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专题23 命题与证明
一、命题与推理
【高频考点精讲】
1、判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事
项推出的事项。
2、命题若写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
3、任何一个命题非真即假，说明命题是真命题，需要进行推理论证，而判断命题是假命题，只需举出反例即可。
4、由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知结论的思维过程，叫做推理。
（1）演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。
（2）归纳推理是从许多个别事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。
【热点题型精练】
1．（2022•上海中考）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，
B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合
题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说
法错误，不符合题意；
答案：A．
2．（2022•盘锦中考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；答案：C．
3．（2022•台州中考）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，
PC．下列命题中，假命题是（ ）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
AD⊥BC，即PD⊥BC，
又PB＝PC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；
答案：D．
4．（2022•绥化中考）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命
题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
答案：B．
5．（2022•无锡中考）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四边相等的四边形是菱形，正确．
答案：B．
6．（2022•无锡中考）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： 如果 b ﹣ a ＜ 0 ，那么 a ＞ b ．
解：命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．
答案：如果b﹣a＜0，那么a＞b．
7．（2022•福建中考）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④
等式两边都减m，得x＝0．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ④ ．
解：设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①依据为等式的基本性质2；
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②依据为等式的基本性质1；等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③依据为分解因式；
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④依据为等式的基本性质2；但是用法出错，
题干中给出的条件是x＝m，所以x﹣m＝0，不能直接除．
答案：④．
8．（2022•广安中考）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC
＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组
成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ① BC ＝ AD ， ② ∠ ABC ＝∠ BAD ．
求证： ③ AC ＝ BD ．
解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
二、反证法
【高频考点精讲】
1、对于命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是间接证法。
2、适合类型
（1）命题结论:否定型；（2）命题结论:无限型；（3）命题结论:“至多”或“至少”型。
3、反证法一般步骤
（1）假设命题结论不成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题结论正确。
【热点题型精练】
9．（2022•太原模拟）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数√2，导致了第一次数
学危机，√2是无理数的证明如下：
q q
假设√2是有理数，那么它可以表示成 （p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）2＝（√2）2＝2，所以，
p pq2＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．
这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“√2是有理数”的假设不成立，所以，√2是无理数．
这种证明“√2是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
解：由题意可得：这种证明“√2是无理数”的方法是反证法．
答案：B．
10．（2022•温州模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝2
解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a＝﹣2，
∵（﹣2）2＞1，但是a＝﹣2＜1，∴A正确；
答案：A．
11．（2022•淄博模拟）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角
都小于45°．
答案：A．
12．（2022•佛山模拟）命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应
假设（ ）成立．
A．AB≠AC B．∠B＞90°
C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
解：求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设∠B≥90°，
答案：C．
13．（2022•嘉兴模拟）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．
答案：D．
14．（2022•赤峰模拟）用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设 平行于同一条直线
的两条直线相交 成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
解：根据反证法的第一步：从结论的反面出发假设命题不成立，故用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，
第一个步骤是：先假设平行于同一条直线的两条直线相交．
答案：平行于同一条直线的两条直线相交．
15．（2022•攀枝花模拟）用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 在
一个三角形中，可以有两个内角为钝角 ．
解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两
个内角为钝角”．
答案：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角．
16．（2022•长春模拟）用反证法证明命题“若 O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在 O的
外部”，首先应假设 若 O 的半径为 r ，点 ⊙ P 到圆心的距离为 d ，且 d ＞ r ，则点 P 在 O 上或 O 内 ．⊙
解：用反证法证明命题“⊙若 O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P⊙在 O的⊙外部”，
首先应假设：若 O的半径为⊙r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在 O上或 O⊙内．
答案：若 O的半⊙径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在 O上或⊙ O内．⊙
⊙ ⊙ ⊙
