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专题 09 平面直角坐标系与函数（11 个高频考点）（举一反三）
【考点1 有序数对】...............................................................................................................................................1
【考点2 点的坐标】...............................................................................................................................................4
【考点3 点所在的象限】.......................................................................................................................................7
【考点4 点在坐标系中的平移】...........................................................................................................................9
【考点5 坐标与图形】.........................................................................................................................................12
【考点6 点的坐标规律探索】.............................................................................................................................17
【考点7 常量与变量】.........................................................................................................................................22
【考点8 函数的概念】.........................................................................................................................................24
【考点9 函数的解析式】.....................................................................................................................................26
【考点10 自变量和函数值】.................................................................................................................................28
【考点11 函数的图象】.........................................................................................................................................31
【要点1 平面直角坐标系的相关概念】
（1）建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
（2）各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三
象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【考点1 有序数对】
【例1】（2022·贵州六盘水·中考真题）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚
咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚
咚”时，表示的动物是（ ）A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【答案】B
【分析】根据题意“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示(2,2)，(1,1)，(3,1)
对应的字母为“DOG”，则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示(2,1)，(3,2)，(1,3)，对应
表格中的“CAT”，即可求解．
【详解】解：∵“咚咚－咚咚，咚－咚，咚咚咚－咚”表示的动物是“狗”，表示(2,2)，(1,1)，(3,1)对
应的字母为“DOG”，
则“咚咚－咚，咚咚咚－咚咚，咚－咚咚咚”表示(2,1)，(3,2)，(1,3)，对应表格中的“CAT”， 表示
的动物是“猫”．
故选B．
【点睛】本题考查了有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．
【变式1-1】（2022·山东烟台·中考真题）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，
“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．
【答案】（4，1）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．
【变式1-2】（2022·四川眉山·中考真题）将一组数√2，2，√6，2√2，…，4√2，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，2√2；
√10，2√3，√14，4；
…
若2的位置记为(1,2)，√14的位置记为(2,3)，则2√7的位置记为________．
【答案】(4,2)
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得2√7的位置即可．
【详解】数字可以化成：
√2，√4，√6，√8；
√10，√12，√14，√16；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵2√7=√28，28是第14个偶数，而14÷4=3⋯2
∴2√7的位置记为(4,2)
故答案为：(4,2)
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
【变式1-3】（2022·上海·位育中学模拟预测）定义：直线l 与l 相交于点O，对于平面内任意一点M，点
1 2
M到直线l ，l 的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离
