文档内容
专题 23 与圆有关的计算（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 圆中的弧长的计算】...............................................................................................................................1
【考点2 圆中的扇形面积的计算】.......................................................................................................................4
【考点3 弓形面积的计算】...................................................................................................................................7
【考点4 扇形面积的综合问题】.........................................................................................................................14
【考点5 旋转与路径长及面积问题】.................................................................................................................17
【考点6 圆柱的侧面展开图】.............................................................................................................................20
【考点7 圆锥及其展开图】.................................................................................................................................22
【考点8 圆锥的全面积】.....................................................................................................................................24
【考点9 弧长计算的实际应用】.........................................................................................................................27
【考点10 扇形面积计算的实际应用】.................................................................................................................31
【要点 弧长与扇形的面积】
设⊙O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
nπR
弧长公式：l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
180
n 1
扇形面积公式：S = πR2= lR
扇形 360 2
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S=πR2+πRl（l为母线）
【考点1 圆中的弧长的计算】
【例1】（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若
AB＝6，∠A＝30°，则B´C 的长为（ ）3
A．6π B．2π C． π D．π
2
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
60π×3
∴B´C的长是 =π，
180
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角
nπr
为n°的弧的长度是 ．
180
【变式1-1】（2022·青海·统考中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB
中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.
【答案】20π
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长．
【详解】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
1
∴OE= OA=30cm，
2
120π×30
∴弧CD的长= =20π(cm)，
180
故答案为：20π．
【点睛】本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数．
【变式1-2】（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，线段AB=2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以
1
A A 为直径画半圆①；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画
1 1 2 1 2 2 3 2 3
半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．
255 255π
【答案】 π##
256 256
1 1 1
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为 π，半圆②弧长为（ ）2π，半圆③弧长为（ ）3π，......半圆⑧弧
2 2 2
1 1 1 1 1 255
长为（ ）8π，即可得8个小半圆的弧长之和为 π+（ ）2π+（ ）3π+...+（ ）8π＝ π．
2 2 2 2 2 256
【详解】解：∵AB=2，
π×1 1
∴A A =1，半圆①弧长为 = π，
2 2 2
1
1 π×
同理A A = ，半圆②弧长为 2 (1) 2 ，
1 2 2 = π
2 2
1
1 π×
A A = ，半圆③弧长为 4 (1) 3 ，
2 3 4 = π
2 2
……(1) 7
π×
半圆⑧弧长为 2 (1) 8 ，
= π
2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) 8 255
∴8个小半圆的弧长之和为 π+ π+ π+⋅⋅⋅+ π= π．
2 2 2 2 256
255
故答案为： π．
256
【点睛】此题考查图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．
【变式1-3】（2022·吉林·统考中考真题）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接
AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE=65°，∠COD=70°，则B´C与D´E的长度之和为
__________．（结果保留π）．
1 π
