文档内容
模型介绍
考点1 一点一垂线模型
【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积
等于 |k|．
【示例】
拓展：【例1】．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，
PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点 A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会
（ ）
A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，
则BC＝OA，
设点P（x， ），
则S△PAB ＝ PA•BC＝ • •x＝3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选：C．
变式训练
【变1-1】．如图，点A、B在反比例函数 的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，
射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是4，则k的值为 ﹣ ．解：设OM＝a，则OM＝MN＝NC＝a，
∵点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，AM⊥OC、BN⊥OC，
∴AM＝ ，BN＝ ，
∵S△AOC ＝S△AOM +S四边形AMNB +S△BNC ，
∴﹣ ×3a× ＝﹣ k+4﹣ ×a× ，
解得k＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝ （k≠0）上的两点，PA⊥x
轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝ 得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，
设直线OM的解析式为y＝mx，
把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝ ，所以直线OM的解析式为y＝ x，当x＝2时，y＝ ×2＝ ，
所以C点坐标为（2， ），
所以△OAC的面积＝ ×2× ＝ ．
故选：B．
考点2一点两垂线模型
【模型讲解】
反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|．
【示例】
【例2】．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y轴的直线分别交双曲线于
A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
解：设直线AB与x轴交于点C．
∵AB∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线y＝ 的图象上，
∴△AOC的面积＝ ×10＝5．
∵点B在双曲线y＝ 的图象上，
∴△COB的面积＝ ×6＝3．
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．
故选：B．
变式训练
【变2-1】．如图，函数y＝ （x＞0）和 （x＞0）的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PA∥y轴交
1 2 2
l 于点A，PB∥x轴交l 于点B，△PAB的面积为 ．
1 1解：设点P（x， ），则点B（ ， ），A（x， ），
∴BP＝x﹣ ＝ ，AP＝ ﹣ ＝ ，
∴S△ABP ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【变2-2】．如图，直线AB∥x轴，分别交反比例函数y＝ 图象于A、B两点，若
S△AOB ＝2，则k
2
﹣k
1
的值为 4 ．
解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k ＝ab，k ＝cd，
1 2
∵S△AOB ＝2，
∴ cd﹣ ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k ﹣k ＝4，
2 1
故答案为：4．
【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝ 和y＝ 的图象交于A、B两点，若S△AOB ＝3，则k的值为 ﹣ 2 ．
解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM ＝ |k|，S△BOM ＝ ×4＝2，
∵S△AOB ＝3，
∴S△AOM ＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
考点3 两曲一平行模型
【模型讲解】
两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面
积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型1 两条双曲线的k值符号相同
【示例】【例3】．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴
的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF
的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（ ）
A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36
解：设A（x，0）．
∵正方形ADEF的面积为16，
∴ADEF的边长为4，∴E（x﹣4，4），
∵BF＝2AF，
∴BF＝2×4＝8，
∴B（x，12）．
∵点B、E在反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象上，
∴4（x﹣4）＝12x，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，12），
∴k＝﹣2×12＝﹣24，
故选：C．
变式训练
【变3-1】．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 的图象上．若正
方形OABC的面积为1，则k的值为 1 ；点E的坐标为 （ + ， ﹣ ） ．
