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专题23 命题与证明
一、命题与推理
【高频考点精讲】
1、判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事
项推出的事项。
2、命题若写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
3、任何一个命题非真即假，说明命题是真命题，需要进行推理论证，而判断命题是假命题，只需举出反例即可。
4、由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知结论的思维过程，叫做推理。
（1）演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。
（2）归纳推理是从许多个别事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。
【热点题型精练】
1．（2022•上海中考）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
2．（2022•盘锦中考）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
3．（2022•台州中考）如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，
PC．下列命题中，假命题是（ ）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PCD．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
4．（2022•绥化中考）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5．（2022•无锡中考）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
6．（2022•无锡中考）请写出命题“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命题： ．
7．（2022•福建中考）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①
等式两边都减m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③
等式两边都除以x﹣m，得x+m＝m．④
等式两边都减m，得x＝0．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
8．（2022•广安中考）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC
＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组
成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知： ， ．
求证： ．二、反证法
【高频考点精讲】
1、对于命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是间接证法。
2、适合类型
（1）命题结论:否定型；（2）命题结论:无限型；（3）命题结论:“至多”或“至少”型。
3、反证法一般步骤
（1）假设命题结论不成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题结论正确。
【热点题型精练】
9．（2022•太原模拟）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数√2，导致了第一次数
学危机，√2是无理数的证明如下：
q q
假设√2是有理数，那么它可以表示成 （p与q是互质的两个正整数）．于是（ ）2＝（√2）2＝2，所以，q2
p p
＝2p2．于是q2是偶数，进而q是偶数，从而可设q＝2m，所以（2m）2＝2p2，p2＝2m2，于是可得p也是偶数．
这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．从而可知“√2是有理数”的假设不成立，所以，√2是无理数．
这种证明“√2是无理数”的方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法
10．（2022•温州模拟）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝2
11．（2022•淄博模拟）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
12．（2022•佛山模拟）命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠B＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应
假设（ ）成立．
A．AB≠AC B．∠B＞90°
C．∠B≥90° D．AB≠AC且∠B≥90°
13．（2022•嘉兴模拟）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
14．（2022•赤峰模拟）用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设 成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
15．（2022•攀枝花模拟）用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设
．
16．（2022•长春模拟）用反证法证明命题“若 O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在 O的
外部”，首先应假设 ． ⊙ ⊙