1 2
坐标”是（1，2）的点的个数共有______个．
【答案】4
【分析】根据“距离坐标”和平面直角坐标系的定义分别写出各点即可.【详解】距离坐标是（1,2）的点有（1,2），（-1,2），（-1，-2），（1，-2）共四个，所以答案填写4.
【点睛】本题考查了点的坐标，理解题意中距离坐标是解题的关键.
【要点2 点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐
标相同.
【考点2 点的坐标】
【例2】（2022··模拟预测）已知点A在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为
（ ）
A．(2,4) B．(−2,−4) C．(−4,−2) D．(4,−2)
【答案】D
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，
到y轴的距离等于其横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点A在第四象限，且到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，
∴点A的横坐标是4，纵坐标是−2，
∴点A的坐标是(4,−2)．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝
对值是解题的关键．
【变式2-1】（2022·浙江杭州·一模）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点
P的坐标为(−1，2)，点Q的坐标为(−3，−1)，则坐标原点为（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C
【分析】根据点P和点Q的坐标确定其所在的象限和其与原点的相对位置关系，依此绘制直角坐标系两轴，
从而确定坐标原点．
【详解】解：∵P(−1，2)，
∴点P在第二象限，
∴原点在点P的右方1个单位，下方2个单位处，
∵Q(−3，−1)，
∴点Q在第三象限，
∴原点在点Q的右方3个单位，上方1个单位，
如图，
∴点C符合．
故选C.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是根据已知点的坐标得出其与原点的相对位置关系．
【变式2-2】（2022·陕西·西安市远东一中一模）已知抛物线C:y=x2−4mx+m−3，其顶点为D，若点D
到x轴的距离为3，则m的值为（ ）
1 3 1 1 3
A．0或 B． C．− D． 或−
4 4 2 2 4
【答案】A
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为(2m,−4m2+m−3)，根据点D到x轴的距离为3，得到
|−4m2+m−3|=3，由此求解即可．
【详解】抛物线的解析式为，
C:y=x2−4mx+m−3=x2−4mx+4m2−4m2+m−3=(x−2m) 2−4m2+m−3
故抛物线C的顶点为(2m,−4m2+m−3)．
∵点D到x轴的距离为3，
∴|−4m2+m−3|=3．
当−4m2+m−3=3时，此方程无解；
1
当−4m2+m−3=−3时，解得m =0，m = ．
1 2 4
1
综上所述，m的值为0或 ，
4
故选A．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，求抛物线顶点坐标，解一元二次方程，正确求出抛物线顶点
坐标是解题的关键．
【变式2-3】（2022·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于点M（x，y），可以用以
下方式定义M到O的“原点距离”：若|x|≥|y|，则M到O的“原点距离”为|x|；若|x|＜|y|，则M到O
的“原点距离”为|y|．例如，（5，7）到O的“原点距离”为7．
（1）点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点中，到O的“原点距离”为3的点
有 _____个．
（2）经过点（1，3）的一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点
距离”为2，则k＝_____．
1 5
【答案】 2 −5或−1或 或
3 3
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）先求解一次函数的解析式为y=kx+3−k,再设点P(x,y), 根据一次函数y＝kx+b（k、b是常数，
k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”为2，可得|x|=|y|=2, 再列绝对值方程，解方程
即可．
【详解】解：（1）根据新定义可得：
点A（4，3）、B（3，﹣2）、C（﹣3，5）、D（﹣3，﹣3）四点，到O的“原点距离”分别为：
|4|=4,|3|=3,|5|=5,|−3|=3,
所以到O的“原点距离”为3的点有B（3，﹣2）、D（﹣3，﹣3），共2个．故答案为：2
（2）∵一次函数y＝kx+b经过点（1，3），
∴k+b=3, 即b=3−k,
所以一次函数的解析式为：y=kx+3−k,
设点P(x,y), 而一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象上存在唯一的点P，到O的“原点距离”
为2，
∴|x|=|y|=2,
∴|x|=|kx+3−k|=2,
解得：x=±2,
当x=2时，则|k+3|=2,
解得：k=−5或k=−1,
当x=−2时，|−3k+3|=2,
1 5
解得：k= 或k= .
3 3
1 5
综上：k=−5或−1或 或 .
3 3
1 5
故答案为：−5或−1或 或
3 3
【点睛】本题考查的是点的坐标的含义，利用待定系数法求解一次函数的解析式，新定义的理解，清晰的
分类讨论是解本题的关键．
【考点3 点所在的象限】
【例3】（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
1 1 1
A．− − C．m<0 D．m<−
2 2 2
【答案】D
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴¿，
解不等式①得：m<0，
1
解不等式②得：m<− ，
2
1
∴不等式组的解集为：m<− ，
2故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解
题的关键．
【变式3-1】（2022·四川攀枝花·中考真题）若点A(−a,b)在第一象限，则点B(a,b)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点A(−a,b)在第一象限，得到−a>0，b>0，即可得到点B所在的象限．
【详解】解：∵点A(−a,b)在第一象限内，
∴−a>0，b>0，
∴a<0，
∴点B(a,b)所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所
在象限的关系是解题的关键．
【变式3-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增
