专题22相似三角形(解析版)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_一轮复习_备战2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练（全国通用）

专题 22 相似三角形 【专题目录】 技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件 技巧2：巧作平行线构造相似三角形 技巧3：证比例式或等积式的技巧 【题型】一、相似图形的概念和性质 【题型】二、平行线分线段成比例定理 【题型】三、相似三角形的判定 【题型】四、相似三角形的性质 【题型】五、利用相似三角形解决实际问题 【题型】六、位似图形的概念与性质 【题型】七、平面直角坐标系与位似图形 【考纲要求】 1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题． 2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用． 3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 【考点总结】一、相似图形及比例线段 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个 多边形叫做相似多边形。 相似多边形 特征：对应角相等，对应边成比例。 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 解直 比例线段的定义 即 (或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简 角三 称比例线段． 角形 (1)基本性质：＝ ad＝bc； 的应 (2)合比性质：＝ ＝； 用 比例线段的性质 (3)等比性质： 若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分 割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 黄金分割 【考点总结】二、相似三角形 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 定义 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； 判定 相似 (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三角 (4)三边对应成比例，两三角形相似； 形 (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； 性质 (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 【技巧归纳】 技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件 相似三角形的四类结构图： 1.平行线型． 2．相交线型． 3．子母型． 4．旋转型．【类型】一、平行线型 1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D. (1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S ＝3，S ＝2，DE＝6，求BC的长． △ADE △BDE 【类型】二、相交线型 2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC 相似吗？请说明理由． 【类型】三、子母型 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于 点F.求证：＝. 【类型】四、旋转型 4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC； (2)＝.参考答案 1．(1)证明：∵ED∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴＝. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC. ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝BD.∴＝. 即AE·BC＝BD·AC. (2)解：设h 表示△ADE中DE边上的高， △ADE h 表示△BDE中DE边上的高， △BDE h 表示△ABC中BC边上的高． △ABC ∵S ＝3，S ＝2， △ADE △BDE ∴＝＝＝. [来源:学*科*网] ∴＝. ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝. ∵DE＝6，∴BC＝10. 2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD， △DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋ ∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC. 3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°. 又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)， ∴△ABC∽△DBA. ∴＝，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点， ∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C. ∴∠BDF＝∠BAD. 又∵∠F＝∠F， ∴△DBF∽△ADF. ∴＝.∴＝. (第3题) 点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例 线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在 △ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影 图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC. 又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝. ∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝. 技巧2：巧作平行线构造相似三角形 【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P， Q，求BPPQQD. 【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延 长交BC于点E，求的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形 3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC 的延长线交于点P.求证：＝. 【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的 延长线于点D.求证：BC＝2CD. 参考答案 1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点， ∴BE＝EF＝FC. ∵D是AC的中点，∴AD＝CD. ∴DF是△ACE的中位线． ∴DF∥AE，且DF＝AE. ∴DF∥PE. ∴∠BEP＝∠BFD. 又∵∠EBP为公共角， ∴△BEP∽△BFD.∴＝. ∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ. ∴△APQ∽△FDQ.∴＝. 设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a. ∴PQQD＝APDF＝32. ∴BPPQQD＝532. 2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G. ∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G. 又∵D为CF的中点，∴CD＝DF. [来源:学§科§网] 在△ADF和△GDC中， ∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG. ∵BFAF＝32，∴ABAF＝52. ∵AB∥CG，∴∠CGE＝∠BAE，∠BCE＝∠ABE. ∴△ABE∽△GCE. ∴＝＝＝. 3．