文档内容
专题 23 与圆有关的计算（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 圆中的弧长的计算】...............................................................................................................................1
【考点2 圆中的扇形面积的计算】.......................................................................................................................2
【考点3 弓形面积的计算】...................................................................................................................................4
【考点4 扇形面积的综合问题】...........................................................................................................................5
【考点5 旋转与路径长及面积问题】...................................................................................................................6
【考点6 圆柱的侧面展开图】...............................................................................................................................7
【考点7 圆锥及其展开图】...................................................................................................................................8
【考点8 圆锥的全面积】.......................................................................................................................................9
【考点9 弧长计算的实际应用】.........................................................................................................................10
【考点10 扇形面积计算的实际应用】.................................................................................................................11
【要点 弧长与扇形的面积】
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【考点1 圆中的弧长的计算】
【例1】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若
AB＝6，∠A＝30°，则B´C 的长为（ ）3
A．6π B．2π C． π D．π
2
【变式1-1】（2022·青海·统考中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB
中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.
【变式1-2】（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以
1
A A 为直径画半圆①；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画
1 1 2 1 2 2 3 2 3
半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
【变式1-3】（2022·吉林·统考中考真题）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接
AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE=65°，∠COD=70°，则B´C与D´E的长度之和为
__________．（结果保留π）．【考点2 圆中的扇形面积的计算】
【例2】（2022·四川达州·统考中考真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别
以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作B´C，A´C，A´B，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果
一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．2π D．π−√3
【变式2-1】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，以点B为圆心，
BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）
π 3π 2π 3π
A． B． C． D．
3 5 3 4
【变式2-2】（2022·广东云浮·校联考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AD边上，以E为圆心
EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是( )
A．4√2 B．4√3 C．8 D．9
【变式2-3】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是
△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含π的式子表示）【考点3 弓形面积的计算】
【例3】（2022·云南红河·统考一模）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∠ABC=2∠ADC，且A´D=C´D，则图中阴影部分的面积等于______(结果保留π)．
【变式3-1】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE
于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【变式3-2】（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是A´C
的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．(1)判断EM与BE的数量关系是 ，并说明理由；
(2)求证：E´B=C´N；
(3)若AM=√3，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【变式3-3】（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
(1)求证：BC2=BD⋅AB；
(2)若BC=4，BD=2，求阴影部分的面积．
【考点4 不规则图形的面积的计算】
【例4】（2022·宁夏吴忠·校联考三模）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分
别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧
OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4【变式4-1】（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径
的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
5 1 5 1 3 1 5 1
A． − π B． + π C． − π D． + π
2 4 2 4 2 4 2 2
【变式4-2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为
直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
1 1
A． π−1 B． π−2 C． π−1 D． π＋1
2 2
3
【变式4-3】（2022·四川成都·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC= ，F是AB中点，以
2
点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分
面积的差S −S 为______．
1 2
【考点5 旋转与路径长及面积问题】
【例5】（2022·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C′．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π
【变式5-1】（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．
如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边
上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（△结果保留π）
【变式5-2】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺
时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则点B运动的路径B´B'的长为______．
【变式5-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A
按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．【考点6 圆柱的侧面展开图】
【例6】（2022·四川绵阳·统考二模）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底
面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，
则这个零件的表面积是（ ）
A．192πcm2 B．196πcm2 C．228πcm2 D．232πcm2
【变式6-1】（2022秋·九年级课时练习）如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽
略不计），圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水
所形成的几何体的表面积分别为S、S，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S≤S B．S＜S C．S＞S D．S≥S
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式6-2】（2022·江西赣州·统考一模）底面圆半径为1、高为2的圆柱体，其侧面展开图的周长是_____．
【变式6-3】（2022·江苏苏州·统考三模）已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB为
轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____cm2．
【考点7 圆锥及其展开图】
【例7】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为
半圆形，则它的母线长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【变式7-1】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图
的圆心角是（ ）A．90° B．100° C．120° D．150°
1
【变式7-2】（2022·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆
4
心角的度数为______________．
【变式7-3】（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正
方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面
和底面，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【考点8 圆锥的全面积】
【例8】（2022秋·天津河西·九年级统考期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的母线长l
与底面半径r的关系为（ ）
A．l=r B．l=√2r C．l=2r D．l=√3r
【变式8-1】（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）已知圆锥的母线与高的夹
角为30°，母线长为4cm，则它的底面半径为______cm，全面积是______cm2（结果保留π）
【变式8-2】（2022秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计
算出这个几何体的全面积是______．
【变式8-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为______．
【考点9 弧长计算的实际应用】
【例9】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O 与⊙O
1 2
的半径为3米，且⊙O 经过⊙O 的圆心O．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
1 2 2
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
【变式9-1】（2022·山东德州·统考二模）创建文明城市不仅能进一步完善城市基础设施，而且可以提升市
民精神生活品质．王明所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其中主版形状是扇形的一部分，图2是
其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，王明测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝
120°，则这块宣传版面主版的周长为_____________m．
【变式9-2】（2022·全国·九年级专题练习）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，
一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一
周，那么正方形中心的轨迹长为_________米．
【变式9-3】（2022·河南·模拟预测）【材料阅读】:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经
线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这
样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小
是变化的．
【实际应用】:观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子
午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上A´B的长．（π取3.1）
【考点10 扇形面积计算的实际应用】
【例10】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长
均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
2 √3 2 4 4
A． π− B． π−√3 C． π−2√3 D． π−√3
3 2 3 3 3
【变式10-1】（2022·广西贺州·统考二模）一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖
直，则容器中液体的高度为（ ）
4π−3√3 12π−9√3
A． cm B． cm
12π 2π
12π−9√3 12π−9√3
C． cm D． cm
π 2
【变式10-2】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展
板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成
的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【变式10-3】（2022秋·全国·七年级专题练习）扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深
3
厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的 ,骨柄长为30cm，
5
折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）A． 46π B． 160π C． 252π D． 300π
