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例题精讲
【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝
，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与 O相切．
（3）已知P为抛物线上⊙一动点，线段PO交 O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四
边形时，求PM的长． ⊙
解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2 ，
∵OC⊥AB，
∴ •OA•OB＝ •AB•OC，
∴ ×2×2＝ ×2 •OC，
解得：OC＝ ，
∵ O的半径r＝ ，
∴ ⊙OC是 O的半径，
∴直线A⊙B与 O相切；
⊙
（3）∵点P在抛物线y＝﹣ x2+2上，
∴可设P（x，﹣ x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝ ，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣ x2+2＝﹣x，
解得：x ＝1+ ，x ＝1﹣ ，
1 2
∴y ＝﹣1﹣ ，y ＝﹣1+ ，
1 2
∴P （1+ ，﹣1﹣ ），P （1﹣ ，﹣1+ ），
1 2
如图，当点P位于P 位置时，
1
OP ＝ ＝ ＝ （1+ ）＝ + ，
1∴P M＝OP ﹣OM＝ + ﹣ ＝ ，
1 1
当点P位于P 位置时，同理可得：OP ＝ ﹣ ，
2 2
∴P M＝OP ﹣OM＝ ﹣ ﹣ ＝ ﹣2 ；
2 2
综上所述，PM的长是 或 ﹣2 ．
变式训练
【变1-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明
理由；
（3）以C为圆心，1为半径作 O，D为 O上一动点，求DA+ DB的最小值
⊙ ⊙
解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+ x+2．
（2）存在．
如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F（3，0）．
当y＝0时，由 x2+ x+2＝0，得x ＝1，x ＝4，
1 2
∴C（4，0），
∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；
又∵BF＝2，
∴ ，
∵∠BFC＝∠AFB＝90°，
∴△BFC∽△AFB，
∴∠CBF＝∠BAF，
∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，
∴BC∥AE，
∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，
∴△BCF≌△EAO（ASA），
∴BC＝EA，
∴四边形ABCE是矩形；
∵OE＝FB＝2，
∴E（0，﹣2）．
（3）如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.
由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，
∴CF＝CD，CB＝ ＝ ．
∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），
∴△FCL∽△BCF，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DCL＝∠BCD（公共角），
∴△DCL∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴LD＝ DB；
∵DA+LD≥AL，
∴当DA+LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA+ DB＝DA+LD＝AL最小．
∵CL＝ CF＝ ，
∴BL＝ ＝ ，
∴BL2＝（ ）2＝ ，
又∵AB2＝22+42＝20，
∴AL＝ ＝ ＝ ，
DA+ DB的最小值为 ．【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），
抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
（3）如图2，以C为圆心， 为半径作 C，在 C上是否存在点P，使得BP+ EP的值最小，若存
在，请求出最小值；若不存在，请说明理由⊙． ⊙
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），
∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，
∵与y轴交于点C（0，6），
∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣ ，
∴该抛物线的表达式为y＝ x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，
∴令y＝0，则﹣ （x﹣2）2+8＝0，
解得：x ＝﹣2，x ＝6，
1 2
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴∠BCE＝90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3） C上存在点P，使得BP+ EP的值最小且这个最小值为 ．理由如下：
⊙
如图，在CE上截取CF＝ （即CF等于半径的一半），连结BF交 C于点P，连结EP，
则BF的长即为所求．理由如下： ⊙
连结CP，∵CP为半径，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠FCP＝∠PCE，
∴△FCP∽△PCE，
∴ ＝ ＝ ，即FP＝ EP，
∴BF＝BP+ EP，
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即BP+ EP为最小值．
∵CF＝ CE，E（2，8），
∴由比例性质，易得F（ ， ），
∴BF＝ ＝ ．变式训练
【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两
点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作 M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过
程中线段DE的长是否变化，若有变⊙化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ x2+bx+c得：
，解得 ，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）如图：
由y＝ x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），
设P（x， x2﹣x﹣4），
∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（ x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（ x2﹣x﹣4）2，
∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，
∴AC2+CP2＝AP2，
即20+x2+（ x2﹣x）2＝（x+2）2+（ x2﹣x﹣4）2，
∴20+x2+（ x2﹣x）2＝x2+4x+4+（ x2﹣x）2﹣8（ x2﹣x）+16，
解得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，
∴P（3，﹣ ）；
（3）点P在运动过程中线段DE的长不变，理由如下：
连接AP、BE，如图：∵ ＝ ， ＝ ，
∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，
∴△ADP∽△EDB，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ，
设P（m， m2﹣m﹣4），则D（m，0），
∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（ m2﹣m﹣4）＝﹣ m2+m+4，
∴DE＝ ＝ ＝2，
∴DE是定值2，
∴点P在运动过程中线段DE的长不变，是定值2．1．如图，已知 P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2﹣1上运动，当 P与坐标轴相切时，圆心P的坐
标可以是 （⊙ ， 2 ）或（﹣ ， 2 ）或（ 2 ， 1 ）或（﹣ 2 ， 1 ） ．⊙
解：分两种情况：
（1）当 P与x轴相切时，依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．
⊙
①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y＝ x2﹣1，得
2＝ x2﹣1，
解得x＝± ，
此时P（ ，2）或（﹣ ，2）；
②当P的坐标是（x，﹣2）时，
将其代入y＝ x2﹣1，得﹣2＝ x2﹣1，无解．
（2）当 P与y轴相切时，
∵ P的⊙半径为2，
∴⊙当 P与y轴相切时，点P到y轴的距离为2，
∴P点⊙的横坐标为2或﹣2，
当x＝2时，代入y＝ x2﹣1可得y＝1，当x＝﹣2时，代入y＝ x2﹣1可得y＝1，
∴点P的坐标为（2，1）或（﹣2，1），
综上所述，符合条件的点P的坐标是（ ，2）或（﹣ ，2）或（2，1）或（﹣2，1）；
故答案为：（ ，2）或（﹣ ，2）或（2，1）或（﹣2，1）．
2．如图1，抛物线 与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作 A，点M在 A上．连接OM、BM，
⊙ ⊙①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在 A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
⊙
解：（1）令y＝0，则 ﹣2x＝0，
解得：x＝0或8．
∴A（8，0）．
∴OA＝8．
∵y＝ ﹣2x＝ ﹣4，
∴B（4，﹣4）．
过点B作BD⊥OA于点D，如图，
则OD＝4，BD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠AOB＝∠OBD＝45°；
（2）①设 A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，如图，
⊙∵B（4，﹣4），
∴BC⊥OA．
∵CO＝CB＝4，
∴△CBO是以OB为底的等腰三角形．
∴点M与点C重合时，△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（4，0）；
过点A作AM⊥x轴，交 A于点M，延长MA交 A于点E，连接BE，
过点M作MF⊥y轴于点⊙F，如图， ⊙
则M（8，4），E（8，﹣4），F（0，4）．
∴MF＝ME＝8．
∵B（4，﹣4），
∴BE∥x轴．
∴BE⊥ME，BE＝4．
∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．
在△MOF和△MBE中，
，
∴△MOF≌△MBE（SAS）．
∴MO＝MB．
∴△MBO是以OB为底的等腰三角形．此时点M（8，4）；综上，当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，点M的坐标为（4，0）或（8，4）；
②设 A与x轴交于点C，则C（4，0）．连接BC，CN，AM，如图，
⊙
∵A（8，0），
∴点C是OA的中点．
∵N为OM的中点，
∴CN是△OMA的中位线．
∴CN＝ AM＝2．
当点M在 A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：
BC﹣CN≤⊙BN≤BC+CN．
∵BC＝4，
∴4﹣2≤BN≤4+2．
∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．
3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点
C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，
连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0
＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴ ，解得： ，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝ OB，
∴CP＝ m，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴ m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（ ﹣3）m＝0，
解得：m ＝0（舍去），m ＝3﹣ ，
1 2
∴当m＝3﹣ 时，m﹣3＝﹣ ，
∴P（3﹣ ，﹣ ）．
（3）如图2，连接BI，OI，EI，作△OBI的外接圆 M，连接OM，BM，MI，CM，过M作MH⊥y轴
于H， ⊙
∵EF⊥x轴，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
∵△BEF的内心为I，
∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，
∴∠IBE＝ ∠FBE，∠IEB＝ ∠FEB，
∴∠IBE+∠IEB＝ （∠FBE+∠FEB）＝45°，
∴∠BIE＝135°，
在△BIO和△BIE中，
，
∴△BIO≌△BIE（SAS），
∴∠BIO＝∠BIE＝135°，
∵ M是△OBI的外接圆，
⊙∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，
∴OM＝BM＝ OB＝ ，