大，且ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，
∴−5a＞0，即a＜0，
又∵ab>0，
∴b＜0，
∴点A(a,b)在第三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
【变式3-3】（2022·安徽省马鞍山市第七中学二模）若点P坐标可表示为(m+3,−m+1)，其中m为任意
实数，点P不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)，由此进行解答即可．
【详解】若点P在第一象限，
则m+3>0且－m+1>0，
解得－30，
解得m<-3，可能存在，不符合题意；
若点P在第三象限，
则m+3<0且－m+1<0，
解得m<-3且m>1，不可能存在，符合题意；
若点P在第四象限，
则m+3>0且－m+1<0，
解得m>1，可能存在，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查点的坐标的取值范围和各象限内点的坐标的符号特征．
【要点3 点在坐标系中的平移】
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） 向 右 平 移 a 个 单 位 P'（x＋a，y）
P（x，y） P'（x，y －b）
向下平移b个单位
向左平移a个单位
（2）二次平移： P （ x ， P （ x － a ， y ＋
再向上平移b个单
y） b）
【考点4 点在坐标系中的平移位】
【例4】（2022·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，将点P (−x，1−x)先向右平移3个单位得点P，再
1
将P 向下平移3个单位得点P，若点P 落在第四象限，则x的取值范围是（ ）
1 2 2
A．x>3 B．−23
【答案】B
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：P (-x，1-x)向右平移3个单位，得点P (-x+3，1-x)，
1
再将P(-x+3，1-x)向下平移3个单位得到P (-x+3，1-x-3)，
1 2
∵P 位于第四象限，
2
∴¿，∴¿，即−20，
∴m=5,
∴点D的坐标为(5,3√3)；
当AB与O′C、O′E相交时，如图2，
∴O′B=3-(m-6)=9-m，
O′F O′F
∵tan∠ABO= ，即√3=
O′B 9−m
∴O′F=√3（9-m）
1 1
∵S DGF= O′B⋅O′F= (9−m)⋅√3(9−m)=2√3
2 2
△
解得：m=7，m=11，
1 2
∵O′B=9-m>0，
∴m=7，
∴D的坐标为(7,3√3)．
综上，D的坐标为(5,3√3)或(7,3√3)．
故答案为：(5,3√3)或(7,3√3)．
【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、解直角三角形、三角形面积
等知识；熟练掌握矩形的性质和解直角三角形是解题的关键．【考点6 点的坐标规律探索】
【例6】（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A (2,0)，B (0,1)，A B 的中点为C ；
1 1 1 1 1
A (0,3)，B (−2,0)，A B 的中点为C ；A (−4,0)，B (0,−3)，A B 的中点为C ；A (0,−5)，
2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
B (4,0)，A B 的中点为C ；…；按此做法进行下去，则点C 的坐标为_____．
4 4 4 4 2022
( 2023)
【答案】 −1011,
2
【分析】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段A B 位于第一象限，A B 位于第二象限，A B
1 1 2 2 3 3
位于第三象限，A B 位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道A B 在第几象限，写出
4 4 2022 2022
A ，B 的坐标，即可解答．
2022 2022
【详解】2022÷4=505⋯2
∴线段A B 在第二象限；
2022 2022
∴A （0，2023），B （-2022，0）
2022 2022
∵点C 为线段A B 中点，
2022 2022 2022
(0−2022 0+2023) ( 2023)
∴点C 的坐标为 , ，即 −1011,
2022 2 2 2
( 2023)
故答案为： −1011,
2
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键．
【变式6-1】（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个
单位，再向右平移1个单位，得到点A (1,1)；把点A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点
1 1
A (−1,3)；把点A 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A (−4,0)；把点A 向下平移4个
2 2 3 3单位，再向右平移4个单位，得到点A (0,−4)；…；按此做法进行下去，则点A 的坐标为_________．
4 10
【答案】(−1,11)
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或
向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发
生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A 的坐标为（0，-8），由此求解即可．
8
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A (1,1)；把点A
1 1
向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A (−1,3)；把点A 向下平移3个单位，再向左平移3
2 2
个单位，得到点A (−4,0)；把点A 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A (0,−4)，
3 3 4
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到
下一个点，
∵O到A 是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A 到A 是向左2个单位长度，向上平移2个
1 1 2
单位长度，A 到A 是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A 到A 是向右平移4个单位长度，
2 3 3 4
向下平移4个单位长度，A 到A 是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，
4 5
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长
度，
∴点A 的坐标为（0，-8），
8
∴点A 到A 的平移方式与O到A 的方式相同（只指平移方向）即A 到A 向右平移9个单位，向上平移9
