文档内容
专题 09 特殊平行四边形
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）特殊平行四边形的性质与判定
（1）性质（具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等）
D C （1）四个角都是直角
矩
（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.
O
形
A B （3）面积=长×宽=2S =4S
ABD AOB.
D △ △
（1）四边相等
菱
A O C （2）对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角
形
（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半
B
正 A D (1)四条边都相等，四个角都是直角
方 O (2)对角线相等且互相垂直平分
形 (3)面积=边长×边长=2S =4S
B C ABD AOB
△ △
（2）判定
D C （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形
矩
（2）有三个角是直角
O
形
A B （3）对角线相等的平行四边形
D
（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形
菱
A O C （2）对角线互相垂直的平行四边形
形
（3）四条边都相等的四边形
B（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形
正 A D
（2）一组邻边相等的矩形
方 O
（3）一个角是直角的菱形
形
B C
（4）对角线相等且互相垂直、平分
（二）中点四边形
（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.
（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.
（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.
（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.
模块三 考点一遍过
考点1：矩形的判定与性质
典例1：如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN于点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．
在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边以3cm/s的速度移动，点Q从点
C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点
B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为5cm；
(2)连接PD、PQ，当t为何值时，△DPQ为直角三角形．
【变式2】如图， ▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BE，连接AC，DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若 求S 的值．
∠ACD=90°,AE=4,CF=3, △ABC
S
△DFC
【变式3】如图，在 ▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接
BF、AC．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=AF，AB=3，BC=5，求四边形ABFC的面积．
【变式4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，过点A作BC的平行线，过点B
作AD的平行线，两直线交于点E．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)连接DE，交AB于点O，若BC=8，DO=2.5，求四边形ADBE的面积．
【变式5】如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．
(1)求证：四边形EBCF是矩形．(2)设△ABE的面积为S ，△ACE的面积为S ，矩形EBCF的面积为S ，则S ，S ，S 的等量关系为
1 2 3 1 2 3
______．
【变式6】如图，点E是 ▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作
EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE=AD，∠FEC=∠FCE．
(1)求证： ▱ABCD是矩形；
(2)若点E为AC的中点，求∠ABE的度数．
【变式1】
【变式7】如图，在平行四边形ABCD中，点E, F分别在BC, AD上，且BE=DF，AC=EF．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB⊥AC，AB=√5，BE=1，求BC的长．
考点2：菱形的判定与性质
典例2：已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使
DF=CD，连接BF交AD于点E．
(1)求证：AE=ED；
(2)若AB=BC，求∠CAF的度数．
【变式1】如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使DO=AO，延长CO到E，使EO=CO，连接
AE、ED、DC、AC．(1)求证：四边形AEDC是菱形；
(2)若CD=2√3，∠CDE=120°，求菱形AEDC的面积．
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分别交BD、AD、BC于
点O、E、F，
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠AEB=62°，求∠BDF的度数．
【变式3】如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交AD，
BC于F点和E点，连接EF．
(1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由；
(2)若AB=4，AD=6，求四边形CDFE的周长．
【变式4】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点
E,F,G，连接DE,DG．
(1)求证：四边形BGDE是菱形：
(2)若∠EDG=30°，∠C=45°，ED=6，求△DGC的面积．
【变式5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上的一点，连接CD，作
AE∥DC，CE∥AB，连接ED．(1)如图1，当CD⊥AB时，求证：AC=ED；
(2)如图2，当D是边AB的中点时，若AB=16，ED=12，求四边形ADCE的面积．
【变式6】如图， ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD=2AB，AE∥BD，OE∥AB．
(1)求证：四边形ABOE是菱形；
(2)若AO=10，四边形ABOE的面积是120，求BD的长．
【变式7】如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交
AC于点F．
(1)求证：四边形AEDF是菱形．
(2)若FC=4，BE=9，AD=10，求四边形AEDF的边长和面积．
【变式8】如图，在矩形ABCD中（AB>BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，
使得CE=BC，连接DE，点F是DE的中点，连接CF．
(1)求证：四边形DOCF是菱形；
(2)若矩形ABCD的周长为20，AC=8，求四边形DOCF的面积．
【变式9】在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？
答：__________；（直接填空，不用说理）
(2)在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边
形EGFH为菱形，求t的值．
考点3：正方形的判定与性质
典例3：如图，已知△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6√2，点D为边BC上一动点，四边形
ADEG是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F，
(1)判断BD与CG的数量关系，并证明；
(2)求证：DF2=BD2+CF2；
(3)若BD=4，求AE的值．
【变式1】如图①，在△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作
BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形ADCF是菱形．(2)如图②，连接CE，若∠FCB=90°，CE=5，求AB的长．
【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，AB⊥BC，E是边CD的延长线上的动
点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)当F是AE的中点，且CE=8√2时，求△CEF的面积．
【变式3】【课本再现】
（1）正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长都等于6，都等
于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______；
（2）（知识在探究）在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有
没有变化？请说明理由．
【拓展延伸】
如图③，四边ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC，边AD=9,DC=5，直接写出BD的
