文档内容
专题 23 与圆有关的计算（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 圆中的弧长的计算】
1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则A´B的长是________
（结果保留π）
2．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半
径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧D´E的长是________（结果保留π）
3．（2022·福建·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点
E，交⊙O于点F，连接AF,CF．
(1)求证：AC=AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求A´C的长（结果保留π）．
1
4．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DABC DA …是由
1 1 1 1 2
2
多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧AB 的圆心为B，半径为
1 1 1
BA；弧BC 的圆心为C，半径为CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA、弧AB、弧BC 、弧
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C D…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C D 的长是___________（结果保留π）．
1 1 2022 2022
5．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=2√3，
BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点
P的运动路径长为______．
【考点2 圆中的扇形面积的计算】
6．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都
相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是
等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB
（阴影部分）的概率是（ ）π π √10π √5π
A． B． C． D．
12 24 60 60
7．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水
池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
8．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是
___________度．
9．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）
10．（2022·福建福州·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作
圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)在（1）的基础上，若AC=3，求S ．
扇形CAD
【考点3 弓形面积的计算】
11.（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，
此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．2√2 C．2π−4 D．2π−2√2
12.（2022·甘肃武威·统考模拟预测）如图，⊙O的半径是4，AB是⊙O的直径，D是A´B的中点，连接
AD，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）．
13．（2022·河北廊坊·廊坊市第四中学校考二模）如图，已知AC为不完整⊙O的直径，AB为弦且
AB=4√3，∠ACB=60°，点M、N为⊙O上的点，连接MN，点N从点A开始沿优弧AC´B运动，当点
M与点B重合时停止．已知MN=4，以MN为直径向⊙O内作半圆P．(1)求⊙O的半径；
(2)当点N与点A重合时，求半圆P与AC所围成的弓形的面积；
(3)①点P的运动路径长是___________；
②当半圆P与AC相切时，求OP与AC夹角的正切值．
14．（2022·河北邢台·统考一模）图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6
(1)求正六边形ABCDEF的边心距；
(2)过F作FG⊥AB交BA的延长线于点G，求证：FG是⊙O的切线；
(3)若点M是B´C中点，连接MA，求弓形MA的面积．
15.（2022·山东临沂·统考二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是A´C的中点，
过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
(1)EM与BE的数量关系是 ；
(2)求证：E´B=C´N；
(3)若AM＝2√3，MB＝2，求阴影部分图形的面积．
【考点4 不规则图形的面积的计算】
16．（2022·河南商丘·统考二模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为______．
17.（2022·四川南充·模拟预测）如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径AB=4，圆心为O），
保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时
半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．
(1)AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
(3)求图中阴影部分的面积．
18.（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与
A´B交于点C，连接AC．若OA=2，则图中阴影部分的面积是( )
2π √3 2π π √3 π
A． − B． −√3 C． − D．
3 2 3 3 2 3
19.（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2√3，DC＝4√3，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是_____．
20.（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC=√2，以A为圆心，以AB为半径
作BD´C﹔以BC为直径作CA´B．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
【考点5 旋转与路径长及面积问题】
21．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M、N分别是边AD、
BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，
动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，
两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长
是_____．
22.（2022·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度）中，ΔAOB的顶点坐标分别为
A(3,0)，O(0,0)，B(3,4)．(1)将ΔAOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A O B （不写作法，但要标出顶点字母）；
1 1 1
(2)将ΔAOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A O B （不写作法，但要标出顶点字母）；
2 2 2
(3)在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B 所经过的路径长（结果保留π)．
2
23.（2022·广西·统考中考真题）如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠BAC=α，将△ABC绕点A逆时针旋
转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，B´B′的长是（ ）
2√3 4√3 8√3 10√3
A． π B． π C． π D． π
3 3 9 9
24.（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−1,1)，B(−4,0)，C(−2,2)．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A B C ．
1 1 1
(1)请写出A 、B 、C 三点的坐标：A _________，B _________，C _________
1 1 1 1 1 1
(2)求点B旋转到点B 的弧长．
1
25.（2022·河北·统考中考真题）如图，四边形ABCD中， AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB=2√3，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在
PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM=4√3．
(1)求证：△PQM≌△CHD；
