专题 09 平面直角坐标系与函数（11 个高频考点）（强化训练）
【考点1 有序数对】
1．（2022·河北保定·二模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）
表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图
形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
2．（2022·广东·一模）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单
位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ,m)称为M
点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
(60°,8) (45°,8) (60°,4√2) (45°,2√2)
3．（2022·湖北宜昌·模拟预测）如果第二列第一行用有序数对（2，1）表示，那么数对（3，6）和（3，4）表示的位置是（ ）
A．同一行 B．同一列 C．同行同列 D．不同行不同列
4．（2022·湖北黄冈·一模）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置
用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴
对称图形．她放的位置是________．
5．（2022·江苏扬州·一模）我们定义：平面内两条直线l 、l 相交于点O（l 与l 不垂直），对于该平面内
1 2 1 2
任意一点P，如果点P到直线l 、l 的距离分别为a、b，那么有序实数对（a，b）就叫做点P的“平面斜角
1 2
坐标”．如果常数m、n都是正数，那么在平面内与“平面斜角坐标”（m，n）对应的点共有_________
个．
【考点2 点的坐标】
6．（2022·广东·广州大学附属中学二模）点P(m+2,m−1)在y轴上，则点P的坐标是______．
7．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）已知点A、B、C的坐标分别A(1,5)、B(1,0)、C(5,0)，若
点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为______．
8．（2022·四川达州·一模）若点P(2x,3x−1)到两坐标轴的距离之和为5，则x的值为______．
9．（2022·河北·模拟预测）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为
______．
10．（2022·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)的“变换点”Q的坐标定义如下：当
a⩾b时，Q点坐标为(b,−a)；当a<b时，Q点坐标为(a,−b)．
（1）(−2,3)的变换点坐标是_____________．
（2）若(a,−0.5a+2)的变换点坐标是(m,n)，则m的最大值是_____________．
【考点3 点所在的象限】
11．（2022·江苏南通·一模）将点A(5,3)绕原点O顺时针旋转90°得到点A′，则点A′落在第____________
象限．
12．（2022·广东广州·模拟预测）若点P(x,y)的坐标满足方程组¿，则点P不可能在第__________象限．
13．（2022·山东济南·一模）对于平面坐标系中任意两点 、 定义一种新运算“*”为：
A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2，根据这个规则，若 在第三象限， 在第四象限，则
(x ,y )∗(x ,y )=(x y ,x y ) A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
A∗B在第________象限．
14．（2022·江苏·仪征市古井中学一模）若点A（a，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b＋1）在第_____
象限．
15．（2022·福建·龙海二中一模）若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A
在第_____象限．
【考点4 点在坐标系中的平移】
16．（2022·江苏·射阳县第四中学三模）在直角坐标系中，点A(3,2)关于x轴的对称点为A ，将点A 向左
1 1
平移3个单位得到点A ，则A 的坐标为 _____．
2 2
17．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1，1)、
C(3，1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次交换，如此这样，连续经
过2016次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______．
18．（2022·湖北省直辖县级单位·一模）如图，点A，B的坐标分别为(1,2)，(4,0)，将三角形AOB沿x轴
向右平移，得到三角形CDE，已知DB=1，则点C的坐标为__________．
19．（2022·河北·模拟预测）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标
1
为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为______．
220．（2022·天津河西·中考模拟）如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到
△A′B′C′，
(1)请画出平移后的图形△A′B′C′；
(2)并写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(3)求出△A′B′C′的面积．
【考点5 坐标与图形】
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）在平面上任取一个△ABC，则可以定义面积坐标：对平面内任一
点P，记S =S ，S =S ，S =S (若点P恰好在△ABC的某条边所在的直线上，则记相应三角形
1 △PAB 2 △PAC 3 △PBC
的面积为0)，则点P的面积坐标记为{s ，s ，s }．已知：在△ABC中，B(−3,0)，C(3,0)．
1 2 3(1)如图1，若点A的坐标为(0,3)．
①写出点D(1,0)的面积坐标______；
②已知几个点的面积坐标分别为：E{3，3，3}，F{0，2，7}，G{5，5，1}，H{2，2，5}，则
其中不在△ABC内部的点是______；
(2)把平面内一点M(x,y)的面积坐标记为{m ，m ，m }．
1 2 3
①如图2，当点A的坐标为(−3,3)时，若m =m ，试探究y与x之间的关系；
1 3
②当点 的坐标为 时，点 在以点 为圆心，半径为 的圆上运动，若点 的面积坐标始
A (0,3√3) M T(3，t) 1 M
终满足 ，直接写出 的取值范围．
|m +m −m |=9√3 t
1 2 3
22．（2022·北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M
绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C
关于点P的“垂直图形”．
(1)点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为___________；