解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC的边长为
1．
∴B点坐标为：（1，1），
设反比例函数的解析式为y＝ ；
∴xy＝k＝1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），
代入反比例函数y＝ （x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，
解得：a＝ ﹣ ．
∴点E的坐标为：（ + ， ﹣ ）．
【变3-2】．如图，A、B两点在双曲线y＝ 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影 ＝
1.7，则S +S 等于 4. 6 ．
1 2
解：如图，
∵A、B两点在双曲线y＝ 上，
∴S四边形AEOF ＝4，S四边形BDOC ＝4，
∴S
1
+S
2
＝S四边形AEOF +S四边形BDOC ﹣2×S阴影 ，
∴S +S ＝8﹣3.4＝4.6
1 2故答案为：4.6．
【变3-3】．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P ，P ，P ，P ，…，它们的横坐标依次
1 2 3 4
为1，2，3，4，…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S ，S ，S ，…，则S +S +S +…+S ＝ ．（用n的代数式表示，n为正整数）
1 2 3 1 2 3 n
解：当x＝1时，P 的纵坐标为2，
1
当x＝2时，P 的纵坐标1，
2
当x＝3时，P 的纵坐标 ，
3
当x＝4时，P 的纵坐标 ，
4
当x＝5时，P 的纵坐标 ，
5
…
则S ＝1×（2﹣1）＝2﹣1；
1
S ＝1×（1﹣ ）＝1﹣ ；
2
S ＝1×（ ﹣ ）＝ ﹣ ；
3
S ＝1×（ ﹣ ）＝ ﹣ ；
4
…
S ＝ ﹣ ；
n
S +S +S +…+S ＝2﹣1+1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ＝2﹣ ＝ ．
1 2 3 n故答案为： ．
考点4 两点一垂线模型
【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角
形面积之和．
【示例】
【例4】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A
作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k＝﹣ ；②不等式kx＜﹣ 的解集为﹣4＜x＜0
或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
解：将x＝﹣4代入y＝﹣ 得y＝﹣ ＝2，
∴点A坐标为（﹣4，2），
将（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，
解得k＝﹣ ，
∴①正确．
由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4，﹣2），
∴当﹣4＜x＜0或x＞4时，kx＜﹣ ，
∴②正确．
∵S△AOC ＝S△AOB +S△BOC ＝ OB•y
A
+ OB•（﹣y
C
）＝ BO（y
A
﹣y
C
）＝ ×（2+2）＝8，
∴③错误．
故选：C．
变式训练
【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A，B两点，过点
B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为 4 ．解：∵BC⊥y轴于点C，
∴S△COB ＝ |﹣4|＝2，
∵正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝﹣ 的图象均关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴S△AOC ＝S△COB ＝2，
∴S△ABC ＝S△AOB +S△BOC ＝2+2＝4，
故答案为：4．
【变4-2】．如图，过点O的直线与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点
C，连接BC，则△ABC的面积为 ．
解：∵点A反比例函数y＝ 的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，
∴S△AOC ＝ |k|＝ ，
∵过点O的直线与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，
∴OA＝OB，
∴S△BOC ＝S△AOC ＝∴S△ABC ＝2S△ACO ＝ ，
故答案为： ．
【变4-3】．如图，函数y＝x与y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，连接
BC，若S△ABC ＝3，则k＝ 3 ．
解：设A（a，a）（a＞0），
∵函数y＝x与y＝ 的图象的中心对称性，
∴B（﹣a，﹣a），
∴S△ABC ＝ •a•2a＝a2＝3，
∴a＝ ，
∴A（ ， ），
把A（ ， ）代入y＝ 得k＝ ＝3．
故答案为：3．
考点5 两点两垂线模型
【模型讲解】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|．
【示例】【例5】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点
B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 4 ．
解：∵点A在反比例函数y＝﹣ 上，且AB⊥x轴，
∴ ＝2，
∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，
∴O是BD的中点，
∴S△ABD ＝2S△ABO ＝4．
故答案为：4．
变式训练
【变5-1】．如图，一次函数y＝kx与反比例函数 上的图象交于A，C两点，AB∥y轴，BC∥x轴，若
△ABC的面积为4，则k＝ ﹣ 2 ．解：设AB交x轴于点D，
由反比例函数系数的几何意义可得S△ADO 的面积为 ，
由函数的对称性可得点O为AC中点，即DO为△ABC中位线，
∴ ＝ ，
∴S△ABC ＝4S△ADO ＝2|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝ 的图象交于A，C两点，过点A作x轴的
垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为
