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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 （ 全国通用 ）
专题09二次函数与正方形存在性问题
二次函数与正方形存在性问题
1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加
多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；
（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择
恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：
思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等
或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．
思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的 4个顶点中
任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第 3个点，再求第4个
点．
3.示例：在平面直角坐标系中，已知 A、B 的坐标，在平面中求 C、D 使得以 A、B、C、D 为顶点
的四边形是正方形．
如图，一共 6 个这样的点 C 使得以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．
【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 （ 1 ， 2 ） ；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段
DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若
以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；
（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直
线AB的解析式，即可得出点C的坐标；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；
（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），
∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），
∴当a＝ 时，DE的最大值为 ；
（4）当CF为对角线时，如图，
此时四边形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
当CF为边时，若点F在C的上方，此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，
同理可得N（﹣1，2），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，同理可得N（ ， ），
综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（ ， ）．
【例2】（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 AB在x轴上，且
AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，
先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
（2）由（1）知：设H（t，﹣ t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出
最值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是
圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．【解答】解：（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H（t，﹣ t2+8）（t＞0），
∴﹣ t2+8＝2t，
解得：t ＝﹣2+2 ，t ＝﹣2﹣2 （舍），
1 2
∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2 ）2＝（96﹣32 ）dm2；
（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣ t2+8）（t＞0），∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣ t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为 M上一点，也是抛物线上一点，过 N作 M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作
NP⊥y轴于P，⊙ ⊙
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
设N（m，﹣ m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣ m2+8﹣3）2＝32，
解得：m ＝2 ，m ＝﹣2 （舍），
1 2∴N（2 ，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝ ＝ ＝ ，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴QN的解析式为：y＝﹣2 x+12，
﹣ x2+8＝﹣2 x+12，
x2﹣2 x+4＝0，
Δ＝（﹣2 ）2﹣4× ×4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点
B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；
（3）点Q在抛物线上，当 的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；
（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点
K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y
轴上时，请直接写出点G的坐标．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；
（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面
积；
（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得 的函数解析式，从而求得P点坐
标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；
（4）作 GL∥y 轴，作 RC⊥GL 于 L，作 MT⊥KI 于 K，作 HW⊥IK 于点 W，则△GLC≌△CRH，
△ITM≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，
根据MT＝IW，构建方程求得n的值．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴ ，
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC ＝ ＝ ＝3，∵S△BOC ＝ ＝ ＝ ，
∴S四边形BOCP ＝S△PBC +S△BOC ＝3+ ＝ ；
（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴ ＝ ＝ ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，（ ）
最大
＝ ，
当m＝ 时，y＝﹣（ ）2+2× +3＝ ，
∴P（ ， ），
设Q（n，﹣n2+2n+3），
如图 2，当∠PAQ＝90°时，过点 A 作 y 轴平行线 AF，作 PF⊥AF 于 F，作 QG⊥AF 于 G，则
△AFP∽△GQA，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴n＝ ，
如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，可得n ＝1，n ＝ ，
1 2
如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，
同理可得： ＝ ，
∴n＝ ，
综上所述：点Q的横坐标为： 或1或 或 ；
（4）如图 5，作 GL∥y 轴，作 RC⊥GL 于 L，作 MT⊥KI 于 T，作 HW⊥IK 于点 W，则
△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．
∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G（n，0），H（3，3+n），∴K（ ， ），
∴I（ ，﹣（ ）2+n+3+3），
∵TM＝IW，
∴ ＝（ ）2+n+6﹣（3+n），
∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，
∴n ＝﹣4+ ，n ＝﹣4﹣ （舍去），
1 2
∴G（﹣4+ ，0）．
【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物
线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，
连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小
时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 时，直接写出m的值．
【分析】（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，可得结论；
（2）判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论；
（3）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部
的点的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可；
（4）分三种情形：如图4﹣1中，当点N（0， ）时，满足条件，如图4﹣2中，当点N（0，﹣ ），
满足条件，如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为 时，满足条件，分别求出点A的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；
（2）如图1中，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴B（﹣1，3）；
（3）如图2中，
∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PQM＝MN＝2m，∴正方形的边MN在y轴上，