【答案】 π##
3 3
【分析】由圆周角定理得∠BOE=2∠BAE=130°，根据弧长公式分别计算出B´E与D´C的长度，相减即
可得到答案．
【详解】解：∵∠BAE=65°，
∴∠BOE=2∠BAE=130°
又⊙O的半径为1，
130π×1 13π
B´E的长度= = ，
180 18
又∠COD=70°，
70π×1 7π
∴D´C的长度= = ，
180 18
13 7 6 1
∴B´C与D´E的长度之和= π- π= π= π，
18 18 18 3
1
故答案为： π．
3
【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．【考点2 圆中的扇形面积的计算】
【例2】（2022·四川达州·统考中考真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别
以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作B´C，A´C，A´B，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果
一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）
A．2π−2√3 B．2π−√3 C．2π D．π−√3
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角
√3a2
形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为a的等边三角形的面积为 ，即可求解．
4
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
60⋅π⋅r 1
∴ = ×2π,
180 3
解得r=2，即正三角形的边长为2，
√3 (60π×22 √3 )
∴此曲边三角形的面积为 ×22+3× − ×22 =2π−2√3
4 360 4
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形
的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
【变式2-1】（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，以点B为圆心，
BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）π 3π 2π 3π
A． B． C． D．
3 5 3 4
【答案】C
【分析】解直角三角形求出∠CBE=30°，推出∠ABE=60°，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，
∵BA=BE=2，BC=√3，
CB √3
∴cos∠CBE= = ，
BE 2
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=90°−30°=60°，
60⋅π⋅22 2π
∴S = = ，
扇形BAE 360 3
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．
【变式2-2】（2022·广东云浮·校联考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AD边上，以E为圆心
EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是( )
A．4√2 B．4√3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】设∠AEF=n°，根据扇形面积公式求得圆心角∠AEF=120°，根据含30度角的直角三角形的
性质得出DE=3，进而即可求解．
【详解】设∠AEF=n°，
∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，
∴r=6，
nπ×62
由题意得： =12π，解得n=120，
360
∴∠AEF=120°，
∴∠FED=60°，∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠D=90°，
∴∠EFD=30°，
1
∴DE= EF=3，
2
∴BC=AD=6+3=9．
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，进行的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握扇形面积公式求得
∠AEF=120°是解题的关键．
【变式2-3】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是
△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含π的式子表示）
13
【答案】 π
4
【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到∠DOE的大小，然后用扇形面积公式即可
求出
【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴∠ABO=∠CBO；∠ACO=∠BCO
设∠ABO=∠CBO=α，∠ACO=∠BCO=β
在△ABC中：∠A+2α+2β=180°①
在△BOC中：∠DOE+α+β=180°②
1 1
由①②得：∠DOE=90°+ ∠A=90°+ ×80°=130°
2 2
130° 13
扇形面积：S= ×π×32= π（cm2）
360° 4
13
故答案为： π
4
【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出∠DOE的度数【考点3 弓形面积的计算】
【例3】（2022·云南红河·统考一模）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∠ABC=2∠ADC，且A´D=C´D，则图中阴影部分的面积等于______(结果保留π)．
4
【答案】 π−√3
3
【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、
AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：连接OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ABC=2∠ADC，∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴3∠ADC＝180°
∴∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是正三角形，
∴∠AOD＝2∠ACD ＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
OE＝2×sin30°＝1，AD＝2AE=2×（cos30°×2）＝2√3，
120 1 4
∴S ＝S OAD−S AOD＝ ×π×22− ×2√3×1= π−√3，
阴影部分 扇形 360 2 3
△
4
故答案为： π−√3．
3【点睛】考查与圆有关的计算，掌握圆的有关性质，扇形面积计算方法，三角形的面积，以及解直角三角
形等知识，掌握各个知识点之间的关系是解答的关键．
【变式3-1】（2022·山东东营·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE
于点D，BC平分∠ABD．
(1)求证：直线CE是⊙O的切线；
(2)若∠ABC=30°,⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
4
(2) π−√3
3
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及BC平分∠ABD推导出∠OCB=∠DCB，即可得出
BD∥OC，从而推出OC⊥DE，即证明得出结论；
（2）过点O作OF⊥CB于F，利用S =S −S 即可得出答案．
阴影 扇形OBC △OBC
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DCB，
∴∠OCB=∠DCB，
∴BD∥OC，
∵BD⊥CE于点D，
∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CB于F，如图，
∵∠ABC=30°，OB=2，
∴OF=1，BF=OB⋅cos30°=√3，
∴BC=2BF=2√3，
1 1
∴S = BC⋅OF= ×2√3×1=√3，
△OBC 2 2
∵∠BOF=90°−30°=60°，
∴∠BOC=2∠BOF=120°，
120° 4
∴S = ×π×22= π，
扇形OBC 360° 3
4
∴S =S −S = π−√3．
阴影 扇形OBC △OBC 3
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并
正确作出辅助线是本题的关键．
【变式3-2】（2022·浙江衢州·统考二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是A´C
的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
(1)判断EM与BE的数量关系是 ，并说明理由；
(2)求证：E´B=C´N；
(3)若AM=√3，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
【答案】(1)BE=√2EM，理由见解析(2)见解析
π √3
(3) −
3 2
【分析】（1）连接OE，由AC为⊙O的直径，点E是A´C的中点，可得∠ABE=45°，从而得△EMB是等
腰直角三角形，进而即可得到结论；
（2）连接BC、BN，先证明EN∥BC，再利用圆周角定理，即可求证；
（3）连接AE，ON，先求出∠EAM=30°，再证明△CON是等边三角形，利用扇形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：连接OE，如图，
∵AC为⊙O的直径，点E是A´C的中点，
∴∠AOE=90°，
1
∴∠ABE= ×90°=45°，
2
∵EN⊥AB，
∴∠EMB=90°，
∴∠MEB＝∠ABE＝45°，
∴EM＝BM，
∴△EMB是等腰直角三角形，
∴BE=√EM2+BM2=√2EM，
故答案为：BE=√2EM；
（2）证明：连接BC、BN，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，即：AB⊥BC，
∵EN⊥AB，
∴EN∥BC，
∴∠BNE＝∠NBC，
∴E´B=C´N；
（3）解：连接AE，ON，过N作ND⊥AC于D，如图，
∵AM=√3,MB=1，△EMB是等腰直角三角形，
∴EM=MB=1，BE=√2，
∵EN⊥AB，
EM 1 √3
∴tan∠EAM= = = ，即∠EAM=30°，
AM √3 3
∵E´B=C´N，
∴∠CON=2∠EAM＝60°，NC=BE=√2，
∵OC=ON，
∴△CON是等边三角形，
√3 √6
∴OC=NC= ON=√2，DN=ON·sin∠CON=√2× = ，
2 22
60π(√2) π
∴S = = ，
扇形OCN 360 3
1 1 √6 √3
S = OC⋅DN= ×√2× = ，
△CON 2 2 2 2
π √3
∴S =S −S = − ．
阴影 扇形OCN △CON 3 2
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式，是
解题的关键．
【变式3-3】（2022·辽宁沈阳·沈阳市第七中学校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
(1)求证：BC2=BD⋅AB；
(2)若BC=4，BD=2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
8π
(2) −4√3
3
【分析】（1）连接AC，OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三
角形的性质可得∠CBD=∠BCO=∠ABC，从而可判定 ABC∽△CBD，即可得证；
（2）结合（1）可求得AB=8，从而得到BO=CO=BC△=4，则 BCO是等边三角形，则∠BOC=60°，结合S
阴
=S OBC-S BCO，即可求解． △
影 扇形
（1） △
证明：连接OC，AC，如图，∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC//BD，∠BDC=90°，
∴∠CBD=∠BCO．
又∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠CBD=∠ABC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD，
AB CB
∴ = ，
CB DB
即：BC2=AB⋅BD；
（2）
由(1)得：BC2=AB⋅BD，
∵BC=4，BD=2，
∴AB=8，
∵AB是直径，
∴BO=4，
∴BO=CO=BC=4，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
在Rt△BCD中，CD=√BC2−BD2=√42−22=2√3，
即BD与CO的距离为2√3，
∵S =S −S ，
阴影 扇形OBC △BCO60°π×42 1 8π
∴S = − ×4×2√3= −4√3．
阴影 360∘ 2 3
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，切线的性质，扇形的面积，解答的关键是求得△BCO是
等边三角形．
【考点4 不规则图形的面积的计算】
【例4】（2022·宁夏吴忠·校联考三模）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分
别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧
OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4
【答案】B
【分析】根据阴影部分形状为不规则图形，连接BD，EF，将阴影部分面积转化可得阴影部分面积等于扇
形面积减去三角形面积即可．
【详解】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD=FO=EO=EB=1，
∴O´B=O´D，OB＝OD，
∴弓形OB＝弓形OD，
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
90π×22 1
∴S =S −S = − ×2×2=π−2，
阴影 扇形CBD ΔCBD 360 2
故选：B．
【点睛】题目主要考查计算不规则图形面积，作出辅助线，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解是解
题关键．
