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专题 17 二次函数中几何存在性的问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】....................................................................................1
【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】....................................................................................8
【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】..................................................................................16
【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】..............................................................................................23
【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】..............................................................................................33
【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】..........................................................................................42
【直击中考】
【考向一 二次函数中构成等腰三角形存在性问题】
例题：（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标
(3)在坐标轴是否存在一点 ．使得 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请
说明理由；
【答案】(1)
(2)直线 ，
(3) 或 或 或 或 或 或 或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；（3）分三种情况：当 时，当 时，当 时，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把点 ， ， 代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（3）解：∵点 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
若点P在x轴上，点P与点B关于y轴对称，
∴此时点P的坐标为 ；
若点P在y轴上， 或 ，
∴此时点P的坐标为 或 ；
当 时，
若点P在x轴上， 或 ，
∴此时点P的坐标为 或 ；
若点P在y轴上，点P与点B关于x轴对称，
∴此时点P的坐标为 ；
当 时，
若点P在x轴上，连接 ，如图，设点P的坐标为 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点P的坐标为 ；
若点P在y轴上，连接 ，如图，
设点P的坐标为 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴此时点P的坐标为 ；
综上所述， 或 或 或 或 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，还涉及了求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定
理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线 （ ）与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)若 为抛物线上一点，连接 ，是否存在以 为底的等腰 ？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在，点 的坐标为 或
【分析】（1）将点 ， 代入解析式，待定系数法求解析式，进而令 ，得出点 的坐标；
（2）若存在以 为底的等腰 ，则 ，点 在 的垂直平分线上，如图，设 的垂直平
分线交 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，勾股定理得出 ，即可得出点 的坐标，进而根据中点
坐标公式得出点 的坐标，待定系数法求解析式求得直线 的解析式，联立组成方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线 （ ）与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
∴ ；
（2）存在，
∵ ，
∴ ，
若存在以 为底的等腰 ，则 ，点 在 的垂直平分线上，
如图，设 的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，连接 ，则 ，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
设直线 得到的解析式为 ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
联立
解得： ，
∴点 的坐标为： 或
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知
识是解题的关键．2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）已知抛物线 经过 ， 两点，直
线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；
(3)在直线l上是否存在点M，使 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 坐标为 ； 的周长最小值为
(3)存在符合条件的 点，且坐标为 ， ， ， ．
【分析】（1）把 、 代入抛物线解析式，即可求解；
（2）连结 交 于 ，根据抛物线的对称性可得 ，从而得到 ，此时
的周长最小，再求出直线 解析式，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把 、 代入抛物线解析式得：
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）解：当 时， ，
∴ ，
连结 交 于 ，如图，∵点 与点 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
此时 的周长最小，
设直线 解析式为 ，
把 ， 代入得：
解得： ，
∴直线 解析式为 ．
把 代入得： ，
则 坐标为 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
则 的周长最小值 ．
（3）解：存在，理由如下：
设 ，
已知 ， ，
则 ， ， ，
①若 ，则 ，
即 ，
解得， ．②若 ，则 ，
得， ，
解得， ．
③若 ，则 ，
得， ，
解得， ， ，
当 时， ， ， 三点共线，构不成三角形，不合题意，舍去．
综上可知，存在符合条件的 点，坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，