证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F， ∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD. ∴△PCF∽△PBD.∴＝. ∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC. ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF. ∴＝.4．证明：(方法一)如图①，过点C作CF∥AB，交DE于点F， (第4题①) ∴∠FCD＝∠B. 又∵∠D为公共角， ∴△CDF∽△BDE. ∴＝. ∵点M为AC边的中点， ∴AM＝CM. ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠MCF. 又∵∠AME＝∠CMF， ∴△AME≌△CMF. ∴AE＝CF. ∵AE＝AB，BE＝AB－AE， ∴BE＝3AE.∴＝. ∵＝， ∴＝＝，即BD＝3CD. 又∵BD＝BC＋CD， ∴BC＝2CD. (第4题②) (方法二)如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F， ∴＝. 又∵点M为AC边的中点， ∴AC＝2AM.∴2AE＝AF.∴AE＝EF. 又∵＝，∴＝2. 又∵CF∥DE，∴＝＝2. ∴BC＝2CD. (第4题③) (方法三)如图③，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∴∠AEF＝∠B. 又∵∠A为公共角， ∴△AEF∽△ABC. ∴＝＝. 由AE＝AB，知 ＝＝＝， ∴EF＝BC，AF＝AC. 由EF∥CD，易证得△EFM∽△DCM， ∴＝. 又∵AM＝MC，∴MF＝MC， ∴EF＝CD. ∴BC＝2CD. (第4题④) (方法四)如图④，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F， ∴∠F＝∠D，∠FAE＝∠B. ∴△AEF∽△BED. ∴＝. ∵AE＝AB， ∴AE＝BE.∴AF＝BD. 由AF∥CD，易证得△AFM∽△CDM.又∵AM＝MC，∴AF＝CD. ∴CD＝BD.∴BC＝2CD. 点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解． 技巧3：证比例式或等积式的技巧 【类型】一、构造平行线法 1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F， 求证：AE·CF＝BF·EC. 2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F， 求证：AB·DF＝BC·EF. 【类型】二、三点定型法 3．如图，在 ▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F. 求证：＝. 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E. 求证：AM2＝MD·ME. 【类型】三、构造相似三角形法 5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N. 求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE. 求证：(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF＝DB·EF. 7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE 于点D. 求证：CE2＝DE·PE. 【类型】五、两次相似法 8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F. 求证：＝. 9．如图，在 ▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证： (1)△AMB∽△AND； (2)＝.【类型】六、等积代换法 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：＝. 【类型】七、等线段代换法 11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交 AC于点E，交CF于点F， 求证：BP2＝PE·PF. 12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC. 参考答案 1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M. ∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF. ∴＝.又∵CM∥AD， ∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME. ∴△ADE∽△CME.∴＝. ∵D为AB的中点，∴BD＝AD. ∴＝.∴＝. 即AE·CF＝BF·EC. 2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G， 易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC. ∴＝，＝. ∵AD＝CE，∴＝.∴＝. 即AB·DF＝BC·EF. 点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而 解决问题． 3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥DC，∠A＝∠C. ∴∠CDF＝∠E. ∴△FCD∽△DAE.∴＝. 4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D. 又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°， ∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM. ∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D. 又∵∠AME＝∠DMA. ∴△AME∽△DMA. ∴＝.即AM2＝MD·ME. 5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线， ∴MA＝MP， NA＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°. ∴∠5＋∠6＝120°. 又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°， ∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP. ∴＝.即BP·CP＝BM·CN. 6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC， ∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB. 又∵∠EDF＝∠DBE， ∴△DEF∽△BDE. (2)由△DEF∽△BDE得＝.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF， ∴△GDE∽△EDF. ∴＝.即DE2＝DG·DF. ∴DG·DF＝DB·EF. 7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB， ∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°. ∴∠P＋∠PAB＝90°， ∠PAB＋∠ABG＝90°. ∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB. ∴＝.即AE·BE＝PE·DE. 又∵∠CEA＝∠BEC＝90°， ∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB＋∠CBE＝90°. ∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB. ∴＝.即CE2＝AE·BE. ∴CE2＝DE·PE. 8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE. ∴△BDF∴ BAE.∽△＝. ∵∠BAC＝∠BDA＝90°， ∠ABC＝∠DBA. ∴△ABC∽△DBA.∴＝. ∴＝. 