【变式4-1】（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径
的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
5 1 5 1 3 1 5 1
A． − π B． + π C． − π D． + π
2 4 2 4 2 4 2 2
【答案】A
【分析】连接OE，求出弓形CE的面积，然后根据阴影部分的面积等于△ADC的面积减去弓形CE的面积
求解即可．
【详解】连接OE．
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OC=OB=OE=1.1 1
∵S = AD⋅CD= ×2×2=2，
△ADC 2 2
1 1
S = π×12= π，
扇形OCE 4 4
1 1
S = ×1×1= ，
△COE 2 2
1 1
∴S = π− ，
拱形CE 4 2
π 1 5 1
∴阴影部分的面积=2−( − )= − π．
4 2 2 4
故选：A．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
【变式4-2】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为
直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
1 1
A． π−1 B． π−2 C． π−1 D． π＋1
2 2
【答案】A
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D
为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【详解】解：在Rt△ACB中，AB=√22+22=2√2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=√2，
∴D为半圆的中点，
1 1
∴S =S −S = π×22− ×(√2) 2=π−1．
阴影部分 扇形ACB △ADC 4 2
故选：A．【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．
3
【变式4-3】（2022·四川成都·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC= ，F是AB中点，以
2
点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分
面积的差S −S 为______．
1 2
13π
【答案】3−
16
【分析】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S −S 的值．
1 2
3
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2，BC= ，F是AB中点，
2
∴BF=BG=1，
∴S =S −S −S +S ，
1 矩形ABCD 扇形ADE 扇形BGF 2
(3) 2
90⋅π×
3 2 90⋅π×12 13π．
∴S −S =2× − − =3−
1 2 2 360 360 16
13π
故答案为：3−
16
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答．
【考点5 旋转与路径长及面积问题】
【例5】（2022·广西河池·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将
Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C′．在此旋转过程中Rt△ABC所扫过的面积为( )
A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
90⋅π⋅102 1
∴Rt△ABC所扫过的面积为 + ×6×8=25π+24．
360 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的
关键．
【变式5-1】（2022·山东枣庄·统考中考真题）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．
如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到 AB′C′，使点C′落在AB边
上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（△结果保留π）
4π
【答案】
3
【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知
AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，
由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，
60π·4 4π
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 = ，
180 3
4π
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟
练地掌握相关内容是解题的关键．【变式5-2】（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，△ABC绕点A顺
时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则点B运动的路径B´B'的长为______．
5
【答案】 π
2
【分析】先求出AB的长，再根据弧长公式计算即可．
【详解】由题意得，AC=4，BC=3，
∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5,
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB'C'，
∴∠BAB′=90°,
90°π·5 5
∴B´B'的长为：l= = π，
180° 2
5
故答案为： π．
2
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理和弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
【变式5-3】（2022·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A
按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．
π 1
【答案】 ## π
3 3
【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求∠DAB'=60°,从而得出∠BAB'=30°,由
扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB=2BC=2,∴BC=1,
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,
由旋转可知AB=AB′，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2,
AD 1
∵cos∠DAB'= = ,
AB' 2
∴∠DAB'=60°,
∴∠BAB'=30°,
30°×π×22 π
∴线段AB扫过的面积= = .
360° 3
π
故答案为： .
