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专题 11 与圆有关的位置关系
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r P
点在圆外 点在圆的外部 d＞r ⇔点P在⊙O的外
O
点在圆上 r P 点在圆周上 d＝r ⇔点P在⊙O上
O
r P
点在圆内 点在圆的内部 d＜r ⇔点P在⊙O的内
O
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
r O
相离 直线与圆没有公共点 d＞r ⇔直线 与⊙O相离
d l
直线与圆有唯一公共
r
相切 O 点，直线叫做圆的切 d＝r ⇔直线 与⊙O相切
d l
线，公共点叫做切点
直线与圆有两个公共
r
相交
d
O 点，直线叫做圆的割 d＜r ⇔直线 与⊙O相交
l
线
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切
线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距
离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形
却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是
三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
1
S ×R×（AB+BC+AC）
△ABC=
2
③直角三角形的三边与内切圆的关系
1
R= （两直角边和-斜边长）
2
模块三 考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，
C
【变式1】如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1，以A为中心顺时
针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x，
若以点B为圆心，1.6为半径作⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（ ）
A．1<x<2 B．1<x<1.4 C．1<x<1.6 D．0.6<x<1.4
【变式2】如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为AD边的中点，正方形所在平面内有一个动
点P，它到点E的距离始终为1，以BP为直角边作等腰直角△PBQ，则PQ的最大值为 ，
最小值为 ．
【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆．
（1）当点C在⊙A内时，r的取值范围是 ；
（2）若r=3，则点C在⊙A ，点B在⊙A ；
（3）当点A,B,C中只有两点在⊙A内时，r的取值范围是 ．
考点2：三角形的外接圆
典例2：如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（ ）
A．(1,−1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
1
【变式1】如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于 BC长为半
2
径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AD，∠B=25°，
则下列结论中错误的是( )
A．∠ACD=65° B．∠ACB=90°
C．∠CAD=50° D．点D是△ABC的外心
【变式2】一个直角三角形的两条直角边长是方程x2−7x+12=0的两个根，则此直角三角形外接圆
的半径等于
【变式3】如图，△ABC中，AB=7，AC=4，BC上的高AD=3．则△ABC外接圆的半径长为
．
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的
是（ ）
A．点A在⊙A上 B．点C在⊙A内
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
【变式1】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
12
A．r≥ B．r=3或r=4
5
12 12
C． ≤r≤3 D． ≤r≤4
5 5
【变式2】如图，直线 与 轴、 轴分别相交于A、B两点，点 ，点 ，圆心 的
AB x y A(−3,0) B(0,√3) P
坐标为(1,0)，圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与线段AB有公共点时，令圆
心P的横坐标为m，则m的取值范围是 ．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(−3,0)，将⊙P沿x轴
正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
考点4：切线的判定综合
典例4：如图，在△ABC中，∠C=90°，点F是边AB上一点，以BF为直径的⊙O与边BC，AC
分别相交于点D，E，且D´E=E´F.(1)如图1，求证：AC是⊙O的切线；
(2)如图2，连接ED，若∠A=30°,BC=6，求阴影部分的面积．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC
上，且AD平分∠BAC．
(1)求证：BC是⊙O的切线．
(2)若BD=4,BE=2，求AB的长．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧与BC
交于点E，且AB=BE．
(1)求证：BC与⊙D相切；
(2)若CD=2AB,AD=6，求图中阴影部分的面积．
【变式3】如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作
DF⊥AC于F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC与⊙O相切于点G，⊙O半径为3，则阴影部分面积=______．
【变式4】如图，△ABC内接于⊙O, 且AB为⊙O的直径，过点O作OE∥BC，交⊙O于点E，交AC于点D. 过A点作直线l交OE的延长线于点F，且∠F=∠BAC．
(1)求证：直线AF与⊙O相切；
(2)若OF=8，∠F=30°，求AD的长．
【变式5】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，点
D为BE的下面半圆的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若EF=EC=2，求DF的长．
【变式6】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点O作OP⊥AC于点M，交⊙O
于点N，连接CP，∠PCA=∠CBA．
(1)求证：CP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，PN=6，求BC的长．
【变式7】如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线
AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．(1)求证：BD=CD；
(2)求证：直线DE是⊙O的切线．
考点5：切线的性质综合
典例5：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OE⊥AC于点E，延长OE至点
D，连接CD，且CD是⊙O的切线．
(1)求证：∠D=∠A；
(2)若AB=CD=2，求AC的长．
【变式1】已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°．
(1)如图①，若D为A´B的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
AD交⊙O于点E，AE=3，CD=2．(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)求⊙O的半径．
【变式3】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC=54°.
