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例题精讲
【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，
AD＝2 ，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝ ．
变式训练
【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个
损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形
ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2 ，则菱形
ACEF的面积为 ．【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形 ABCD中，若∠A+∠C
＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝ 度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝ ．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是
“对补四边形”．
【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB
＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形
ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ．
变式训练【变2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的
正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a 等于 ；
1
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a ；
2
继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长
a ＝ ．（n为正整数）
n【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形
称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的
对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF （填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作
BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．1．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知
AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2+ x+1＝0 （填“是”或“不是”）；
②3x2+5 x+4＝0 （填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求
△ABC面积．2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形
为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶
点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．
求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：
四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是
邻余线，E，F在格点上；
（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝
135°，求CD的长度．
4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知， ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为
等腰梯形．求∠BCE的度数；▱
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、
CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂
线交BC的延长线于点G▱，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．
5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．
（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：
四边形ABEF是“邻余四边形”；
（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接
EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．
6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不
全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角
线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D，请你在图1中找出满足条件的点D，
保留画图痕迹（找出2个即可）
（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是
四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若AC＝ ，求AD•AB的值．
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为 ：
缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，
请你直接写出BF的长．7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究：
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接
AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展：
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时
针旋转角 （0°＜∠ ＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，
求出它的面α积． α8．定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩
形，如图①所示
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点 C落在对角线BD上的点G处，折痕为
BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
可以证明四边形BCEF为 矩形．
（Ⅰ）在图①中， 的值为 ；
（Ⅱ）已知四边形BCEF为 矩形，仿照上述操作，得到四边形 BCMN，如图②，可以证明四边形
BCMN为 矩形，则n的值是 ．9．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图 1，∠B＝∠C，则四边形
ABCD为等邻角四边形．
（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝ 度．
（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．
（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC
上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与
CE的数量关系？请说明理由．
（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E
为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2 dm，AD＝3dm，BD＝
dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．10．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的
平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．
概念理解：
（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．
性质探究：
（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边 AB，CD与BC，AD之间的数
量关系，并写出证明过程．
问题解决：
（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接
CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．11．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．
特例感知：
（1）如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果 ，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2+BC2
＝ ，AB2+CD2＝ ．
猜想论证
（2）如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边 AB，CD与BC，AD之间的数
量关系并给予证明．
拓展应用：
（3）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接
CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长．
（4）如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD， ，连
接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．12．点P（x ，y ），Q（x ，y ）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x ≠x ，若存在一个正数k，使点
1 1 2 2 1 2
P，Q的坐标满足|y ﹣y |＝k|x ﹣x |，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记
1 2 1 2
作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3， ），有|0﹣ |＝ |1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系
数”为 ．
已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2， ）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系
数”均为1．求点E的坐标；
（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M
（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）
≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．13．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边
形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是 ．
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：
；
．
问题解决：如图 2，以锐角△ABC 的两边 AB，AC 为边长，分别向外侧作正方形 ABDE 和正方形
ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．14．对于平面直角坐标系xOy中的图形W 和图形W ．给出如下定义：在图形W 上存在两点A，B（点
1 2 1
A，B可以重合），在图形W 上存在两点M，N（点M、N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W 和
2 1
图形W 满足限距关系．
2
（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0， ），点F在CE上运动（点F可以与C，E重
合），连接OF，DF．
①线段OF的最小值为 ，最大值为 ；线段DF的取值范围是 ．
②在点O，D中，点 与线段CE满足限距关系．
（2）如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹
角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a（a＞0）的取值范围；
（3）如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形边上两点，分
别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以
G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．15．定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点 C落在对角线BD上的点G处，折痕为
BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为 矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝ ＝ ．
由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A＝∠BFE．
∴EF∥AD．
∴ ＝ ，即 ＝ ．
∴BF＝ ．
∴BC：BF＝1： ＝ ：1．
∴四边形BCEF为 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是 ，tan∠HBC的值是 ；
（2）已知四边形 BCEF为 矩形，模仿上述操作，得到四边形 BCMN，如图②，求证：四边形
BCMN是 矩形；
（3）将图②中的 矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ 矩形”，则n的值是
．16．定义：长宽比为 ：1（n为正整数）的矩形称为 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个
矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点 B落在对角线AE上的点G处，折痕为
AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点 F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形
ABCD为 矩形．
（1）证明：四边形ABCD为 矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求 的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2 ，则DR的最小值＝ ．17．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，则∠B+∠C＝ °；
（2）如图2，锐角△ABC内接于 O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得
DE＝OE，连接DE并延长交AC于⊙点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．
①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；
②求△ABC的面积．18．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．
给出如下定义：若线段OE， A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点
A，B，C，D顺时针排列），⊙则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．
例如，下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．
（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x＝﹣1的“理想矩形”，则点D的坐标为 ；
（2）若点A（3，4），求直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积；
（3）若点A（1，﹣3），直线l的“理想矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ．