当点M与O重合时，
由 ，
解得 或 ，
∴A（3，3），
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝ ，观察图象可知，当0＜m≤ 时，抛物线在正方形
内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．
综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤ 或m≥3；
（4）如图4﹣1中，当点N（0， ）时，满足条件，此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+ ，
由 ，解得， 或 ，
∵点A在第四象限，
∴A（ ，﹣ ），
∴m＝ ．
如图4﹣2中，当点N（0，﹣ ），满足条件，
此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣ ，由 ，解得 ，
∴A（ ，﹣ ），
∴m＝ ．
如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为 时，满足条件，此时m＝﹣ ，
综上所述，满足条件的m的值为 或 或﹣ ．
1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当
以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美
丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则a＝ ﹣ 2 ；当抛物线y＝ +k是美丽抛物线时，则k
＝ ﹣ 4 ；
（2）若抛物线y＝ax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；
（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线y ＝a （x﹣n）2+k （n为小于7的正整数）顶点在直线y＝ x上，且它们中恰有
n n n
两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．
【分析】（1）画出函数y＝ax2+k的图象，求出点D的坐标，即可求解；
（2）由（1）知，点D的坐标为（ k， k），即可求解；
（3）美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线，美丽抛物线y＝a（x﹣h）
2+k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k，即可求解；
（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为 和 ，它们的内接正方形的边长比为
，则m＝4k， ，进而求解．
【解答】解：（1）函数y＝ax2+k的图象如下：
①抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则AC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（ ， ），
将点D的坐标代入y＝ax2+1得： ＝a（ ）2+1，解得a＝﹣2；
②同理可得，点D的坐标为（ k， k），将点D的坐标代入y＝ +k得： k＝ （ k）2+1，解得k＝0（不合题意）或﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由（1）知，点D的坐标为（ k， k），
将点D的坐标代入y＝ax2+k得： k＝a（ k）2+k，
解得ak＝﹣2；
（3）答：成立．
∵美丽抛物线沿x轴向右或向左平移后得到的抛物线仍然是美丽抛物线．
∴美丽抛物线y＝a（x﹣h）2+k沿x轴经过适当平移后为抛物线y＝ax2+k．
∴ak＝﹣2；
（4）设这两条美丽抛物线的顶点坐标分别为 和 ，（k，m为小7的正整数，且k
＜m），
它们的内接正方形的边长比为 ，
∴m＝4k， ．
∴这两条美丽抛物线分别为 和 ．
∵ ， ＝﹣2，
∴a ＝﹣12，a ＝﹣3．
1 4
∴a +a ＝﹣15．
1 4
答：这两条美丽抛物线对应的二次函数的二次项系数和为﹣15．
2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角
顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．
（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．
①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式
为y＝ x2，求a的值；
（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方
形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点
坐标．
【分析】（1）①设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，把B（2，2）代入即可解决问题．
②设B（a，a）．代入y＝ x2求出a即可解决问题．
（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．求出A、B、C、D的顶
点的对角抛物线，利用方程组求出M、P、N、Q的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，设O为顶点的抛物线的解析式为y＝ax2，
∵过B（2，2），
∴2＝4a，
∴a＝ ，
∴所求的抛物线的解析式为y＝ x2．②如图2中，设B（a，a）．
则有a＝ a2，解得a＝4或0（舍弃），
∴B（4，4），
∴OA＝4，
∴正方形的边长为4．
（2）如图3中，结论：四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．
理由：∵正方形ABCD的边长为4，A（3，2），
∴B（7，2），C（7，6），D（3，6），
∴以A为顶点的对角抛物线为y＝ （x﹣3）2+2，
以B为顶点的对角抛物线为y＝ （x﹣7）2+2，
以C为顶点的对角抛物线为y＝﹣ （x﹣7）2+6，
以D为顶点的对角抛物线为y＝﹣ （x﹣3）2+6，
由 可得M（5，3），由 可得N（5，5），
由 可得P（3+2 ，4），
由 可得Q（7﹣2 ，4），
∴PM＝ ，
PN＝ ，
QN＝ ，
QM＝ ，
∴PM＝PN＝QN＝QM，
∴四边形MPNQ是菱形，对角线的交点坐标为（5，4）．
3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过 A（﹣2，0），
两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线L 的表达式；
1
（2）将L 平移后得到抛物线L ，点D，E在L 上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点
1 2 2
的四边形是正方形，求抛物线L 的解析式．
2
【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L 的解析式．
2
【解答】解：（1）设抛物线L 的表达式是 ，
1
∵抛物线L 过点A（﹣2，0），
1∴ ，
解得 ，
∴ ．
即抛物线L 的表达式是 ；
1
（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．
Ⅰ．当AC为正方形的对角线时，如图所示，
∵AE ＝E C＝CD ＝D A＝2，
3 3 3 3
∴点D 的坐标为（0，0），点E 的坐标为（﹣2，﹣2）．
3 3
设 ，则 ，
解得 即抛物线L 的解析式是 ．
2
Ⅱ．当AC为边时，分两种情况，
如图，第①种情况，点D ，E 在AC的右上角时．
1 1
∵AO＝CO＝E O＝D O＝2，∴点D 的坐标为（0，2），点E 的坐标为（2，0）．
1 1 1 1
设 ，
则 ，
解得： ，即抛物线L 的解析式是 ．
2
第②种情况，点D E 在AC的左下角时，过点D 作D M⊥x轴，
2 2 2 2
则有△AD M≌△AD O，
2 1
∴AO＝AM，D O＝D M．
1 2
过E 作E N⊥y轴，同理可得，△CE N≌△CE O，
2 2 2 1
∴CO＝CN，E O＝E N．
1 2
则点D 的坐标为（﹣4，﹣2），点E 的坐标为（﹣2，﹣4），
2 2
设 ，
则 ，
解得 ，
即抛物线L 的解析式是 ．
2
综上所述：L 的表达式为： ， 或 ．
2
4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣
1
）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线L 的表达式；
1
（2）将L 平移后得到抛物线L ，点D，E在L 上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点
1 2 2
的四边
形是正方形，求抛物线L 的解析式．
2
【分析】（1）利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；
（2）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L 的解析式．
2
【解答】解：（1）设抛物线L 的表达式是y＝a（x﹣1）2﹣ ，
1
∵抛物线L ：y＝ax +bx+c经过A（﹣2，0），
1 2∴0＝9a﹣ ，
解得a＝ ，
∴y＝ （x﹣1）2﹣ ，
即抛物线L 的表达式是y＝ x2﹣ x﹣2；
1
（2）当AC为正方形的对角线时，
则点D的坐标为（0，0），点E（﹣2，﹣2），
设y＝ x2+bx+c，
∴ ，解得 ，
即抛物线L 的解析式是y＝ x2+ x；
2
当AC为边时，分两种情况，
第一种情况，点D、E在AC的右上角时，
则点D的坐标（0，2），点E（2，0），
设y＝ x2+bx+c，
∴ ，解得 ，
即抛物线L 的解析式是y＝ x2﹣ x+2；
2
第二种情况，点D、E在AC的左下角时，
则点D的坐标（﹣4，﹣2），点E（﹣2，﹣4），
设y＝ x2+bx+c，则 ，
解得 ，
即抛物线L 的解析式是y＝ x2+ x﹣4．
25．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与 x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C
（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．
已知OE＝m，OF＝t
①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？
②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛
物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）①证明△EOF∽△FCG，利用相似三角形的性质得到m关于t的二次函数，利用二次函数的性质
即可求解；
②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点R（﹣m，2t），点Q（2t，﹣m），代入
二次函数的解析式得到方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（4，0），点C（0，4）．且四边形OABC是正方形，