(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋
转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度
为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含
d的式子表示）．
【考点6 圆柱的侧面展开图】
26．（2022·广西贵港·统考一模）已知圆柱的侧面积是20π cm2，高为5cm，则圆柱的底面半径为_____．
27．（2022·江苏淮安·校考一模）若圆柱的底面圆半径为2cm，高为5cm，则该圆柱的侧面展开图的面积为
____cm2．．
28．（2022秋·浙江金华·九年级统考期末）如图是一个高为3cm的圆柱，其底面周长为2πcm，则该圆柱
的表面积为____________cm2．
29．（2022春·黑龙江绥化·六年级校考阶段练习）明宇用一块底面直径为2 cm，高6 cm的圆柱形橡皮泥，
捏成高是9 cm的圆锥，这块圆柱形橡皮泥的下底面的面积是______cm2，捏成圆锥的底面积是______cm2．
30．（2022秋·北京海淀·九年级校考期末）小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，
粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长
度l应为_______ cm．（π取3.1）
【考点7 圆锥及其展开图】
31.（2022·云南·中考真题）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长
为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．
32.（2022秋·天津西青·九年级统考期末）已知圆锥的底面圆周长是4π，母线长是5，则这个圆锥的侧面
积是（ ）
A．20π B．10π C．5π D．4π
33.（2022·江苏无锡·统考中考真题）在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把
ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧△面积为（ ）
△A．12π B．15π C．20π D．24π
34.（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径
r=2cm，母线长l=8cm，则侧面展开图的圆心角θ的度数为______．
35，（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个
扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是________cm．【考点8 圆锥的全面积】
36.（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考阶段练习）一个圆锥的母线长是13，高为12，那么这个圆锥的表
面积是__________．
37.（2022秋·全国·九年级专题练习）已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是
__________ cm2．（结果保留π）
38.（2022秋·山东东营·九年级东营市东营区实验中学校考期末）在Rt△ACB中，斜边AB=13cm，直角边
AC=5cm，以直线AB为轴旋转1周形成纺锤形，则这个纺锤形的表面积为____________．
39.（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）圆锥的底面半径为1，母线长为6，求圆锥的全面积．
40.（2022秋·广东广州·九年级期末）如图，已知圆锥的高为2√3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆
锥的全面积为________．
【考点9 弧长计算的实际应用】
41．（2022秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，用一个半径为10cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗
细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升15πcm，则滑轮旋转的角度为______°．42．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离
桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图-1，电脑水平放置在桌面上，当张角
∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为12cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员将
电脑屏幕绕点O旋转，减小张角度数继续探究，最后发现当张角∠A′OB=108°时（点A′是A的对应点），
用眼舒适度较为理想．
(1)求电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到A′转过的弧长（结果保留π）；
(2)请在图-2中画出线段A′D，用其长度表示旋转后顶部边缘A′处离桌面的高度（不说理由），并求出高度
约为多少厘米（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
43．（2022秋·山西朔州·九年级统考阶段练习）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角
为150°，AB的长为30cm，BD的长为15cm，求D´E的长．（结果保留π)
44．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期末）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为
伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°,BD=6cm,BE=4cm．当按压柄
△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（参考数据：sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72∘≈0.31,tan72°≈3.08
）
(1)求点D转动到点D′的路径长；
(2)求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
45．（2022·河北沧州·统考二模）石家庄市水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人
员介绍，新建摩天轮直径为100m，最低点距离地面1m，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中
将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱，运行一圈时间恰好是13分14秒，寓意“一
生一世”．小明从摩天轮的底部出发开始观光，摩天轮转动1周．
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m；
(2)在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于P、Q两点），
①求两人所在座舱在摩天轮上的距离（弧PQ的长）；
②求此时两人所在座舱距离地面的高度差；
(3)受周围建筑物的影响，当乘客与地面的距离不低于76m时，可视为最佳观赏位置，求最佳观赏时间有多
长（不足一分钟按一分钟记）．
【考点10 扇形面积计算的实际应用】
46．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”
中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积为（
）平方步．
32 64
A．120 B．240 C． π D． π
3 3
47．（2022·河南许昌·统考二模）如图1，是一枚残缺的古代钱币．图2是其几何示意图，正方形ABCD的
边长是1cm，⊙O的直径为2cm，且正方形的中心和圆心O重合，E，F分别是DA，CD的延长线与⊙O
的交点，则钱币残缺部分（即图2中阴影部分）的面积是___________cm2．
48．（2022秋·山东日照·九年级统考期末）中华民族历史悠久，在我国古代艺术宝库中，传统图案纹样丰
富多彩，璀璨夺目．在如图的4×4正方形网格中利用圆弧绘制了一个传统图案纹样，已知每个小正方形的
边长都是1，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则图案（阴影部分）的面积
是______________．
49．（2022·广东·惠州一中校考二模）如图1，是一枚残缺的古代钱币，如图2，经测量发现，钱币完好部
分的弧长为3π，其内部正方形ABCD的边长为1．已知正方形ABCD的中心与⊙O的圆心重合，且点E，F
分别是边BC，CD的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为__________________．50．（2022秋·九年级单元测试）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计
1
算弧田面积的公式为：弧田面积= （弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”
2
指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面
积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB=2√3m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?
（取π近似值为3，√3近似值为1.7）