9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°. ∴△AMB∽△AND. (2)由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN. 又AD＝BC，∴＝. ∵AM⊥BC，AD∥BC， ∴∠MAD＝∠AMB＝90°. ∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN. ∴△AMN∽△BAC.∴＝. 10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AED＝90°. 又∵∠BAD＝∠DAE， ∴△ABD∽△ADE. ∴＝.即AD2＝AE·AB. 同理可得AD2＝AF·AC. ∴AE·AB＝AF·AC.∴＝. 11．证明：连接PC，如图所示． ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB. ∴BP＝CP.∴∠1＝∠2 ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2， 即∠3＝∠4. ∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F. 又∵∠CPF＝∠CPE， ∴△CPF∽△EPC. ∴＝，即CP2＝PF·PE. ∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF. 12．证明：如图，连接PA， ∵EP是AD的垂直平分线， ∴PA＝PD. ∴∠PDA＝∠PAD. ∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP. 又∵∠APC＝∠BPA， ∴△PAC∽△PBA.∴＝. 即PA2＝PB·PC. ∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC. 【题型讲解】 【题型】一、相似图形的概念和性质 例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】 解：∵DE//AB，∴ ∴ 的值为 ．故答案为A． 【题型】二、平行线分线段成比例定理 例2、如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得 ，然后利用比例性质求EC和AE的值即 可 【详解】∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ．故选C． 【题型】三、相似三角形的判定 例3、如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：∵∠DAB=∠CAE， ∴∠DAE=∠BAC， A、若 ，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意； B、若 ，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意； C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意； D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意； 故选：B． 【题型】四、相似三角形的性质 例4、如图，在 中，D、E分别是AB和AC的中点， ，则 （ ）A．30 B．25 C．22．5 D．20 【答案】D 【提示】 首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积． 【详解】 解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= BC，故可以判断出 △ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ： =1：4，则 ： =3：4，题中已知 ，故可得 =5， =20 故本题选择D 【题型】五、利用相似三角形解决实际问题 例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m， 则这条河的宽AB等于( ) A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m 【答案】A 【解析】 ∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED, ∴△ABE∽△DCE,∴ . ∵BE=90m，EC=45m，CD=60m， ∴ 故选A. 【物高问题】 【题型】六、位似图形的概念与性质 例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【答案】C 【提示】 根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】 由位似变换的性质可知， △ABC与△DEF的相似比为：1∶2 △ABC与△DEF的面积比为：1∶4 故选C． 【题型】七、平面直角坐标系与位似图形 例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为 8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 【答案】A 【提示】 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】 解：设投影三角尺的对应边长为xcm, ∵三角尺与投影三角尺相似, ∴8：x＝2：5, 解得x＝20. 故选:A. 相似三角形（达标训练） 一、单选题 1．如图，已知 ， ，则 与 的周长之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得： ，相似三角形的对应边成比例， 且周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∴ ， 即 与 的周长比为1：3． 故选：D． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性 质是解题关键． 2．如图，在 中，高 、 相交于点 图中与 一定相似的三角形有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得 ∽ ， ∽ ， ∽ ，可求解． 【详解】解： ， ， ∽ ， ， 又 ， ∽ ， ， ， ∽ ， 故选C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：由题意得DE为 ABC的中位线，那么DE∥BC，DE：BC=1：2． ∴△ADE∽△ABC， △ ∴△ADE与 ABC的周长之比为1：2， △ ∴△ADE与 ABC的面积之比为1：4，即 ． △ 故选：B． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比， 面积比等于相似比的平方是解决此题关键． 4．如图，D是 的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∽ ，故选项A不符合题意； ， ， ∽ ，故选项B不符合题意； ，但无法确定 与 是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意； 即 ， ， ∽ ，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5．已知 ∽ ， 和 是它们的对应角平分线，若 ， ，则 与 的面积比是（ ） A． ： B． ： C． ： D． ； 【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 ∽ ， 和 是它们的对应角平分线， ， ， 两三角形的相似比为： ， 则 与 的面积比是： ： ． 故选： 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 二、填空题 6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝ 3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m． 【答案】5 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴ ， ， 又∵ ， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ＝ ， ∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m， ∴ ， 解得， ， 即建筑物CD的高是5m， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键． 