∴MI＝OM＝ ，
∴∠MOB＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝ OM＝ ，
∴CH＝OH+OC＝ +3＝ ，
∴CM＝ ＝ ，
∵CI≥CM﹣MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为 ﹣ ．4．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．
（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x ，0）和B（x ，0）（x ＜x ）分别在原点的两侧，且A、B两点
1 2 1 2
间的距离小于6，求m的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C ，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经
过点C及抛物线与x轴的一个交点的 M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与 是等弧？
⊙
若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），
因此抛物线与x轴的两个交点坐标为：
（2，0）（2m﹣3，0），
因此无论m取何值，抛物线总与x轴交于（2，0）点；
（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，则：
x +x ＝2m﹣1，x x ＝4m﹣6；
1 2 1 2
∵AB＜6
∴x ﹣x ＜6，
2 1
即（x ﹣x ）2＜36，（x +x ）2﹣4x x ＜36，
2 1 1 2 1 2
即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，
解得﹣ ＜x＜ ．①根据A、B分别在原点两侧可知：x x ＜0，
1 2
即4m﹣6＜0，m＜ ．②
综合①②可得﹣ ＜m＜ ；
（3）假设存在这样的m，设圆M与y轴的切点为D，过M作x轴的垂线设垂足为E．
①当C点在x轴正半轴时，x＝ ＞0，
因此 ＜m＜ ，
∵弧BC＝弧CD，
因此BC＝CD．
OC＝ ，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣ ＝ ，EC＝ BC＝ ，
OE＝MD＝OC+CE＝ + ＝ ．
易知：OD＝ME，即OD2＝ME2
∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，
（ ）2﹣（ ）2＝（ ）2﹣（ ）2；
解得m＝ ，符合m的取值范围．
②当C点在x轴负半轴时，x＝ ＜0，
因此﹣ ＜m＜ ，
同①可求得OC＝ ，CD＝AC＝ ，CE＝ ，MD＝OE＝ ．
同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2
（ ）2﹣（ ）2＝（ ）2﹣（ ）2
化简得：m2＝ ，∴m＝± ，均不符合m的取值范围，
因此这种情况不成立．
综上所述，存在符合条件的m，且m＝ ．
5．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三
点都在 P上．
①试判⊙断：不论m取任何正数， P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说
明理由； ⊙
②若点C关于直线x＝﹣ 的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为
l， P的半径记为r，求 的值．
解：⊙（1）令y＝0，
∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，
∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，
∵m＞0，
∴Δ＞0，
∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）
令y＝0，
∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，
∴x＝2或x＝﹣（m+2），
∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），
∴OA＝2，OB＝m+2，
令x＝0，
∴y＝﹣2（m+2），
∴C（0，﹣2（m+2）），
∴OC＝2（m+2），
①通过定点（0，1）理由：如图，
∵点A，B，C在 P上，
∴∠OCB＝∠OA⊙F，
在Rt△BOC中，tan∠OCB＝ ＝ ＝ ，
在Rt△AOF中，tan∠OAF＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝1，
∴点F的坐标为（0，1）；
②如图1，由①知，点F（0，1），
∵D（0，1），
∴点D在 P上，
∵点E是点⊙C关于抛物线的对称轴的对称点，
∴∠DCE＝90°，
∵ P是△ABC的外接圆，
∴⊙点P在抛物线的对称轴上，
∴点E在 P上，
∴DE是 ⊙P的直径，
∴∠DBE⊙＝90°，
∵∠BED＝∠OCB，
∴tan∠BED＝ ，
设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝ ＝ ＝ ，
∴BE＝2n，
根据勾股定理得，DE＝ ＝ n，
∴l＝BD+BE+DE＝（3+ ）n，r＝ DE＝ n，
∴ ＝ ＝ ．
6．如图所示，在平面直角坐标系中， C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N
（0，3）两点．已知抛物线开口向上⊙，与 C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴
经过点C且垂直x轴于点D． ⊙
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交 x 轴于 A，B 两点，在抛物线上是否存在点 Q，使得 S 四边形OPMN ＝8S△QAB ，且
△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：
（1）如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），
∴OM＝4，ON＝3，
∴MN＝5，
∴OC＝ MN＝ ，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD＝MD＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝ ＝ ＝ ，
∴PD＝PC﹣CD＝ ﹣ ＝1，
∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；
（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，
∴S四边形OPMN ＝S△OMP +S△OMN ＝ OM•PD+ OM•ON＝ ×4×1+ ×4×3＝8＝8S△QAB ，
