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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题30代数中的新定义问题
【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为 0的三位自然数N，若N能被它的
各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a
＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两
F(A)+G(A)
位数记为G（A），若 为整数，求出满足条件的所有数A．
16
【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝
（t ，t ，…t ），其中，t ，t ，…，t 都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n
1 2 n 1 2 n
为整数）．
例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是
4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：
新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|，
新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x ，x ，…，x ）和N＝（y ，y ，…，
1 2 n 1 2
1
y ），M N = （x *y +x *y +…+x *y ），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和
n 2 1 1 2 2 n n
⊗ 1
N＝（0，0，1），有M N= （0+0+2）＝1．
2
（1）在（0，0，0），（⊗ 2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组
的有： ；
（2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A B＝ ；
（3）已知完美数组M＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N，使得M N＝2；
⊗
（4）现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组
⊗
C，D满足C D＝0；则m的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组
的一个构造．
⊗
【例 3】（2022 秋•茅箭区校级月考）对 x，y 定义一种新运算 T，规定 T（x，y）
ax2+b y2
= （其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．
x+ y
a×32+b×12 9a+b am2+4b
如：T（3，1）= = ，T（m，﹣2）= ．
3+1 3+1 m−2（1）填空：T（4，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；
（2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值；
②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值．
【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P
1 1
为和谐点．例如：点（1，1），（ ， ），（−√2，−√2），……都是和谐点．
2 2
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
5 5
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
2 2
①求a，c的值；
1
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数
4
m的取值范围．
【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于 n（n≥0）的点叫做
1 1 1
这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（ ， ）是函数y＝x图象的“ 阶方点”；
3 3 2
2
点（2，1）是函数y= 图象的“2阶方点”．
x
1 1
（1）在①（﹣2，− ）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y=
2 x
图象的“1阶方点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直
接写出n的取值范围．
一．解答题（共20题）
1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个
数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为 0的四位正整数m可以被9整除，且m的百
位上的数字比十位上的数字大2，则称m为“够二数”；将m的千位数字与个位数字交
m−m′+1818
换，百位数字与十位数字交换，得到的数为 m'，F(m)= ，例如：m＝
999
8424 ， ∵ 8+4+2+4 ＝ 18 ＝ 9×2 ， 4﹣ 2 ＝ 2 ， ∴ 8424 是 “ 够 二 数 ” ，
8424−4248+1818
F(8424)= =6．
999
（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F
（m）的值；c
（2）若一个四位正整数n=abcd是“够二数”，且 为5的倍数，请求出所有的
F(n)
“够二数”n的值．
2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数 m，若满足千位上的数字与个位上的
数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、
例如：
m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；
m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；
（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个
位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的
绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为 R（m），令G
T(m)
（m）= ，当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m．
R(m)
3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的 4倍，则
称这个两位数为“巧数”．
材料二：一个四位数N=abcd满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字
组成的两位数ab，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd均为“巧数”，则称这个
四位数为“双巧数”．若p=ac−bd，q=ad−bc，则记F（N）＝q﹣p．
（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2
倍；
（2）若 s，t都是“双巧数”，其中 s＝3010+100x+10y+z，t＝1100m+400+10n+2r，
（1≤x，z，n≤9，1≤y≤8，1≤m≤5，1≤r≤4，且x，y，z，m，n，r均为整数），规
F(s)
定K（s，t）= ，当F（s）+F（t）＝12时，求K（s，t）的最大值．
F(t)
4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数 m，如果m的百位数字等于个位数字与十
位数字之和，m的千位数字等于十位数字的 2倍与个位数字之和，那么称这个数 m为
“和谐数”．例如：m＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例
如：m＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．
（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；
（2）若m是“和谐数”，且 m与22的和能被 13整除，求满足条件的所有“和谐
数”m．
5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x、y，有L（x，y）＝ax+by（其
中a，b均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为 L（x，y），其中
x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，
这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．3 1
（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝ ，L（ ，− ）＝ ；
2 2
1 50 2
（2）已知L（5， ）= ，L（2， ）＝8．
3 3 5
①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有
哪些？
②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，
若有，请找出；若没有，请说明理由．
6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣
3），其中a，b是非零常数．如：当 a＝1，b＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝
2x2+x﹣6．
1
（1）当a，b满足(a− ) 2+|b+6|=0时，计算E（x）；
2
3 16 a
（2）已知E(2−3x)= x2−2x− ，请求出 的值；
2 3 b
{ E(x)−2x(6x+3)≤2k
（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组 恰好有5
4E(2+x)−E(2x−1)＜228
个整数解，求k的取值范围．
7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a
＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T
（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝ ；
（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．
8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为 1，我们就称这两个方
程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是否互为“美好方程”；
x
（2）若关于x的方程 +m＝0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