3
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些
性质解决问题是解此题的关键．
【考点6 圆柱的侧面展开图】
【例6】（2022·四川绵阳·统考二模）如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底
面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，
则这个零件的表面积是（ ）
A．192πcm2 B．196πcm2 C．228πcm2 D．232πcm2
【答案】A
【分析】零件的表面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积，根据面积公式S =πrl，S
圆锥侧 圆柱侧
=πdh，S =πr2，把相关数值代入即可求解．
圆柱底
【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，
∴圆锥的母线长=√62+82=10（cm），
∴圆锥的侧面积=π×6×10=60π（cm2），圆柱的侧面积=12π×8=96π（cm2），
圆柱的底面积=π×62=36π（cm2），
∴零件的表面积=60π+96π+36π=192π（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥和圆柱的表面积问题，得到零件表面积的组成并熟记相关的面积公式是解题的关
键．
【变式6-1】（2022秋·九年级课时练习）如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽
略不计），圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水
所形成的几何体的表面积分别为S、S，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S≤S B．S＜S C．S＞S D．S≥S
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【分析】分别求出图1和图2的表面积，比较即可．
【详解】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为：S＝2πr2+2πr•r＝4πr2．
1
对于图2，
上面的矩形的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是：π×r2．
图2水的表面积S＝（4+3π）r2．
2
显然S＜S．
1 2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆柱的有关计算，解决此题的关键是掌握化曲为平的思想．
【变式6-2】（2022·江西赣州·统考一模）底面圆半径为1、高为2的圆柱体，其侧面展开图的周长是_____．
【答案】4π+4
【分析】根据圆柱的侧面展开图解答即可．
【详解】圆柱的侧面展开图是长方形，因为底面圆半径为1、高为2的圆柱体，
所以侧面展开图的周长是2（2π+2）=4π+4，故答案为4π+4
【点睛】此题考查几何体的展开图，关键是根据圆柱的侧面展开图解答．
【变式6-3】（2022·江苏苏州·统考三模）已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB为
轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____cm2．
【答案】48π
【详解】试题解析：由题意知圆柱的高h=AB=5，底面圆的半径r=AD=3cm.
∴S
表
=S
侧
+2S
底
=2πrℎ +2πr2=2π×3×5+2π×32=30π+18π=48πcm2.
故答案为48π.
【考点7 圆锥及其展开图】
【例7】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为
半圆形，则它的母线长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式进行计算，即可求出母线的长度．
【详解】解：根据题意，
圆锥形烟囱帽的底面周长为：2π×12=24π；
∵圆锥的侧面展开图为半圆形，
180·π·R
∴24π= ，
180
∴R=24；
∴它的母线长为24cm；
故选：D
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式进行计算．
【变式7-1】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图
的圆心角是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．
【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，
n⋅3π
由题意得： =2π×1，
180
解得n=120，
则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．
1
【变式7-2】（2022·山东聊城·统考中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的 ，则其侧面展开图圆
4
心角的度数为______________．
【答案】120°##120度
1
【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的 ，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图
4
的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．
由题意得S =πr2，
底面面积
l =2πr，
底面周长
1
∵个圆锥体的底面积是其表面积的 ，
4
∴S =3S =3πr2，
扇形 底面面积
l =l =2πr．
扇形弧长 底面周长
1 1
由S = l ×R得3πr2= ×2πr×R，
扇形 2 扇形弧长 2
故R=3r．
nπr
由l = 得：
扇形弧长 180
nπ×3
2πr= ，
180
解得n=120．
故答案为：120°．
【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．
【变式7-3】（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正
方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面
和底面，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【分析】当圆与EF,CD相切时，半径最大，设AB=x，根据扇形的弧长等于底面圆的周长，进行计算即
可．
【详解】解：由题意，得：当圆与EF,CD相切时，半径最大，
设AB=x，则：圆的直径为：AD−AE=12−x，
∵扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，
90x
∴ π=π(12−x)，解得：x=8cm；
180
∴AB的长为8cm；
故选C．
【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握扇形的弧长等于圆锥的底面周长，是解题的关键．