∴S△QAB ＝1，
设Q点纵坐标为y，则 ×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，
当y＝1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y＝﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，
∵ON＝OB＝3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
7．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的
平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相
切．若存在，求出点E的坐标，并求 E的半径；若不存在，说明理由．
⊙解：（1）∵二次函数的图象顶点在原点，
故设二次函数表达式为：y＝ax2，将（2，1）代入上式并解得：a＝ ，
故二次函数表达式为：y＝ x2；
（2）将y＝1代入y＝ x2并解得：x＝±2，故点M、N的坐标分别为（﹣2，1）、（2，1），
则MN＝4，
∵△PMN是等边三角形，
∴点P在y轴上且PM＝4，
∴PF＝2 ；
∵点F（0，1），
∴点P的坐标为（0，1+2 ）或（0，1﹣2 ）；
（3）假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，
设点Q是FN的中点，则点Q（1，1），
故点E在FN的中垂线上．
∴点E是FN的中垂线与y＝ x2图象的交点，
∴y＝ ×12＝ ，则点E（1， ），
EN＝ ＝ ，
同理EF＝ ＝ ，点E到直线y＝﹣1的距离为| ﹣（﹣1）|＝ ，
故存在点E，使得以点E为圆心半径为 的圆过点F，N且与直线y＝﹣1相切．
8．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c+1，
①当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
②若c＝﹣ b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
③若二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），且x ＜x ，b＞0，与y轴的正半轴交于点
1 2 1 2
M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、
E、F，且满足 ＝ ，求二次函数的表达式．
解：①二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的对称轴为x＝ ，
当b＝1时， ＝ ，
∴当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x＝ ．
②二次函数y＝﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（ ， ），
∵二次函数的图象与x轴相切且c＝﹣ b2﹣2b，∴ ，解得：b＝ ，
∴b为 ，二次函数的图象与x轴相切．
③∵AB是半圆的直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠OAM+∠OBM＝90°，
∵∠AOM＝∠MOB＝90°，
∴∠OAM+∠OMA＝90°，
∴∠OMA＝∠OBM，
∴△OAM∽△OMB，
∴ ，
∴OM2＝OA•OB，
∵二次函数的图象与x轴交于点A（x ，0），B（x ，0），
1 2
∴OA＝﹣x ，OB＝x ，x +x ，＝b，x •x ＝﹣（c+1），
1 2 1 2 1 2
∵OM＝c+1，
∴（c+1）2＝c+1，
解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），
∴c＝0，OM＝1，
∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足 ＝ ，
∴AD＝BD，DF＝4DE，
DF∥OM，
∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，
∴ ， ，
∴DE＝ ，DF＝ ，
∴ ×4，∴OB＝4OA，即x ＝﹣4x ，
2 1
∵x •x ＝﹣（c+1）＝﹣1，
1 2
∴ ，解得： ，
∴b＝﹣ +2＝ ，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+ x+1．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）都满
1 1 2 2
足；当x ＜x ＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0；当0＜x ＜x 时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．以原点O为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
解：①当x ＜x ＜0时，x ﹣x ＜0，
1 2 1 2
∵（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0，
1 2 1 2
∴y ﹣y ＜0，
1 2
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
当0＜x ＜x 时，x ﹣x ＜0，
1 2 1 2
∵（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0，
1 2 1 2
∴y ﹣y ＞0，
1 2
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
∴抛物线关于y轴对称，
∴b＝0，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2，
如图，连接OB、OC，设BC交y轴于点D．
由对称性可知，△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OD＝ OA＝1，CD＝ OD＝ ，
∴B（﹣ ，﹣1），C（ ，﹣1），
将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②设直线OM的解析式为y＝k x，
1
∵O、M、N三点共线，
∴x ≠0，x ≠0，且 ＝ ，
1 2
化为x ﹣x ＝ ，
1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴x x ＝﹣2，
1 2
∴ ，∴ ，
设点N关于y轴的对称点为N'，
则N'的坐标为 ，
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），
设直线PM的解析式为y＝k x+4，
2
∵点M的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线PM的解析式为 x+4．