∴QA＝QC＝BC＝4，∵CG：GB＝3：1．
∴CG＝3，BG＝l，
∴点G的坐标为（3，4），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把.4（4，0），C（0，4），G（3，4），代入y＝ax2+bx+c得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，
令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0）；．
（2）①∵EF⊥FG，∠EOF＝∠GFE＝∠GCF＝90°，
∴∠EFO+∠FEO＝∠EFO+∠CFG＝90°，．
∴∠FEO＝∠CFG，
∴△EOF∽△FCG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴m＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣2）2+ ，
∴当t＝2时，m有最大值，最大值为 ；
②∵点A（4，0），点C（0，4），且四边形OABC是正方形，
∴点B的坐标为（4，4），
设直线OB的解析式为y＝kx，
把（4，4），代入得：4＝4k，
解得k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x，
过点R作RS⊥y轴于点S，如图：∵点E与点R关于直线FG对称，EF⊥FG，
∴RF＝EF，∠RFS＝∠EFO，
∴△RFS≌△EFO（AAS），
∴RS＝EO＝m，FS＝FO＝t，则SO＝2t，
∴点R的坐标为（﹣m，21）
∵点R与点Q关于直线OB对称，
同理点Q的坐标为（2t，﹣m），
把Q（2t，﹣m）代入y＝﹣x2+3x+4，
得：﹣m＝﹣4t2+6t+4，
由①得m＝﹣ t2+ t，
∴ t2﹣ t＝﹣4t2+6t+4，
解得：t ＝ ，t ＝ ，
1 2
∵0≤t ≤4，
1
∴当t＝ 时，点G恰好落在抛物线上．
6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，
四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝
2∠ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为
BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，
求△CGH的周长
【分析】（1）根据正方形的性质求得B，C的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝ ，可得tan∠EIA＝ ＝ ，设AE＝x，则AI＝
2x，在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，建立方程，解方程α进而可得E点的坐标，利用待定系数法求解析
式即可；
（3）延长BD，交y轴于点M．设直线DP交y轴于点S，分别求得G，C．H三点的坐标，进而根据勾
股定理以及两点距离公式分别求得CG，HG，HC的长，即可求得△CGH的周长．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．
∴AB＝OC＝OA＝18，
∴C（0，18），B（18，18），
∴c＝18，
∴18＝﹣ ×182+bx+18，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+2x+18；
（2）如图，在AD延长线时取DI＝DE，连接IE，设∠ABD＝ ，
∵∠EDA＝α2∠ABD，
∴∠EDA＝2 ，
∵DI＝DE，α
∴∠EID＝∠IED＝ ，
∵点D是OA的中点α，
∴OD＝DA＝9，
∴tan ＝ ＝ ，
α
∴tan∠EIA＝ ＝ ，
设AE＝x，则AI＝2x，
∴ED＝DI＝IA﹣DA＝2x﹣9，
在Rt△ADE中，ED2＝AD2+AE2，
即（2x﹣9）2＝92+x2，
解得x ＝12，x ＝0 （舍），
1 2
∴AE＝12，
∴E（18，12），
∵D（9，0），
设直线ED的解析式为y＝kx+t，
∴ ，
解得 ，∴直线DE的解析式为y＝ x﹣12；
（3）如图，延长BD，交y轴于点M，设直线DP交y轴于点S，
∵OD＝DA，∠DOM＝∠DAB，∠ODM＝∠ADB，
∴△ODM≌△ADB（ASA），
∴MD＝DB，
∵点Q为BP中点，DQ＝PQ，
∴DQ＝BQ＝PQ，
∴∠QDB＝∠QBD，∠QDP＝∠QPD，∠QDB+∠QBD+∠QDP+∠QPD＝180°，
∴∠BDQ+∠PDQ＝90°，即∠BDP＝90°，
∴PH⊥BD，
∴∠SDO+∠MDO＝∠MDO+∠OMD＝90°，
∴∠SDO＝∠OMD＝∠ABD，
∴tan∠SDO＝tan∠ABD＝ ＝ ，
∴OS＝ OD＝ ，
∴S（0， ），
设直线SD的解析式为y＝mx+n，将点S（0， ），D（9，0）代入得，
，解得 ，
∴直线SD的解析式为y＝﹣ x+ ，
联立 ，
解得 ， ，
∵点P在AB右侧的抛物线上，
∴P（27，﹣9），
∵D（9，0），B（18，18），
∴PD＝ ＝9 ，BD＝ ＝9 ，
∴DB＝DP，
∴△DBP是等腰直角三角形，
∴∠DBP＝45°，DQ⊥BP，
∵BH⊥BP，
∴BH∥DQ，
∴ ＝1，
∴DH＝DP，
∵D（9，0），P（27，﹣9），
∴H（﹣9，9），
∵点G在OD上，GC＝GE，C（0，18），E（18，12），
设G（p，0），则p2+182＝（18﹣p）2+122，
解得p＝4，
∴G（4，0），
∵H（﹣9，9），G（4，0），C（0，18），∴CG＝ ＝2 ，
CH＝ ＝9 ，
HG＝ ＝5 ，
∴CG+HG+CH＝2 +5 +9 ，
∴△CGH的周长为2 +5 +9 ．
7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴正半轴交于点A，且
点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P
作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为 ．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点Q与点M重合时，求m的值；
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数
值y随x的增大而减小，则有﹣m+ ＜﹣ m2+m+ ，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，
抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M
在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．
【解答】解：（1）∵抛物线 的图象经过点A（3，0），∴ ＝0，
解得b＝1．
∴抛物线解析式为： ．
（2）∵P点的横坐标为m，且P点在抛物线y＝ 的图象上，
∴P点的坐标为（m， ），
∵PQ⊥l，l过A点且垂直于x轴，
∴Q点的坐标为（3， ），
∵M点的坐标为（3，﹣m+ ），
∵Q点与M点重合，
∴ ＝﹣m+ ，
解方程得：m＝0或m＝4．
（3）∵抛物线 ＝﹣ （x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2）．
∵N点的坐标为N（m，﹣m+ ），
要使顶点（1，2）在正方形PQMN内部，
∴﹣m+ ＞2，得m＜﹣ ．
∴PN＝﹣m+ ﹣（ ）＝ m2﹣2m，PQ＝3﹣m．
∵四边形PQMN是正方形，
∴ m2﹣2m＝3﹣m，
解得m＝1+ （舍去）或m＝1﹣ ．
∴当m＝1﹣ 时，抛物线顶点在正方形PQMN内部．
（4）∵M点的纵坐标﹣m+ ，随P点的横坐标m的增大而减小，根据（1）的结果得：当m＝0时，M，Q两点重合；m＝3时，P，Q重合；m＝4时，M，Q重合，矩形PQMN不存在；
当m＜0时，直线MN在直线PQ上方，抛物线顶点在矩形PQMN内部，不合题意．
当0＜m＜4时，直线MN在直线PQ下方，如图4﹣1，
当3＜m＜4时，矩形内部没有抛物线图象，不合题意；
当m＞4时，直线MN在直线PQ上方，矩形内部有抛物线，且为对称轴右侧，y随x的增大而减小，如
图4﹣2；
综上：当0＜m＜3或m＞4时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．
8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于点A，B（点
A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．
（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符
合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将 沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平
移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的
内部和边）有公共点，求t的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法直接求出解析式，然后令y＝0，求出点A、B的坐标即可；
（2）求出直线AD的解析式，设直线AD与y轴交于点E，得出∠DAB＝45°，过点D作DP ⊥x轴，过
1
点A作AP ∥y轴，过点D作DP ∥x轴，AP 与DP 交于点P ，延长AP 至P ，使AP ＝P P ，连接
2 2 2 2 2 1 3 1 1 3
DP ，延长DP 至P ，使DP ＝P P ，连接AP ，延长AP 至P ，使AP ＝P P ，连接DP ，延长DP 至
3 1 4 1 1 4 4 2 5 2 2 5 5 2
P ，使DP ＝P P ，连接AP ，则△AP D，△AP D，△AP D，△AP D，△AP D，△AP D为所有符合
6 2 2 6 6 1 2 3 4 5 6
题意的等腰直角三角形，求出各个P点的坐标即可；
（3）设平移后的抛物线解析式为 ，分别求出抛物线平移后与正方形ADEF有公共点
的最低位置和最高位置的t值，即可求出t的取值范围．
【解答】解：（1）依题意，将点D（5，6）代入 ，
得 ，
解得k＝﹣2，
∴抛物线的解析式为 ，
令y＝0，得 ，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）存在，
设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（﹣1，0），D（5，6）两点坐标代入得， ，
解得 ，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
如图1，设直线AD与y轴交于点E，
令x＝0，得y＝1，
∴OA＝OE＝1，
∴∠DAB＝45°，
过点D作DP ⊥x轴，过点A作AP ∥y轴，
1 2
过点D作DP ∥x轴，AP 与DP 交于点P ，
2 2 2 2
延长AP 至P ，使AP ＝P P ，连接DP ，
1 3 1 1 3 3
延长DP 至P ，使DP ＝P P ，连接AP ，
1 4 1 1 4 4
延长AP 至P ，使AP ＝P P ，连接DP ，
2 5 2 2 5 5
延长DP 至P ，使DP ＝P P ，连接AP ，
2 6 2 2 6 6
则△AP D，△AP D，△AP D，△AP D，△AP D，△AP D为所有符合题意的等腰直角三角形，
1 2 3 4 5 6
