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专题09 二元一次方程组
一、解二元一次方程组
【高频考点精讲】
1．用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤
（ ）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
（1）将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（2）解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
（3）将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值；
4
（ ）把求得的x、y的值写在一起，用 的形式表示，就是方程组的解。
5
2．用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤
（ ）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，
使某1 一个未知数的系数相等或互为相反数；
（ ）把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（2）解这个一元一次方程，求得x（或y）的值；
（3）将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；
4
（ ）把求得的x、y的值写在一起，用 的形式表示，就是方程组的解。
5
【热点题型精练】
1．（2022•株洲中考）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
解： ，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
答案：B．
2．（2022•贵阳模拟）小明在解关于x，y的二元一次方程组 时，得到了正确结果 ，后来发现
△和□处被墨水污损了，则△，□处的值分别是（ ）A．Δ＝2，□＝2 B．Δ＝1，□＝2 C．Δ＝2，□＝1 D．Δ＝1，□＝1
解： ，
①+②得4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1，y＝1代入①得1+Δ＝3，
所以Δ＝2，
即Δ＝2，□＝1．
答案：C．
3．（2022•沈阳模拟）若实数a，b满足|a+b﹣2|+ ＝0，则a+3b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵|a+b﹣2|+ ＝0，
∴ ，
①+②得：2a＝2，
解得：a＝1，
①﹣②得：2b＝2，
解得：b＝1，
则a+3b＝1+3＝4．
答案：D．
4．（2022•无锡中考）二元一次方程组 的解为 ．
解： ，
由②得：y＝2x﹣1③，
将③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，
解得：x＝2，
将x＝2代入③得：y＝3，
∴原方程组的解为 ．答案： ．
5．（2022•安顺中考）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 5 ．
解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，
则a＝2，
故a+b＝5．
答案：5．
6．（2022•随州中考）已知二元一次方程组 ，则x﹣y的值为 1 ．
解：∵ ，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
答案：1．
7．（2022•淄博中考）解方程组： ．
解：整理方程组得 ，
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
∴方程组的解为 ．
8．（2022•南宁模拟）阅读下列材料，并回答问题：
【情境1】：小红在研究学习无理数时发现：
①任意一个有理数与无理数的和为无理数；
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；
③零与无理数的积为零．【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：
若ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，则a＝0且b＝0．
例如：若 ，其中a，b为有理数，则a＝0，b＝0．
【情境 3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：
，其中a，b为有理数．分析：通过变形，得： ．
又a，b为有理数，∴ 解得： ．
运用上述知识解决下列问题：
（1）已知 ，其中a，b为有理数，则a＝ 2 ，b＝ ﹣ 1 ；
（2）已知 ，其中a，b为有理数，求ab+2的值．
解：（1）∵（a﹣2）• +b+1＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1；
答案：2，﹣1；
（2）已知等式整理得：（a+b） +2a﹣b﹣9＝0，
∴a+b＝0，2a﹣b＝9，
解得：a＝3，b＝﹣3，
则原式＝3﹣3+2＝3﹣1＝ ．
二、由实际问题抽象出二元一次方程组
【高频考点精讲】
1．由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出
题目中的相等关系；
2．一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：
（ ）方程两边表示的是同类量；
（1）同类量的单位要统一；
（2）方程两边的数值要相符。
3．3找等量关系是列方程组的关键和难点，有以下规律和方法：
（ ）如果题目中国给出的条件由“；”分割成两部分，可以在“；”前、后找出对应的等量关系。
1（ ）如果题目中借助表格提供信息，可以将信息进行横向或纵向对比，找出对应的等量关系；
（2）如果题目中给出图形，可以分析图形的长、宽，找出对应的等量关系。
【3热点题型精练】
9．（2022•深圳中考）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，
就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x根，
下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，
根据题意可列方程组为： ．
答案：C．
10．（2022•日照中考）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，
引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子
还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得 ．
答案：D．
11．（2022•宁夏中考）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各
几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：人数、物价各多少？设有x人，物价为y钱，则可列方程组为 ．
解：∵每人出八钱，余三钱，
∴8x﹣y＝3；
∵每人出七钱，差四钱，
∴y﹣7x＝4．
∴可列方程组为 ．
答案： ．
12．（2022•无锡模拟）某商店购进A、B两种商品共50件，已知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且
将这两种商品销售完毕共可获利660元．设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程
组 ．
商品类别 进货单价（元/件） 销售单价（元/件）
A 30 40
B 40 55
解：设商店购进A种商品x件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组 ．
答案： ．
三、列二元一次方程组解决实际问题
【高频考点精讲】
1．审题：找出已知条件和未知量以及它们之间的关系；
2．设元：找出题目中两个关键的未知量，并用字母表示出来，直接设元与间接设元；
3．列方程组：找出题目中的两个等量关系，列出方程组；
4．求解；
5．检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答。
【热点题型精练】
13．（2022•宜昌中考）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可
以满载游客的人数为（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，
依题意得： ，
①+②得：3x+3y＝78，
∴x+y＝26，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
答案：B．
14．（2022•武汉中考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9个数
填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．
