得，x2+9x−20=0，
−9+√161 −9−√161
解得：x = ，x = （不合题意舍去），
1 2 2 2
−9+√161 √161−1 −9+√161 √161+1
则AC=4+ = ，BC=5+ = ，
2 2 2 21 1 √161−1 √161+1
∴S = AC⋅BC= × × =20，
△ABC 2 2 2 2
故Rt△ABC的面积为20，
故答案为20．
考点8：三角形的内切圆
典例8：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F．
(1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC的度数；
(2)若AB=13，BC=11，AC=10，求AE的长．
【答案】(1)117.5°
(2)AE=6
【知识点】应用切线长定理求解、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）根据三角形的内心是角平分线的交点并结合三角形内角和定理计算即可得解；
（2）根据切线长定理，构建方程组解决问题即可．
【详解】（1）解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F．
1 1
∴∠DBO= ∠ABC，∠DCO= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠DBO+∠DCO= ∠ACB+ ∠ABC= (∠ACB+∠ABC)=62.5°，
2 2 2
∴∠BOC=180°−(∠DBO+∠DCO)=117.5°；
（2）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE=AF，BD=BF，CD=CE，
设AE=x，BD= y，CD=z，
∵AB=13，BC=11，AC=10，
∴¿，
解得：¿，
∴AE=6．
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，⊙O是△ABC的内切圆，
求⊙O的半径r（用含a、b、c的代数式表示）．（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得r= _______________（结果用含a、b、c的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得r= _______________（结果用含a、b、c的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
1 1 1 1 ab a+b−c
【答案】（1） ab= cr+ br+ ar；r= ；c=b−r+a−r；r= ；（2）相等，
2 2 2 2 a+b+c 2
证明见解析
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解、切线的性质定理、
根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出a、b、c、r的关系，可
得答案；
（2）利用平方差公式证明即可得到相等．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O是△ABC的内切
圆，D，E，F分别为切点，⊙O的半径为r，
方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
∴OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵S =S +S +S ，
△ABC △AOB △AOC △BOC
1 1 1 1
∴ ab= cr+ br+ ar，
2 2 2 2
ab
∴r= ；
a+b+c方法二：∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，⊙O的半径为r，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE=r，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OD=OE=r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴BC、AC、AB都是⊙O的切线，切点分别为点D，E，F，
∴BD=BF，AE=AF，
∴a=BD+CD=BD+r，
b=AE+CE=AE+r，
c=AF+BF，
∴BF=BD=a−r，AF=AE=b−r，
∴c=b−r+a−r，
a+b−c
∴r= ；
2
1 1 1 1 ab a+b−c
故答案为： ab= cr+ br+ ar；r= ；c=b−r+a−r；r= ；
2 2 2 2 a+b+c 2
（2）相等．
证明：∵a2+b2=c2，
∴(a+b+c)(a+b−c)=(a+b) 2−c2=a2+2ab+b2−c2=2ab，
∵a+b+c≠0
a+b−c ab
∴ = ．
2 a+b+c
【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，
勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公
a+b+c
式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面
2
积），并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的
秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9．(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r．
【答案】(1)△ABC的面积10√2；
(2)△ABC的内切圆半径r=√2．
【知识点】二次根式的应用、三角形内心有关应用
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出p的值，再代入到公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)
即可求得S的值；
1
（2）根据公式S= r(AC+BC+AB)，代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
2
【详解】（1）解：∵BC=5，AC=6，AB=9，
BC+AC+AB 5+6+9
∴p= = =10，
2 2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√10×5×4×1=10√2；
故△ABC的面积10√2；
1
（2）解：∵S= r(AC+BC+AB)，
2
1
∴10√2= r(5+6+9)，
2
解得：r=√2，
故△ABC的内切圆半径r=√2．
【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径
间的公式是解题的关键．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、
F，连接OD，OE，OF．(1)若BC=6，AC=8，则r= ；
(2)若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)2S=L⋅r
【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
【分析】（1）根据等面积法即可得出结论；
1 1
（2）根据S = (AB+BC+AC)⋅r①，结合S = ⋅L⋅r=S，即可得到S，L，r之间数
△ABC 2 △ABC 2
量关系．
【详解】（1）连接OA、OB、OC，
S =S +S +S
△ABC △ABO △BOC △AOC
1 1 1
= ×AB×OF+ ×AC×OE+ ×BC×OD
2 2 2
∵OE=OD=OF=r
1
∴S = (AB+BC+AC)⋅r①
△ABC 2
在Rt△ABC中，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=√AC2+BC2=10
1 1
又∵S = ×AC×BC= ×6×8=24，
△ABC 2 2
代入①得：r=2
（2）∵AB+BC+AC=L，
1
代入①得S = ⋅L⋅r=S，
△ABC 2
∴S，L，r之间数量关系为2S=L⋅r
【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到
三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：【已有经验】我们通过尺规作图，可以作⊙O 经过A，B两点，如图1所示；也可以作
