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例题精讲
【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝
，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与 O相切．
（3）已知P为抛物线上⊙一动点，线段PO交 O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四
边形时，求PM的长． ⊙
变式训练
【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明
理由；（3）以C为圆心，1为半径作 O，D为 O上一动点，求DA+ DB的最小值
⊙ ⊙
【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），
抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作 C，在 C上是否存在点P，使得BP+ EP的值最小，若存
在，请求出最小值；若不存在，请说明理由⊙． ⊙变式训练
【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两
点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作 M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过
程中线段DE的长是否变化，若有变⊙化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．1．如图，已知 P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当 P与坐标轴相切时，圆心P的坐
标可以是 ⊙ ． ⊙
2．如图1，抛物线 与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作 A，点M在 A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时⊙，求点M的坐⊙标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在 A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
⊙3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点
C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，
连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0
＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．
4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x ，0）和B（x ，0）（x ＜x ）分别在原点的两侧，且A、B两点
1 2 1 2
间的距离小于6，求m的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C ，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经
过点C及抛物线与x轴的一个交点的 M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与 是等弧？
⊙
若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三
点都在 P上．
①试判⊙断：不论m取任何正数， P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说
明理由； ⊙
②若点C关于直线x＝﹣ 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为
l， P的半径记为r，求 的值．
⊙
6．如图所示，在平面直角坐标系中， C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N
（0，3）两点．已知抛物线开口向上⊙，与 C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴
经过点C且垂直x轴于点D． ⊙
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形OPMN ＝8S△QAB ，且
△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的
平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相
切．若存在，求出点E的坐标，并求 E的半径；若不存在，说明理由．
⊙
8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，
①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c＝﹣ b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，b＞0，与y轴的正半轴交于点
1 2 1 2
M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、
E、F，且满足 ＝ ，求二次函数的表达式．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）都满
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足；当x ＜x ＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0；当0＜x ＜x 时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．以原点O为
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圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与
y轴交于点C，且 M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的⊙坐标；
（2）若直线AD与 M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件⊙下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直
线AD于点E．若以PE为半径的 P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4 时，求点P的坐标．
⊙
11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的 P相交于点C．
（1）求点A的坐标； ⊙
（2）过点C作 P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证⊙：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝ ，∠CAE＝∠OBE时，求 ﹣ 的值．
12．抛物线y＝﹣ x2+ x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y＝t（t＜ ）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形
组成一个“M”形的新图象．
（1）点B，D的坐标分别为 ， ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．
①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；
②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣ ，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）都满足：当x ＜x ＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣
1 1 2 2 1 2 1 2 1
y ）＞0；当0＜x ＜x 时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个
2 1 2 1 2 1 2
交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点
C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为 M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点⊙A、B、C的对应点分别记为点A
1
、B
1
、C
1
，△A
1
B
1
C
1
的外接圆记为 M ，是否存在某个位置，使 M 经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不
1 1
存在，请说明理⊙由． ⊙
15．已知抛物线C ：y＝ax2过点（2，2）
1
（1）直接写出抛物线的解析式 ；
（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C 上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的
1
中线BD平行于y轴，求 的值；
（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C 上一动点，以PQ为直径作 M，直线y＝t与
1
M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长⊙度；若不存在，
⊙请说明理由．
16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心， 为半径作圆．请判断 P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐
⊙
标圆，并说明理由；
（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA周长的最小值；
（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆
的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y
轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B
作 M的切线交于点P（如图2），设Q为 M上一动点，则在点运动过程中 的值是否变化？若不
变，⊙求出其值；若变化，请说明理由． ⊙
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶
点．
（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作 E，交x轴于B、C两点，点M为 E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当t⊙an∠MBC＝2时，求m的值； ⊙
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，
请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，
3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；
2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆
心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于
点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的面积是△PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与
DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点
为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物
线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）现有一个以原点O为圆心， 长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，
问几秒后 O与直线AC相切？
⊙
22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或
不是）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的 O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，
∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤⊙AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交
于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字
形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S ，S ，S ，S 求同时满足
1 2 3 4下列三个条件的抛物线的解析式：
① ＝ + ；② ＝ + ；③“十字形”ABCD的周长为12 ．