②若点B的坐标为(3,1)，则点A的坐标为___________；
(2)E(−3,3)，F(−2,3)，G(a,0)，线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点
F的对应点为F′．
①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；
②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．
23．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P（x，y）、P（x，y），其两点间的距离 ，同时，当两点所在的直线在
1 1 1 2 2 2 P P =√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2 1 2
坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x﹣x|或|y﹣y|．
2 1 2 1
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说
明理由．
24．（2022·江苏南京·二模）藏宝地之谜．
从前，一个年轻人在他先祖的遗物中发现了一张记录着藏宝地的羊皮纸，
上面写着：
某荒岛上有一株橡树A和一株松树B，还有一座木桩P．从木桩P走到橡
树A，记住所走的步数，到了橡树A向左拐个直角再走这么多步，在这里
打个桩，记为C．从木桩P再朝松树B走去，记住所走的步数，到了松树
B向右拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩，记为D．桩C，D的正
当中就是宝藏的位置Q．
根据指示，这个年轻人找到了荒岛上的橡树和松树，但可惜木桩已腐烂成
土，一点痕迹也看不出了．他只能乱挖起来，但是地方太大了，一切只是
徒劳，他只好抱憾而归．
聪明的读者，你有办法找到宝藏吗？
不妨任取一个位置作为P，根据材料画出下图．
(1)以AB的中点为坐标原点，以直线AB为x轴、以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．不妨设
点B的坐标为(10,0)．
①若P的坐标为(6,10)，则Q的坐标为______；
②若P的坐标为(−4,8)，则Q的坐标为______；
(2)猜想当P在不同位置时，Q的位置是否随之变化．
(3)写出证明（2）中猜想的思路．(4)将材料中两处“再走这么多步”同时改为______，可使（2）中的猜想仍然成立．
25．（2022·广东中山·三模）在直角坐标系中，把横、纵坐标都为整数的点称为整点，顶点都是整点的三
角形称为整点三角形．如图，已知整点A(1,3)，B(3,4)，请在所给网格中按要求画三角形．
(1)在图1中画出一个整点△OBP，使得点P在第一象限，横、纵坐标之和等于5，且点A在△OBP的外部．
(2)在图2中画出一个整点△OBQ，使得点Q在第一象限，横、纵坐标的平方和等于17，且点A在△OBQ
的内部．
【考点6 点的坐标规律探索】
26．（2022·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，
D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒
瓢虫在（ ）处．
A．(3,−2) B．(−1,−1) C．(1,−2) D．(1,1)
27．（2022·四川省渠县中学一模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点：（1，0），（2，0），
（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…按图中“→”所指方向排列，根据这个规律可得第2022个
点的坐标为（ ）A．（63，3） B．（63，4） C．（64，3） D．（64，5）
28．（2022·广东·乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，直线l为y=√3x，过点A (1,0)作A B ⊥x
1 1 1
轴，与直线l交于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；再作A B ⊥x轴，交直线l于
1 1 2 2 2
点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点A ；……按此作法进行下去，则点A 坐标为
2 2 3 3
__________，点A 坐标为__________.
n
29．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，在平面直角坐标系中，从点
P (−1,0),P (−1,−1),P (1,−1),P (1,1),P (−2.1),P (−2,−2)，…依次扩展下去，则P 的坐
1 2 3 4 5 6 2022
标为_______．30．（2022·河北廊坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A ，A ，A ，…．在x轴正半轴上，点B ，
1 2 3 1
√3
B ，B ，…，在直线y= x(x≥0)上．已知点A (1,0)，且△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均
2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4
为等边三角形．
（1）线段B B 的长度为_________；
1 2
（2）点A 的坐标为_________；
2022
（3）线段B B 的长度为_________．
2021 2022
【考点7 常量与变量】
31．（2022·云南昭通·二模）变量x，y的一些对应值如下表所示：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
1 1 1 1
y … 1 －1 − − …
3 2 2 3
1 1
根据表格中的数据规律，当x＝6时，y的值为（ ）A．－6 B．6C．− D．
6 6
32．（2022·山东济南·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③33．（2022·河南·辉县市太行中学模拟预测）科学研究表面，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸
长． 某同学测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的重量x(kg)之间的关系如下表所示：
x（kg） 0 1 2 3 4 5
y（cm） 20 20.5 21 21.5 22 22.5
下列说法不正确的是( )A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．y与x的关系表达式是y=0.5x
D．所挂物体的重量为3.6kg时，弹簧的长度为21.8cm
34．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校模拟预测）我们知道：“距离地面越高，气温就越
低．”下表表示的是某地某时气温t（°C ）随高度h（km）变化而变化的情况：
距离地面高度（km） 0 1 2 3 4 5
温度（°C） 20 14 8 2 −4 −10
(1)上表中自变量是_______，因变量是_______；
(2)请说明温度是怎样随距离地面高度的增加而变化的；
(3)已知某山顶的气温为−22℃，求此山顶距离地面的高度．
35．（2022·陕西安康·模拟预测）一种水果的总售价y（元）与售出水果的质量x（千克）之间的关系如下