∴P （5，0），P （﹣1，6），P （11，0），P （5，﹣6），P （﹣1，12），P （﹣7，6）；
1 2 3 4 5 6
（3）如图2，由（2）可知，点E的坐标是（11，0），点F的坐标是（5，﹣6），直线AD的解析式是y＝x+1，
设平移后的抛物线解析式为 ，
结合图象可知，当抛物线经过点E时，是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最低位置，
将点（11，0）代入 ，
得 ，
解得t＝﹣48，
当抛物线与AD边有唯一公共点时，
是抛物线平移后与正方形ADEF有公共点的最高位置，
将y＝x+1与 联立方程组，
，
化简得x2﹣4x+2t﹣5＝0，
∵只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0，
解得 ，
∴t的取值范围 ．
9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，
动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点 D，使得S△BCD ＝6？若存在，
求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，
若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形 OACB内部有一个点 P，且满足OP＝ ，CP＝ ，
∠OPA＝135°，直接写出此时AP的长度．
【分析】（1）根据正方形的性质可得OA、OB，然后写出点B、C的坐标，再利用待定系数法求二次函
数解析式解答，设BC边上的高为h，利用三角形的面积求出h，从而确定出点P的纵坐标，再代入抛物
线解析式求解即可；
（2）分点E在点F上方和下方两种情况表示出EF，再根据平行四边形对边相等列方程求解即可；
（3）将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，根据旋转的性质可得AP′＝AP，P′C＝OP，
∠AP′C＝∠OPA，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C＝90°，利用勾股定理列式
求出PP′，再根据等腰直角三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵t＝3秒，
∴OA＝OB＝3，
∴点B（0，3），C（3，3），
将点B、C代入抛物线得， ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，
设BC边上的高为h，
∵BC＝OA＝3，S△BCD ＝6，∴h＝4，
∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，
令y＝﹣1，则﹣x2+3x+3＝﹣1，
整理得，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
所以，D （﹣1，﹣1），D （4，﹣1）；
1 2
（2）∵OB＝3，
∴EF＝3，
设E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），
若E在F上方，则，﹣m2+3m+3﹣m＝3，
整理得，m2﹣2m＝0，
解得m ＝0（舍去），m ＝2，
1 2
∴F （2，2），
1
若F在E上方，则，m﹣（﹣m2+3m+3）＝3，
整理m2﹣2m﹣6＝0，
解得m ＝1﹣ ，m ＝1+ ，
1 2
∴F （1﹣ ，1﹣ ），
2
F （1+ ，1+ ）；
3
（4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，
由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝ ，∠AP′C＝∠OPA＝135°，
∵△APP′是等腰直角三角形，
∴∠AP′P＝45°，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
由勾股定理得，PP′＝ ＝ ，
所以，AP＝ PP′＝ × ＝1．10．（2021•峨眉山市模拟）如图，已知直线y＝ 与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作
正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形
落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所
扫过的面积．
【分析】（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ＝OA＝DM＝1，CZ＝OB＝MA＝2，进而求解；
（2）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，
③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可；
（3）由抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为 EE′C′C的面积，即可求解．
▱
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+1，
∴当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝2，
∴OA＝1，OB＝2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠CZB＝90°，
∴∠ABO+∠CBZ＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBZ，
在△AOB和△BZC中，
，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA＝BZ＝1，OB＝CZ＝2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；
设抛物线为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
则 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+1；
（2）∵OA＝1，OB＝2，
∴由勾股定理得：AB＝ ，
①当点A运动到x轴上点F时，t＝1，
当0＜t≤1时，如图1，∵∠OFA＝∠GFB′，tan∠OFA＝ ，
∴tan∠GFB′＝ ＝ ＝ ，
∴GB′＝ t，
∴S△FB′G ＝ FB′×GB′＝ • t• t＝ t2；
②当点C运动x轴上时，t＝2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB＝A′B′＝ ，
∴A′F＝ t﹣ ，
∴A′G＝ ，
∵B′H＝ t，∴S四边形A′B′HG ＝ （A′G+B′H）•A′B′＝ （ + t）• ＝ t﹣ ；
③当点D运动到x轴上时，t＝3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G＝ ，
∴GD′＝ ﹣ ＝ ，
∵S△AOF ＝ ×2×1＝1，OA＝1，∠AOF＝∠GD′H＝90°，∠AFO＝∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴ ＝（ ）2，
∴S△GA′F ＝（ ）2，
则S五边形GA′B′CH ＝（ ）2﹣（ ）2＝﹣ t2+ t﹣ ；
综上，S＝ ；
（3）设平移后点E和点C对应的点为E′、C′，
则抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积即为 EE′C′C的面积，
▱联立y＝ 与y＝﹣ x2+ x+1并解得 ，
∴E（4，﹣1），
∴BC＝BE，CE＝ ，
当顶点D落在x轴上时，抛物线向下平移了3个单位长度，向右平移了6个单位长度，此时点E′的坐
标为（10，﹣4），
∴EE′＝3 ，
∴抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积为S＝EE′•BC＝3 × ＝15．
11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C ：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶
1
点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．
（1）求直线AC的表达式与抛物线C 的表达式；
1
（2）如图2，将抛物线C 沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C ，其顶点为D，抛物线C
1 2 2
与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE ＝ S△MAE ，求
点D的坐标；
（3）如图3，若抛物线C 向上平移4个单位得到抛物线C ，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶
1 3
点S，T在x轴上方的抛物线C 上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为 4 ，
3
当m＝ 2 +1 时， 有最小值 ．
【分析】（1）由直线y＝kx+2经过A（﹣1，0）求出k的值，得到直线AC的表达式为y＝2x+2，再由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，得抛物线的对称轴为直线 x＝1，将x＝1代入y＝
2x+2求出抛物线顶点C的坐标，设抛物线的表达式为顶点式求出抛物线C 的表达式；
1
（2）由平移后得到的抛物线C 的顶点D仍在直线AC上，设抛物线C 的顶点坐标为D（t，2t+2），则
2 2
抛物线C 的表达式为y＝﹣（x﹣t）2+2t+2，与直线y＝2x+2联立方程组求出x的值，就是点E和点F的
2
横坐标，从而求出线段EF的长，再根据相似三角形的性质求出点D的坐标；
（3）先由平移的特征求出抛物线C 的表达式，再由正方形GHST与抛物线C 有相同的对称轴求出正方
3 3
形GHST的边长；将△PSH绕点S顺时针90°得到△KST，取SK的中点R，连结TR、PR，则点K在GT
上，设PS＝KS＝t，则TR＝SR＝ KS＝ PS＝ t，PR＝ t，由PR+TR≥PT列不等式求出 的最小
值，由相似三角形的性质求出此时m的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+2经过A（﹣1，0），
∴﹣k+2＝0，
解得k＝2，
∴直线AC的表达式为y＝2x+2；
由抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，得抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝2×1+2＝4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，4）；
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+4，则4a+4＝0，解得a＝﹣1，
∴抛物线C 的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．
1
（2）如图2，作DQ⊥x轴于点Q，EF⊥DQ于点F，设抛物线C 的顶点D的横坐标为t.