8 9 1 8 9
个单位，
∴A 的坐标为（9，1），
9同理A 到A 的平移方式与A 到A 的平移方式相同（只指平移方向），即A 到A 向左平移10个单位，向
9 10 1 2 9 10
上平移10个单位，
∴A 的坐标为（-1，11），
10
故答案为：（-1，11）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
【变式6-2】（2022·辽宁辽宁·二模）在平面直角坐标系中，等边 AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)．
每一次将 AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边长扩大为△原来的2倍，第一次旋转后得到
ΔA OB△；第二次旋转后得到ΔA OB ，…，依次类推，则点A 的坐标为（ ）
1 1 2 2 2022
A．(−22022,0) B．(22022,−√3×22022
)
C．(22021,−√3×22021
)
D．(22022,0)
【答案】D
【分析】分别求出每次旋转后点A的对应点的位置及到原点O的距离，发现点A的坐标变化规律：每旋转
6次，A的对应点又回到x轴正半轴，每次旋转后点A的对应点到原点O的距离呈2的幂增加，由此得到答
案．
【详解】解：由已知可得：
第一次旋转后，点A 在第一象限，OA=2，
1 1
第二次旋转后，点A 在第二象限，OA=22，
2 2
第三次旋转后，点A 在x轴负半轴，OA=23，
3 3
第四次旋转后，点A 在第三象限，OA=24，
4 4
第五次旋转后，点A 在第四象限，OA=25，
5 5第六次旋转后，点A 在x轴正半轴，OA=26，
6 6
如此循环，每旋转6次是一个循环组，A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2022=6×337，
∴点A 在x轴正半轴，且OA =22022，
2022 2022
∴点A 的坐标为(22022,0)．
2022
故选：D．
【点睛】此题考查了图形旋转的坐标的规律计算，熟练掌握正三角形边角性质，正确探究发现点坐标的变
化规律并运用规律解决问题是解题的关键．
√3
【变式6-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，直线l:y= x+√3与x轴相交于点A，与y轴相交
3
于点B，过点B作BC ⊥l交x轴于点C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B ，过点B 作B C ⊥l交x轴于点
1 1 1 1 1 1 1 1 2
C ，过点C 作B C ⊥x轴交l于点B …，按照如此规律操作下去，则点B 的纵坐标是______________．
2 2 2 2 2 2022
(4) 2022
【答案】 √3
3
【分析】先根据30°的特殊直角三角形，如△AOB，△BAC ，△BOC ，△BC B 求出B点，B 点的纵坐
1 1 1 1 1
标，发现规律，即可
√3
【详解】∵l:y= x+√3
3
当y=0时，x=−3
当x=0时，y=√3
故A(−3,0)，B(0,√3)
∴△AOB为30°的直角三角形
∴∠BAO=30°
∵BC ⊥l
1
∴△BAC 为30°的直角三角形
1
∴∠OC B=60°
1
∴△BOC 为30°的直角三角形
12
BC = OB
1 √3
∵B C ⊥x轴
1 1
∴B C ∥BO
1 1
∴∠B C B=∠C BO
1 1 1
△BC B 为30°的直角三角形
1 1
2 ( 2 ) 2 4
B C = BC = OB= OB
1 1 √3 1 √3 3
同理：
2 ( 2 ) 2 (4) 2
B C = B C = B C = OB
2 2 √3 1 2 √3 1 1 3
(4) 3
B C = OB
3 3 3
…
(4) n
B C = OB
n n 3
(4) 2022 (4) 2022
故：B C = OB= √3
2022 2022 3 3
(4) 2022
故答案为： √3
3
【点睛】本题考查30°的特殊直角三角形；注意只用求点B 的纵坐标，即B C 长度
2022 2022 2022
【考点7 常量与变量】
【例7】（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关
系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
【变式7-1】（2022·北京市第一六一中学分校一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x … −3 3 6 …y … −2 2 1 …
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比
例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到
6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．
【变式7-2】（2022·重庆巴蜀中学一模）荡秋千时，秋千离地面的高度ℎ(m)与摆动时间t(s)之间的关系如
图所示，下列结论正确的是（ ）
A．变量h不是关于t的函数 B．当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m
C．h随着t的增大而减小 D．秋千静止时离地面的高度是1m
【答案】B
【分析】根据函数图象逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 变量h是关于t的函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当t=0.7s时，秋千距离地面0.5m，故该选项正确，符合题意；
C. 根据图像，最高点随着t的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
D. 秋千静止时离地面的高度是0.5m，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，从图象获取信息是解题的关键．
【变式7-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示
行驶的时间，s（千米）表示行驶的里程．其中常量是___________，变量是___________，s关于t的函数
表达式是___________，当t=2.5时，函数s的值是___________．【答案】 160 s，t s=160t 400
【分析】根据速度、时间与路程的关系，可得函数关系式，根据事物的变化过程中发生变化的量是变量，
数值不变的量是常量，可得答案．
【详解】解：一列行驶中的火车的速度为每小时160千米，用t（时）表示行驶的时间，s（千米）表示行
驶的里程，其中常量是160，变量是s，t，s关于t的函数表达式是s=160t，当t=2.5时，函数s的值是
400，
故答案为：160；s，t；s=160t；400．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用了速度、时间与路程的关系，变量与常量的定义．
【要点4 函数的概念】
