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例题精讲
【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C
（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，
∴点B（﹣3，0），
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝30°，
∴tan∠DBO＝ ＝ ，
∴OD＝ ×3＝ ，
∴CD＝3﹣ ；
若点D在点C下方时，
∵∠DBC＝15°，
∴∠OBD＝60°，
∴tan∠DBO＝ ＝ ，
∴OD＝3 ，
∴DC＝3 ﹣3，
综上所述：线段CD的长度为3﹣ 或3 ﹣3；
（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，
∴△OCE≌△OCA（SAS），
∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝ ，
∴∠ECA＝2∠ACO，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠PAB＝∠ECA，
∵S△AEC ＝ AE×OC＝ AC×EF，
∴EF＝ ＝ ，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
∴tan∠ECA＝ ＝ ，
如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，
∵∠PAB＝∠ECA，
∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝ ＝ ，
∴ON＝ ，∴点N（0，﹣ ），
又∵点A（1，0），
∴直线AP解析式为：y＝ x﹣ ，
联立方程组得： ，
解得： 或 ，
∴点P坐标为：（﹣ ，﹣ ），
当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣ x+ ，
联立方程组得： ，
解得： 或 ，
∴点P坐标为：（﹣ ， ），
综上所述：点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+ x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直
线y＝﹣ x+2经过于点C、点B，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x轴于点Q，当
DE＝5EQ时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在
线段 OB 上，连接 HF、DF、DC、DB，当 HF＝ ，∠CDB＝2∠MDF 时，求点 M 的坐标．
解：（1）针对于直线y＝﹣ x+2，令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，则0＝﹣ x+2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝ax2+ x+c中，得
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2，
设点D坐标为（m，﹣ m2+ m+2），
∵DE⊥x轴交BC于E，直线BC的解析式为y＝﹣ x+2，
∴D（m，﹣ m+2），∴DE＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+ m，DQ＝﹣ m+2，
∵DE＝5EQ，
∴﹣ m2+ m＝5（﹣ m+2），
∴m＝3或m＝4（点B的横坐标，舍去），
∴D（3，3）；
（3）如图2，
由（2）知，D（3，3），
由（1）知，B（4，0），C（0，2），
∴DB＝ ，DC＝ ，BC＝2 ，
∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∵BDC＝2∠FDM＝90°，
∴∠FDM＝45°，
过点D作DP⊥y轴于P，则DQ＝DP，OP＝3，
∴CP＝1＝BQ，
∴△DPC≌△DQB（SAS），
在CP的延长线取一点G，使PG＝QF＝n，
∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，
∴△DPG≌△DQF（SAS），
∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，
∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°
∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，
∵DH＝DH，
∴△GDH≌△FDH（SAS），
∴GH＝FH＝ ，
∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣ ＝n+ ，在Rt△HOF中，根据勾股定理得，（n+ ）2+（3﹣n）2＝ ，
∴n＝1或n＝ （此时，OH＝n+ ＝2，所以点H与点C重合，舍去），
∴H（0， ），
∵C（3，3），
∴直线CH的解析式为y＝ x+ ①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+2②，
联立①②解得， 或 （由于点M在第二象限，所以舍去），
∴M（﹣ ， ）．【例2】．如图，直线y＝ x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝ x2+bx+c经过点
B，C，与x轴的另一个交点为点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝ ∠ABC的点M的坐标．
解：（1）将点B坐标代入y＝ x+c并解得：c＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝ x2+bx﹣3，
将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣3①；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
设点P（x， x2﹣ x﹣3），则点H（x， x﹣3），S四边形ACPB ＝S△ABC +S△PCB ，
∵S△ABC 是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB 最大即可，
S△PCB ＝ ×OB×PH＝ ×4（ x﹣3﹣ x2+ x+3）＝﹣ x2+6x，
∵﹣ ＜0，∴S△PCB 有最大值，此时，点P（2，﹣ ）；
（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝ ∠ABC＝2 ，
过点B在BC之下作角度数为 的角，交抛物线于点M， α
过点G作GK⊥BC交BC于点αK，延长GK交BM于点H，则GB＝BH，BC是GH的中垂线，
OB＝4，OC＝3，则BC＝5，
设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，
由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝ ，
则OG＝GK＝ ，GH＝2OG＝ ，点G（0，﹣ ），
在Rt△GCK中，GK＝OG＝ ，GC＝OC﹣OG＝3﹣ ＝ ，
则cos∠CGK＝ ＝ ，sin∠CGK＝ ，则点K（ ，﹣ ），点K是点GH的中点，则点H（ ，﹣ ），
则直线BH的表达式为：y＝ x﹣ …②，
同理直线BG的表达式为：y＝ x﹣ …③
联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，
解得：x＝ 或4（舍去4），
则点M（ ，﹣ ）；
联立①③并解得：x＝﹣ ，
故点M′（﹣ ，﹣ ）；
故点M（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．
变式训练
【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．
①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接
PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝ ∠ABC的点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）令x＝0，得 ＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y＝ ，
设P（m， ），则D（m， ），
∴DP＝ ，DE＝m，
∴ ，
∵∠BOC＝∠PDE＝90°，
∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：
当△PDE∽△BOC时，则 ，即 ＝ ，解得，m＝ ，
∴P（ ， ）；
当△PDE∽△COB时，则 ，即 ＝ ，
解得，m＝2，
∴P（2，4）．
综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（ ， ）或（2，4）；
②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，
则∠PBA＝ ∠ABC，OM＝MN，
在Rt△BOM和Rt△BNM中，
，
∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），
∴BN＝BO＝3，
设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，
CN＝BC﹣BN＝ ﹣3＝2，
∵MN2+CN2＝MC2，
∴t2+22＝（4﹣t）2，
∴t＝ ，∴M（0， ），
设BM的解析式为：y＝mx+ （m≠0），
代入B（3，0）得，m＝ ，
∴直线BM的解析式为：y＝﹣ ，
解方程组 得， ， ，
∴P（ ， ），
取M（0， ）关于x轴的对称点，K（0，﹣ ），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，
则∠ABP＝ ∠ABC，
设直线BK的解析式为y＝px （p≠0），
代入B（3，0）得，p＝ ，
∴直线BK的解析式为：y＝ ，
解方程组 得 ， ，∴P'（ ， ），
综上，使∠PBA＝ ∠ABC的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【例3】．已知如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于
点 C．已知OA＝OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△ACE的面积；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：（1）对于抛物线y＝ax2+bx﹣4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC＝2OB，
∴OA＝4，OB＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
∵点A，B在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2+x﹣4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝ x2+x﹣4①，
∵直线y＝2x+m②与抛物线有且只有一个交点E，
联立①②得， ，
∴ x2﹣x﹣（4+m）＝0，
∴△＝1+4× （4+m）＝0，
∴m＝﹣ ，
∴ x2﹣x﹣ ＝0，
∴x ＝x ＝1，
1 2
∴E（1，﹣ ），
∴直线AE的解析式为y＝﹣ x﹣2
如图1，记直线AE与y轴的交点为F，则F（0，﹣2），
∴S△ACE ＝ CF×|x
E
﹣x
A
|＝ ×2×|1﹣（﹣4）|＝5；
（3）由（2）知，E（1，﹣ ），
Ⅰ、当点P在x轴上方时，如图2，
将线段AE以点E为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG，则∠EAG＝45°，
在Rt△AOC中，OA＝OC，
∴∠OAC＝45°＝∠EAG，
∴∠CAE＝∠OAG，
∴点P是AG与抛物线的交点，
过点E作MN∥x，过点A作AM⊥MN于M，过点G作GN⊥MN于G，
∵A（﹣4，0），E（1，﹣ ），∴AM＝ ，ME＝5，
∴∠AME＝∠ENG＝90°，
∴∠MAE+∠AEM＝90°，
由旋转知，AE＝EG，∠AEG＝90°，
∴∠AEM+∠NEG＝90°，
∴∠MAE＝∠NEG，
∴△AME≌△ENG（AAS），
∴EN＝AM＝ ，GN＝ME＝5，
∴N（ ，﹣ ），G（ ， ），
∴直线AG的解析式为y＝ x+ ③，
∵抛物线的解析式为y＝ x2+x﹣4④，
联立③④解得， 或 ，
∴P（ ， ），
Ⅱ、由Ⅰ知，点G的坐标为G（ ， ），N（ ，﹣ ），
∴点G与点N关于x轴对称，
∴点P是直线AN与抛物线的交点，
∵A（﹣4，0），
∴直线AN的解析式为y＝﹣ x﹣ ⑤，
联立④⑤，解得， 或 ，∴P（ ，﹣ ），即满足条件的点P的坐标为P（ ， ）或（ ，﹣ ）．
变式训练
【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，
﹣3）．
（1）求抛物线的解析式的一般式．
（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．
（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．
解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x
轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），
∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴ ，
∵OB＝OC＝3，
∴∠ABC＝45°，BC＝3 ，
∵∠ACO＝∠PCB，
∴tan ，
∴BE＝ ，
∵∠CBE＝90°，
∴∠MBE＝45°，
∴BM＝ME＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线CE的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，
同理求出BF＝ ，FN＝BN＝1，
∴F（2，1），
求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，
∴ ，
解得：x ＝0，x ＝4，
1 2
∴P（4，5）．
综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（ ）；
（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，
∴y﹣2＝k（x﹣1），
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，
∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最
大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，
∴k＝1，
∴直线l的解析式为y＝x+1，
∴ ，
解得： ， ，
∴E（﹣1，0），F（4，5），
∴ ＝10．
1．如图，已知直线AB：y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，
与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）
（1）若D、E重合，求m值；
（2）连接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；
（3）连接OD，若OD＝CE，求m值．
解：（1）把y＝x﹣3代入抛物线y＝x2﹣2x﹣m中，得x2﹣3x+3﹣m＝0，∵D、E重合，
∴△＝9﹣4（3﹣m）＝4m﹣3＝0，
∴m＝ ；
（2）∵y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，
∴B（0，﹣3），C（0，﹣m），
∴BC＝3﹣m，
解方程组 得， ， ，
∴ ， ，
∴BD＝ ，BE＝ ，
∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴ ，即BC2＝BD•BE，
∴ ，
解得，m＝1或3，
当m＝3时，B与C重合，不符合题意，舍去，
∴m＝1；
（3）∵OD＝CE，
∴OD2＝CE2，
∴ + ，
即 ，
解得，m＝0，或m＝5 ，
当m＝0时， 无意义，应舍去，当m＝5+ 时，C点在B点下方，不合题意，舍去，
∴m＝5﹣ ，
2．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点
C．已知△ABC的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位
于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点
N的坐标．
解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，
解得x ＝1，x ＝a，
1 2
∵点A位于点B的左侧，
∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），
当x＝0时，y＝a，
∴点C坐标为（0，a），
∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，
∵△ABC的面积为6，
∴ ，
∴a ＝﹣3，a ＝4，
1 2
∵a＜0，
∴a＝﹣3，
∴y＝x2+2x﹣3；（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，
∴k＝3；
①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，
则 ，
∴ ， ，
∴点P坐标为 ；
②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，
则
∴ ， ，
∴点P坐标为 ，
综上可得 点P坐标为 或 ；
（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交
于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB ＝ ×AB×d＝ ×4×d＝2d，
∵S△MNB ＝2d，
∴S△AMB ＝S△MNB ，
∴ ，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB和△NBM中
∴△AMB≌△NBM（SAS），
∴∠ABM＝∠NMB，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
又∵AN∥BM，
∴∠ABM＝∠OAC＝45°，
∴∠NMB＝45°，
∴∠ABM+∠NMB＝90°，
∴∠BHM＝90°，
∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，
∵M是抛物线上一点，
∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∴1﹣t＝t2+2t﹣3，
∴t ＝﹣4，t ＝1（舍去），
1 2
∴点N的横坐标为﹣4，
可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N的坐标为（﹣4，1）．3．如图1，抛物线C ：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C 交于A，C两点，与x轴交于点
1 1
B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC ＝4．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线C 与x轴的交点坐标；
1
（3）如图2，将抛物线C 向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴
1
负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．
解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，∵OA＝2OB，
∴OA＝2，
∴A（0，﹣2），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝2x﹣2；
（2）∵S△OAC ＝4，
∴ ，
∴x ＝4，
C
∴y＝8﹣2＝6，
∴C（4，6），
将A（0，﹣2），C（4，6）代入y＝ax2+c，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线C 与的解析式为y＝ ；
1
令y＝0， ，
解得x＝±2，
∴抛物线C 与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）．
1
（3）设抛物线C表达式为：y＝ x2﹣2﹣m，设点M（n，0），
则 n2﹣2﹣m＝0，抛物线C表达式为：y＝ x2﹣ n2…③，