∵ ，
即N'在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与
y轴交于点C，且 M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的⊙坐标；
（2）若直线AD与 M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件⊙下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直
线AD于点E．若以PE为半径的 P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4 时，求点P的坐标．
⊙解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）应该是圆M与直线AD相切，则∠CAD＝90°，
设：∠CAO＝ ，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝ ，
α α
tan∠CAO＝ ＝ ＝tan ，则sin ＝ ，cos ＝ ，
α α α
AC＝ ，则CD＝ ＝10，
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH＝ EF＝2 ，cos∠PEH＝ ，
解得：PE＝5，
设点P（x， x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝ x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝ 或2，
则点P（ ， ）或（2，1）．
11．如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐
标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的 P相交于点C．
（1）求点A的坐标； ⊙
（2）过点C作 P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证⊙：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝ ，∠CAE＝∠OBE时，求 ﹣ 的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，
ax（x+6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，
∵ P过O、A、B三点，B为顶点，
∴⊙PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB+∠ECD＝90°，
又∵∠BDM＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE．
②解：设OE＝m，点D的坐标为（t，0），
∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，
∴∠CBO＝∠EBO，由角平分线成比例定理可得： ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
＝ ，
＝ ．
12．抛物线y＝﹣ x2+ x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．
将抛物线位于直线l：y＝t（t＜ ）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形
组成一个“M”形的新图象．
（1）点B，D的坐标分别为 （ 3 ， 0 ） ， （ ， ） ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处，当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；
（3）如图②，当t＝0时，点Q是“M”形新图象上一动点．
①直接写出“M”形图象AB段的函数关系式；
②是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝0，则﹣ x2+ x﹣1＝0，解得x＝3或x＝ ，
∴B（3，0），A（ ，0），
令x＝0，则y＝﹣1，
∴C（0，﹣1），
∵y＝﹣ x2+ x﹣1＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴顶点D（ ， ），
故答案为：（3，0），（ ， ）；
（2）∵E与D关于直线y＝t对称，
∴E（ ，2t﹣ ），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，﹣1）代入，
得 ，
∴ ，
∴y＝ x﹣1，
当x＝ 时，y＝﹣ ，
∵E点在△ABC内（含边界），
∴2t﹣ ≥﹣ ，
∴t≥ ，
∵2t﹣ ≤0，
∴t≤ ，∵t＜ ，
∴t的取值范围是 ≤t≤ ；
（3）①当t＝0时，y＝﹣ x2+ x﹣1关于x轴对称的函数为y＝ x2﹣ x+1，
∴“M”形图象AB段的函数关系式为y＝ x2﹣ x+1（ ≤x≤3）；
②存在点P，理由如下：
设Q点的横坐标为m，
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，
∴P点的横坐标为 m，
当m＞3或m＜ 时，Q（m，﹣ m2+ m﹣1），
∵△CPQ为直角三角形，
∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣ m2+ m）2＝ m2+1+ m2+（﹣ m2+ m﹣1）2，
解得m＝ 或m＝ ，
∴P（ ，0）或P（ ，0）；
当 ≤m≤3时，Q（m， m2﹣ m+1），
∵△CPQ为直角三角形，
∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（ m2﹣ m+2）2＝ m2+1+ m2+（ m2﹣ m+1）2，
解得m＝2或m＝ ，
∴P（ ，0）或P（1，0）；
综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，P点坐标为（ ，0）或（ ，0）或
（ ，0）或P（1，0）．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣ ，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x ，y ），N（x ，y ）都满足：当x ＜x ＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣
1 1 2 2 1 2 1 2 1
y ）＞0；当0＜x ＜x 时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个
2 1 2 1 2 1 2
交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣ ，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣ ）2+b（﹣ ）+c＝0，