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称
y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是
否对应唯一确定的y值．
【考点8 函数的概念】
【例8】（2022·广西南宁·二模）下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，
故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题
意；
D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题
意；故选：B．
【点睛】本题考查了函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之
变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，
理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提．
【变式8-1】（2022·河北·二模）观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是（ ）
A．
x 2 2 2 2 2 2 …
y -1 0 1 2 3 4 …
B．
x 10 20 30 40 50 60 …
y -10 -10 -10 -10 -10 -10 …
C．
x 1 2 3 2 1 0 …
y 1 1 2 2 3 3 …
D．
x 10 10 20 20 30 30 …
y 10 20 30 40 50 60 …
【答案】B
【分析】对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，根据函数的概念即可求出答案．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
选项A、C、D都不符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故A、C、D都不符合题意；
选项B符合“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数的概念．熟练掌握函数的定义是解题的关键．注意：对于x的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应．
【变式8-2】（2022·广东·一模）下列各式中，能表示y是x的函数的是（ ）
A．y=√x−2+√1−x B．y=x31
C．y= √−x2 D．y=±√x
x
【答案】B
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．
【详解】解：AC选项无论x取何值时，表达式无意义，D选项y值不唯一．
根据函数的定义可知：只有函数y=x3，当x取值时，y有唯一的值与之对应；
故选：B．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取
值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式8-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）变量x，y有如下关系：①y=3x2；②y2=8x；③y=4x．
其中y是x的函数的是________．（填序号）
【答案】①③
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么
就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义判断即可．
【详解】解：①y=3x2，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题
意；
②y2=8x，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；
③y=4x，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了函数的概念，关键是对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另
一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，
即一一对应．
【要点5 求函数的值】
(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．(2)
函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变
量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值．
【考点9 函数的解析式】
【例9】（2022·贵州贵阳·一模）已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长为11．
(1)写出y与x的关系式为______；
(2)若y≤3，请求出符合条件的整数x的值．11 11
【答案】(1)y=11-2x（ y，2x<11
2x>11−2x
11 11
∴ 0时，y>0：
_________．
【答案】y=x（答案不唯一）
【分析】根据函数的概念，列出满足条件的一次函数即可．
【详解】解：根据题意，函数y=x，当x＞0时，y＞0满足题意；
故答案为：y=x．
【点睛】此题考查函数的概念；函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的数值随
着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．掌握
一次函数图象的特征是解题关键．
【变式9-3】（2022·广东番禺中学三模）将长为20cm的铁丝首尾相连围成扇形，扇形面积为y（cm❑ 2
），扇形半径为x（cm），且0＜x＜10，则y与x的函数关系式为____________．
【答案】y=−x2+10x
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
1
【详解】解：由题意扇形的面积y＝
x(20−2x)=−x2+10x，
2
故答案为：y=−x2+10x．
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是列出函数关系式是解题的关键．
【考点10 自变量和函数值】
x 1
【例10】（2022·湖北黄石·中考真题）函数y= + 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+3 x−1
A．x≠−3且x≠1 B．x>−3且x≠1 C．x>−3 D．x≥−3且x≠1
【答案】B
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：依题意，¿
∴x>−3且x≠1
故选B【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
√x−4
【变式10-1】（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）在函数y= 中，自变量x的取值范围是