联立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，则点N（2﹣n，2﹣2n），
则NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，
∴△MNQ为等腰直角三角形，则∠MNQ＝45°，又点P（0，﹣ n2），即点M（n，0），
设直线MN与y轴的交点为H，则OH＝OM，则点H（0，﹣n），
作NK⊥y轴于点K，在△NKH中，NK＝KH，
则NH＝ （2﹣n），又HP＝OH+OP＝ n2﹣n，
∵PN为角平分线，则∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，
故NH＝HP，
则 （2﹣n）＝ n2﹣n，
解得：n＝2或﹣2 （舍去2），
∵ n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．
4．如图，直线y＝ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两点，与x
轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，
①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；
②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．解：（1）由y＝ x+2可得：
当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
把A、B的坐标代入y＝﹣ x2+bx+c得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）①如图1，过点D作DN⊥AC于N，交AB于F，作DH⊥AB于H，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
∵∠FAN+∠AFN＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∠AFN＝∠DFH，
∴∠FAN＝∠FDH，
∴cos∠FAN＝cos∠FDH，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴DH＝ DF，∴当DF有最大值时，DH有最大值，
设点D ，F ，
∴DF＝ ＝﹣ （m+2）2+2，
∴当m＝﹣2时，DF有最大值为2，
∴DH的最大值为 ，
∴当点D（﹣2，3）时，D到AB的距离最大值为 ；
②如图2，延长CB，AD交于点E，
∵抛物线y＝﹣ x2﹣ x+2与x轴交于点A，点C，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，
∵ ＝ ，∠AOB＝∠BOC，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠BAO＝∠CBO，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴BC＝BE，
∵B（0，2），点C（1，0），
∴点E（﹣1，4），∴直线AE的解析式为y＝ x+ ，
联立方程组： ，
解得： ， ，
∴点D（﹣ ， ）．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，
4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C
（0，4），
∴ ，
解得： ，∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2+ x+4；
（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，
∵B（8，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y＝﹣ x+4，
设D（m，﹣ m2+ m+4），
则E（m，﹣ m+4），
∵D为抛物线上第一象限内一点，
∴DE＝DF﹣EF＝（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）＝﹣ m2+2m，
∴△DCB面积＝ 8×DE＝4（﹣ m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣ x2+ x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，
设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴ ，
解得： ，∴y＝﹣ x+4，
∴ ，
解得： ， ，
∴P（ ，﹣ ）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（ ，﹣ ）．
6．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称
轴与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．
解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得： ，
解得： ，
∴所求抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x．（2）∵抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∴点D的坐标为（ ，0）．
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（ ，0），
∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+ ＝ ，
∴cot∠BDO＝ ＝ ．
（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．
则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cot∠BAC＝ ＝ ＝2．
∵∠PAO＝∠BAO，
∴cot∠PAO＝ ＝ ＝2，即m﹣2n＝5①．
∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴∠BCO＝∠PQA＝90°，
∴BC∥PQ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即4m＝﹣3n②．
由①、②得： ，
解得： ，∴点P的坐标为（ ，﹣ ）．
7．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存
在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；
（2）①设点P（a，a2+a﹣6），
∵点P位于y轴的左侧，
∴a＜0，PE＝﹣a，
∵PD＝2PE，
∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，
∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，