2
∵抛物线C 由抛物线C 沿射线AC方向平移得到，
2 1
∴D（t，2t+2），
∴抛物线C 的表达式可表示为y＝﹣（x﹣t）2+2t+2，
2
由 ，得2x+2＝﹣（x﹣t）2+2t+2，
解关于x的方程，得x ＝t﹣2，x ＝t，则点E、F的横坐标分别为t﹣2、t，
1 2
∴EF＝t﹣（t﹣2）＝2，
∵S△MDE ＝ S△MAE ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ；
∵EF∥AQ，
∴△DEF∽△DAQ，
∴ ，
∴2＝ AQ，
∴AQ＝5，
∴OQ＝5﹣1＝4；
当x＝4时，y＝2×4+2＝10，
∴D（4，10）．
（3）由（1）得，抛物线C 的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
1
将抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4向上平移4个单位得到的抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+8，即y＝﹣x2+2x+7，
∴抛物线C 的表达式为y＝﹣x2+2x+7．
3
由题意可知，正方形GHST与抛物线C 有相同的对称轴直线x＝1，
3
如图3，设H（t，0），则S（t，2t﹣2），
∴﹣t2+2t+7＝2t﹣2，
解得t ＝3，t ＝﹣3（不符合题意，舍去），
1 2
∴H（3，0）．
∴SH＝2（t﹣1）＝2×（3﹣1）＝4，
∴正方形的边长为4；
将△PSH绕点S顺时针90°得到△KST，取SK的中点R，连结TR、PR，则点K在GT上，
设PS＝KS＝t（t＞0），则TR＝SR＝ KS＝ t，
由旋转得，∠PSR＝90°，
∴PR＝ ＝ t，
∵PR+TR≥PT，
∴ t+ t≥PT，
∴ ，即 ，
∴ 的最小值为 ；
如图4，当 ＝ 时，则点R落在PT上.
设PT交SH于点L．
∵∠PSL＝∠TSR＝∠PTS，∠SPL＝∠TPS（公共角），
∴△PLS∽△PST，
∴ ＝ ，
∴SL＝4× ＝2 ﹣2；
∵∠KTS＝∠LST＝90°，ST＝TS（公共边），∠TSK＝∠STL，
∴△KST≌△LTS（ASA），
∴PH＝KT＝SL＝2 ﹣2，
∴OP＝3+2 ﹣2＝2 +1，
∴P（2 +1，0），
∴m＝2 +1．
故答案为：4，2 +1， ．12．（2021•社旗县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的
正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．
（1）求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，
①当点C首次落在抛物线上，求h的值．
②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．
【分析】（1）当x＝﹣1时，y＝2x2﹣8x+6＝16，故当﹣1≤x≤4时，x＝﹣1时，y取得最大值16，而
在顶点处取得最小值﹣2，即可求解；
（2）①当点C首次落在抛物线上，则y ＝4＝2x2﹣8x+6，解得x＝2 （舍去负值），则h＝x＝2
C
﹣ ；
②当点C首次落在抛物线上，h＝2﹣ ，当h＞2﹣ 时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y随x
的增大而减小，当h＝3时，即正方形运动到点（3，0）处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y
随x的增大而减小，当h＞3时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足 y随x的增大而减小，故
h≤3，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+6，
由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（2，﹣2），
当x＝﹣1时，y＝2x2﹣8x+6＝16，
故当﹣1≤x≤4时，x＝﹣1时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值﹣2，
∴y的最大值与最小值的差为16﹣（﹣2）＝18；
（2）①当点C首次落在抛物线上，y ＝4＝2x2﹣8x+6，解得x＝2 ，
C
因为点C首次落在抛物线上，x＝2+ 舍弃，
则h＝x＝2﹣ ；②当点C首次落在抛物线上，h＝2﹣ ，当h＞2﹣ 时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y随x
的增大而减小，
当h＝3时，即正方形运动到点（3，0）处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当h＞3时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故h≤3；
故2﹣ ＜h≤3．
13．（2021•越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+ 与x轴正半轴交于点
A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为
m，过点 P作PQ⊥l于点 Q；M是直线 l上的一点，其纵坐标为﹣m+ ，以 PQ，QM 为边作矩形
PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理
由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（4）分两种情形，如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧
部分全部扫描，当m≥4时，矩形你能覆盖抛物线在直线y＝4的右侧部分（包括m＝4），可得当3＜m
＜4时，矩形不能覆盖抛物线．
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣ x2+bx+ ，得到0＝﹣ +3b+ ，
解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+ ，
∴P（m，﹣ m2+m+ ），
∵M，Q重合，
∴﹣m+ ＝﹣ m2+m+ ，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣ x2+x+ ＝﹣ （x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+ ﹣（﹣ m2+m+ ）且﹣m+ ＞2，得m＜﹣
解得m＝1﹣ 或1+ （不合题意舍弃），
∴m＝1﹣ ．
（4）当m≤3和m≥4时，抛物线不能被覆盖，理由如下：
如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，
当m＝4时，点M与点Q重合，
当m≥4时，矩形你能覆盖抛物线在直线x＝4的右侧部分（包括m＝4），
∴抛物线被扫描部分自变量的取值范围为：x≤3或x≥4，
14．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；
（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c可求b、c的值即可．
（2）设出点p的坐标，根据面积关系列方程求解．
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作
NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．利用全等三角形的性质求出点M，N的坐标，再利用待定系数
法，构建方程求出m的值即可
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，
，解得 ，
∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．
（2）设P的纵坐标为y．
∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．
∴ （32+y2）＝ × ×3×|y|．
解得：y＝± 或＝±6．
∴点P的坐标为：P （0， ）或P （0，﹣ ）或P （0，6）或P （0，﹣6）．
1 2 3 4
（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．
∵四边形AMPN是正方形，
∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，
∵A（﹣3，0），P（0，m），
∴T（﹣ ， m），
∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，
∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，
∴∠PTE＝∠TNF，
∴△PET≌△TFN（AAS），
∴ET＝FN，PE＝TF，
同法可证△PET≌△TGM，
∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，
∴M（﹣ ﹣ ， + ），N（﹣ + ， ﹣ ），
当点M在抛物线上时， + ＝（﹣ ﹣ ）2+2（﹣ ﹣ ）﹣3，
解得m＝± ，
当点N在抛物线上时， ﹣ ＝（﹣ + ）2+2（﹣ + ）﹣3，
解得m＝2±
∴满足条件的点P的坐标是：（0， ）或（0，﹣ ）或（0，2﹣ ）或（0，2+ ）．
15．（2020•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的
左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；
（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、
F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线
的表达式．
【分析】（1）令y＝0，可求点B，点C坐标，通过配方可求点A坐标；
（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），分两种情况讨论，可求点D，点E
坐标，分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，
