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专题 22 相似三角形
【专题目录】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个
多边形叫做相似多边形。
相似多边形
特征：对应角相等，对应边成比例。
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
解直 比例线段的定义
即 (或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简
角三
称比例线段．
角形
(1)基本性质：＝ ad＝bc；
的应
(2)合比性质：＝ ＝；
用 比例线段的性质
(3)等比性质：
若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分
割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
黄金分割
【考点总结】二、相似三角形
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
定义
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形
相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
判定
相似
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
三角
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
形 (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
性质
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S ＝3，S ＝2，DE＝6，求BC的长．
△ADE △BDE
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC
相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于
点F.求证：＝.
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝.技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，
Q，求BPPQQD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延
长交BC于点E，求的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC
的延长线交于点P.求证：＝.
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的
延长线于点D.求证：BC＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在 ▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：＝.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE
于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：＝.
9．如图，在 ▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；(2)＝.
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：＝.
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交
AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定 的是（
）
A． B． C． D．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在 中，D、E分别是AB和AC的中点， ，则 （ ）A．30 B．25 C．22．5 D．20
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得
AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，
则这条河的宽AB等于( )
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（
）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为
8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知 ， ，则 与 的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中，高 、 相交于点 图中与 一定相似的三角形有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是 的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是
（ ）A． B．
C． D．
5．已知 ∽ ， 和 是它们的对应角平分线，若 ， ，则 与
的面积比是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ；
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝
3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使 ，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
三、解答题
8．如图，在 ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
△(1)求证： ADE∽△ABC；
(2)若DE=△4，求BC的长．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（
）
2 10
A．
√3+1
B． C．
√3
D．
1000× =200
3 50
2．如图1为一张正三角形纸片 ，其中 点在 上， 点在 上．今以 为折线将 点往右折后，
、 分别与 相交于 点、 点，如图2所示．若 ， ， ， ，则
的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在平面直角坐标系中有A， 两点，其中点A的坐标是（-2，1），点 的横坐标是 ，连接 ，
已知 ，则点B的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是 的边上的一点，过点D作 的平行线交 于点E，连接 ，过点D作 的平行
线交 于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长 为
4m，墙上的影子 长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为
______m．
6．如图，梯形 中， ， ，点 在 的延长线上， 与 相交于点 ，与
边相交于点 ．如果 ，那么 与 的面积之比等于______．三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是
AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
8．如图所示， 的顶点 在矩形 对角线 的延长线上， 与 交于点 ，
连接 ，满足 ∽ 其中 对应 对应 对应
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的值．