(1)如图①，若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小：
(2)如图②，若CD⊥AB,过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
【变式4】如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切
线CE交AB的延长线于点E，EF=EC．
(1)求证：OD⊥AB；
(2)若⊙O的半径长为3，且BF=BE，求OF的长．
【变式5】如图，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线l，过⊙O上一点A作直线l的垂线交⊙O
于点B，垂足为D，连接BC，OB．
(1)求证：∠ABO=2∠BCD；
1
(2)若tan∠BCD= ，AB=8，求BD的长．
3
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点 O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，
作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点 E，交AD于点 F，连接AE，DE．(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作
BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC=8，DA=4，求AB的长．
【变式2】 与 的半径分别为R、r，如果在直线 取一点P，使O P R ，那么称
⊙O ⊙O O O 1 = =k
1 2 1 2 O P r
2
⊙O 与⊙O 关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作⊙O 与⊙O 的位似比（规定：同心圆关于圆
1 2 1 2
心位似）．
(1)如图①，已知⊙O 和点P，画⊙O ，使⊙O 与⊙O 关于点P位似，且⊙O 与⊙O 的位似比
1 2 2 1 2 1
1
为 ；
2
(2)如图②，已知⊙O 和⊙O 关于点P位似，直线l经过点P且与⊙O 相切，切点为A，请判断直
1 2 1
线l与⊙O 的位置关系，并说明理由．
2
【变式3】如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂
线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED, CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC=3, PF=1，求AB的长．
【变式4】如如图，BC是半圆⊙O的直径，PB是切线，点A是半圆上一点，且PA=PB，连接AC，
OA，OP．
(1)PA与OA的位置关系为________；
(2)求证：AC∥OP；
(3)若四边形OCAP是平行四边形，当BC=4时，求S 的值．
▱OCAP
【变式5】如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点B，D，与边BC，CD分别相交于点E，F．
(1)若AB与⊙O相切，求证：AD与⊙O相切；
(2)求证：BE=DF．
考点7：切线长定理
典例7：如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，
∠C=90°，AC=6，BC=8，则阴影部分的面积为（ ）1 1 1
A．2− π B．4− π C．4−π D．1− π
2 2 4
【变式1】小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把
直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得
AB＝1，则此光盘的直径为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
【变式2】如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在PA,PB上，CD切
⊙O于点E．若△PCD的周长为12，则PA的长为 ．
【变式3】如图，Rt△ABC的内切圆分别与三边相切于点D，点E和点F，若AD=4，BD=5，则
△ABC的面积为 ．
考点8：三角形的内切圆
典例8：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F．(1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC的度数；
(2)若AB=13，BC=11，AC=10，求AE的长．
【变式1】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，⊙O是△ABC的内切圆，
求⊙O的半径r（用含a、b、c的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．
解得r= _______________（结果用含a、b、c的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．
解得r= _______________（结果用含a、b、c的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
【变式2】已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公
a+b+c
式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c是三角形的三边长，p= ，S为三角形的面
2
积），并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的
秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9．(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r．
【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、
F，连接OD，OE，OF．
(1)若BC=6，AC=8，则r= ；
(2)若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：【已有经验】我们通过尺规作图，可以作⊙O 经过A，B两点，如图1所示；也可以作
1
⊙O （或⊙O ），使⊙O （或⊙O ）过点M，且与直线l相切，如图2－1（或图2－2）．
2 3 2 3
(1)【迁移经验】用尺规按要求画图：如图3，已知∠P，求作⊙O使其与∠P的两边都相切；（保
留作图痕迹，不写作法）
(2)【问题解决】如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．若⊙O经过点C，且与直
线AB相切，⊙O的半径为r，当圆心O在△ABC的内部（含边界）时，
①求r的最小值；
②直接写出r的最大值．【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【变式2】（1）如图，已知⊙A与⊙A外一点B，请利用直尺和圆规按要求作图：
①连接AB，利用尺规作出AB的垂直平分线l，与AB交于点C；
②以C为圆心，CA长为半径作⊙C，与⊙A交于D，E两点；
③连接BD，BE．
根据所做图形，完成下列题目：
（2）求证：BD是⊙A的切线；
（3）若⊙A的半径为2，过C做AD的平行线，与BD所在直线相交于点P，CP恰好是⊙A的切线，
请求出AB的长．
【变式3】阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴
过圆外一点作圆的切线
我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了
如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，
我想出了两种作法．具体如下（已知点P是⊙O外的一点）：作法一（如图1）：
1．连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；
2．以点A为圆心，以AO的长为半径作弧，交⊙O于点B；
3．作直线PB，则直线PB是⊙O的切线．
证明：如图1，连接OB，AB．
由作图可知AP=OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，∠ABP=∠APB．（依据）
在△OPB中，∵∠PBO+∠POB+∠APB=180°，
∴2∠ABO+2∠ABP=180°．
∴∠PBO=90°．
∴PB⊥OB．
∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB是⊙O的切线．
作法二（如图2）：
1．连接OP，交⊙O于点A，过点A作OP的垂线AD；
2．以点O为圆心，以OP的长为半径作弧，交直线AD于点B；
3．连接OB，交⊙O于点C；
4．作直线PC，则直线PC是⊙O的切线．
证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