【考点8 圆锥的全面积】
【例8】（2022秋·天津河西·九年级统考期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的母线长l
与底面半径r的关系为（ ）
A．l=r B．l=√2r C．l=2r D．l=√3r
【答案】C
【分析】根据已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，得出πrl=2πr2，即可得出圆锥的母线l与底面半径
r的关系l=2r
【详解】解：∵一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，
∴πrl=2πr2，
∴l=2r，
故选：C【点睛】此题主要考查了圆锥侧面展开图中各部分对应情况，根据扇形弧长等于底面圆的周长是解题关键．
【变式8-1】（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）已知圆锥的母线与高的夹
角为30°，母线长为4cm，则它的底面半径为______cm，全面积是______cm2（结果保留π）
【答案】 2 12π
【分析】根据直角三角形的性质计算，利用面积公式计算即可．
【详解】如图，∵圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，
∴∠BAC=30°,AB=4cm，
1
∴BC= AB=2cm，S =πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π，
2 全面积
故答案为：2，12π．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆锥的全面积计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【变式8-2】（2022秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计
算出这个几何体的全面积是______．
【答案】90π
【分析】几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式
即可得出侧面积，然后根据全面积等于侧面积加底面积求解．
【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，1 1
∴S = ⋅2πr⋅l= ×2π×5×13=65π．
侧 2 2
(10) 2
S =π× =25π
底 2
∴S ❑=S +S =65π+25π=90π，
全 侧 底
故答案为：90π．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题
的关键．
【变式8-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为1，
以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为______．
4 4π
【答案】 π##
9 9
【分析】先求出阴影部分的面积和A´C的长，再求出所围圆锥的底面半径，求出底面积即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
∴∠AOC=120°，
120π×12 π 120π×1 2π
∴S = = ，A´C= = ，
扇形OAC 360 3 180 3
设圆锥的底面半径为r，
2π
则2πr= ，
3
1
∴r= ，
3
(1) 2 1
∴圆锥的底面积=π× = π，
3 9
1 1 4
∴圆锥的全面积= π+ π= π．
3 9 94
故答案为： π．
9
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，
理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
【考点9 弧长计算的实际应用】
【例9】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O 与⊙O
1 2
的半径为3米，且⊙O 经过⊙O 的圆心O．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）
1 2 2
A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米
【答案】C
【分析】连接AO，AO，BO，BO，OO，根据等边三角形的判定得出△AOO 和△BOO 是等边三角形，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
根据等边三角形的性质得出∠AOO＝∠AOO＝∠BOO＝∠BOO＝60°，求出优弧A´B所对的圆心角的度
1 2 2 1 1 2 2 1
数，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接AO，AO，BO，BO，OO，
1 2 1 2 1 2
∵等圆⊙O 与⊙O 的半径为3米，⊙O 经过⊙O 的圆心O，
1 2 1 2 2
∴AO＝AO＝BO＝BO＝OO＝3米，
1 2 1 2 1 2
∴△AOO 和△BOO 是等边三角形，
1 2 1 2
∴∠AOO＝∠AOO＝∠BOO＝∠BOO＝60°，
1 2 2 1 1 2 2 1
∴优弧A´B所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
240π×3
∴花坛的周长为2× ＝8π（米），
180
故选：C．【点睛】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度
数是解此题的关键．
【变式9-1】（2022·山东德州·统考二模）创建文明城市不仅能进一步完善城市基础设施，而且可以提升市
民精神生活品质．王明所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面，其中主版形状是扇形的一部分，图2是
其平面示意图，AD和BC都是半径的一部分，王明测得AD＝BC＝0.6m，DC＝0.8m，∠ADC＝∠BCD＝
120°，则这块宣传版面主版的周长为_____________m．
7π
【答案】 +2
15
【分析】延长AD，BC交于O，证明△OCD为等边三角形，得出OC=OD=DC=0.8m，∠AOB=60°，然后求
半径AO，利用弧长公式求AB弧长即可．
【详解】解：延长AD，BC交于O，
∵∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴OC=OD=DC=0.8m，∠AOB=60°，
∴AO=AD+DO=0.6+0.8=1.4m，
60π×1.4 7π
∴L = = ，
A´B 180 15
7π (7π )
∴这块宣传版面主版的周长为L +AD+CD+BC= +0.6+0.8+0.6= +2 m．
A´B 15 15
7π
故答案为： +2．
15【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，扇形弧长，掌握等边三角形的判定与性质，扇形弧长，利用
辅助线构造扇形是解题关键．
【变式9-2】（2022·全国·九年级专题练习）2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，