表：
售出水果的质量x（千
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
克）
总售价y（元） 0 3 6 9 12 15 18
(1)自变量是______，每千克水果的售价是______元．
(2)y与x的关系式为____________．
【考点8 函数的概念】
36．（2022·湖南·长沙市华益中学一模）下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）A． B． C． D．
37．（2022·广西河池·中考模拟）下列关系式中，y不是自变量x的函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝|x| D．y2＝x
38．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第一初级中学模拟预测）下列各选项中分别有两个变量x、
y，则y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．y=−2x−1
D．在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：信件质量
0<x≤20 20<x≤40 40<x≤60 60<x≤80 80<x≤100
x/y
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80 6.00
39．（2022·上海奉贤·三模）下列所述不属于函数关系的是（ ）
A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x+2与x的关系
C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系
40．（2022·安徽·合肥市五十中学东校三模）下列各图像中， y 不是 x 的函数有（ ）
A． B． C． D．
【考点9 函数的解析式】
41．（2022·广东·一模）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表所示，
x ﹣1 0 1
y 3 2 1
则y与x之间的关系式可能是（ ）
3
A．y＝x B．y＝x2+x+1 C．y＝﹣x+2 D．y＝
x
42．（2022·浙江温州·一模）某汽车的油箱一次加满汽油50升，可行驶y千米（假设汽油能行驶至油用
完），设该汽车行驶每100千米耗油x升，则y关于x的函数表达式为（ ）
2 5000
A．y＝2x B．y= C．y＝5000x D．y=
x x
43．（2022·广东·执信中学三模）半径为2的扇形，设其圆心角的度数为n，面积S随着n的变化而变化，
则面积S关于圆心角度数n的函数解析式为__________
44．（2022·内蒙古·呼和浩特市启秀中学二模）一个等腰三角形周长为36cm，它的腰长为xcm，底边为
ycm，那么y关于x的函数关系式为_________，腰长x的取值范围为_________．
45．（2022·河北邯郸·模拟预测）如图，A，B，C，D是一条公路上连续的四个里程碑，已知每相邻两个
里程碑相距100米，甲从 A开始以1m/s的速度匀速走向D，2分钟后，乙从A开始以2m/s的速度匀 速走向D．设甲行走的时间为ts，甲、乙二人走过的路程分别为 S (m)、S (m)．
1 2
（1）请直接写出 S 、S 与t之间的函数关系式；
1 2
（2）乙追上甲时的地点在哪两个里程碑之间？ 请通过计算说明；
（3）甲、乙二人在行进过程中能否同时在 B，C之间（不包含点B，C）？ 如果能，求出满足这一条件
的时间段；如果不能，请说明理由．
【考点10 自变量和函数值】
46．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室二模）变量x，y的一些对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
根据表格中的数据规律，当x=−4时，y的值是（ ）
A．2 B．-2.5 C．-1.5 D．-2
5x
47．（2022·四川·泸州国家高新区初级中学校模拟预测）函数y= 的自变量x的取值范围是______．
2x−1
√x−2
48．（2022·辽宁·丹东市第十七中学一模）函数y= +(x−3) 0的自变量x的取值范围是___________
x−1
√x
49．（2022·上海闵行·二模）已知函数f (x)= ，那么f (3)=_______．
x−1
50．（2022·甘肃天水·二模）小泽根据学习函数的经验，对函数y=√x−1的图象与性质进行了探究．下面
是小泽的探究过程，请补充完成：
(1)函数y=√x−1的自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ；
(2)下表为y与x的几组对应值：x 1 2 3 4 5 …
y 0 1 1.41 1.73 2 …
在所给的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(3)当x=6时，对应的函数值y约为 ；
(4)结合图象写出该函数的一条性质： ．
【考点11 函数的图象】
51．（2022·山东济宁·三模）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒
1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD−DC−CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动
同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数
关系的是（ ）
A． B．
C． D．
52．（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点
F在边AB上，且BF=2AF，动点P从点F出发，以每秒1cm的速度沿F→BC→D的方向运动，到达点
D时停止．设点P运动x（秒）时，△AEP的面积为y(cm2 )，如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，
b的值分别是（ ）3 3
A．16，2 B．15， C．13， D．13，3
2 2
53．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，
直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的
大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
54．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出
发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合
右侧函数图像分析当x=2021时，则y的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
55．（2022·浙江嘉兴·一模）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗
忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可
绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)请说明点D的实际意义．
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