长______．
【变式4】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，△AEF是等边三角形，连接AC
交EF于点G．(1)求证：BE=DF．
(2)①∠DAF=______；
②求证：EG=GF．
(3)求证：S =2S ．
△CEF △ABE
【变式5】如图，点E为正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE．过点E作EF⊥DE，交
边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)连接CG，若正方形ABCD的边长为9，CG=3√2，求正方形DEFG的边长．
【变式6】综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°；将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘，
得到△CBE′（点A的对应点为点C），延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB=10，CF=2，求EF和DE的长．
【变式7】（1）如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD
的延长线于点F．求证：CE=CF；（2）如图②，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请利用
（1）的结论证明：¿=BE+GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且
∠DCE=45°，BE=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式8】【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上
一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG．
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当∠AED=90°时，点F与点C重合，
此时可以证明矩形DEFG是正方形．
【探究发现】(1)博学小组发现，如图2，当∠AED>90°时，点F落在BC边上，此时，过点E作EM⊥BC于点
M，EN⊥CD于点N，通过证明△EMF≌△END，进而可以证明出矩形DEFG是正方形，请你帮
助博学小组完成证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当∠AED<90°时，点F落在BC的延长
线上．
①此时矩形DEFG还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当∠AED=75°，且DE=2时，直接写出AD的长．
【变式9】如图，点E是正方形ABCD中BC边上一点，∠AEF=90°且AE=EF．
(1)尺规作图：①以AE与EF为邻边作正方形AEFG；②作FH⊥DC，垂足为H（保留作图痕迹，
不写作法）
(2)连接DG，求证：∠ADG=90°
(3)连接BH，猜想四边形BEFH是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
考点4：特殊平行四边形——折叠
典例4：如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF．
已知BD长为16√2．
(1)求线段AB的长；
(2)线段CF的长．
【变式1】如图，已知正方形纸片ABCD的边长为9，BE=3，将△ABE沿AE对折至△AGE，延长
EG交CD于点F，连接AF，且AF平分∠DAG．(1)证明：△AGF≌△ADF；
(2)求线段EF的长．
【变式2】【操作感知】如图1，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩
形内部点M处，把纸片展平，连接PM、BM．∠DPM=60°，则∠MBC的大小为______度．
【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折
叠，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
（1）证明：△MBQ≌△CBQ；
（2）若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为______．
【变式3】如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），
把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将∠DEG沿EG所在的直线折叠，折痕
EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
(1)求证：△ABE∽△DEG．
(2)如图2，若AB=3,BC=5，若点C恰在直线EF上，
①求线段EG的长；
②如图3，连接DH，求△DGH的面积．
【变式4】综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩
形ABCD中，AB=10，BC=8，P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
(1)【动手操作】
当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，
保留作图痕迹），此时DE=________________；
(2)【问题探究】
如图②，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求证：BP=5CP；
(3)【拓展延伸】
已知Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的
长．
【变式5】如图，已知矩形ABCD的一条边AD=6，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的
P点处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA．
OC OP
(1)求证： = ．
PD AP
OP 1
(2)若 = ，求边AB的长．
PA 2
【变式6】在矩形ABCD中，BC>AB． 沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折
痕为BE．
【尝试】
（1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由．【探究】
（2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化，当AB=5时，是否存在点F，使
AF⋅FD=10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
AB
（3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM． 若MF=AM+FD，求 的
BC
值．
【变式7】如图，在正方形ABCD中，F为CD的中点，连接BF，将△BCF沿BF对折得到△BPF，
延长FP交BA的延长线于点Q．
(1)求证：△BQF是等腰三角形；
(2)若正方形ABCD的边长为2，求QA的长．
考点5：特殊平行四边形——平移
典例5：在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点
A与点F重合，点C与点D重合(如图1)．其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=6cm，
AC=DF=9cm．并进行如下研究活动：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，联结AE，BD (如图2
)．
（1）求证：图2中的四边形ABDE是平行四边形；
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小明发现四边形ABDE为矩形(如图3)．求此时AF的长：
（3）在纸片DEF平移的过程中，四边形ABDE能成为菱形吗？如果可以直接写出AF的长，如果不
可以，说明理由．在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F
重合，点C与点D重合（如图1），其中
∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，并进行如下研究活动，将图1中的纸
片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【变式1】已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，将△ABC沿射线AC向下平移得
ΔA′B′C′，边A′B′交BC于点D．
(1)求cos∠BDB′；
(2)连接BB′，判断四边形BCC′B′的形状，并说明理由；
(3)若四边形BCC′B′为正方形，则平移的距离为 ．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=2，BC=2√3，AC=4，点D为AC的中点，连接BD，将
△ABC沿射线BD的方向平移，使平移的距离等于线段BD的长，得到△EDF，连接BE．(1)求平移过程中△ABC扫过的图形的面积；
(2)求证：AC垂直平分BE．
【变式3】如图，已知△ABC的面积为7，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到
△EFA．
(1)求四边形CEFB的面积；
(2)试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BEC=15°，求AC的长．
【变式4】【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构
成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是
__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB
