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例题精讲
【例1】．定义一种新运算： ，例如 ．若 ，
则k＝ ．
变式训练
【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣ ]＝﹣4，
π
如果 ，则x的取值范围是（ ）
A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7
【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过 x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝
0．现在有一列非负数a
1
，a
2
，a
3
，…，已知a
1
＝10，当n≥2时，a
n
＝a
n﹣1
+1﹣5（[ ]﹣[ ]），
则a 的值为 ．
2022【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi的数叫做
复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、
乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i
（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i
根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
变式训练
【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已
失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为
“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为了揭示二项式（a+b）n（n＝1，2，3，
4，5）展开后的系数规律，即
（a+b）1＝a+b，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（ ）
A．2n﹣1+1 B．2n﹣1+2 C．2n D．2n+1【变2-2】．已知n行n列（n≥2）的数表 中，对任意的i＝1，2，…，n，j＝1，
2，…，n，都有a ＝0或1．若当a ＝0时，总有（a +a +…+a ）+（a +a +…+a ）≥n，则称数表A
ij st 1t 2t nt s1 s2 sn
为典型表，此时记表A中所有a 的和记为S ．
ij n
（1）若数表 ， ，其中典型表是 ；
（2）典型表中S 的最小值为 ．
5
1．对任意两个实数a，b定义两种运算：a b＝ ，a b＝ ，并且定义运算顺序仍
⊕ ⊗
然是先做括号内的，例如：（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，（（﹣2） 3） 2＝3 2＝2，则
⊕ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗
等于（ ）
A． B．3 C． D．2
2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中较小的值，如Min{2，4}＝2，按照
这个规定，方程Min{ }＝ 的解为（ ）A．1或3 B．1或﹣3 C．1 D．3
3．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log N．例如：因为72＝
a
49，所以log 49＝2；因为53＝125，所以log 125＝3．则下列说法正确的个数为（ ）
7 5
①log 1＝0；
6
②log 23＝3log 2；
3 3
③若log （3﹣a）＝log 27，则a＝0；
2 8
④log xy＝log x+log y（x＞0，y＞0）．
2 2 2
A．4 B．3 C．2 D．1
4．我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc．如 ＝2×5﹣3×4＝﹣2，请你计
算 的值为 ．
5．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m﹣2）＝16，则
m＝
6．设n为正整数，记n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，则 + + +…+ + ＝
．
7．新定义：任意两数m，n，按规定y＝ ﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．
则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是 ．8．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，比如
a
指数式 23＝8 可以转化为对数式 3＝log 8，对数式 2＝log 36，可以转化为指数式 62＝36．计算
2 6
log 9+log 125﹣log 32＝ ．
3 5 2
9．对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则f（m）＝3m+3；若m为偶数，则f（m）＝ ．例如f（5）
＝3×5+3＝18，f（8）＝ ＝4．若m ＝1，m ＝f（m ），m ＝f（m ），m ＝f（m ），…，依此规律进
1 2 1 3 2 4 3
行下去，得到一列数m ，m ，m ，m ，…，m ，…（n为正整数），则m +m +m +…+m ＝
1 2 3 4 n 1 2 3 2021
．
10．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角 （0°＜ ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构
成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线θ，交x轴θ于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴
于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P
的斜坐标．
（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是 ；
（2）在某平面斜坐标系中，已知 ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x轴对称，则点
N的斜坐标是 ． θ
11．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的 足 迹 ． 下 面 是 关 于 分 式 的 欧 拉 公 式 ： ＝
（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．
（1）当r＝0时，常数p的值为 ．
（2）利用欧拉公式计算： ＝ ．
12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解： （s、t是正整数，且s≤t），如果 在n的所
有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是n的最佳分解，并规定：F（n）＝ ．例如
18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝ ＝ ．给出下列关于F（n）的说法：①
F（2）＝ ；②F（48）＝ ；③F（n2+n）＝ ；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说
法的是 （将正确答案的序号填写在横线上）．
13．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小
的数．例如：M{1，2，9}＝ ＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，
解决下列问题：
（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；
（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为： ＝ad﹣bc．例如： ＝5×8﹣6×7＝﹣2．
（1）求 的值．
（2）若 ＝20，求m的值．
15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字
的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”．
例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相邻数”．
（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；
（2）若四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若 为整数，求所
有满足条件的n值．
16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了
（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．
例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）5展开式共有 项，系数和为 ．
（2）求（2a﹣1）5的展开式；
（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；
（4）设（x+1）17＝a x17+a x16+…+a x+a ，则a +a +a +…+a +a 的值为 ．
17 16 1 0 1 2 3 16 1717．若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，
1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．
（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；
（2）试说明： ；
（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝
f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．
①a，b的值分别为多少？
②试确定ab的个位数字．
18．请阅读以下材料，解决问题．
我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个
数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复
数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运
算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；
若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，
则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
根据材料回答：
（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝ ；
②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝ ；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．
19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，
为了简便起见，可以将上述式子表示为 ，这里“ ”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用
∑
“ ”可以表示为 ，“13+23+33+…+103”用“ ”可以表示为 ．
∑ ∑
（1）把 写成加法的形式是 ；
（2）“2+4+6+8+…+100”用“ ”可以表示为 ；
∑
（3）计算： ．
20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项
式，并且最高次项为： x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解
决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×（﹣
6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为 ．
（2）若计算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求a的值；
（3）若（x+1）2022＝a x2022+a x2021+a x2020+…+a x+a ，则a ＝ ．
0 1 2 2021 2022 2021
21．阅读下列材料．
材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是
“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：
3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”．
材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，规定：F
（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146﹣2416＝﹣270．
（1）最大的“双增数”是 ，最小的“双减数”是 ；
（2）已知“双增数”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整数），“双减数”t
＝3000+20a+b（0≤a≤9，0≤b≤9，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除，现规
定k＝F（s）+F（t），求k的最大值．