∴2a﹣ b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x ＜x ＜0时，（x ﹣x ）（y ﹣y ）＞0，
1 2 1 2 1 2
∴x ﹣x ＜0，y ﹣y ＜0，
1 2 1 2
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝ ，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（ ，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．②证明：由①可知，点M的坐标为（x ，﹣ +2），点N的坐标为（x ，﹣ +2）．
1 2
直线OM的解析式为y＝k x（k ≠0）．
1 1
∵O、M、N三点共线，
∴x ≠0，x ≠0，且 ＝ ，
1 2
∴﹣x + ＝﹣x + ，
1 2
∴x ﹣x ＝﹣ ，
1 2
∴x x ＝﹣2，即x ＝﹣ ，
1 2 2
∴点N的坐标为（﹣ ，﹣ +2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（ ，﹣ +2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k x+4，
2
∵点M的坐标为（x ，﹣ +2），
1
∴﹣ +2＝k x +4，
2 1
∴k ＝﹣ ，
2
∴直线PM的解析式为y＝﹣ x+4．∵﹣ • +4＝ ＝﹣ +2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点
C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为 M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点⊙A、B、C的对应点分别记为点A
1
、B
1
、C
1
，△A
1
B
1
C
1
的外接圆记为 M ，是否存在某个位置，使 M 经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不
1 1
存在，请说明理⊙由． ⊙解：（1）把点A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，
，
解得： ，
所以所求函数关系式为：y＝ x2﹣ x+3；
（2）△ABC是直角三角形，
过点B作BD⊥x轴于点D，
易知点C坐标为：（0，3），所以OA＝OC，
所以∠OAC＝45°，
又∵点B坐标为：（4，1），
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
圆心M的坐标为：（2，2）；
（3）存在
取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，
∵M的坐标为：（2，2），∴MC＝ ＝ ，OM＝2 ，
∴∠MOA＝45°，
又∵∠BAD＝45°，
∴OM∥AB，
∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使 M 经过原点，
1
则平移的长度为：2 ﹣ 或2 + ⊙；
∵∠BAD＝45°，
∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移 ＝ 个单位长度
或 ＝ 个单位长度，
∵y＝ x2﹣ x+3＝ （x﹣ ）2﹣ ，
∴平移后抛物线的关系式为：y＝ （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，
即y＝ （x﹣ ）2﹣ ，
或y＝ （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，
即y＝ （x﹣ ）2﹣ ．
综上所述，存在一个位置，使 M 经过原点，此时抛物线的关系式为：
1
⊙
y＝ （x﹣ ）2﹣ 或y＝ （x﹣ ）2﹣ ．15．已知抛物线C ：y＝ax2过点（2，2）
1
（1）直接写出抛物线的解析式 y ＝ x 2 ；
（2）如图，△ABC的三个顶点都在抛物线C 上，且边AC所在的直线解析式为y＝x+b，若AC边上的
1
中线BD平行于y轴，求 的值；
（3）如图，点P的坐标为（0，2），点Q为抛物线上C 上一动点，以PQ为直径作 M，直线y＝t与
1
M相交于H、K两点是否存在实数t，使得HK的长度为定值？若存在，求出HK的长⊙度；若不存在，
⊙请说明理由．
解：（1）把点（2，2）坐标代入y＝ax2，解得：a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2；
（2）把y＝x+b和y＝ x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，
设A、C两点的坐标为（x ，y ）、（x ，y ），
1 1 2 2
则：x +x ＝2，x •x ＝﹣2b，
1 2 1 2
点D坐标为（ ， ），即；D（1，1+b），B坐标为（1， ），
AC2＝[ （x ﹣x ）]2＝16b+8，
2 1
BD＝ +b，
∴ ＝16；（3）设点Q坐标为（a， a2），
点P的坐标为（0，2），由P、Q坐标得点M的坐标为（ ， a2+1），
设圆的半径为r，
由P（0，2）、M两点坐标可以求出r2＝ +（ a2﹣1）2＝ a4﹣ a2+1，
设点M到直线y＝t的距离为d，则d2＝（ a2+1﹣t）2＝ a4+ a2+1+t2﹣2t﹣ a2t，
则HK＝2 ＝2 ，
当 t﹣ ＝0时，HK为常数，t＝ ，
HK＝ ．
16．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心， 为半径作圆．请判断 P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐
⊙
标圆，并说明理由；
（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA周长的最小值；
（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆
的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．
解：（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图象与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝ ，
∴ P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
⊙
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝ ，
∴AF＝BF＝ ，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝ m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图象的对称轴l为 ，
