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例题精讲
考点1 方程新定义问题
【例1】．设m，n为实数，定义如下一种新运算：m★ n＝ ，若关于x的方程a（x★ x）＝（x★
12）+1无解，则a的值是 ．
变式训练
【变1-1】．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}
＝2．按照这个规定，方程 （x≠0）的解为（ ）
A．4 B．2 C．4或2 D．无解
【变1-2】．新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方
程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣
1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2022能取得最大值是
．
考点2 不等式新定义问题
【例2】．规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]＝2，则x的取值范围为
．变式训练
【变 2-1】．已知对于任意两组正实数：a ，a ，…，a ；b ，b ，…，b 总有（a 2+a 2+…+a 2）
1 2 n 1 2 n 1 2 n
（b 2+b 2+…+b 2）≥（a b +a b +…+a b ）2．当且仅当 ＝ ＝…＝ 时取等号，据此我们可以得
1 2 n 1 1 2 2 n n
到，正数a，b，c满足a+b+c＝1，则 + + 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变2-2】．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣
≤x≤n+ ，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣ ≤x≤n+ ．例如，＜0
＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：
②如果＜x﹣2＞＝3，则实数x的取值范围是 ．
②若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，则a的取值范围是 ．1．定义[x]表示不大于x的最大整数，如：[3.2]＝3，[﹣3.2]＝﹣4，[3]＝3，则方程[x]+2＝2x所有解的和为
（ ）
A． B． C． D．
2．定义新运算：对于任意实数a、b都有：a b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法
⊕
运算，如：3 6＝（3+6）÷6＝ ，那么方程（x+2） （2x﹣1）＝4的解为（ ）
A．x＝3 ⊕ B．x＝2 C．x＝1⊕ D．x＝0
3．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝ab+3，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．
例如：3*4＝3×4+3＝15．若关于 x 的方程 x*（kx+2）＝0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围是
（ ）
A．k B．k C．k ，且k≠0 D．k ，且k≠0
4．对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{﹣2，3}
＝﹣2．按照这个规定，方程min{x，﹣x}＝﹣2x﹣1的解为（ ）
A．x＝﹣ B．x＝﹣1
C．x＝1 D．x＝﹣1或x＝﹣
5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]．即当n为非负整数时，若 ，则[x]＝n，
如：[3.4]＝3，[3.5]＝4，若[x]＝3，则x应满足的条件是（ ）
A．x＝3 B．3≤x＜3.5 C．2.5＜x＜3.5 D．2.5≤x＜3.5
6．对于任意实数a、b，定义一种运算：a*b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2*5＝2×5﹣2+5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题，若不等式2*x＜6，则该不等式的正整数解有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而
达到“降次”的目的，又如x3＝x⋅x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x3﹣2x2+2x+1的值
为（ ）
A． B． C． D．
8．阅读理解：a、b、c、d是实数，我们把符号 称为2×2阶行列式，并且规定： ，
例如， ．二元一次方程组 的解可以利用2×2
阶行列式表示为 ，其中 ， ， ．用上面的方法解二元一次方
程组 时，下面的说法错误的是（ ）
A．D＝8 B．D ＝10
x
C．方程组的解为 D．D ＝20
y
9．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是 ．
10．定义一种新运算：a*b＝ a﹣ b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，则根据定义的运算求出x的值为
．
11．对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为a b＝ ，这等式右边是实数运算．例如：1 2＝
⊗ ⊗ ⊗
＝1．则方程2 （﹣x）＝ 的解是 ．
⊗
12．m、n 为正整数，1＝ + + + + + + + + + + + + ，1≤x≤m，
1≤y≤n，m≤n，则代数式 的最小值为 ．
13．新定义，若关于x，y的二元一次方程组① 的解是 ，关于x，y的二元一次方
程组② 的解是 ，且满足| |≤0.1，| |≤0.1，则称方程组②的解是
方程组①的模糊解，关于x，y的二元一次方程组 的解是方程组 的模糊解，
则m的取值范围是 ．14．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若 ，
则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．下列结论：
①（2.493）＝2；
②（3x）＝3（x）；
③若 ，则x的取值范围是6≤x＜10；
③当x≥0，m为非负整数时，有（m+2022x）＝m+（2022x）；
其中正确的是 （填写所有正确的序号）．
15．自然数1到n的连乘积，用n！表示，这是我们还没有学过的新运算（高中称为阶乘），这种运算规
定：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问
题：
（1）计算5！＝ ；
（2）已知x为自然数，求出满足该等式的x： ；
（3）分解因式 ．16．（1）解方程组： ．
（2）对于实数a，b规定一种新的运算“☆”：a☆b＝ ．
例如：4☆3＝ ＝5，2☆3＝2×3＝6．
若x，y满足方程组 ，求y☆（x☆y）的值．
17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，
则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）．
①方程x2﹣4x+4＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m+n＝0；
③若p、q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0（p≠0）是倍根方程；
④若2b2﹣9ac＝0时，则方程ax2+bx+c＝0是倍根方程．
18．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程 x+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“差m方程”．例如：方程2x﹣3＝1的解
是x＝2，方程y﹣α4＝0的解是y＝4，∵|x﹣y|＝|2﹣4|＝2，∴方程2x﹣3＝1与方程y﹣4＝0是“差2方
程”．