在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．
【考向二 二次函数中构成直角三角形存在性问题】
例题：（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，
与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为 或 或 或
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：B是直角顶点，C是直角顶点，P是直角顶点，分别求解即可．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 、 两点，
∴ ，解得∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴当 时， ，可得 ．
当 时，同理可得 ．
当 时，设点 的坐标为 ，
则 ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 或 ．
综上可得点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是掌握
待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式训练】
1．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y轴相
交于点C，对称轴为直线 ，顶点为D，点B的坐标为 ．(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；
(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使 是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ；
(2)存在，P点坐标为 或 ．
【分析】（1）根据对称轴为直线 ，点B的坐标为 ，得到关于b，c的方程组，解方程组，即可得
到抛物线的解析式，令 ，得到 ，解方程即可得到点A的坐标，把抛物线的解析式化为顶
点式，即可得到点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再求出 ，设 的中点为E，则 ，设 ，利用直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，点B的坐标为 ．
∴
解得 ，
∴ ，
令 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵D是抛物线的顶点， ，
∴ ，
（2）存在，理由如下：
当 时， ，
∴ ，∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 的中点为E，则 ，设 ，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 或 ，
∴使 是以 为斜边的直角三角形时，P点坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、
抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点坐标为 ，并与 轴交于点 ，点 是对称轴与 轴的交点，直线 与抛物线的另一个
交点为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 、 ，判断 是什么特殊三角形，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在一点 ，使 为以 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点 坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)存在，点 的坐标为 ， 或【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为 ，然后将点 代入求解即可；
（2）先求出直线 的解析式，然后联立直线 的解析式和抛物线的解析式得出点 的坐标，最后利用
勾股定理证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点 在 轴上时，②当点 在 轴上时，根据勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴可设抛物线顶点式为 ，
将点 代入顶点式得 ，
解得 ，
∴ ；
（2） 是直角三角形，理由如下：
∵直线 过点 ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵点 是对称轴与 轴的交点，
∴ ，
把点 代入 ，并解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，并解得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）存在，点 的坐标为 ， 或 ．①当点 在 轴上时，设 ，
∴ ， ， ，
若 为斜边，则有 ，
解得 ，
∴ ，
若 为斜边，则有 ，
解得 ，
∴ ；
②当点 在 轴上时，设 ，
∴ ， ， ，
若 为斜边，则有 ，
解得 ，
∴ ，
若 为斜边，则有 ，
解得 （与 点重合舍去），
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三
角形是解题的关键．
3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）抛物线 与x轴交于点 和 ，
与y轴交于点C，连接 ．点P是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y
轴的平行线交 于M，交x轴于N．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点C作 于点H， ，
①求点P的坐标；②连接 ，在y轴上是否存在点Q，使得 为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2)① )② 或
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）①由题可得 为矩形，根据 ，可得点P的横坐标，代入解析式即可求出坐标；②分
和 两种情况解题即可．
【详解】（1）解：把点 和 代入 得：
，
解得： ，
∴
（2）①解：∵ ， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴
∵
∴
当 时
∴点P的坐标 )
②由题可知，显然 不能为如图，当 时，
在 中， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴
∴ ，
即 ，
即：
解得： ，
∴
∴点Q的坐标为 ；
如图，当 时，
显然， 为矩形，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；综上所述：点Q的坐标为 或
【点睛】本题考查二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理和三角函数，掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
【考向三 二次函数中构成三角形相似存在性问题】
例题：（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线经过点 ， 和坐标原点 ，顶点
