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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题23二次函数推理计算与证明综合问题
【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝
ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x ，m）（x ≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x 的取值范围．
0 0 0
【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），
（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P
（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【例4】（2022•杭州）设二次函数y ＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B
1
两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y 的表达式及其图象的对
1
称轴．
（2）若函数y 的表达式可以写成y ＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最
1 1
小值．
（3）设一次函数y ＝x﹣m（m是常数），若函数y 的表达式还可以写成y ＝2（x﹣
2 1 1
m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y ﹣y 的图象经过点（x ，0）时，求x ﹣m的值．
1 2 0 0
【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P
为和谐点．例如：点（1，1），（ ， ），（﹣ ，﹣ ），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（ ， ）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+ （a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m
的取值范围．一．解答题（共20题）
1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；
（2）设点P（m，y ），Q（4，y ）在抛物线上，若y ＜y ，求m的取值范围．
1 2 1 2
2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy中，点A（x ，y ）、点B（x ，y ）
1 1 2 2
为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当﹣2＜x ＜﹣1且1＜x ＜2时，试判断y 与y 的大小关系并说明理由；
1 2 1 2
（3）若当t＜x ＜t+1且t+2＜x ＜t+3时，存在y ＝y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．
（1）抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．
4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．
（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若（x ，y ），（x ，y ）为此函数图象上两个不同点，当 x +x ＝﹣2时，恒有y
1 1 1 2 1 2 1
＝y ，试求此函数的最值．
2
（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．
5．（2022•盈江县模拟）抛物线C ：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标
1
为﹣3．
（1）求b，c的值；
（2）抛物线C ：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C 的顶点P．
2 1
①求证：抛物线C 的顶点Q也在抛物线C 上；
2 1
②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C 上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物
1
线C 于点F，求EF长度的最大值．
2
6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，
c），Q（x ，y ）是抛物线上的点．
0 0
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若x ＞﹣6，比较c、y 的大小；
0 0
（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求
m的取值范围．
7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y ＝2x+m+n和二次函数y ＝x（2x+m）+n．
1 2
（1）求证：y ，y 的图象必有交点；
1 2
（2）若m＞0，y ，y 的图象交于点A（x ，a）、B（x ，b），其中x ＜x ，设C（x ，
1 2 1 2 1 2 3b）为y 图象上一点，且x ≠x ，求x ﹣x 的值；
2 3 2 3 1
（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x +2，c）在y 的图象上，且a＞c，求m的取
1 2
值范围．
8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．
（1）求此抛物线的顶点的坐标；
（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；
（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y ），Q（2m﹣t，y ），且y ＜y ，求t的取值范
1 2 1 2
围．
9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax2+bx+3与直线y ＝x+1．
1 2
（1）当抛物线y ＝ax2+bx+3与直线y ＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．
1 2
①求抛物线解析式；
②直接写出当y ＞y ，时x的取值范围；
1 2
（2）设y＝y ﹣y ，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．
1 2
求证：a+b＝1．
10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是
常数）．
（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第
四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．
11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；
（2）设P点的纵坐标为y ，当y 取最小值时，抛物线上有两点（x ，y ），（x ，
p p 1 1 2
y ），且x ＜x ≤﹣2，比较y 与y 的大小；
2 1 2 1 2
（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共
点时，直接写出m的取值范围．
12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣ ）．
（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x ，y ）、N（x ，y ）都满足：当x ＜x ＜0时，
1 1 2 2 1 2
（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0；当0＜x ＜x 时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0，试判断点（2，﹣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9）在不在此抛物线上；
（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的
取值范围．
13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DPA
＝90°，PD＝PA．
（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；
（ii）点E（2，﹣ ）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．
14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝x2+bx+c（b、c是常数）经
过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象
G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系
式．
（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面
内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的
取值范围．
15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，
过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M
（x ，y ），N（x ，y ）为图形G上任意两点．
1 1 2 2
①当m＝0时，若x ＜x ，判断y 与y 的大小关系，并说明理由；
1 2 1 2
②若对于x ＝m﹣1，x ＝m+1，都有y ＞y ，求m的取值范围；
1 2 1 2
（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C ：y＝ax2+bx+c（a＞0）．
1
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线 与抛物线C 有且只有一个公共点，
1
求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与
直线x＝2相交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；
（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，
结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数
值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小
值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是
2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为 （只填
序号即可），其上确界为 ；
（2）若反比例函数y＝ （a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，
求a、b的值；
（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的
值．
19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y
轴交于点A．
（1）点A的坐标为 ；对称轴为 （用含a的代数式表示）；
（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为 ；
（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表
达式；
（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣
2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线 y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象
M ，若图象M 上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．
1 1
20．（2022•义安区模拟）已知抛物线 的图象经过坐标原点O．
（1）求抛物线解析式．
（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y
＝k x，直线OC为y＝k x．
1 2
①若B、C两点关于y轴对称，求k k 的值．
1 2
②求证：无论k为何值，k k 为定值．
1 2