∴0＝x2+2x，
∴x ＝0，x ＝﹣2，
1 2
∴点B（﹣2，0），点C（0，0），
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴点A（﹣1，﹣1）；
（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），
∴点D（m﹣1，﹣1+n），
∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，
∴点E（0，m2﹣2m+n），
Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，
∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，
∴AE＝AD，∠EAD＝90°，
∴∠EAN+∠DAM＝90°，
∵∠AEN+∠EAN＝90°，
∴∠AEN＝∠DAM，
∴△AEN≌△DAM（AAS），
∴AN＝DM，EN＝AM，
∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），
∴n＝﹣1，m＝3，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；
Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，
同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，
∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，
∴m＝ ，n＝ ，
∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣ ）2﹣ ，
Ⅲ、当∠AED＝90°时，
同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；
综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣ ）2﹣ 或y＝（x﹣1）2
﹣1．
16．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+ 与x轴正半轴交于点A，且点A
的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P
作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+ ．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据点M与点P的纵坐标相等构建方程求解即可．
（3）根据PQ＝MQ，构建方程求解即可．
（3）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数
值y随x的增大而减小，则有﹣m+ ＜﹣ m2+m+ ，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，
抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中．当m＞4时，点M
在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中．
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣ x2+bx+ ，得到0＝﹣ +3b+ ，
解得b＝1．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+x+ ，
∴P（m，﹣ m2+m+ ），
∵M，Q重合，
∴﹣m+ ＝﹣ m2+m+ ，
解得m＝0或4．
（3）y＝﹣ x2+x+ ＝﹣ （x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m+ ﹣（﹣ m2+m+ ）且﹣m+ ＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣ 或1+ （不合题意舍弃），
∴m＝1﹣ ．
（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随
x的增大而减小，
则有﹣m+ ＜﹣ m2+m+ ，
∴m2﹣4m＜0，
解得0＜m＜4，
观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如
图4﹣1中，
当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，
当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，
综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．
17．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、
B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴和AB＝4，即可求得A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）根据题意得出| |＝2，即|c+a|＝2，即可得出 c＝±2﹣a，即可得到 y＝﹣
ax2+2ax±2﹣a，把A的坐标代入解析式即可求得a，进而求得c，从而求得抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c的对称轴为x＝﹣ ＝1，且AB＝4，
∴OB＝3，OA＝1，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
（2）∵点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，
∴MM′＝AB＝4，
∴| |＝2，即|c+a|＝2，
当c+a＝2时，c＝2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax+2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a+2﹣a＝0，解得a＝ ，c＝ ，
∴抛物线L的解析式为：y＝﹣ x2+x+ ；
当c+a＝﹣2时，c＝﹣2﹣a，
∴抛物线L为：y＝﹣ax2+2ax﹣2﹣a，
代入A（﹣1，0）得，﹣a﹣2a﹣2﹣a＝0，解得a＝﹣ ，c＝﹣ ，
∴抛物线L解析式为：y＝ x2﹣x﹣ ，
综上，抛物线L的解析式为y＝﹣ x2+x+ 或y＝ x2﹣x﹣ ．
18．（2021•龙马潭区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y
轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点
D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？
（3）点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求
出此时点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法确定抛物线解析式即可；
（2）求出直线BC的解析式为y＝ ．设P点坐标为（n， ），N点的坐标为（n，
），则PN＝ ，由锐角三角函数表示PM＝ PN，则由二次
函数的性质可得解；
（3）过点P作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，证明△PEG≌△CPK（AAS），得出CK＝PG，
设P（x， x2﹣ x﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1，则G（1， x2﹣ x﹣3），K（0， x2﹣ x
﹣3），可得出PG＝|1﹣x|，CK＝| x2﹣ x﹣3+3|＝| x2﹣ x|，解方程即可得解．
【解答】解：（1）依题意得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得： ，
∴y＝ x﹣3．
设P点坐标为（n， n﹣3），N点的坐标为（n， n﹣3），
∴PN＝ n，
∵PM⊥BC，PD⊥AB，
∴∠PMN＝∠PDB，
∵∠PNM＝∠BND，
∴∠MPN＝∠OBC，
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∴PM＝PN•cos∠MPN＝PN•cos∠OBC＝ PN，
∴PM+PN＝ PN＝﹣ n＝﹣ ．
即当n＝2时，PM+PN的值最大，此时P点坐标为（2，﹣3）．
（3）过点P作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，
∵四边形PEFC为正方形，∴PE＝PC，∠EPC＝90°
∵∠PGE＝∠PKC＝90°，
∴∠PEG＝∠CPK，
∴△PEG≌△CPK（AAS），
∴CK＝PG，
设P（x， x2﹣ x﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
则G（1， x2﹣ x﹣3），K（0， x2﹣ x﹣3），
∴PG＝|1﹣x|，CK＝| x2﹣ x﹣3+3|＝| x2﹣ x|，
∴|1﹣x|＝| x2﹣ x|，
解方程1﹣x＝ x2﹣ x得，x ＝ ，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
解方程x﹣1＝ x2﹣ x得，x ＝ ，x ＝﹣4（舍去）；
1 2
∴P点坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x ，y ），点Q的坐标为（x ，
1 1 2
y ），且x ≠x ，y ≠y ，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该
2 1 2 1 2
矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0）．
①若点B的坐标为（2，5），求点A，B的“相关矩形”的周长；
②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线 y＝x2+mx+n经过点A和点