为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求证： 是直角三角形；
(3)若点 是抛物线上第一象限内的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，是否存在点 ，使得以
P，M，A为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，点 坐标为 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，把点 ， ， ，代入求出 ，
， 的值即可；
（2）先求出点C坐标，然后根据A、B、C的坐标，分别求出 、 、 ，利用勾股定理逆定理判
定即可；
（3）分 和 表示出 和 ，从而表示出点 的坐标，代入求得的抛物线的
解析式即可求得 的值，从而确定点 的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，将点 ， ， ，代入可得：
，
解得： ，
所以函数解析式为： ；
（2）证明：∵ ，
∴抛物线的顶点 的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：假设存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，如图，
设 ，由题意知 ， ，且 ，
由（2）知， 为直角三角形， ，且 ，
①若 ，则 ，
即 ，得
， （舍去），当 时， ，即 ， ；
②若 ， ，
即： ，
得： ， （舍去）当 时， ，即 ．∴存在，当点 坐标为 或 ，使得以P，M，A为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、两点间距离、勾股定理、相似三角形的判定和性质
等知识点，综合性强，同时也考查数形结合的数学思想方法．
【变式训练】
1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，以D为顶点的抛物线 交x轴于A、B两点，
交y轴于点C，直线 的表达式为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在直线 上存在一点P，使 的值最小，求此最小值；
(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)当Q的坐标为 或 时，以A、C、Q为顶点的三角形与 相似
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出B、C的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）由正方形的性质和判定求出点O关于直线 的对称点就是 ，进一步推出 有最小值
且等于 的长度，求出点A的坐标，利用勾股定理求出 的长即可得到答案．
（3）先求出点D的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，再证明
，得到 ，则分当 时，当 时，两种情况利用
相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，由点B、C在抛物线上可得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）所得 ， 可知以线段 为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点
的坐标为 ，记为 ．
由正方形的性质可知点O关于直线 的对称点就是 ．
∵ 与O关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴当 在一条直线上时， 有最小值且等于 的长度．
当 ，即 时，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为10；
（3）解：∵抛物线解析式为 ，
∴点D的坐标为 ，
又∵ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，即 ，
∴ ，
∴
综上所述，当Q的坐标为 或 时，以A、C、Q为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，轴对称最短路
径问题，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于点 、B两
点，顶点 ，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E， ．
(1)求该抛物线解析式；
(2)在对称轴 上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是线段 上一动点，过点P作直线 轴交抛物线于点Q，当线段 的长度最大时，求P点
坐标与 的最大值．【答案】(1) 或
(2)存在， 或
(3) ，
【分析】（1）根据抛物线的顶点为 可设 ，再把A的坐标代入计算即可；
（2）如图， 的对称轴为直线 ，先求解直线 ； ；由 ，
， 结合勾股定理可得， ． ， ，
再分两种情况讨论：当 时，则 ，当 时，则 ，从而
可得答案；
（3）设点 ，则点 ，可得
，再利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：由题意可设 ，将 代人解析式中得，
，
∴ 或 ．
（2）如图， 的对称轴为直线 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，设 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ；令 ，解得 ， ， 所以 ；
由 ， ， 结合勾股定理可得，
． ， ，
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ．
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，此时 ， 重合，
∴ ．
∴存在点 或 ；
（3）如图，设点 ，则点 ，
∴ ，
∴当 时，PQ最大，最大值为
此时 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，
二次函数的性质，清晰的分类讨论与数形结合的方法都是解本题的关键．
【考向四 二次函数中构成矩形存在性问题】
例题：（2023秋·贵州遵义·九年级统考期末）已知抛物线与 轴交于点 、 ，与 轴交于点
.
(1)求抛物线解析式；
(2)如图①，若点 是第一象限内抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求线段 长的最大值
(3)如图②，若点 是抛物线上另一动点，点 是平面内一点，是否存在以点 、 、 、 为顶点，且
以 为边的矩形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)抛物线解析式为(2) 的长的最大值为
(3)存在，点 的坐标为 或
【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为 ，再把 代入，计算即可得出答案；
（2）过点 作 轴交于点 ，交 于点 ，根据题意，得出 ，进而得出 ，
再根据直角三角形两锐角互余，得出 ，再根据对顶角相等，得出 ，进而
得出 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出 ，再根据待定系数
法求出直线 的解析式，然后设点 ，则 ，再根据两点之间的距离公式，得出
，再根据 ，得出 ，再根据二次函数的性质，即可
得出答案；
（3）根据题意，设 ，然后分两种情况：当 、 在直线 的上方时和当 、 在直
线 的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点 的
坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点 、 ，
∴设抛物线解析式为 ，
又∵抛物线与 轴交于点 ，
∴把 代入 ，
可得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：过点 作 轴交于点 ，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的长的最大值为 ；
（3）解：存在以点 、 、 、 为顶点，且以 为边的矩形，理由如下：
设 ，
如图1，当 、 在直线 的上方时，过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴交于点 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2，当 、 在直线 的下方时，过点 作 轴，过点 作 交于点 ，过点 作
交于 点，过点 作 交于点 ，
同理可得： ，
∴ ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，综上所述：点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等
腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，
解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
【变式训练】
1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点F，过点F作 于点G，求线段 的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形
是以 为边的矩形，求点Q的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为 ；
(2) 的最大值为： ；
(3) 或 ．
【分析】（1）先求解A，B，C的坐标，再求解D的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）记 于y轴的交点为 ，证明 为等腰直角三角形， 过 作 轴交 于 ， 为
等腰直角三角形， 则 ，设 ，则 ， 再建立二次函数，利用二次函
数的性质解题即可；
（3）如图，当 在 的右边，记直线 交y轴于R， ，则 ，求解
直线 的解析式为 ， 可得 ， 设 ，而四边形 为矩形，可得 ，
再利用勾股定理建立方程求解 ，结合平移的性质可得： ；如图，当 在 的左边，同
理可得： ，结合平移的性质可得： ．
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，当 时， ，
解得 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ， 而点D和点C关于直线 对称，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）记 于y轴的交点为 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
过 作 轴交 于 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
当 时， 有最大值 ，∴ 的最大值为： ；
（3）如图，当 在 的右边，
记直线 交y轴于R， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
设 ，而四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
如图，当 在 的左边，同理可得： ，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的
判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题
是解本题的关键．
2．（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
交x轴于 、B两点，交y轴于点C，其对称轴为 ，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点C作 交x轴于点Q，连接 ，求 面积的
最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线
的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为 ，
【分析】（1）把点A的坐标代入得到 ，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可
求解；
（2）连接 ，过P点作平行于y轴的直线交 于H点，根据 可得 ，从而求 面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于 面积的二次函数表达
式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨
论即可．
【详解】（1）将 ，代入 得： ，
∵抛物线对称轴为对称轴为 ，
∴ ，即 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵ ，
∴ ，即求 面积的最大值即可，
把 代入 得 ，
∴C坐标为 ，
设直线BC的解析式为： ，
将 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为： ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
根据二次函数的性质可得：当 时， 取得最大值为4，
将 代入 ，得到此时P的坐标为 ，∴ 面积的最大值为4，此时P的坐标为 ；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当 面积的最大值为4时，P的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵原抛物线解析式为： ，
∴设向右平移后的解析式为： ，
将 代入求得： （舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为： ，其对称轴为直线 ，
∴设 ， ，则结合A、P的坐标可得：
， ， ，
①当 时，如图所示，
此时根据勾股定理得： ，
即： ，解得： ，即： ，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得： ，∴ ；
②当 时，如图所示，
此时根据勾股定理得： ，
即： ，解得： ，即： ，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得： ，
∴ ；
③当AE⊥PE时，根据勾股定理得： ，
即： ，
整理得： ，
∵ ，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在 的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性
质进行分类讨论是解题关键．
【考向五 二次函数中构成菱形存在性问题】
例题：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线 与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C， ， ， ．
(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；