∴ ，即 ，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴ ，
即 ，
化简，得 ，解得 ，∴ ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y
轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B
作 M的切线交于点P（如图2），设Q为 M上一动点，则在点运动过程中 的值是否变化？若不
变，⊙求出其值；若变化，请说明理由． ⊙
解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝ x2﹣ x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3 ，BD＝ ，AB＝5，
∵S△ABD ＝ ＝ ，
∴BN＝ ，
∴sin∠BDN＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDN＝45°，
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）不变．
如图，连接MQ，MB，∵过点B作 M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝⊙90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴ ＝ ＝ ，
∴在点Q运动过程中 的值不变，其值为 ．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶
点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作 E，交x轴于B、C两点，点M为 E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当t⊙an∠MBC＝2时，求m的值； ⊙
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，
请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝ （x﹣2）2﹣2＝ x2﹣2x①；
（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），
当点P在x轴下方时，
如图1，∵tan∠MBC＝2，
故设直线BP的表达式为：y＝﹣2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s＝2，
故直线BP的表达式为：y＝﹣2x+2②，
联立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m＝4±2 （舍去4﹣2 ）；
故m＝2或4+2 ；
②存在，理由：
连接BN、BD、EM，则BN是△OEM的中位线，故BN＝ EM＝ ，而BD＝ ＝ ，
在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，
即 ﹣0.5≤ND≤ +0.5，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为 ﹣0.5和 +0.5．
19．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，
3）三点，连接BC并延长．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．
1°求线段MN的最大值；
2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆
心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．
解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得
，
解得， ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，
解得， ，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），
∴MN＝﹣t2+3t＝﹣ ，
∴当t＝ 时，MN的值最大，其最大值为 ；
2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，
∴△PMN为直角三角形，
由1°知，当MN取最大值时，M（ ），N（ ），
①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为 ，
当y＝ 时，y＝x2﹣4x+3＝ ，
解得，x＝ ，或x＝ （舍去），
∴P（ ）；
②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，
∴P点的纵坐标为﹣ ，
当y＝﹣ 时，y＝x2﹣4x+3＝﹣ ，
解得，x＝ ，或x＝ （舍去），
∴P（ ， ）；
③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，
∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，
∴Q（ ），半径为 ，
过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝ ，得y＝x2﹣4x+3＝ ，
解得，x＝ ＜ （舍），或x＝ ，
∴K（ ， ），
∴QK＝ ＞ ，即K点在以MN为直径的 Q外，
设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣⊙1），
连接LK，如图②，则L到QK的距离为 ，
LK＝ ，
设Q点到LK的距离为h，则
，
∴ ＝ ，
∴直线LK下方的抛物线与 Q没有公共点，
∵抛物线中NL部分（除N⊙点外）在过N点与x轴平行的直线下方，
∴抛物线中NL部分（除N点外）与 Q没有公共点，
∵抛物线K点右边部分，在过K点与⊙y轴平行的直线的右边，
∴抛物线K点右边部分与 Q没有公共点，综上， Q与MN右边的抛物线没有交点，
⊙ ⊙∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；
综上，点P的坐标为（ ）或（ ）．
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于
点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y＝kx+1（k＜0）与抛物线交于P，Q两点，交抛物线的对称轴于点T，若△QMT的
面积是△PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与
DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，
∴x +x ＝2﹣k，x x ＝﹣2①，
1 2 1 2
∵△QMT的面积是△PMT面积的两倍，
∴ MT•（x ﹣1）＝2× MT•（1﹣x ），