C，求抛物线y＝x2+mx+n与y轴的交点D的坐标；
（2） O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在 O上存在一点F，使得点E，
F的“⊙相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围． ⊙【分析】（1）①根据矩形的性质求出点C的坐标，进而得出BC，AC即可得出结论；
②先确定出点C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）当点F在y轴右侧，且在x轴下方时，点E的横坐标大，进而得出点 E的横坐标为OG+ME＝
OG+MF＝OG+MG+FG＝OG+3+FG＝m+ +3，进而确定出点E的横坐标的最大值，同理：得出
点E的横坐标的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1，
∵矩形ACBD是点A，B的“相关矩形”，
∴AD∥CB，
∵点A（1，0），B（2，5），
∴点C（2，0），BC＝5，
∴AC＝2﹣1＝1，
∴点A，B的“相关矩形”的周长为2（AC+BC）＝2×（1+5）＝12；
②如图2，
∵点C在直线x＝3上，
∴点C的横坐标为3，
∵点A（1，0），C的“相关矩形”为正方形，
∴BC∥AD，AB＝BC，
∴点B的坐标为（3，0），
∴BC＝AB＝3﹣1＝2
∴点C的坐标为（3，2）或（3，﹣2），
∵抛物线y＝x2+mx+n经过点A和点C，
∴ 或∴ 或
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2或y＝x2﹣5x+4，
令x＝0，则y＝2或y＝4
∴点D的坐标为（0，2）或（0，4）；
（2）如图3，
当点F在y轴的右侧时，点E在点M的右侧时，点E的横坐标大，连接OM，OF，
设OG＝m，
∵点E，F的“相关矩形”为正方形，
∴FM＝ME，
∵点E在直线y＝3上，
∴MG＝3，
在Rt△OGF中，FG＝ ＝ ，
∴点E的横坐标为OG+ME＝OG+MF＝OG+MG+FG＝OG+3+FG
＝m+ +3
＝（ ﹣ ）2+2 +3
≥2 +3（当且仅当 ＝ 时，取等号），
即m＝2 时，点E的横坐标为（OG+ME）
最大
＝（m+ ） 最大+3＝4 +3，
∴点E的横坐标最大是4 +3，
由圆的对称性得，点E的横坐标的最小值为﹣（4 +3），
即点E的横坐标的范围是大于等于﹣（4 +3）而小于等于（4 +3）．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的
左侧），在线段AB上取两点M、N（点M不与点A重合），点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，
点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为
这条抛物线的“抛物线矩形．”
（1）若抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为（0，0），则点N的坐标
为 （ 2 ， 0 ） ，点P的坐标为 （ 0 ，﹣ 6 ） ，点Q的坐标为 （ 2 ，﹣ 6 ） ．
（2）当抛物线y＝﹣x2+bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为（﹣2，0），求b的值．
（3）设抛物线y＝x2+4x﹣6的抛物线矩形MPQN的周长为C．点M的横坐标为m，求C与m之间的函
数关系式．
（4）将抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90°后，边MN
恰好落在y轴上，若MN＝2，直接写出a的值．【分析】（1）先根据抛物线解析式求出点A，B的坐标及对称轴，由对称性及矩形的性质即可写出所求
点的坐标；
（2）由题意判断抛物线对称轴在y轴左侧，画出草图，由点M的坐标及正方形的性质写出点Q坐标，
将其代入y＝﹣x2+bx即可求出b的值；
（3）由抛物线解析式画出图形，求出对称轴，设出点 M的坐标，写出N，P的坐标，求出MN，MP的
长度，即可求出C与m之间的函数关系式；
（4）先求出抛物线与x轴交点坐标，设出点M坐标，分a＞0和a＜0两种情况分别写出P，Q的坐标，
代入抛物线y＝ax2﹣6ax+5a即可求出a的值．
【解答】解：（1）在抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）中，
当y＝0时，
x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∵A在B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵M（0，0），且MP⊥x轴交抛物线于点P，
∴P（0，﹣6），
抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的对称轴为x＝ ＝1，
又∵点M，N关于x＝1对称，
∴N（2，0），Q（2，﹣6），
故答案为：（2，0），（0，﹣6），（2，﹣6）；（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx经过原点，且M（﹣2，0），
∴抛物线对称轴在y轴左侧，
如图2，
∵M（﹣2，0），
∴P（﹣2，﹣4﹣2b），
∵四边形MPQN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ＝PM，
∴Q（﹣6﹣2b，﹣4﹣2b），
将点Q（﹣6﹣2b，﹣4﹣2b）代入y＝﹣x2+bx中，
得﹣（﹣6﹣2b）2+b（﹣6﹣2b）＝﹣4﹣2b，
解得，b ＝﹣2，b ＝﹣ （舍去），
1 2
∴b的值为﹣2；
（3）如图3，y＝x2+4x﹣6
＝（x+2）2﹣10，
∴抛物线对称轴为x＝﹣2，
设M（m，0），
则N（﹣4﹣m，0），P（m，m2+4m﹣6），
∴MN＝﹣4﹣2m，MP＝﹣m2﹣4m+6，
∴C＝2（MN+MP）
＝﹣2m2﹣12m+4，
∴C＝﹣2m2﹣12m+4；
（4）将y＝0代入抛物线y＝ax2﹣6ax+5a，
得，ax2﹣6ax+5a＝0，
解得，x ＝1，x ＝5，
1 2
∴A（1，0），B（5，0），
①当a＞0时，如图4﹣1，
∵将抛物线矩形顺时针旋转90°，边MN恰好落在y轴上，
∴MP＝MO，
设M（m，0），
则N（m+2，0），
∴P（m，﹣m），Q（m+2，﹣m），
将P（m，﹣m），Q（m+2，﹣m）分别代入y＝ax2﹣6ax+5a，得， ，
解得： ；
②当a＜0时，如图4﹣2，
设M（m，0），
则N（m+2，0），
∴P（m，m），Q（m+2，m），
将P（m，m），Q（m+2，m）分别代入y＝ax2﹣6ax+5a，
得， ，
解得： ，综上所述，a的值为 或﹣ ．
21．（2022•抚顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于点A
（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）求△BCD的面积；
（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，
使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）方法一：如图1，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，运用待定系数法求得直线BC的解析式y＝
，得出：H（3， ），DH＝ ﹣（﹣ ）＝ ，由S△BCD ＝S△DHB +S△DHC ，即可求得答案；方
法二：设直线DC交x轴于点K，可求得直线DC的解析式为y＝ x﹣2，得出K（ ，0），BK＝5﹣
＝ ，由S△BCD ＝S△CKB +S△DKB ，即可求得答案；
（3）设点M的坐标为（x， ），分情况画出图形，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（1，0），B（5，0）两点
∴ ，
解得： ，∴抛物线的解析式是 ，
∵ ＝ ，
∴顶点D的坐标是（3， ）；
（2）方法一：如图1，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，
设直线BC的解析式y＝kx+d，
∵B（5，0），C（0，﹣2），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式y＝ ，
当x＝3时，y＝ ×3﹣2＝﹣ ，
∴H（3， ），
∴DH＝ ﹣（﹣ ）＝ ，
∴S△BCD ＝S△DHB +S△DHC ＝ ；
方法二：如图1，设直线DC交x轴于点K，设直线DC的解析式为y＝mx+n，把D（3， ），C（0，
﹣2）代入得： ，
解得： ，
∴直线DC的解析式为y＝ x﹣2，
令y＝0，得 x﹣2＝0，解得：x＝ ，
∴K（ ，0），
∴BK＝5﹣ ＝ ，
∴S△BCD ＝S△CKB +S△DKB ＝ × ×（ +2）＝6；
（3）存在．设点M的坐标为（x， ），
分以下四种情况：①（一）如图 2，图 3，过点 M 作对称轴 x＝3 的垂线，垂足为 H，过点 A 作
AG⊥MH于点G，
则∠AGM＝∠MHI＝90°，
∴∠AMG+∠MAG＝90°，
∵四边形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMG+∠IMH＝90°，
∴∠MAG＝∠IMH，
在△GAM和△HMI中，
，
∴△GAM≌△HMI（AAS），
∴AG＝MH，
即 ＝3﹣x，解得x＝ ，
∴M点的坐标为（ ， ）或（ ， ）；
②如图4，过点M作PQ∥x轴交对称轴于点Q，过点A作AP⊥PQ于点P，
如图5，过点M作PQ∥y轴交x轴于点P，过点I作IQ⊥PQ于点Q，
则∠APM＝∠MQI＝90°，
∴∠PAM+∠AMP＝90°，
∵四边形AMIN是正方形，
∴AM＝MI，∠AMI＝90°，
∴∠AMP+∠IMQ＝90°，
∴∠PAM＝∠IMQ，
在△MAP和△IMQ中，
，
∴△MAP≌△IMQ（AAS），
∴AP＝MQ，
即 ＝3﹣x，
解得：x＝ ，
∴M点的坐标为（ ， ）或（ ， ），
③如图6，当点M与点B重合时，四边形ANMI是矩形，此时M（5，0）；④如图7，当点M与点C重合时，四边形AMNI是正方形，此时M（0，﹣2）；
⑤如图8，过点M作对称轴的垂线，垂足为L，设对称轴交x轴于点K，
则△ATK≌△IBL（AAS），