(2)点D是 上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交 于点F，当
时，求点E的坐标；
(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内
一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在： ， ，
【分析】（1）证明 ，得到 ，求出 ，从而得到 点坐标，再用待定系数法，求
出函数解析式即可；
（2）待定系数法求出直线 的解析式，设 ，分别表示出 的坐标，进而得到 ，利用
，列式计算即可；
（3）分 是边和 是对角线两种情况，进行讨论求解．
【详解】（1）解：由题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
分别把 ， ， 代入 ，
得 解得 ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解：设直线 函数关系式为 ，
代入 ， 得， ，解得 ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ，
由题意 ，
解得， 或 （舍去），
将 代入 得 ；
∴ ；
（3）解：存在，理由如下：
当以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形时， 是等腰三角形．
由题意， ， ，对称轴为： ，
在 中，由勾股定理得： ，
①当 是边时：当 时，点A到直线l的距离是： ，
∴此时点M不存在．
当 时，如图，此时菱形为： ，
过点E作 于点H，
， ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ 或 ，
∴ ；
当点 时：由 得： ，
即： ，解得： ，
同理可得： ，故点 ；
同理可得： ；
②当 为对角线时，此时 ，即 ，此时菱形为 ，
即 ，
设 ，则： ，
解得 ，∴ ，即点 在 轴上，
则： ，
解得： ，
，
∴ ；
综上： ， ， ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
抛物线 经过点B，且与x轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接 、 ，设点M的横坐标为m，
四边形 的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点P在平面内，点Q在直线 上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱
形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ， ， ， ；【分析】（1）根据直线解析式求出点B的坐标，将B、C两点坐标代入解析式即可得到答案；
（2）连接 ，表示出M的坐标，根据 列出S与m的函数关系式，最后根据函数性
质即可得到答案；
（3）设点 ，分 、 、 分别为对角线三类讨论，根据对角线互相平分得到点P的坐标，
最后根据菱形的邻边相等即可得到答案；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
将 ， 代入抛物线解析式可得，
，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ；
（2）解：连接 ，
∵点M的横坐标为m，
∴ ，
当 时，
，解得 ，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，S最大，
；
（3）解：设点 ，
①当 为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，∴ 与 互相平分， ，
∴点P的坐标为 ，
解得： ，
∴ ；
②当 为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，
∴ 与 互相平分， ，
∴点P的坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
③当 为对角线时，
∵O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形，
∴ 与 互相平分， ，
∴P的坐标为 ，
∴ ，
解得： （与B重合舍去）， ，
∴ ；
综上所述存在4点使以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形： ， ，
， ；
【点睛】本题考查二次函数综合，主要有求解析式、围成图形最大面积、围成特殊菱形问题，解题的关键
是求出解析式，根据特殊图形性质设点表示出所有点根据线段相等列式求解．
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点 ，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 与抛物线在第一象限交于
点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点 在抛物线上，当 时，直接写n的取值范围；
(3)连接 ，点Q是直线 上不与A、B重合的点，若 ，请求出点Q的坐标；
(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，
直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ；
(4) 或 或 或 ．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）根据对称轴直线 求出对称轴直线，即可得出最小值，再分别求出当 和 时的函数
值即可得出n的取值范围；
（3）先计算出 ，再求出 解析式，设出点Q坐标，根据三角形面积公式即可求解；
（4）分类讨论，分别当 为对角线时，画出图形即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）可知，二次函数解析式为 ，∴抛物线的对称轴直线 ，
∴当 时，n取最小值，
此时： ，
当 时， ；
当 时， ；
∴当 时， ；
（3）∵ 、
∴ ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
将点 、 代入得：
，解得 ，
∴ 的表达式为 ，
设点Q的坐标为
∴
解得 或 ，
当 时， ，
当 时，
∴点Q的坐标为 或 ；
（4）存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
①当 为菱形的对角线时，如图所示，
由（3）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 为正方形，
∴点N的坐标为②如图所示，当 为菱形对角线时，C、N关于x轴对称，
∴点N坐标为 ；
③，当 为对角线时，如图所示，
，
∴ ，
∴点N的坐标为 或综上所示，点N的坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数表达式，自变量取值范围内的函数值，三角形
面积，菱形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造出相应图形解决问题．
【考向六 二次函数中构成正方形存在性问题】
例题：（2022秋·辽宁抚顺·九年级校考阶段练习）如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，其
中点B的坐标是
(1)求直线 及抛物线的解析式；
(2)C为抛物线上的一点， 的面积为3，求点C的坐标；
(3)P在抛物线上，Q在直线 上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直