2 ．解：∵A、C是两函数图象的交点，
∴A、C关于原点对称，
∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD ，
又∵A点在反比例函数y＝ 的图象上，
∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△DOC ＝S△AOD ×1＝ ，
∴S四边形ABCD ＝4S△AOB ＝4× ＝2，
故答案为：2．
【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P
为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是 5 ．
解：过点A作AF⊥y轴，垂足于点F；过点B作BE⊥y轴，垂足为点E．∵点P是AB中点．
∴PA＝PB．
又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，
∴△APF≌△BPE．
∴S△APF ＝S△BPE ．
∴S四边形ABCD ＝S四边形ACOF +S四边形EODB ＝|﹣2|+|3|＝5．
故答案为：5．
考点6 反比例函数上两点和外一点模型
【模型讲解】
反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法．
【示例】
方法一：S ＝S －S －S ．
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S ＝S （划归到模型一），则
△OAM 四边形MEFB
S ＝S ．
△AOB 直角梯形AEFB
【拓展】方法一：当 或 ＝m时，则S ＝m|k|．
四边形OFBE
方法二：作EM⊥x轴于M，则S ＝S （划归到上一个模型示例）．
△OEF 直角梯形EMAF
【例6】．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则S△AOB ＝（ ）
A． B． C． D．6
解：把A（﹣4，1）代入y＝ 的得：k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是y＝﹣ ，
∵B（1，m）代入反比例函数y＝﹣ 得：m＝﹣4，
∴B的坐标是（1，﹣4），
把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得： ，解得：a＝﹣1，b＝﹣3，
∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3；
把x＝0代入一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），
∴S△AOB ＝S
AOD
+S△BOD ＝ ×3×（1+4）＝ ．
故选：A．
变式训练
【变6-1】．如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数 的图象于点B，A，点C在x轴上，且
．若S△BCA ＝12，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6
解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A、B在反比例函数 的图象上，直线AB经过原点，
∴OA＝OB＝ AB，
∵ ，S△BCA ＝12，
∴OB＝BC，S△BCO ＝ S△BCA ＝6，
∵BE⊥OC，∴OE＝CE，
∴S△OBE ＝ S△BCO ＝3，
∵BE⊥x轴于E，
∴S△OBE ＝ |k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：C．
【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 与直线y＝ 交于A，B，x轴的正半轴上有
一点C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面积为25，则k的值为 4 8 ．
解：设点A坐标为（3a，4a），
由反比例函数图象与正比例函数图象的对称性可得点B坐标为（﹣3a，﹣4a），
∴OA＝OB＝ ＝5a，
∵∠ACB＝90°，O为AB中点，
∴OC＝OA＝OB＝5a，设直线BC解析式为y＝kx+b，
将（﹣3a，﹣4a），（5a，0）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴y＝ x﹣ a，
∴点D坐标为（0，﹣ a），
∴S△OCD ＝ OC•OD＝ 5a× a＝25，
解得a＝2或a＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，8），
∴k＝6×8＝48．
故答案为：48．
【变6-3】．如图，正比例函数y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接
AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，则该反比例函数的解析式是 y ＝﹣ ．
解：设点A为（a，﹣ a），
则OA＝ ＝﹣ a，∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为20，
∴OA＝OB＝OC＝﹣ a，
∴S△ACB ＝ ×OC×（y
A
+|y
B
|）＝ ×（﹣ a）×（﹣ a）＝10，
解得，a＝± （舍弃正值），
∴点A为（﹣ ，2 ），
∴k＝﹣ ×2 ＝﹣6，
∴反比例函数的解析式是y＝﹣ ，
故答案为：y＝﹣ ．
考点7 反比例函数上两点和原点模型
【模型讲解】
反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支上，用加法．
【示例】
方法一：S ＝ OD·|x －x |＝ OC·|y －y |．
△AOB B A A B
方法二：S ＝S ＋S ＋S ．
△AOB △AOC △OCD △OBD
方法三：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长AE与BF相交于点N，则
S ＝S －S －S －S ．
△AOB △ABN △AOE △OBF 矩形OENF
【例7】．如图，直线AB交双曲线 于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x
轴于M，连接OA．若OM＝2MC，S△OAC ＝12．则k的值为 8 ．解：过A作AN⊥OC于N，
∵BM⊥OC
∴AN∥BM，
∵，B为AC中点，
∴MN＝MC，