2 1
∴2x +x ＝3，即x ＝3﹣2x ②，
1 2 2 1
将②代入①得：2x 2﹣3x ﹣2＝0，
1 1
解得：x ＝2或 ，
1
∴ 或 ，
∴k＝1或 ，
∵k＜0，
∴k＝﹣ ；
（3）线段EF的长为定值1，
如图，连接BE，
设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，
∵EF⊥x轴，
∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，∴ ，
∴ ，
∴EF＝ ＝ ＝1，
∴线段EF的长为定值1．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点
为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物
线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）现有一个以原点O为圆心， 长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，
问几秒后 O与直线AC相切？
⊙解：（1）设0＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1或3，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴抛物线的对称轴是：直线x＝1．
（2）①设直线BC的函数关系式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，
得 ，解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线BC的函数关系式为y＝﹣x+3．
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1.2）．
当x＝m时，y＝﹣m+3，∴P（m，﹣m+3）
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝1时，y＝4，∴D（1，4）．
当x＝m时，y＝﹣m2+2m+3，
∴F（m，﹣m2+2m+3），
∴线段DE＝4﹣2＝2，
线段PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PF∥DE
∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．
由﹣m2+3m＝2，解得m＝2或m＝1（不合题意，舍去）．
因此，当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB＝OM+MB＝3．∵S＝S△EPF +S△CPF ，
即S＝ PF•BM+ PF•OM
＝ PF（BM+OM）
＝ PF•OB，
∴S＝ ×3（﹣m2+3m）＝﹣ m2+ m（0≤m≤3）
∴当m＝﹣ ＝ 时
S最大值＝ ；
（3）如图，设 O与直线AC相切于点E，连O′E，则O′E⊥AC，
∵AO⊥CO， ⊙
∴∠O′EC＝∠COA＝90°
∵∠ACO＝∠ECO，
∴△ACO∽△O′CE，
∴ ＝ ，
由（1）得AO＝1，CO＝3，AC＝ ，
设x秒后 0与AC相切，
则OO′＝⊙x，CO′＝|3﹣x|，
∴ ，
解得：x＝0.5或5.5，
∴0.5或5.5秒后 O与直线AC相切．
⊙22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；
②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或不
是）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的 O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，
∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤⊙AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交
于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字
形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S ，S ，S ，S 求同时满足
1 2 3 4
下列三个条件的抛物线的解析式：
① ＝ + ；② ＝ + ；③“十字形”ABCD的周长为12 ．
解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”．
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”．
故答案为：菱形，正方形；②如图：
假设四边形ABCD是十字形，则AC⊥BD．
∵AD＝AB，
∴DE＝BE，
∵∠BEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴CB＝CD，这与CB≠CD矛盾，
∴假设不成立，
∴该四边形不是“十字形”．
故答案为：不是；
（2）∵∠ABD﹣∠CBD＝∠ADB﹣∠CDB，
∴∠ABD+∠CDB＝∠ADB+∠CBD，
∵∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠CAB＝∠ADB+∠CAD，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD．
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD．∴OA＝OD＝1，ON2＝OD2﹣DN2，OM2＝OA2﹣AM2，AM＝ AC，DN＝ BD，四边形OMEN是矩形，
∴OE2＝OM2+ME2，ON＝ME，
∴OE2＝ON2+OM2＝2﹣ （AC2+BD2）．
∵7≥AC2+BD2≥6，
∴2﹣ ≥OE2≥2﹣
∴ ，
∴ ≤OE≤ （OE＞0）．
（3）由题意得：A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），D（0，﹣ac）．
∵c＜0，a＞0，
∴DO＝﹣ac，AC＝ ，BC＝﹣ac﹣c，AO＝ ，CO＝ ，BO＝﹣c，
∴S＝ AC•BD＝﹣ （ac+c）• ，
S ＝ AO•OB＝﹣ • ＝﹣ ，
1
S ＝ CO•OD＝﹣ • ＝﹣ ，
2
S ＝ AO•OD＝﹣ • ＝﹣ ，
3
S ＝ BO•OC＝﹣ • ＝﹣ ．
4
∵ ＝ + ， ＝ + ，
∴ ，
∴ ＝2，即a＝1，
∴S＝﹣c ，S ＝﹣ ，S ＝﹣ ．
1 4∵ + ＝ ，
∴S＝S +S +2 ，
1 2
∴﹣c ＝﹣ +2 ，
∴﹣ ＝﹣c• ，
∴ ＝ ，即b＝0，
∴C（ ，0），D（0，﹣c），A（﹣ ，0），B（0，c），
∴四边形ABCD为菱形，
∴4AD＝12 ，
∴AD＝3 ，即AD2＝90．
∵c2﹣c＝AD2，
∴90＝c2﹣c，
即（c﹣10）（c+9）＝0，
∴c ＝10（舍去），c ＝﹣9，
1 2
∴y＝x2﹣9．