接写出点M的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为 ，抛物线的解析式是
(2) ，
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）讨论C在直线 上方时，作 轴交 于D ，
，求出t的值，C在直线 下方时，作
轴交 于D ， ，求出t的值，即可得出
点C的坐标；
（3）分 是正方形的边和 是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）∵直线 与抛物线 交于点
∴ ， ，
∴ ，∴直线 的解析式为 ，抛物线的解析式是 ；
（2）联立方程组 ，
解得 或 ，
∴点A的坐标是 ，
当C在直线 上方时，作 轴交 于D， 设点C的坐标为 ，则D点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 或 ，
∴ ，
当C在直线 下方时，作 轴交 于D ，设点C的坐标为 ，则D点坐标为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ，
∴ ， ；
（3）如图，当 是正方形的边时，
∵
∴直线 的解析式为
∴
∴M点与A点关于y轴对称
∴
∵ 在抛物线 上，
∴当 时， ；
当M点关于A点对称时， ；
如图，当 是正方形的对角线时，∴点P的纵坐标为-1
∴
∴
∵
∴
综上所述：M点坐标为
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关
知识是解题的关键
【变式训练】
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，D两点，
与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点 ，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使
得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或 或
【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先求出点 ， ，对称轴为 ，在根据A、D关于直线 对称，连接 交对称轴于
点E，连接 ，得出当A、B、E三点共线时， 的值最小，根据 ，得出 ，即
可求出点E的坐标；（3）设 ，分三种情况：当AM为正方形的对角线时， ；当 时， ；
时， ．分别求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：令 ，则 ，
解得 或 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 交对称轴于点E，连接 ，
∵A、D关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
当A、B、E三点共线时， 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设 ，
当AM为正方形的对角线时，如图2， ，过M点作 交于G，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵M点在x轴上方，∴ ，
∴M（2，3）；
当 时， ，如图3，过A点作 轴，过M点作 交于点H，
同理可证 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 （舍去）；
当 时， ，如图4，
过点M作 轴交对称轴于点T，过点A作 交于点S，
同理可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ；
综上所述：M点坐标为 或 或 ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等
的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图．已知抛物线 经过
三点，点P为直线 上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求点P的坐标；
(3)连接 ，交直线 于点E，交y轴于点F；
①是否存在点P使 与 相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②若点P的坐标为 ，点H在抛物线上，过H作 轴，交直线 于点K．点Q是平面内一点，
当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1) ；
(2)存在， ；
(3)①存在点P，P坐标是（2，3）使 与 相似，理由见解析；②点Q的坐标为（5，2）或（1，
2+ ）或（1，2﹣ ）．
【分析】（1）把 代入 ，求解三元一次方程组即可；（2）如图：过B作 轴交射线 于D，由 可得
，易证 ，从而 ，进而解得 ，确定点D的坐
标 ，进而求得直线 解析式为 ，然后与抛物线解析式联立并结合点P的位置即可解答；
（3）①如图：过C作 轴交抛物线于P，连接 交直线 于点E，交y轴于点F， 进而确定点
，从而直线 解析式为 ，再说明 ，再证明 即可求解；
②由直线 解析式为 ，可得 ，即知 ，即 ，由B
知直线 解析式是 ，可得 ，分两种情况讨论：当 时，H点在
上，K点在 上，即知 或 ，当 时， ，可得 ，此时 与
y轴重合，不符合与y轴平行；当 时， ， ，有 ，可得 ；同理求解当
时即可．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图：过B作 轴交射线 于D，
∴ 轴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴
设直线 解析式为 ，将 代入得： ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
解 得 或 ，
∴ ；
（3）解：①存在点P，使 与 相似，理由如下：
如图：过C作 轴交抛物线于P，连接 交直线 于点E，交y轴于点F，
∵ 轴，
∴ ，
在 中，令 得： 或 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，将 代入得：
，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当P坐标是 时， 与 相似；
②由①知，P的坐标为 时，直线 解析式为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由 知直线BC解析式是 ，
解 得 ，
∴ ，
∵以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形，
∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）如图：当 时，H点在 上，K点在 上，
∵H点在抛物线上，
∴H为 与抛物线交点，即 或 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的中点为 ，则 的中点也为 ，
∴ ，
但此时 与y轴重合，不符合与y轴平行，
∴ 不符合题意；
当 时， ，∴ ，
∴
∴HK的中点为 ，则 的中点也为 ，
∴ ；
（Ⅱ）当 时，此时 轴，如图：
在 中，令 ，则 ，
解得： ，
∴ 或 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，当以点E，H，K，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的判定、待定系数法求函数解析式、三角形相似的
判定与性质、正方形性质及应用等知识点，掌握相似三角形判定及性质的应用、分类讨论思想、数形结合
思想是解题的关键．
