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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题2二次函数与直角三角形问题
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并
验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三
角形，这样列比例方程比较简便．
我们先看三个问题：
1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．
图1 图2 图3
如图1，点C在垂线上，垂足除外．
如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．
如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意
的点B，共6个．
如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．
我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．
如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
设OC＝m，那么 ．
这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．
对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决.
【例1】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A
在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【例2】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C
（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋
转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且 ＝ 时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【例3】．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、
C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积
最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【例4】．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交
于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 D在第一象限内，过点D作x轴的平
行线交抛物线于点 E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形
DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴
上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
1．（2022•公安县模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣
1，0），C（2，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE 的最大值以及此时E点的坐标；
（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，
如果不存在，说明理由．2．（2022•高邮市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作
BC∥x轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若 ．
（1）求点B的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若△PAC是以AC为直角边的直角
三角形，求点P的坐标．
3．（2022•碑林区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点．
（1）求b，c的值；
（2）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直
角边，作等直角△BED，使得点D恰好落在直线y＝x上，求出满足条件的所有点E的坐标．
4．（2022•雁峰区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于
点C，直线y＝ x+1与x轴交于点E，与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；
（3）M在直线DE上，当△CDM为直角三角形时，求出点M的坐标．
5．（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A
（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠PAB＝45°时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点 Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
6．（2022•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线
AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求线段DE的最大值；
（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F
的坐标．
7．（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣ 与x轴交于
A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两
点，连接AC．
（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；
（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说
明理由．
8．（2022•沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B
（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90°得到MN，当点N恰好
落在y轴上时，求点M，点N的坐标．
（3）如图2，若点E坐标为（2，0），EF⊥x轴交直线BC于点F，将△BEF沿直线BC平移得到
△B'E'F'，在△B'E'F'移动过程中，是否存在使△ACE'为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符
合条件的点E′的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022•东坡区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线y＝x+2
与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧．
（1）求m的值；
（2）点P是抛物线y＝x2﹣（m+2）x+4上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐
标；
（3）将直线AB向下平移k（k＞0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于 D，E两点（点D在点E
的左侧），当△DEC为直角三角形时，求k的值．
10．（2022•海沧区二模）抛物线y ＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物
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线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．
（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；
（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y ＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点
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E，当x＜﹣1时，总有y ＞y ．当﹣1＜x＜1时，总有y ＜y ．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角
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形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2021•葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中
B（﹣2，3），已知抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点D（﹣2，﹣1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若
S△BDE ＝4S△ABE ，求E点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ⊥直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，
若△APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标．
12．（2021•和平区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣ ，交y轴于点A，交x轴于B（﹣1，0），C（5，
0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将△DGH沿GH翻折到
△GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当△GHK为直角三角形时．
①请直接写出线段HK的长为 ；
②将此Rt△GHK绕点H逆时针旋转，旋转角为 （0°＜ ＜180°），得到△MHN，若直线MN分别与
直线CD，直线DG交于点P，Q，当△DPQ是以PαQ为腰的α 等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为﹣ 或﹣ ．
13．（2021•莱芜区三模）二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B（﹣3，0），交y轴于点C
（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，
得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t
的值；
（3）如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x
轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M
的坐标．
14．（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（﹣
1，0），C（4，0），AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点 P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2021•武汉模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且
OB＝3OA．
（1）请直接写出b＝ ﹣ 8 ，A点的坐标是 （ 2 ， 0 ） ，B点的坐标是 （ 6 ， 0 ） ；
（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于
点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；
（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定
点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接
写出P点的坐标．16．（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x+2与x轴交于A、B
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S ，△BCD
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的面积为S ，当S ﹣S 的值最大时，求P点的坐标和S ﹣S 的最大值；
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（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直
线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'（线段A'C'始终在直线l左侧），
是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出
其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．
17（2021•广东模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2+bx+c经过点B、
C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动的时间为t秒．
①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值；
②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值．18.（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C
（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当 最大时，求点P的坐标及 的最
大值；
（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，
请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
19.（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线
x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 （ 1 ， 0 ） ，点D的坐标为 （ 2 ，﹣ 1 ） ，抛物线的解析式为 y ＝
x 2 ﹣ 4 x +3 ；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为 ，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点 P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.（2021•兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣ m+4图象的顶点为
C，其中m＞0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，
4）．
（1）当m＝2时，抛物线y＝a（x﹣m）2﹣ m+4（m＞0）经过原点，求a的值；
（2）当a＝﹣1时，
①若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标．
②设反比例函数y＝﹣ （x＞0）与抛物线y＝a（x﹣m）2﹣ m+4（m＞0）相交于点E（p，q）．当2
＜p＜4时，求m的取值范围．
