文档内容
专题 30 与圆有关的位置关系
【专题目录】
技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法
技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型
技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法
【题型】一、判断点与圆的位置关系
【题型】二、三角形外接圆的相关计算
【题型】三、确定圆的条件
【题型】四、判断直线与圆的位置关系
【题型】五、利用切线的性质定理进行计算
【题型】六、切线性质与判定的综合
【题型】七、利用切线长定理进行计算
【题型】八、三角形内切圆的相关计算
【题型】九、圆内接四边形的相关计算
【题型】十、判断圆与圆的位置关系
【考纲要求】
1.了解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系．
2.了解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系．
3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质．
4.掌握三角形内切圆的性质.
【考点总结】一、点、线与圆的位置关系
1. 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:
（1）点在圆外⇔d>r;
（2）点在圆上⇔d=r;
（3）点在圆内⇔dr d=r dBC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
(第3题)
类型四：证切线时辅助线作法的应用
4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
(第4题)
类型五：遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为
( )A．3 B．4 C．3 D．4
(第5题)
(第6题)
6．如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2，OH＝1，则∠APB＝
________.
类型六：遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中
点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
(第7题)
类型七：遇切线巧作过切点的半径
8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．
(第8题)
类型八：巧添辅助线计算阴影部分的面积
9．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝
∠OBD＝30°，DB＝6 cm.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求由弦CD，BD与BC所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)
【题型讲解】
【题型】一、判断点与圆的位置关系
例1、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定
例2、已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【题型】二、三角形外接圆的相关计算
例3、有一题目：“已知；点 为 的外心， ，求 ．”嘉嘉的解答为：画 以
及它的外接圆 ，连接 ， ，如图．由 ，得 ．而淇淇说：“嘉嘉
考虑的不周全， 还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且 的另一个值是115°
B．淇淇说的不对， 就得65°
C．嘉嘉求的结果不对， 应得50°
D．两人都不对， 应有3个不同值
例4、过三点 （2，2）， （6，2）， （4，5）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4， ） B．（4，3） C．（5， ） D．（5，3）
【题型】三、确定圆的条件
例5、如图， 、 为⊙O的切线，切点分别为A、B， 交 于点C， 的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A． 为等腰三角形 B． 与 相互垂直平分
C．点A、B都在以 为直径的圆上 D． 为 的边 上的中线
例6、如图，已知 是 的两条切线，A，B为切点，线段 交 于点M．给出下列四种说法：
① ；② ；③四边形 有外接圆；④M是 外接圆的圆心，其中正确说法的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型】四、判断直线与圆的位置关系
例7、如图， 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径作 ，当
时， 与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【题型】五、利用切线的性质定理进行计算例8、如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（
）
A．60° B．65° C．70° D．75°
例9、如图，AB是 的切线，A切点，连接OA，OB，若 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
⏜
例10、如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 上一点，则
DF
∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
例11、如图，△ABC内接于圆， ，过点 的切线交 的延长线于点 ．则
（ ）A． B． C． D．
例12、如图， 分别与⊙O相切于 两点， ，则 ( )
A． B． C． D．
【题型】六、切线性质与判定的综合
例13、如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接
AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
例14、如图，在△ABC中， ，以 为直径的⊙O与 相交于点 ，过点 作⊙O的切线交
于点 ．（1）求证： ；
（2）若⊙O的半径为 ， ，求 的长．
【题型】七、利用切线长定理进行计算
例15、如图，P为⊙ 外一点，PA、PB分别切⊙ 于A、B两点，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例16、如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，
下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【题型】八、三角形内切圆的相关计算
例17、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝
12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9例18、如图， 内心为 ，连接 并延长交 的外接圆于 ，则线段 与 的关系是（
）
A． B． C． D．不确定
【题型】九、圆内接四边形的相关计算
例19、如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则 等于（
）
A． B． C． D．
例20、如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则
∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
例21、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）A．70° B．110° C．130° D．140°
【题型】十、判断圆与圆的位置关系
例22、已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是
（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
例23、如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位
置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外切 D．相交
与圆有关的位置关系（达标训练）
一、单选题
1．图，在平面直角坐标系中，以M（3，5）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，
则tan∠ACM的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，
∠A=25°，则∠D的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．50°
3．如图， 的内接四边形 中， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接
BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（ ）．
A．110° B．115° C．120° D．125°
5．如图， 的直径 与弦 的夹角为25°，过点C的切线 与 的延长线交于P，则 的度数为
（ ）°．
A．25 B．30 C．35 D．406．下列说法正确的是（ ）
A．为调查全国人民对粮食的关注度，应采用全面调查
B．“三点确定一个圆”是必然事件
C．成语“水中捞月”是随机事件
D．随意掷一枚5角钱币，落地后每一面向上的机会一样
二、填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是______．
三、解答题
9．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作
DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．10．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O
的切线．
与圆有关的位置关系（提升测评）
一、单选题
1．如图，四边形 内接于 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， ， 分别与 相切于点 ， ，过圆上点 作 的切线 分别交 ，
于点 ， ，若 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 的内切圆 与各边相切于 ， ， ，且 ，则 是（ ）A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，已知圆心角 ，则圆周角 （ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A．函数 中，当 时，y随x的增大而减小
B．平分弦的直线垂直于弦
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D． 的半径为5，若点P在 外，则
6．如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 是半圆 的直径，点 是弧 的中点，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等边 是 的内接三角形，点D，E分别为 边上的中点，延长 交 于点F，
若 ，则 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
9．如图， 是 的直径， 、 为 上的点，若 ，则 ______°．
10．如图， 是 的内接四边形， ，则 的度数是_____度．
三、解答题
11．如图，四边形 中， ，点E是边 上一点，且 平分 ，作 的外接圆
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为5， ，求 的长．
12．如图，在 中， ， 是 的平分线， 是 上一点，以 为半径的 经过点．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ， ，求 的长．