∵OM＝2MC，
∴ON＝MN＝CM，
设A的坐标是（a，b），
则B（2a， b），
∵S△OAC ＝12．
∴ •3a•b＝12，
∴ab＝8，∴k＝ab＝8，故答案为：8．
变式训练
【变7-1】．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴
上，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且四边形ODBE的
面积为21，则k＝ 7 ．解：设D点的横坐标为x，则其纵坐标为 ，
∵BD＝3AD，
∴点B点的坐标为（4x， ），点C的坐标为（4x，0）
∵S四边形ODBE ＝21，
∴S矩形ABCD ﹣S△OCE ﹣S△OAD ＝21，
即：4x• ﹣ ﹣ ＝21
解得：k＝7．
故答案为：7．
【变7-2】．如图，点 是直线AB与反比例函数 图象的两个交点，
AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S ，S ，求S ﹣S ．
1 2 2 1
解：（1）由点A（ ，4）在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，
∴n＝ ×4＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ （x＞0），
将点B（3，m）代入y＝ （x＞0）并解得m＝2，
∴B（3，2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，∴ ，解得 ，
∴直线AB的表达式为y＝﹣ x+6；
（2）由点A坐标得AC＝4，
则点B到AC的距离为3﹣ ＝ ，
∴S ＝ ＝3，
1
设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：
∴DE＝6﹣1＝5，
由点A（ ，4），B（3，2）知，点A，B到DE的距离分别为 ，3，
∴S
2
＝S△BDE ﹣S△AED ＝ ﹣ ＝ ，
∴S ﹣S ＝ ﹣3＝ ．
2 1
考点8 两双曲线k值符号不同模型
【模型讲解】
两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面
积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型1 两条双曲线的k值符号相同
【示例】【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与 的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，
交函数 的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）A．2 B．3 C．5 D．6
解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，﹣ ），则B点坐标为（﹣x， ），C（﹣2x，﹣ ），
∴S△ABC ＝ ×（﹣2x﹣x）•（﹣ ﹣ ）＝ ×（﹣3x）•（﹣ ）＝6．
故选：D．
变式训练
【变8-1】．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ （x＞0）和y
＝﹣ （x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，
将x＝a代入反比例函数y＝﹣ 中得：y＝﹣ ，故A（a，﹣ ）；
将x＝a代入反比例函数y＝ 中得：y＝ ，故B（a， ），
∴AB＝AP+BP＝ + ＝ ，
则S△ABC ＝ AB•x P的横坐标 ＝ × ×a＝ ，故选：D．
【变8-2】．如图，点A和点B分别是反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上的点，AB⊥x
轴，点C为y轴上一点，若S△ABC ＝2，则m﹣n的值为 4 ．
解：连接AO．CO，
∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点，
∴AB∥y轴，
∴S△ABC ＝S△ABO ＝2，
∴ ＝2．
∴ ＝2，
即m﹣n＝4．
故答案为：4．1．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝ 的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴OA＝OC＝4，
在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，
∴OB＝ OA＝2，
∴AB＝ OB＝2 ，
∴A点坐标为（﹣2，2 ），
把A（﹣2，2 ）代入y＝ 得k＝﹣2×2 ＝﹣4 ．
故选：B．
2．如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反
比例函数y＝ （x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA＝ ，则k的值等于（ ）
αA．8sin2 B．8cos2 C．4tan D．2tan
解：方法α一： α α α
过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OA交OA的延长线于点F，
设C点横坐标为：a，则：CE＝a•tan ，
∴C点坐标为：（a，a•tan ）， α
∵平行四边形OABC中，点αD为边AB的中点，
∴D点纵坐标为： a•tan ，
设D点横坐标为x， α
∵C，D都在反比例函数图象上，
∴a×a•tan ＝x× a•tan ，
解得：x＝α2a， α
则FO＝2a，
∴FE＝a，
∵∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA，
∴△COE∽△DAF，
∴ ＝ ＝2，
∴AF＝ ，
∴AO＝OF﹣AF＝ a，
∵点A的坐标为（3，0），
∴AO＝3，
∴ a＝3，解得：a＝2，
∴k＝a×a•tan ＝2×2tan ＝4tan ．
α α α
方法二：
∵C（a，atan ），A（3，0），∴B（a+3，atan ），
α α
∵D是线段AB中点，∴D（ ， atan ），即D（ ， atan ）．
α α
∵反比例函数过C，D两点，∴k＝a•atan ＝ （a+6）• atan ，
解得a＝2， α α
∴k＝4tan ．
故选：C．α
3．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴， ＝ ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平
