文档内容
专题 3-4 二次函数选填压轴 7 类常考热点问题
01 题型·解读
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
2023年四川省达州市中考真题
2023年山东省烟台市中考真题
2023年四川省遂宁市中考真题
2022年辽宁省丹东市中考真题
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
2023年四川省眉山市中考真题
2023年辽宁省营口市中考真题
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
2023年四川省广安市中考真题
2023年辽宁省丹东市中考真题
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
2023·湖北武汉中考真题
2023·湖北黄冈中考真题
2023·青海西宁·中考真题
2023年湖南省邵阳市中考真题
2023年湖北省黄石市中考真题
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
【题型4】二次函数实际应用2022·四川广安中考真题
2023·湖北襄阳中考真题
2023·吉林长春中考真题
2022·四川南充·中考真题
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
2023·湖北十堰中考真题
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
2023年福建省中考真题
2022·湖南湘西中考真题
2022·江苏盐城中考真题
2023年四川省南充市中考真题
2023·浙江衢州中考真题
2023年四川省泸州市中考真题
2022·山东济南中考真题
2022·湖北荆门中考真题
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
2023·四川巴中中考真题
2023年四川省乐山市中考真题
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
2023·四川达州·统考二模
广东梅州·九年级统考
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
02 满分·技巧二次函数图像与系数a，b，c的关系
如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于 ， 两点
考法 解决方法 本题结果
a:二次函数图像开口向上时，a＞ a＞0
0；开口向下，则a＜0， b＜0
①a,b,c c＜0
b：和a共同决定了函数对称轴的位
置，“左同右异”
c：c为图像和y轴交点的纵坐标
两个交点：
一个交点：
②
没有交点：
③ 用特殊值进行判断： a＋b＋c＜0
a＋b＋c即为当 时的函数值； a－b＋c＜0
4a－2b＋c为当 时的函数值
只有a，b时，用对称轴代换，消去
∵ ，∴ ，
④ 一个未知数进行判断
只有a，c或只有b，c时，先用对 ∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，
⑤c＋a 称轴代换，消去一个未知数，然后 ∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0
利用④中的结果判断结果
若c的系数不是1，可以先化成1再
⑥ 进行计算，或这把③中的某个式子
而 ，
中的c的系数变成题里的形式
⑦ am2 ＋ 同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋ am2＋bm≥a＋bbm和a＋b c
的大小关系 第一个式子是当 x＝m 时的函数
值，第二个式子是当x＝1时的函数
值；由图可知，x＝1时函数取最小
值
⑧(a+c)-b2
⑨ 可以把代数式变成顶点的纵坐标公 假 如 定 点 纵 坐 标 小 于 － 1 ， 则
b 4ac-b2 4ac-b2
和 的 大 式，顶点坐标（- ， ＜-1，4ac-b2＜－4a，b2－
2a 4a 4a
小关系
） 4ac＞4a
⑩若给出
a,c的数量关系可以知道， 可以判断关于a,b，c任意式子的正负
也可以求出以a,b，c为参数的方程的根
的值
即 ，进而可知a,b，c的
关系
03 核心·题型
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
1．已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；
③ （m为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ．其
中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④2023年四川省达州市中考真题
2．如图，拋物线 （ 为常数）关于直线 对称．下列五个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2023年山东省烟台市中考真题
3．如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0合和1之间，
则以下结论：① ；② ；③若图象经过点 ，则 ；④若关于
的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2023年四川省遂宁市中考真题
4．抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ．下列说法：① ；②；③ （t为全体实数）；④若图象上存在点 和点
，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ．其中正确的
个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2022年辽宁省丹东市中考真题
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线
x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；
④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线
的顶点，若CM⊥AM，则a＝ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
6．如图，抛物线 经过点 ， ．下列结论：① ；② ；③若抛物线上有点 ， ， ，则 ；④方程 的解为 ，
，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2023年四川省乐山市中考真题
7．如图，抛物线 经过点 ，且 ，有下列结论：① ；②
；③ ；④若点 在抛物线上，则 ．其中，正确的
结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2023年四川省眉山市中考真题
8．如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当 时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年辽宁省营口市中考真题
9．如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，与y轴交于点C．下列说
法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时， ；④当
时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
10．如图，二次函数 图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为
直线 ，结合图像给出下列结论：
① ；② ；③ ；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根；⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2023年四川省广安市中考真题
11．如图所示，二次函数 为常数， 的图象与 轴交于点
．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则
；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年辽宁省丹东市中考真题
12．抛物线 与x轴的一个交点为 ，与y轴交于点C，点D是抛物线的
顶点，对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，则以下4个结论：① ；② ，
是抛物线 上的两个点，若 ，且 ，则 ；③在轴上有一动点P，当 的值最小时，则点P的坐标为 ；④若关于x的方程
无实数根，则b的取值范围是 ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x 和x，且x＜x，则﹣5＜x
1 2 1 2 1
＜x＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
2
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
14．如图，抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的一个交点坐标为
），下列结论：① ；② ；③当 时，x的取值范围是 ；④点
， 都在抛物线上，则有 ．其中结论正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
15．如图，抛物线 的对称轴是 ，并与x轴交于A，B两点，若 ，
则下列结论中：① ；② ；③ ；④若m为任意实数，则
