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专题 09 几何中的最值问题
几何压轴题中的最值问题，是历年各地中考中的高频考点，其主要类型包括面积的最值问题、线段的最
值问题、角度的最值问题，由于面积的最值问题在上一个专题中已有涉及，所以本主题主要探究的是线段
的有关最值问题。
解决线段的最值问题，从方法上来说主要有几何法和函数法两大方法：
几何法：总的思路是对线段的最值问题进行转化，多数情况下当三点位于同一条直线上时，取得最值，理
论依据主要是两点之间线段最短。再具体的考题中我们可以根据题目的图形、条件或者问题的问法等，再
将最值问题进行细化，将问题抽象成我们常见的几种模型，从而使问题得到解决。例如抽象为：将军饮马
模型、瓜豆原理、胡不归模型、费马点模型以及阿氏圆模型等。
函数法：可以利用坐标法，将所求的线段长度用坐标的方式表示出来，之后利用最值模型求解。
（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）（1）如图1， 和 是等腰直角三角形， ，
点C在 上，点D在线段 延长线上，连接 ， ．线段 与 的数量关系为______；
（2）如图2，将图1中的 绕点O顺时针旋转 （ ）第一问的结论是否仍然成立；如果
成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
（3）如图3，若 ，点C是线段 外一动点， ，连接 ，
①若将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的最大值______；
②若以 为斜边作 ，（B、C、D三点按顺时针排列）， ，连接 ，当
时，直接写出 的值．（1）由题意易得 ， ， ，然后可证 ，进而问题可求
解；
（2）由题意易得 ， ，然后可证 ，进而问题可求证；
（3）①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得 ，则当A、C、D三点共线时取最
大，进而问题可求解；②过点C作 于点E，连接 ，过点B作 于点F，然后可得点
C、D、B、E四点共圆，则有 ，设 ， ，则 ， ，
，进而根据勾股定理可进行方程求解．
【答案】（1） ；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）① ，② ．
【详解】解：（1） ，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
故答案为： ；
（2）结论仍成立，理由如下：
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，∴ ，
；
（3）①如图，
由题意得： ， ，
根据三角不等关系可知： ，
∴当A、C、D三点共线时取最大，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
的最大值为 ；
②过点C作 于点E，连接 ，过点B作 于点F，如图所示：
∴ ，
∴点C、D、B、E四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，设 ， ，则 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴在 和 中，
由勾股定理得： ，整理得： ①；
在 中，由勾股定理得： ，整理得： ②，
联立①②得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴ ，
过点E作 于点M，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质，
熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、四点共圆及含30度直角三角形的性质是解题
的关键．
（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 ．他先
将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 上，点B的对应点为点E，折痕为 ；再沿过点F的直线
折叠，使点C落在 上，点C的对应点为点H，折痕为 ；然后连结 ，沿 所在的直线再次折
叠，发现点D与点F重合，进而猜想 ．
【问题解决】
(1)小亮对上面 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2) 的度数为________度， 的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段 上，且 ，点Q在线段 上，连结 、 ，如图②，设
，则 的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
（1）根据折叠的性质可得AD=AF， ，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明 是等腰直角三角形，可求出GF的长，从
而可得结论 ；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，
求出PR=AR= ，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【详解】（1）证明：四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠可知， ， ．
∴ ．
∴ ．
由折叠得， ，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由 得，∠
∠
又∠
∴∠∴∠
∴
设 则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作 交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在 中，∴
∴ 的最小值为
本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知
识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD中， ， ．点E是线段AD上的动点
（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作 ，交AB于点F．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接CF，过点B作 ，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求 的最小值；
②当 取最小值时，求线段DE的长．
（1）证明出 即可求解；
（2）①连接AM．先证明 ．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当
A，G，M三点共线时， ．此时， 取最小值．在 中利用勾股定理即可求
出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作 交FC于点N，即有
，进而有 ．设 ，则 ， ．再根据 ，得到 ，得到 ，则有 ，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：
过点G作 交BC于点H．即有 ．则有 ，根据 ，可得
，进而求出 ， ．由 得 ，即可求出AF．求出AF
之后，由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，即有 ，解得解方程即可求出
DE．
【答案】(1)见解析
(2)①5；② 或
【详解】（1）证明：如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①解：如图2-1，连接AM．∵ ，
∴ 是直角二角形．
∴ ．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： ，
当A，G，M三点共线时， ．
此时， 取最小值．在 中， ．
∴ 的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 交FC于点N，
∴ ．
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
由①知 的最小值为5、即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，解得 ，即 ．
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作 交BC于点H．
∴ ．
∴ ，
由①知 的最小值为5，即 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
由 得 ，
∴ ，即 ，
解得 ．
∴ ．
由（1）的结论可得 ．设 ，则 ，
∴ ，
解得 或 ．
∵ ， ，
∴ 或 ．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握
相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
1．（2022·贵州遵义·统考二模）如图1，四边形ABCD为正方形， ， 为等腰直角三角形，E
在BA的延长线上，点F在AD上， ， ．如图2，将 绕点A顺时针旋转x度（
）得到 ．
(1)如图2，连接 ， ，判断线段 与线段 之间的关系，并说明理由；
(2)如图3，连接 ，若 ，求 的最小值和最大值；
(3)如图4，直线 与直线 交于点N，连接CN，若 ，求CN的长．
2．（2022·陕西延安·统考二模）点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=3，如图1，将正方形
ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．思考探索
(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．
①点B'在以点E为圆心， 的长为半径的圆上；
②B'M=______；
拓展延伸
(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD
内部或边上，连接AB'．
①△ABB'面积的最大值为______；
②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．
3．（2022·河南南阳·统考二模）如图①②， 和 均为直角三角形， ，
， ，点C在边EF的延长线上， ，射线EM与AD交于点
M， （ ）．
(1)如图①，当点B落在射线EF上时，EM与BA的延长线相交于点G，则 ______．
(2)如图②，把 绕点C逆时针旋转 度（ ）， 的值是否保持不变？请仅就图②给出
你的证明．(3)若 ，在 绕点C旋转过程中，直接写出线段AD的最大值和最小值．
4．（2022·浙江金华·校联考模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，点E在对角线AC
上，点F在射线CB上运动，连接EF，作∠FEG＝60°，交直线DC于点G．
(1)在线段BC上取一点T，使CE=CT，求证：FT=CG；
(2)图中AB＝7，AE＝1．
①点F在线段BC上，求 EFG周长的最大值和最小值；
②记点F关于直线AB的轴对称点为点N．若点N不能落在∠EDC的内部（不含边界），求CF的取值范
围．
5．（2022·河北唐山·统考二模）问题情境：
在数学课上，老师给出了这样一道题：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的长．
探究发现：
（1）如图2，勤奋小组经过思考后发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利
用直角三角形的性质可求BC的长，其解法如下：
过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H，则 ．
△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……请你根据勤奋小组的思路，完成求解过程．
拓展延伸：
（2）如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接
BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；
（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度不
断变化，直接写出AF的最大值和最小值．
6．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，
已知正方形的边长为 ， ．
(1)如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．
(2)如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；
(3)如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若 ，求GC的长．
7．（2022·广东·统考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且
AQ=1，证明：PB=2PQ；
（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求
2PC+PB的最小值；
（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动
点，求2PC−PB的最大值．