图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴ ，
解得： ，
∴x+y＝12，
答案：D．
15．（2022•保定模拟）可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图 1方式
放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ）A．（a﹣b）cm B． cm C．（ +b）cm D． m
解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，桌子的高度是hcm，
依题意得： ，
解得：h＝ ，
答： cm．
答案：B．
16．（2022•湖北中考）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车
一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23. 5 吨．
解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得： ，
得：4x+3y＝23.5；
答案：23.5．
17．（2022•枣庄中考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊
共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊
共值金 两．
解：设每头牛x两，每只羊y两，
根据题意，可得 ，
∴7x+7y＝18，
∴x+y＝ ，∴1头牛和1只羊共值金 两，
答案： ．
18．（2022•重庆中考）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，
这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为
2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结
果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
解：根据题意，如表格所设：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 5y﹣4x 5y
乙 3x 6y﹣3x 6y
丙 9x 7y﹣9x 7y
∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，
∴ ，
∴y＝2x，
故数量可如下表：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 6x 10x
乙 3x 9x 12x
丙 9x 5x 14x
所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，
设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b，
由题意得，
[16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b，
∴12a+25b＝16a+20b，
∴4a＝5b，
设a＝5k，b＝4k，
∴ ＝ ，
答案： ．19．（2022•泰安中考）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；
第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．
求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得： ，
解得： ．
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
20．（2022•安徽中考）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口
额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.2 5 x +1. 3 y
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，
答案：1.25x+1.3y；
（2）由题意可得，
，
解得 ，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
四、三元一次方程组的应用
【高频考点精讲】
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关
系列几个方程。
1．把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础；2．通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。
【热点题型精练】
21．（2022•哈尔滨模拟）小明妈妈到文具店购买三种学习用品（每种至少买一件），其单价分别为2元、4元、6
元，购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些
学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法．（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：设分别购买学习用品x、y、z，
{ 2x+4 y+6z=56①
则有： ，
1.5x+3.5 y+5.5z=50②
①﹣②得：x+y+z＝12 ③，
又x+2y+3z＝28 ④，
∴④﹣③得：y+2z＝16，
方案一：y＝2，z＝7，x＝3．
方案二：y＝4，z＝6，x＝2
方案三：y＝6，z＝5，x＝1
答案：D．
22．（2021•重庆中考）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销
售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，
其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接
口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音
箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷
你音箱的成本之和），则C盒的成本为 15 5 元．
解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C
盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；
∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），
∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，
1 3
∴B盒中有多接口优盘10× =5（个），蓝牙耳机有5× =3（个），迷你音箱有10﹣5﹣3＝2（个），
2 3+2
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，
{2a+3b+c=145①
由题知： ，
3a+5b+2c=245②
∵①×2﹣②得：a+b＝45，
②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），
答案：155．
23．（2022•南宁模拟）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实
数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算
量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，
如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
{2x+ y=10
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝ 2 ，x+y＝ 6 ；
x+2y=8
（2）某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3
本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．
已知3*5＝12，4*7＝24，求1*1的值．
{2x+ y=10①
解：（1） ，
x+2y=8②
由①﹣②可得x﹣y＝2；
1
由 （①+②）可得x+y＝6．
3
故答案为：2；6．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
{10m+4n+2p=28①
依题意得： ，
19m+7n+3p=48②
由2×①﹣②可得m+n+p＝8．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元．
{3a+5b+c=12①
（3）依题意得： ，
4a+7b+c=24②
由3×①﹣2×②可得a+b+c＝﹣12，
即1*1＝a+b+c＝﹣12．