，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
16．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a 0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，
则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
2023·湖北武汉中考真题
17．抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个
结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
2023·湖北黄冈中考真题
18．已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
下列论中：① ；②若点 均在该二次函数图象上，则
；③若m为任意实数，则 ；④方程 的两实数根
为 ，且 ，则 ．正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④2023·青海西宁·中考真题
19．直线 和抛物线 （a，b是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中，直线
经过点 ．下列结论：
①抛物线 的对称轴是直线
②抛物线 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 有两个根 ，
④若 ，当 或 时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
2023年湖南省邵阳市中考真题
20．已知 是抛物线 （a是常数， 上的点，现有以下四个结
论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若 ，则 ；
④若 ，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2023年湖北省黄石市中考真题
21．已知二次函数 的图像经过三点 ，且对称轴为
直线 ．有以下结论：① ；② ；③当 ， 时，有
；④对于任何实数 ，关于 的方程 必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
22．关于 的二次函数 的结论
①对于任意实数 ，都有 对应的函数值与 对应的函数值相等．
②若图象过点 ，点 ，点 ，则当 时， ．
③若 ，对应的 的整数值有 个，则 或 ．
④当 且 时， ，则 ．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
23．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
2023·湖北襄阳中考真题
24．如图，一位篮球运动员投篮时，球从 点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度
与篮球距离出手点的水平距离 之间的函数关系式是 ．下列说法正
确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 ；②篮球出手点距离地面的高度为 ．2023·吉林长春中考真题
25． 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航
班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼
仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱
近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米
时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4
米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，
则此时两条水柱相遇点 距地面 米．
2022·四川南充·中考真题
26．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物
线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高
时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那么喷头高
m时，水柱落点距O点 ．【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
27．已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
2023·湖北十堰中考真题
28．已知点 在直线 上，点 在抛物线 上，若
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
29．在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为 和 ，抛物线
与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
2023年福建省中考真题
30．已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线
对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
2022·湖南湘西中考真题
31．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折
到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象
有4个交点时，b的取值范围是 ．2022·江苏盐城中考真题
32．若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴的距离小于2，则 的取值范
围是 ．
2023年四川省南充市中考真题
33．抛物线 与x轴的一个交点为 ，若 ，则实数 的取值范围是
( )
A． B． 或
C． D． 或
2023·浙江衢州中考真题
34．已知二次函数 （a是常数， ）的图象上有 和 两点．若点 ，
都在直线 的上方，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2023年四川省泸州市中考真题
35．已知二次函数 （其中 是自变量），当 时对应的函数值 均为正数，
则 的取值范围为（ ）
A． B． 或C． 或 D． 或
2022·山东济南中考真题
36．抛物线 与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右
侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点 ， 为图
形G上两点，若 ，则m的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D．
2022·湖北荆门中考真题
37．如图，函数y＝ 的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m
（m为常数）相交于三个不同的点A（x，y），B（x，y），C（x，y）（x＜x＜x）．设t
1 1 2 2 3 3 1 2 3
＝ ，则t的取值范围是 ．
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
38．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如： 等
都是三倍点”，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2023·四川巴中中考真题
39．规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数
与 互为“Y函数”．若函数 的图象与x轴只有一个
交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
2023年四川省乐山市中考真题
40．定义：若x，y满足 且 （t为常数），则称点 为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
41．如图，一段抛物线： ，记为 ，它与x轴交于点O， ；将 绕点
旋转 得 ，交x轴于点 ；将 绕点 旋转 得 ，交x轴于点 ；…如此进行下去，
直至得 ．若 在第10段抛物线 上，则 ．2023·四川达州·统考二模
42．如图，已知点 在函数 位于第二象限的图像上，点 在函数
位于第一象限的图像上，点 在 轴的正半轴上，若四边形
都是正方形，则正方形 的边长为( )
A．1012 B． C． D．
广东梅州·九年级统考
43．二次函数y= x2的图象如图所示，点A 位于坐标原点，A，A，A，…，A 在y轴的正半轴
0 1 2 3 2023
上，B，B，B，…，B 在二次函数y= x2第一象限的图象上，若△ABA，△ABA，
1 2 3 2023 0 1 1 1 2 2
△ABA，…，△A B A 都是等边三角形，则△A B A 的周长是（ ）
2 3 3 2022 2023 2023 2022 2023 2023
A．6069 B．6066 C．6063 D．60602023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
44．二次函数 的图象如图．点 位于坐标原点，点 ， ， ，…， 在y轴的正半轴上，
点 ， ， ，…， 在二次函数位于第一象限的图象上，点 ， ， ，…， 在二次
函数位于第二象限的图象上，四边形 ，四边形 ，四边形 ，…，四边
形． 都是菱形， ，则 的
边长为 ，菱形 的周长为 ．