7．如图所示，要使 ，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】 【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明 与 相似，依据是：两角对应相等的两个 三角形相似． 【详解】解：添加 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键． 三、解答题 8．如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3． △ (1)求证： ADE∽△ABC； (2)若DE=△4，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)BC=6． 【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可； （2）利用相似三角形的性质即可求解．（1） 证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即 ， ∴△ADE∽△ABC； （2） 解：∵ ADE∽△ABC， △ ∴ ， ， ∴BC=6． 【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 相似三角形（提升测评） 一、单选题 1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ） 2 10 A． √3+1 B． C． √3 D． 1000× =200 3 50 【答案】C 【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质和相似三 角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EF∥CD， ∴EF∥AB，√3+1 ∴ ， DEF∽△DAB， △ ∴ ， ∵AB=AD=CD， 10 ∴ ， 1000× =200 ， 50 ∴选项A、B、D正确；选项C错误； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握 平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 2．如图1为一张正三角形纸片 ，其中 点在 上， 点在 上．今以 为折线将 点往右折后， 、 分别与 相交于 点、 点，如图2所示．若 ， ， ， ，则 的长度为多少？（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10， DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9． 【详解】解： 三角形 是正三角形， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ，， ， ； 故选： ． 【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明 ，从而 求出 的长度． 3．如图，在平面直角坐标系中有A， 两点，其中点A的坐标是（-2，1），点 的横坐标是 ，连接 ， 已知 ，则点B的纵坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点 ，构造相似三角形，再利用相似三角形 的性质列出比例式，计算求解即可． 【详解】解：过点A作 轴于点 ，过点B作 轴于点 ，则 ， ， ， ， ， ∽ ，， 又 的坐标是 ，点 的横坐标是 ， ∴AC＝1，CO＝2，OD＝2， ，即 ， :B的纵坐标是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 4．如图，D是 的边上的一点，过点D作 的平行线交 于点E，连接 ，过点D作 的平行 线交 于点F，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 ， 找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可． 【详解】解： ， ， 故A选项比例式正确，不符合题意； ， ， ， 故B选项比例式正确，不符合题意； ， ， 故C选项比例式正确，不符合题意；， 故D选项比例式不正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段． 二、填空题 5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长 为 4m，墙上的影子 长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为 ______m． 【答案】 【分析】设地面影长对应的树高为 ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出 ，然后加上墙上 的影长 即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为 ， 由题意得， ， 解得 ， 墙上的影子 长为 ， 树的高度为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 6．如图，梯形 中， ， ，点 在 的延长线上， 与 相交于点 ，与 边相交于点 ．如果 ，那么 与 的面积之比等于______．【答案】 ## 【分析】根据 和 ，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等 于相似比的平方，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 与 的面积之比 ， ， ， ， 令 ，则 ， 设 ， ， ， ， ， 与 的面积之比是 ， 与 的面积之比是 ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形 的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．三、解答题 7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是 AF的中点，连接CH． (1)求tan∠GFK的值； (2)求CH的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， ，∠G=90°，证出 ，得出比例式求出 ，即可得出结果； （2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出 AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出 ，根据勾股定理求出AF，即可得出结果． （1） 解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， ，∠G=90°， ∴DG=CG-CD=2， ， ∴ ， ∴DK：GK=AD：GF=1：3， ∴ ，∴ ； （2） 解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3， ∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示： 则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3 1=2，∠AMF=90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°， ∵H为AF的中点， ∴ ， 在Rt△AMF中，由勾股定理得： ， ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上 的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质 才能得出结果． 8．如图所示， 的顶点 在矩形 对角线 的延长线上， 与 交于点 ， 连接 ，满足 ∽ 其中 对应 对应 对应(1)求证： ． (2)若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由相似可得 ，再由矩形的性质得 ，从而 可求得 ，则有 ，即可求得 的度数； （2）结合（1）可求得 ，再由相似的性质求得 ，即可求 的值． （1） ∽ ， ， 四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ； （2） 由（1）得 ， ， ， ∽ ， ， 即 ， ， 由（1）得： ， 则 ， 在 中， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的 性质求得 ．