分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝ 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 时，
k的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
解：设OA＝3a，则OB＝4a，
∴A（3a，0），B（0，4a）．
设直线AB的解析式是y＝kx+b，则根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是y＝﹣ x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．
根据题意得： ，
解得：
则D的坐标是（ ， ），
OA的中垂线的解析式是x＝ ，则C的坐标是（ ， ），
将C点坐标代入反比例函数y＝ ，
则k＝ ．
设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
则OF＝CF＝ ，OE＝DE＝ a，
∵∠DOA＝45°，
∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，
∴OC＝ OF＝ a，OD＝ OE＝ a，∴CD＝OD﹣OC＝（ ）＝ （ ﹣ ）＝ a．
∵以CD为边的正方形的面积为 ，
∴ ＝ ，
则a2＝ ，
∴k＝ × ＝7．
故选：D．
4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝ 的
图象上，且OA⊥OB，cosA＝ ，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOF+∠EOA＝90°，
∵∠BOF+∠FBO＝90°，
∴∠EOA＝∠FBO，
∵∠BFO＝∠OEA＝90°，
∴△BFO∽△OEA，
在Rt△AOB中，cos∠BAO＝ ＝ ，
设AB＝ ，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝ ，
∴OB：OA＝ ：1，∴S△BFO ：S△OEA ＝2：1，
∵A在反比例函数y＝ 上，
∴S△OEA ＝1，
∴S△BFO ＝2，
则k＝﹣4．
故选：B．
5．如图，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴
的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到
的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A． B． C． D．
解：如图，
∵点A坐标为（﹣1，1），
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ，
∵OB＝AB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（﹣ ，t），
∵PB＝PB′，
∴t﹣1＝|﹣ |＝ ，
整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t ＝ ，t ＝ （不符合题意，舍去），
1 2
∴t的值为 ．
故选：A．
6．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝ （x＞0）的图
象经过点A，则k的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
解：∵A与C关于OB对称，
∴A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y＝ 得：2＝ ，解得：k＝6．
故选：D．
7．如图，直线y＝ 与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝ 向上平移4个单位长度后，
与y轴交于点C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
解：∵将直线y＝ 向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝ x+4，
分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x， x），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝ OD，
∵点B在直线y＝ x+4上，
∴B（x， x+4），
∵点A、B在双曲线y＝ 上，
∴3x• x＝x•（ x+4），解得x＝1，∴k＝3×1× ×1＝ ．
故选：D．
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），
C，D两点在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则k等于 ﹣ 1 2 ．
解：设点C坐标为（a， ），（k＜0），点D的坐标为（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD的中点坐标相同，
∴（ ， ）＝（ ， ），
则x＝a﹣1，y＝ ，
代入y＝ ，可得：k＝2a﹣2a2①；
在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ，
∴BC＝2AB＝2 ，故BC2＝（0﹣a）2+（ ﹣2）2＝（2 ）2，
整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，
将①k＝2a﹣2a2，代入后化简可得：a2＝4，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．
故答案为：﹣12．
方法二：
因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点B、A分别向左平移a，向上平移b得到的．
故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0），
∴﹣a（2+b）＝b（﹣1﹣a），
整理得2a+ab＝b+ab，
解得b＝2a．
过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD＝2 ，AH＝a，DH＝b＝2a．
AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，
