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例题精讲
【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C
（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+ x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直
线y＝﹣ x+2经过于点C、点B，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x轴于点Q，当
DE＝5EQ时，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在
线段OB上，连接HF、DF、DC、DB，当HF＝ ，∠CDB＝2∠MDF时，求点M的坐标．
【例2】．如图，直线y＝ x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝ x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝ ∠ABC的点M的坐标．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．
①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接
PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；
②请直接写出使∠PBA＝ ∠ABC的点P的坐标．
【例3】．已知如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点 C．已知OA＝OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△ACE的面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
变式训练
【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．1．如图，已知直线AB：y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，
与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）
（1）若D、E重合，求m值；
（2）连接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；
（3）连接OD，若OD＝CE，求m值．
2．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位
于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点
N的坐标．
3．如图1，抛物线C ：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C 交于A，C两点，与x轴交于点
1 1
B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC ＝4．（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线C 与x轴的交点坐标；
1
（3）如图2，将抛物线C 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴
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负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
4．如图，直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两点，与x
轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，
①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；
②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，
4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
6．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称
轴与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．
7．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存
在，请说明理由．
8．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝
2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．
9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是抛物线上第一象限上的一点，连接AM，正好将△ABC的面积分成相等的两部分，求M点的
坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右
边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝ ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．
11．如图，抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ＝ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO＝ ∠PBA．求点P的坐标；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB
＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为
点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点
O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣ 经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣
2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得
∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，
且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA
的值；
（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半
轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝ ，B、C两点的坐标分别为B（2 ，0），C（0，﹣
3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，
求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC
于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；
如果不是，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴
于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物
线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上
一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+ PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+ PC取得最小值时，把点P向上平移 个单位得到点
Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0°＜ ＜360°），得到△A′OQ′，其中边
A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点αG，使得α∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出
所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线L）与y轴交于点C，与x轴分别交于
点A、B，点A、B的横坐标分别记为x ，x ，且0＜x ＜x ．
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（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝4．求证：当b＜﹣ 时，二次函数y ＝ax2+
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（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2＝ ，点P的坐标为（﹣ ，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的L
的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线L交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x 的
0
最小值．