一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一
周，那么正方形中心的轨迹长为_________米．
【答案】√2π
【分析】由图可知，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心旋转的过程正好为一个圆的周长，求得
即可．
【详解】如图，正方形旋转一周需经历4个相同的过程，中心的轨迹为圆心角90°的扇形，4个过程正好围
成一个圆，
∵正方形边长为1，即AB=1，
√2 √2
∴AO= AB= ,
2 2
√2
∴正方形中心的轨迹为：C=2π·AO=2π× =√2π,
2
故答案为：√2π．
【点睛】本题考查了扇形的弧长的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是正确找出中心的运动轨迹．
【变式9-3】（2022·河南·模拟预测）【材料阅读】:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经
线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这
样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小
是变化的．
【实际应用】:观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子
午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上A´B的长．（π取3.1）
【答案】（1）∠POB=67°；（2）A´B=3968（km）．
【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC=67°，证
出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得出
∠POB=90°-23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．
【详解】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交CB于点C，如图所示：则∠DHC=67°，
∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°，
∴∠HBD=∠DHC=67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO=∠HBD=67°，
∴∠BOE=90°−67°=23°，
∵PQ⊥ON，
∵∠POE=90°，
∴∠POB=90°−23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，
∴∠AOB=∠POB−∠POA=67°−31°=36°，
36×π×6400
∴A´B= =3968（km）．
180
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式
是解题的关键．
【考点10 扇形面积计算的实际应用】
【例10】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长
均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）2 √3 2 4 4
A． π− B． π−√3 C． π−2√3 D． π−√3
3 2 3 3 3
【答案】B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
360°
∵∠AOB=2× =60°，
12
∴ OAB是等边三角形，
△ 1
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1，
2
∴OD=√AO2−AD2=√3，
60⋅π×22 1 2
∴阴影部分的面积为 − ×2×√3= π−√3，
360 2 3
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方
法是正确解答的关键．
【变式10-1】（2022·广西贺州·统考二模）一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖
直，则容器中液体的高度为（ ）
4π−3√3 12π−9√3
A． cm B． cm
12π 2π
12π−9√3 12π−9√3
C． cm D． cm
π 2
【答案】B
【分析】根据体积不变，利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：连接OA，OB，如图，
根据题意得：OA=6cm，弦心距OC=3cm，
OC 3 1
∴cos∠AOC= = = ，
OA 6 2
∴∠AOC=60°，则∠AOB=120°，
∴AC=3√3(cm)，AB=2AC=6√3(cm)，
120π×62 1
∴S = S OAB- S OAB= − ×6√3×3=12π−9√3．
阴影 扇形 360 2
△
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h，
依题意得：62πℎ =18(12π−9√3)，
12π−9√3
∴ℎ = (cm)
2π
故选：B．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，圆柱的体积计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
【变式10-2】（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展
板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成
的扇面，若OA=3m，OB=1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2
【答案】D
【分析】根据S =S AOD-S BOC求解即可．
阴影 扇形 扇形
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
120π⋅OA2 120π⋅OB2
= −
360 360
120π(OA2−OB2)
=
360
π(32−1.52)
=
3
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
【变式10-3】（2022秋·全国·七年级专题练习）扇子与民众的日常生活息息相关，中国传统扇文化有着深3
厚的文化底蕴．如图是一把折扇的简易图，已知扇面的宽度（AB）占骨柄（AO）的 ,骨柄长为30cm，
5
折扇张开的角度为120°．则扇面（阴影部分）的面积是（ ）
A． 46π B． 160π C． 252π D． 300π
【答案】C
【分析】根据题意求出AB，得到OB的长度，再利用扇面（阴影部分）的面积=S −S 计算可
扇形OAC 扇形OBD
得．
3 3
【详解】解：由题意得，AB= OA= ×30=18cm，
5 5
∴OB=OA−AB=30−18=12cm，
120π×302 120π×122
∴扇面（阴影部分）的面积=S −S = − =252πcm2，
扇形OAC 扇形OBD 360 360
故选：C．
【点睛】此题考查了扇形面积的计算，熟记扇形面积的计算公式是解题的关键．