得a＝2．
所以D坐标是（﹣3，4）
所以k＝﹣12．
9．如图，点E，F在函数y＝ （x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF＝1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是 2 ，△OEF的面积是
（用含m的式子表示）
解：作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，
∵△OEP的面积为1，
∴ |k|＝1，
而k＞0，
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，
∴EP∥FH，
∴△BPE∽△BHF，
∴ ＝ ＝ ，即HF＝mPE，
设E点坐标为（t， ），则F点的坐标为（tm， ），
∵S△OEF +S△OFD ＝S△OEC +S梯形ECDF ，
而S△OFD ＝S△OEC ＝1，
∴S△OEF ＝S梯形ECDF ＝ （ + ）（tm﹣t）
＝（ +1）（m﹣1）
＝ ．故答案为：2， ．
10．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1， P的圆心P在线段BC上，且 P
⊙ ⊙
与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，则k＝ ．
解：设 P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．
则有PD⊙⊥OA，PE⊥AB．
设 P的半径为r，
∵⊙AB＝5，AC＝1，
∴S△APB ＝ AB•PE＝ r，S△APC ＝ AC•PD＝ r．
∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，
∴OB＝3．
∴S△ABC ＝ AC•OB＝ ×1×3＝ ．
∵S△ABC ＝S△APB +S△APC ，
∴ ＝ r+ r．
∴r＝ ．∴PD＝ ．
∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，
∴∠PDC＝∠BOC＝90°．
∴PD∥BO．
∴△PDC∽△BOC．
∴ ＝ ．
∴PD•OC＝CD•BO．
∴ ×（4﹣1）＝3CD．
∴CD＝ ．
∴OD＝OC﹣CD＝3﹣ ＝ ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
∵反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，
∴k＝ × ＝ ．
故答案为： ．
11．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别
在双曲线y＝ 和y＝ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结
论：① ＝ ；
②阴影部分面积是 （k +k ）；
1 2
③当∠AOC＝90°时，|k |＝|k |；
1 2
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 ①④ （把所有正确的结论的序号都填上）．
解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB ＝S△COB ，
∴AE＝CF，
∴OM＝ON，
∵S△AOM ＝ |k
1
|＝ OM•AM，S△CON ＝ |k
2
|＝ ON•CN，
∴ ＝ ，故①正确；
∵S△AOM ＝ |k
1
|，S△CON ＝ |k
2
|，
∴S阴影部分 ＝S△AOM +S△CON ＝ （|k
1
|+|k
2
|），
而k ＞0，k ＜0，
1 2
∴S阴影部分 ＝ （k
1
﹣k
2
），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k |＝|k |，故③错误；
1 2
若OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM＝CN，
∴|k |＝|k |，
1 2
∴k ＝﹣k ，
1 2
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案为：①④．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x﹣1，双曲线y＝ ，在l上取一点A ，过A 作x
1 1
轴的垂线交双曲线于点B ，过B 作y轴的垂线交l于点A ，请继续操作并探究：过A 作x轴的垂线交
1 1 2 2
双曲线于点B ，过B 作y轴的垂线交l于点A ，…，这样依次得到l上的点A ，A ，A ，…，A ，…记
2 2 3 1 2 3 n
点A 的横坐标为a ，若a ＝2，则a ＝ ﹣ ，a ＝ ﹣ ；若要将上述操作无限次地进行下去，
n n 1 2 2013
则a 不可能取的值是 0 、﹣ 1 ．
1解：当a ＝2时，B 的纵坐标为 ，
1 1
B 的纵坐标和A 的纵坐标相同，则A 的横坐标为a ＝﹣ ，
1 2 2 2
A 的横坐标和B 的横坐标相同，则B 的纵坐标为b ＝﹣ ，
2 2 2 2
B 的纵坐标和A 的纵坐标相同，则A 的横坐标为a ＝﹣ ，
2 3 3 3
A 的横坐标和B 的横坐标相同，则B 的纵坐标为b ＝﹣3，
3 3 3 3
B 的纵坐标和A 的纵坐标相同，则A 的横坐标为a ＝2，
3 4 4 4
A 的横坐标和B 的横坐标相同，则B 的纵坐标为b ＝ ，
4 4 4 4
即当a ＝2时，a ＝﹣ ，a ＝﹣ ，a ＝2，a ＝﹣ ，
1 2 3 4 5
b ＝ ，b ＝﹣ ，b ＝﹣3，b ＝ ，b ＝﹣ ，
1 2 3 4 5
∵ ＝671，
∴a ＝a ＝﹣ ；
2013 3
点A 不能在y轴上（此时找不到B ），即x≠0，
1 1
点A 不能在x轴上（此时A ，在y轴上，找不到B ），即y＝﹣x﹣1≠0，
1 2 2
解得：x≠﹣1；
综上可得a 不可取0、﹣1．
1
故答案为：﹣ ；﹣ ；0、﹣1．
13．如图，一次函数y＝ x+1的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
请求出所有符合条件的点P坐标．
解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝ x+1得，
，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y＝ 得，