x
____________.
【答案】x≥4
【分析】要使函数由意义需满足，分母不为零，根号内为非负数，根据以上要求，求出自变量的取值范围
即可．
【详解】解：要使函数由意义需满足，分母不为零，根号内为非负数，综上所述，
x≠0，且x−4≥0，解得x≥4，
综上所述：自变量的取值范围为x≥4，
故答案为：x≥4．
【点睛】本题考查分式、二次根式有意义的条件，函数的取值范围，能够熟练掌握二次根式有意义的条件
是解决本题的关键．
【变式10-2】（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）=_____．
【答案】3
【分析】直接代入求值即可．
【详解】解：∵f（x）=3x，
∴f（1）=3 1=3，
故答案为：×3
【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可．
1
【变式10-3】（2022·广东顺德德胜学校三模）若函数y= [(x2 −100 x+196)+|x2 −100 x+196|]，当
2
自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是 __．
【答案】390
【分析】将x2-100x+196分解为：（x-2）（x-98），然后可得当2≤x≤98时函数值为0，再分别求出x=1，
99，100时的函数值即可．
【详解】二次函数y′=x2 −100 x+196与x轴交点为(2,0)，(98,0)，
∴当x=2，3...98时，
|y′|=|x2 −100 x+196|=−( x2 −100 x+196)，
∴当x=2，3...98时，
1
y= [(x2 −100 x+196)+|x2 −100 x+196|]
21
= [(x2 −100 x+196)−( x2 −100 x+196)]
2
1
= ×0
2
=0，
当x=1，x=99，x=100时，函数y′=x2 −100 x+196的函数值为正数，
1
∴y= [(x2 −100 x+196)+|x2 −100 x+196|]
2
1
y= [(x−2)( x−98)+( x−2)( x−98)]
2
y=(x−2)( x−98)
∴x=1时，
y=(x−2)( x−98)
=(− 1)(−97)
=97，
当x=99时，
y=(x−2)( x−98)
=97×1
=97，
当x=100时，
y=(x−2)( x−98)
=98×2
=196，
∴自变量x分别取1，2，……，100时，对应的函数值的和是：
0+97+97+196=390．
故答案为：390．
【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x2-100x+196分解为：
（x-2）（x-98）进行解答．
【要点6 函数的图象】
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出
它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象．【考点11 函数的图象】
9
【例11】（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为 平方米的矩形小花园，他考虑至少需要几
4
米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．
(1)建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱
笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；
(2)列表：
根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：
1 3 5 7 9
x 1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
13 34 15 58 73 109
y 10 6 a b
2 5 2 7 8 10
表中a=________，b= ________；
(3)描点、画出函数图象：
9
如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，( ,b)补充完整，并根据描出的点画出该函
2
数的图象；
(4)解决问题：
根据以上信息可得，当x=__________时，y有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为_________米．
9 9
【答案】(1) ，y=2x+
4x 2x(2)6.25，10
(3)见解析
(4)1.5，6
【分析】（1）根据矩形的面积公式，求得另一边的长，根据矩形的周长列出函数关系式；
9
（2）将x=2与x= 代入（1）中函数关系式即可求解；
2
9
（3）表中未描出的点(2,6.25)，( ,10)补充完整，并根据描出的点画出该函数的图象；
2
（4）结合函数图像即可求解．
（1）
9
解：∵面积为 平方米的矩形小花园，设矩形小花园的一边长为x米，
4
9
则矩形小花园的另一边长为4 9
=
x 4x
( 9 ) 9
若总篱笆长为y米，则y=2 x+ =2x+ (x>0)
4x 2x
9 9
故答案为： ，y=2x+
4x 2x
（2）
9
当x=2时，a=2×2+ =6.25，
4
9 9
9 b=2× + =10
当x= 时， 2 9
2 2×
2
故答案为：6.25，10
（3）
9
在坐标系描出点(2,6.25)，( ,10)，并用平滑的曲线连接点，如图，
2（4）
根据以上信息可得，当x=1.5时，y有最小值为6．由此，小强确定篱笆长至少为6米．
故答案为：1.5，6
【点睛】本题考查了描点法画函数图象，根据函数图象获取信息，求函数值，理解题意，掌握描点法画函
数图象是解题的关键．
【变式11-1】（2022·四川雅安·中考真题）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．
过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中
近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变，减速：速度下降， 到站：速度为0．
观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和
图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式11-2】（2022·青海西宁·中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在
边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距△离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致
是（ ） △
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，
由此即可求出答案．
【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
EF 3−x
根据相似比可知： = ，
BC 3EF 3−x
即 = ，
6 3
解得：EF=2（3-x），
1 3 9
则△DEF的面积y= ×2（3-x）x=-x2+3x=-(x- )2+ ，
2 2 4
3 9
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为( ， )的抛物线．
2 4
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关
键．
【变式11-3】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N
是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2√5）
是图象的最低点，那么a的值为（ ）
8√2 4 4
A． B．2√2 C． √2 D． √5
3 3 3
【答案】A
【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最
小，连接MC，由图象可知MC=2√5，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是 ABC的重心，
△1
∴N′O= BO，
3
2
∴N′D= BD，
3
∵A、C关于BD对称，
∴NA=NC，
∴AN+MN=NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC=2√5，
1
设正方形的边长为m，则BM= m，
2
在Rt BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2，
△ 1
∴20=m2+（ m）2，
2
∴m=4(负值已舍)，
∴BD=4√2，
2 2 8√2
∴a=N′D= BD= ×4√2＝ ，
3 3 3
故选：A．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题
的关键．