1
⊙O （或⊙O ），使⊙O （或⊙O ）过点M，且与直线l相切，如图2－1（或图2－2）．
2 3 2 3
(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知∠P，求作⊙O使其与∠P的两边都相切；（保
留作图痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．若⊙O经过点C，且与直
线AB相切，⊙O的半径为r，当圆心O在△ABC的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．
【答案】(1)见解析
6 3
(2)①r的最小值为 ；②r的最大值为
5 2
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、确定圆心(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）先画出∠P的角平分线，在角平分线上任意取一点O，过点O作∠P一边的垂线，以
点O到垂足的距离为半径画圆，此时⊙O与∠P的两边相切；
（2）①过点C作CD⊥AB于点D，当CD是⊙O的直径时，r最小；②当点O运动到BC边上时，r
最大．
【详解】（1）解：如下图所示：（2）①如图，过点C作CD⊥AB于点D，当CD是⊙O的直径时，r最小．
∵∠C=90∘，AB=5，AC=3，
∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4．
1 1
∵S = CD⋅AB= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 12
∴CD= = ．
AB 5
1 6
∴OD= CD= ．
2 5
6
∴r的最小值为 ．
5
3
②r的最大值为 ．
2
当点O运动到BC边上时，r最大．
此时，OD=OC=r，则OB=4−r；
∵直线AB是⊙O的切线，
∴∠ODB=90∘=∠C，
∵∠B=∠CBA,
∴△ABC ∽△OBD ，
OD OB r 4−r
∴ = ，即： = ，
AC AB 3 5
3
解得r= ．
2【点睛】本题考查圆的切线，尺规作图等知识点，分析出圆心O的位置，并能灵活运用等面积法、
相似等是解题的关键．
【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)2√3
【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质和判定的综合应用、切线的性质定理、利用垂径
定理求值
【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．过点O作OH⊥BC于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求
出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
【详解】（1）解：如图，切线AD即为所求；
（2）如图：连接OB，OC．过点O作OH⊥BC于点H，∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
1
∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
2
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝√3，
∴BC＝2√3．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（1）如图，已知⊙A与⊙A外一点B，请利用直尺和圆规按要求作图：
①连接AB，利用尺规作出AB的垂直平分线l，与AB交于点C；
②以C为圆心，CA长为半径作⊙C，与⊙A交于D，E两点；
③连接BD，BE．根据所做图形，完成下列题目：
（2）求证：BD是⊙A的切线；
（3）若⊙A的半径为2，过C做AD的平行线，与BD所在直线相交于点P，CP恰好是⊙A的切线，
请求出AB的长．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）AB=2√5
【知识点】证明某直线是圆的切线、切线的性质定理、圆周角定理、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）根据步骤完成作图即可；
（2）连接AD． 由题意可知AD为⊙A的半径．根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°．
根据切线判定定理即可得到结论；
（3）设CP切⊙A于点Q，连接AQ．证明四边形ADPQ为正方形．则PD=AD=2．证明
Rt△ACQ≌Rt△BCP(AAS)，得到BP=AQ=PD=2．求出DB=PD+BP=4．在Rt△ADB中，
利用勾股定理即可求出AB．
【详解】（1）解：作图如图所示．
（2）证明：如图，连接AD．
∵D是⊙A上一点，
∴AD为⊙A的半径．
∵AB为⊙C的直径，
∴∠ADB=90°．
∴BD是⊙A的切线．（3）解：如图，设CP切⊙A于点Q，连接AQ．
∵CP∥AD，
∴∠DPC=90°．
∵CP是⊙A的切线，
∴∠AQP=90°．
∴四边形ADPQ为矩形．
又∵AD=AQ=2，
∴四边形ADPQ为正方形．
∴PD=AD=2．
∵C为AB的中点，
∴AC=CB．
又∵∠ACQ=∠BCP，∠BPC=∠AQC=90°
∴Rt△ACQ≌Rt△BCP(AAS)．
∴BP=AQ=PD=2．
∴DB=PD+BP=4．
在Rt△ADB中，AB=√AD2+DB2=√22+42=2√5
【点睛】此题考查了基本作图，切线的判定和性质、圆周角定理、正方形的判定和性质、全等三角
形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作图和熟练掌握切线的判定是解题的关键．
【变式3】阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴
过圆外一点作圆的切线
我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了
如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，
我想出了两种作法．具体如下（已知点P是⊙O外的一点）：作法一（如图1）：
1．连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
2．以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交⊙O于点B；
3．作直线PB，则直线PB是⊙O的切线．
证明：如图1，连接OB，AB．
由作图可知AP=OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，∠ABP=∠APB．（依据）
在△OPB中，∵∠PBO+∠POB+∠APB=180°，
∴2∠ABO+2∠ABP=180°．
∴∠PBO=90°．
∴PB⊥OB．
∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB是⊙O的切线．
作法二（如图2）：
1．连接OP，交⊙O于点A，过点A作OP的垂线AD；
2．以点O为圆心，以OP的长为半径作弧，交直线AD于点B；
3．连接OB，交⊙O于点C；
4．作直线PC，则直线PC是⊙O的切线．
证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
【答案】(1)同一个三角形中，等边对等角
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意和等边对等角的性质求解即可；
（2）由作法可得到AD⊥OP，OB=OP，然后证明△OPC≌△OBA，得到
∠OCP=∠OAB=90°，从而得到OC⊥PC，由切线的判定定理得出结论．
【详解】（1）根据题意可得，“作法一”中的“依据”是指，同一个三角形中，等边对等角，
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；（2）由作法可得，AD⊥OP，OB=OP，
∴∠OAB=90°
在△OPC和△OBA中
¿
∴△OPC≌△OBA(SAS)
∴∠OCP=∠OAB=90°
∴OC⊥PC
而OC是⊙O的半径
∴直线PC是⊙O的切线．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角的性质等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
