文档内容
专题 20 新定义型二次函数问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 新定义型二次函数问题】................................................................................................................1
【直击中考】
【考向一 新定义型二次函数问题】
例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，
经历了如下过程：
求解体验：
(1)已知抛物线 经过点 ，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点
成中心对称的抛物线表达式是 ．
抽象感悟：
我们定义：对于抛物线 ，以y轴上的点 为中心，作该抛物线关于点M对称的
抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．
问题解决：
(3)已知抛物线 ．
①若抛物线y的衍生抛物线为 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求
a，b的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ，…（ 为正整数）．求 的长（用
含n的式子表示）．
【变式训练】
1．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点 的两条抛
物线称为同弦抛物线．如抛物线 与抛物线 是都经过 的同
弦抛物线．
(1)引进一个字母，表达出抛物线 的所有同弦抛物线；
(2)判断抛物线 与抛物线 是否为同弦抛物线，并说明理由；
(3)已知抛物线 是 的同弦抛物线，且过点 ，求抛物线 对应函数的最大值或最小值．
2．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数 ， ， ， 是常数）与 ， ， ， 是常
数）满足 ， ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”．求 函数的
“旋转函数”．
小明是这样思考的：由 函数可知 ， ， ，根据 ， ，
求出 ， ， ，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
(1)写出函数 的“旋转函数”；
(2)若函数 与 互为“旋转函数”，求 的值；(3)已知函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 、 、 关于原点的
对称点分别是 、 、 ，试证明经过点 、 、 的二次函数与函数 互为“旋转函
数”．
3．（2021秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称
抛物线”．
例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
(1)请写出抛物线 的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标
；写出抛物线 的“同轴对称抛物线”为 ．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L： 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x
轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点 、 ，
连接 、 、 、 ，设四边形 的面积为 ．
①当四边形 为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的
点时，请求出a的取值范围．4．（2023·全国·九年级专题练习）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系 中，对于一个动点 ，若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的
运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达
式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点 （m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设 ， ，
由①得
将③代入②得 ，整理得 ，
则直线 是点M的运动路径．
【迁移应用】在平面直角坐标系 中，已知动点 （a为任意实数）的运动路径是抛物
线．
(1)请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
(2)记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行
平移，平移后的抛物线 始终过点A，点C的对应点为 ．
ⅰ）试确定点 运动路径所对应的函数表达式；
ⅱ）在直线 的左侧，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
5．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）定义若抛物线
（ ）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为 ，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
① ；② ；③ ；
(2)如图，已知直线l： ，抛物线 为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为 、 ，
在直线l上方抛物线部分是否存在点 使 面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点 坐标，若
不存在，请说明理由；
△
(3)已知x轴的“双幸运曲线” （ ）经过点（1，3），（0， ），在x轴的“幸
运点”分别为 、 ，试求 的取值范围．
6．（2022·湖南湘西·统考中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所
围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C ：y＝x2+2x﹣3与抛物线C ：y＝ax2+2ax+c组成一个开
1 2
口向上的“月牙线”，抛物线C 和抛物线C 与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），
1 2
与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．(1)求抛物线C 的解析式和点G的坐标．
2
(2)点M是x轴下方抛物线C 上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C 于点D，求线段MN与线段
1 2
DM的长度的比值．
(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以
EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函
数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数 图象上的点 的横坐标不变，纵
坐标变为 点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点 ，他们把这个点 定义为点 的“简
朴”点．他们发现：二次函数 所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条
抛物线定义为 的“简朴曲线”．例如，二次函数 的“简朴曲线”就是
，请按照定义完成：
(1)点 的“简朴”点是________；
(2)如果抛物线 经过点 ，求该抛物线的“简朴曲线”；
(3)已知抛物线 图象上的点 的“简朴点”是 ，若该抛物线的“简朴曲线”的顶
点坐标为 ，当 时，求 的取值范围．
8．（2022春·九年级课时练习）定义：若二次函数 的图象记为 ，其顶点为 ，二
次函数 的图象记为 ，其顶点为 ，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次
函数”．
分类一：若二次函数 经过 的顶点B，且 经过 的顶点A，我们
就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出 的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数 与 互为“反顶伴侣二次函数”，试探究 与 的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数 可以绕点M旋转180°得到二次函数 ； ，我
们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图， ， 互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且 轴，当
四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数 ， 的顶点有什么关系．并说明理由．
9．（2022·全国·九年级专题练习）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函
数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)当t＝﹣2时，
①求衍生抛物线l′的函数解析式；
②如图1，函数l与l'的图象交于M（ ，n），N（m，﹣2 ）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，
且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S QNG与S PNG存在的
数量关系． △ △
(2)当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E
两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）定义：关于 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物
线”．
例如： 的“镜像抛物线”为 ．
(1)请写出抛物线 的顶点坐标______，及其“镜像抛物线 的顶点坐标______．
写出抛物线 的“镜像抛物线”为______．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线 上一点，点 的横坐标为1，过点 作
轴的垂线，交抛物线 的“镜像抛物线”于点 ，分别作点 ， 关于抛物线对称轴对称的点 ， ，连
接 ， ， ， ．
①当四边形 为正方形时，求 的值．
②求正方形 所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）