3＝ ，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y＝ 得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，作CF⊥x轴于F，交AB于E，
当x＝2时，y＝ ＝2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴ x ＝ ＝8；
A
②如图2，
当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴y ＝1+3﹣0＝4，
P
当y＝4时，4＝ ，
∴x＝3，
∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的 ABQ′P′），
由y Q′ ﹣y B ＝y P′ ﹣y A 得， ▱
0﹣1＝y
P′
﹣3，
∴y
P′
＝2，
当y＝2时，x＝ ＝6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0， ）两点，且与
1 1
反比例函数y ＝ 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为 ．
2
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 1
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
解：（1）∵一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0， ）两点，
1 1
∴ ，解得 ．
∴一次函数的解析式为：y ＝﹣ x+ ．
1∵△OAP的面积为 ，
∴ •OA•y ＝ ，
P
∴y ＝ ，
P
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣ x+ ＝ ．解得x＝4，
∴P（4， ）．
∵点P在反比例函数y ＝ 的图象上，
2
∴k ＝4× ＝2．
2
∴一次函数的解析式为：y ＝﹣ x+ ．反比例函数的解析式为：y ＝ ．
1 2
（2）令﹣ x+ ＝ ，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y ＞y 时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
2 1
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，
∵P（4， ）．∴P′（4，﹣ ）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣ x+ ．
令y＝0，解得x＝ ．
∴C（ ，0）．
∴S△PKC ＝ •（x
C
﹣x
K
）•PP′
＝ ×（ ﹣1）×1
＝ ．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为 ．
15．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝ 的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），
∴m+1＝2，
∴m＝1，
∴A（1，2），∵反比例函数y＝ 经过点（1，2），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）由题意，得 ，
解得 或 ，
∴B（﹣2，﹣1），
∵C（0，1），
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×1×2+ ×1×1＝1.5；
（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．
16．已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表
达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M
重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴ ，
∴ ，
解得x＝ ，∴P（ ， ），
设过点P的函数表达式为y＝ ，
∴k＝xy＝ ＝ ，
∴y＝ ；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB ＝S△AON +S△ABN ，
∴ ＝ + ，
解得，ON＝ ，
∴N（0， ），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+ ，
则3m+ ＝0，
∴m＝﹣ ，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣ x+ ．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
17．小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线，画出了如图1
所示的图象．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
﹣ ﹣ ﹣y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
﹣
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： 函数有最大值为 4 ； 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大 ；
②若函数图象上的两点（x ，y ），（x ，y ）满足x +x ＝0，则y +y ＝0一定成立吗？ 不一定 ．
1 1 2 2 1 2 1 2
（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得
到直线l与函数y＝﹣ （x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②假设x ＝﹣ ，则y ＝1，
1 1
∵x +x ＝0，
1 2
∴x ＝ ，
2
∴y ＝﹣8，
2
∴y +y ＝0不一定成立，
1 2
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ＝ ＝ ，
∴△PAB的面积为 ；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，∴S△ABD ＝S△ACD +S△BCD
＝
＝ ．
∴△PAB的面积为 ．