∴AK＝LI，KI＝BL，
∴﹣ x2+ x﹣2+x﹣3＝2，
解得：x ＝5，x ＝ ，
1 2
∴M（ ， ）；
⑥如图9，过点M作MH⊥x轴于点H，设对称轴交x轴于点K，
则△AIK≌△MAH（AAS），∴AK＝MH，
∴ x2﹣ x+2＝2，
解得：x＝0（舍去）或6，
∴M（6，﹣2）；
⑦如图10，过点M作MH⊥对称轴于点H，设对称轴交x轴于点K，
则△AIK≌△IMH（AAS），
∴IH＝AK＝2，MH＝KI，
∴ x2﹣ x+2＝2+3﹣x，
解得：x＝5（舍去）或x＝﹣ ，
∴M（﹣ ，﹣ ）；
综上所述，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）或（ ， ）或（5，0）或（0，﹣2）或（ ， ）或（6，﹣2）或（﹣ ，﹣ ）．
22．（2022•新化县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于
点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不
存在，请说明理由．
【分析】（1）由OC＝3得C（0，3），可得函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣
4x+3），将C（0，3）代入即可求解；
（2）AM＝MB＝AB•sin45°＝ ＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，即可求解；
（3）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝ CQ，AQ+ QC
最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．
【解答】（1）解：函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D（2，﹣1）；（2）证明：∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AM＝MB＝AB•sin45°＝ ，
∵AD＝BD＝ ＝ ，
∴AM＝MB＝AD＝BD，
∴四边形ADBM为菱形，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
（3）解：存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作AH⊥CH，垂足为H，交OC于点Q，
则HQ＝ CQ，AQ+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
∵∠HCQ＝30°，
∴直线HC所在表达式中的k值为 ，
∴直线HC的表达式为：y＝ x+3…①，
则直线AH所在表达式中的k值为﹣ ，
则直线AH的表达式为：y＝﹣ x+s，将点A的坐标代入并解得：s＝ ，
则直线AH的表达式为：y＝﹣ x+ …②，联立①②并解得：x＝ ，
故点H（ ， ），
∵点A（1，0），
则AH＝ ，
即：AQ+ QC的最小值为 ．
23．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞
0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B
在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
（1）如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若 ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
（2）▱当b＝2时， ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
▱
【分析】（1）①连接OA，交BD于点P，如图1，由平行四边形的性质可得PA＝PO，进而得出P（
， + ），由CD∥x轴，可得 + ＝c，即可证得结论；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E（ ，0），由矩形性质可得OA＝BD，建立方程求解即
可得出答案；（2）如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，可得
抛物线顶点A（1，c+1），若四边形ABOD是正方形，则GA＝GO，OA⊥BD，即BD是OA的垂直平分
线，可得出c＝ ，y＝﹣x2+2x+ ，运用待定系数法求得直线CG的解析式为y＝（1﹣ ）x+ ，
进而得出点D（1+ ， ﹣1），利用两点间距离公式求得：DG2＝（1+ ﹣ ）2+（ ﹣1﹣
）2＝5﹣ ，OA2＝1+（ +1）2＝4+2 ，比较得出OA≠2DG，故当b＝2时， ABOD不
可能是正方形． ▱
【解答】解：（1）①∵y＝﹣x2+bx+c＝﹣（x﹣ ）+ +c，
∴顶点A（ ， +c），C（0，c），
连接OA，交BD于点P，如图1，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴PA＝PO，
∴P（ ， + ），
∵CD∥x轴，
∴ + ＝c，
∴b2＝4c；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，
则E（ ，0），
∴OE＝ ，AE＝ +c＝ + ＝ b2，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝ ，∴D（b，c），
∴PD＝b﹣ ＝ b，
∴BD＝2PD＝ b，
∵ ABOD是矩形，
∴▱OA＝BD，
∴OA2＝BD2，
∴OE2+AE2＝BD2，
∴（ ）2+（ b2）2＝（ b）2，
∴ + ＝ b2，即b2（b﹣2 ）（b+2 ）＝0，
∵b＞0，
∴b＝2 ，
∴c＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2 x+2；
（2）当b＝2时， ABOD不可能是正方形．
理由如下：如图2，▱连接OA，交BD于点G，连接AC，
当b＝2时，y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∴抛物线顶点A（1，c+1），
若四边形ABOD是正方形，
则GA＝GO，OA⊥BD，
即BD是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC，
∴AC2＝OC2，
∴（1﹣0）2+（c+1﹣c）2＝c2，
∵c＞0，
∴c＝ ，
∴y＝﹣x2+2x+ ，∴A（1， +1），G（ ， ），C（0， ），
设直线CG的解析式为y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线CG的解析式为y＝（1﹣ ）x+ ，
令（1﹣ ）x+ ＝﹣x2+2x+ ，
解得：x＝0（舍去）或x＝1+ ，
∴D（1+ ， ﹣1），
∴DG2＝（1+ ﹣ ）2+（ ﹣1﹣ ）2＝5﹣ ，
OA2＝1+（ +1）2＝4+2 ，
若四边形ABOD是正方形，则OA＝2DG，即OA2＝4DG2，
但4DG2＝4×（5﹣ ）＝20﹣2 ≠4+2 ＝OA2，
即OA≠2DG，
故当b＝2时， ABOD不可能是正方形．
▱24．（2022•于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象交y轴于点D，直线
AB与之相交，且A（1，﹣ ）是抛物线y＝ x2+bx+c的顶点．
（1）b＝ ﹣ 1 ，c＝ ﹣ 4 ；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C，连接PC．
①求直线PB的解析式；
②求PC的长；
（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形
BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
【分析】（1）设抛物线为顶点式，用待定系数法求得函数解析式即可求出b，c的值；
（2）①先求出直线AD的函数解析式，根据BP∥AD和B点的坐标即可求出直线PB的解析式；
②根据两点间距离公式可求出PC的长；
（3）先设出点Q的坐标，再利用三角形全等用含点Q横坐标的式子表示E、F的坐标，最后根据点
E、F在抛物线对称轴上时横坐标为1求出点Q的横坐标，进而求得点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵A（1，﹣ ）是抛物线y＝ x2+bx+c的顶点，∴抛物线的解析式为y＝ （x﹣1）2﹣ ＝ x2﹣x﹣4，
∴b＝﹣1，c＝﹣4，对称轴为：x＝1，
故答案为：b＝﹣1，c＝﹣4；
（2）①当x＝0时，y＝ x2﹣x﹣4＝﹣4，
∴D点坐标为（0，﹣4），
设直线AD的函数解析式为y＝kx﹣4，
把A（1，﹣ ）点的坐标代入得k＝ ，
∴直线AD的函数解析式为y＝﹣ x﹣4，
由于BP∥AD，故可设直线BP的函数解析式为：y＝﹣ x+b，
又BP经过点B，
得：﹣ ×（﹣2）+b＝0，
解得：b＝﹣1，
从而BP的解析式为y＝﹣ x﹣1；
②解方程组： ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为（3，﹣ ），
令0＝ x2﹣x﹣4，
解得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴点C（4，0），
∴PC＝ ＝ ；（3）设点Q的坐标为（a，b），过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM于点M，过点F作
FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K，
则△BMQ≌△QNF≌△EKB，
∴NF＝KB＝MQ＝|a+2|，QN＝EK＝BM＝|b|，
∴点F的坐标为（a﹣b，a+b+2），
点E的坐标为（﹣2﹣b，a+2），
当点F在抛物线的对称轴上时，a﹣b＝1，
∴a﹣（ a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝2﹣ （舍去正值），
得点Q的坐标为（2﹣ ，1﹣ ），
当点E在抛物线的对称轴上时，﹣2﹣b＝1，
∴﹣2﹣（ a2﹣a﹣4）＝1，
解得：a＝1﹣ （舍去正值），
得点Q的坐标为（1﹣ ，﹣3）．
故点Q的坐标为：（2﹣ ，1﹣ ）或（1﹣ ，﹣3）．