2
1 1
（3）若关于x方程 x﹣1＝0与 x+1＝3x+k是“美好方程”，求关于y的方程
2022 2022
1
（y+2）+1＝3y+k+6的解．
2022
9．（2022春•岳麓区校级期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（2a﹣b）
（ax﹣by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝x﹣y．
{T(1，3)=a+3
（1）已知关于x，y的方程组 ，若a≤﹣1，求2x﹣y的取值范围；
T(2，0)=8a（2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段
OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O'A'，坐标轴上有一点B满足三角形BOA'的面积
为15，请直接写出点B的坐标．
10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝
c，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满
足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福
“方程组．根据上述规定，回答下列问题，
（1）判断方程3x+5y＝8 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程kx+（k﹣1）y＝9是“幸福”方程，求k的值；
{x=p {mx+(m+1)y=n−1
（3）若 是关于x，y的“幸福”方程组 的解，求4p+7q的
y=q mx+2my=n
值．
11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标 2倍的点，
则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y＝x+1，其
“青一点”为（1，2）．
（1）①判断：函数y＝2x+3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；
8
②函数y= 的图象上的青一点是 ；
x
1
（2）若抛物线y=(m−1)x2+mx+ m上有两个“青一点”，求m的取值范围；
4
n k
（3）若函数y=x2+(m−k+2)x+ − 的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣
4 2
1≤m≤3时，n的最小值为k，求k的值．
12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式
上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，
提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外
开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点 A（x ，y ）、B（x ，
1 1 2
y ）（x ≠x ），满足纵坐标相等，即y ＝y ，则称点A、B为这个函数的一对“高水平
2 1 2 1 2
点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对
“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多
少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x ，y ）都在关于x的“高水平函数”y＝
0 0
ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平
1 1
点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+ ＞− x 2﹣x +2恒成立，求w
3 4 0 0的取值范围．
13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 y＝a x2+b x+c （a ≠0，a ，b ，c 是常数）与 y＝a x2+b x+c
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
（a ≠0，a ，b ，c 是常数）满足a +a ＝0，b ＝b ，c +c ＝0，则这两个函数互为“旋
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a ＝2，b ＝﹣3，c ＝1，根据
1 1 1
a +a ＝0，b ＝b ，c +c ＝0，求出a ，b ，c 就能确定这个函数的“旋转函数”．
1 2 1 2 1 2 2 2 2
请参照小组同学的方法解决下面问题：
（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是 ；
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）
2022的值；
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
点A，B，C关于原点的对称点分别是A ，B ，C ，试求证：经过点A ，B ，C 的二次
1 1 1 1 1 1
函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标 3倍的点称
为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（√3−1，3√3−3），……都是“一中
点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P （4，12），P （−1，−3）．
1 2
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打
“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 ；②y＝x2−1 ；③y＝x2+4 ．
1 2 2
（2）若抛物线y＝− x2+（ m+3）x− m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x
2 3 9
相交于点A（x ，y ）和B（x ，y ），令t＝x 2+x 2，求t的最小值；
1 1 2 2 1 2
1
（3）若函数y= x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当
4
﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的
两个实数根为x ，x 如（x ＜x ），分别以x ，x 为横坐标和纵坐标得到点 M（x ，
1 2 1 2 1 2 1
x ），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
2
（1）若方程为x2﹣3x＝0，求出该方程的衍生点M的坐标；
（2）若关于x的一元二次方程为x2﹣（5m+1）x+5m＝0的衍生点为M，过点M向x轴
和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点
M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理
由．16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则
称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为
这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，
3
点（− ，﹣3）是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．
2
（1）函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；
（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两
点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：
①c的取值范围；
②直接写出∠EMN的度数．
17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点
称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信
点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 ；
②函数y＝x2+2x−2图象上的“立信点”坐标为 ．
（2）若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x ，x ），B（x ，x ）两个“立
1 1 2 2
1 1
信点”和
+ =−
1且求k的值；
x x
1 2
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，
令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．
例如，对于函数y＝x﹣1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x﹣1的零点．
（1）求一次函数y＝2x﹣3的零点；
3
（2）若二次函数y＝x2+bx+ b的零点为x ，x ，A，B两点的坐标依次A（x ，0），B
2 1 2 1
（x ，0），如果AB＝2，求b的值；
2
（3）直线y＝﹣2x+b的零点为1，且与抛物线y＝kx2﹣（3k+3）x+2k+4（k≠0）交于
1
C、D两点，若m+1≤ ≤m+2时，线段CD有最小值3√5，求m．
k
19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函
数的不动点．
（1）请直接写出函数y＝2﹣x的不动点M的坐标；
3x+8
（2）若函数y= 有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；
x+a
（3）已知函数y＝ax2+（b+1）x+（b﹣1），若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动
点，请直接写出a的取值范围．
20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m有如下规定：用[m]表示不小于m的最小5
整数，例如[ ]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题：
2
（1）①0≤[x]﹣x＜1；②[x﹣2022]＝[x]﹣2022；③[3x]＝3[x]；④[x]+[y]＝[x+y]；⑤
若[x]＝a（a为整数），则a﹣1＜x≤a．以上五个命题中为真命题的是 （填序
号）．
（2）关于x的方程[x﹣1]＝2x+1的解为 ．
（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元
（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他
从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租
车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同
学返回甲地后应付费 元．