（1）请判断方程x﹣2＝3﹣x与方程y+2＝3（y+1）是不是“差3方程”，并说明理由；
（2）若无论k取任何有理数，关于x的方程 ﹣b＝2k﹣1，（a，b为常数）与关于y的方程3y+5
＝y﹣1都是“差1方程”，求a+b的值．
19．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给
出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程的解，y 是关于y的方程的一个解，且x ，y 满足x +y ＝
0 0 0 0 0 0
424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程 4x＝5x﹣400的解
是x＝400，方程|y|＝24的解是y＝24或y＝﹣24，当y＝24时，满足x +y ＝400+24＝424，所以关于y
0 0
的方程|y|＝24是关于x的一元一次方程4x＝5x﹣400的“航天方程”．
（1）试判断关于y的方程|y﹣1|＝20是否是关于x的一元一次方程x+403＝2x的“航天方程”？并说明
理由；
（2）若关于y的方程|y﹣1|﹣3＝13是关于x的一元一次方程x﹣ ＝2a+1的“航天方程”，求a
的值．20．对x定义一种新运算E，规定E（x）＝（ax+2）（2bx﹣3），其中a，b是非零常数．如：当a＝1，b
＝1时，E（x）＝（x+2）（2x﹣3）＝2x2+x﹣6．
（1）当a，b满足 时，计算E（x）；
（2）已知 ，请求出 的值；
（3）若当a＝3，b＝2时，关于x的不等式组 恰好有5个整数解，求k的
取值范围．
21．规定，若两个不相等的数，其中一个数比另一个数大1，则称这两个数关于1的“刹那
又一年”，例如：6﹣5＝1或|5﹣6|＝1，则称6与5是关于1的“刹那又一年”，请你尝试运用上述规
定，解答下列问题：
（1）填空：（在横线上填“是”或“不是”）
①已知：P（2x+12，2y+10）在坐标系的原点上，那么x与y是否关于1的“刹那又一年” ；
②已知不等式组 的整数解为a，b，那么a与b是否关于1的“刹那又一年” ；
（2）已知方程组： 的解x和y是关于1的“刹那又一年”，求t的值；
（3）已知：x＞y且 中的x和y是关于1的“刹那又一年”，当m为正整数时，S ＝
1
m2+8m+7，S ＝m2+6m+8满足条件0＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有8个，令t＝m+b2，化简 ．
2 1 222．我们把关于x，y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二元
一次方程组 叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x，y的二元一次方程组为 共轭二元一次方程组，则a＝ ，b＝
．
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x，y的值满足下列表格：
x 2 0
y 0 1
则这个方程的共轭二元一次方程是 ．
（3）直接写出方程组的解： 的解为 ； 的解为 ；
的解为 ．（4）发现：若共轭二元一次方程组 的解是 ，则m，n之间的数量关系是 ．
（5）应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
23．阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子
方程”，例如：2x﹣1＝3的解为x＝2， 的解集为﹣3≤x＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4
的范围内，所以2x﹣1＝3是 的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①3x﹣1＝0，② ，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组 的“子
方程”是 ．（填序号）
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组 的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0， ＝﹣1都是关于x的不等式组 的“子方程”，试求m的取值
范围．
24．定义一种新运算：对于实数 x、y，有L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），由这种运算得
到的数称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对，若实数x，y都取正整数，称这
样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若L（x，y）＝2x+7y，则L（3，﹣2）＝ ，L（ ，﹣ ）＝ ；（2）已知L（5， ）＝ ，L（2， ）＝8．
①若L（m﹣1，m+2）为正格线性数，求满足66＜L（m﹣1，m+2）＜99的正格数对有哪些？
②若正格线性数L（x，y）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；
若没有，请说明理由．
25．阅读下列材料解答问题：
新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣ ≤x＜n+
，
则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣ ≤x＜n+ ．例如：
＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
（1）①＜ +2.4＞＝ （ 为圆周率）；
②如果＜x﹣π 1＞＝2，则数x的取π值范围为 ；
（2）求出满足＜x＞＝ x﹣1的x的取值范围．
26．【情境呈现】：
在解方程组 时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4x﹣3y分别看作一个整体，通过换元：令m＝2x+3y、n
＝4x﹣3y，可以将原方程组化为 ，解得 ，把 代入m＝2x+3y、n＝4x﹣3y，得
，解得 ，所以原方程组解为 ．
【灵活运用】：
（1）若方程组 的解为 ，则方程组 的解为 ；
（2）若方程组 的解为 ，其中k为常数．
①求方程组 的解：
②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足x＞y，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理
由．
27．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程
0ax+b＝0（a≠0）的解，y 是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x ，y 满足x +y ＝100，则称关于
0 0 0 0 0
y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 3x﹣2x﹣99＝0的解是x ＝
0
99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y ＝1时，x +y ＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程
0 0 0
3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．
（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，
以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ．
（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣ ＝a+1的“友好方程”，请求出a
的值．
（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+ ＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方
程”，请直接写出 的值．