解得：a ＝ ，a ＝ （舍去）或a ＝﹣2，a ＝3（舍去）
1 2 3 4
∴PE＝2或 ；
②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，
理由如下，
∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∵点B（2，0），点A（﹣3，0），
∴OB＝2，OA＝3，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，
AC＝ ＝ ＝3 ，
如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，
∴△ACH∽△BCO，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AH＝ ，HC＝ ，
设点H（m，n），
∴（ ）2＝（m+3）2+n2，（ ）2＝m2+（n+6）2，
∴ 或 ，
∴点H（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ， ），
当H（﹣ ，﹣ ）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x ＝﹣2，x ＝0（舍去），
1 2
∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣ ， ）时，
∵点C（0，﹣6），
∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，
∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，
解得：x ＝﹣8，x ＝0（舍去），
1 2
∴点P的坐标（﹣8，50）；
综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．
8．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝
2OA＝4．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；
（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离
的最大值．
解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，
∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；
（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，在△BAQ和△COA中，
，
∴△BAQ≌△COA（AAS），
∴AQ＝OA＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y＝ x﹣1，
联立 ，
解得x ＝2（舍去），x ＝ ，
1 2
∴P（ ， ）；
（3）设E（x ，x 2﹣4），F（x ，x 2﹣4），P（1，﹣3），
1 1 2 2
由点P、E的坐标得，y ＝（x +1）x﹣4﹣x ，
PE 1 1
同理可得y ＝（x +1）x﹣4﹣x ，
PF 2 2
又∵PE⊥PF，
∴（x +1）（x +1）＝﹣1，
1 2
∴x x +x +x +1＝﹣1，
1 2 1 2
x x ＝﹣2﹣（x +x ）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．
1 2 1 2
同理可得EF的解析式为：y ＝（x +x ）x﹣4﹣x x ，
EF 1 2 1 2
∴y ＝（x +x ）x﹣4+2+（x +x ）＝（x +x ）（x+1）﹣2，
EF 1 2 1 2 1 2
∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，
连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，
∴AR＝ ．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是抛物线上第一象限上的一点，连接AM，正好将△ABC的面积分成相等的两部分，求M点的
坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于M，如图：
∵N为BC中点，
∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即M是满足条件的点，
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），∵B（3，0），N为BC中点，
∴N（ ， ），
设直线AN解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），N（ ， ）代入得：
，解得 ，
∴直线AN解析式为y＝ x+ ，
解 得 或 ，
∴M（ ， ），
答：M点的坐标（ ， ）；
（3）存在点P，使∠PAB＝∠ABC，理由如下：
过A作AP∥BC交抛物线于P，交y轴于S，作S关于x轴的对称轴点T，作直线AT交抛物线于P'，如
图：
∵AP∥BC，
∴∠PAB＝∠ABC，P是满足条件的点，
∵S关于x轴的对称轴点为T，
∴∠P'AB＝∠PAB＝∠ABC，即P'是满足条件的点，由（2）知C（0，3），
设直线BC解析式为y＝tx+3，将B（3，0）代入得：
3t+3＝0，
∴t＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
由AP∥BC设直线AP解析式为y＝﹣x+d，将A（﹣1，0）代入得：
1+d＝0，解得d＝﹣1，
∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣1，S（0，﹣1），
解 得 或 ，
∴P（4．﹣5），
∵S（0，﹣1），S关于x轴的对称轴点为T，
∴T（0，1），
设直线AT解析式为y＝ex+1，将A（﹣1，0）代入得：
﹣e+1＝0，解得e＝1，
∴直线AT解析式为y＝x+1，
解 得 或 ，
∴P'（2，3），
综上所述，点P的坐标为（4，﹣5）或（2，3）．
10．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右
边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝ ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3与y轴的正半轴交于点C，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵tan∠BCO＝ ，
∴ ＝ ，
∴OB＝1，
∴B（1，0），
将B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图（2）设PQ与x轴交于N．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点Q （2，﹣1），
∵A （3，0），B （1，0），C （0，3），
∴AB＝2，OC＝OA＝3，
∴∠CAO＝45°，AC＝3 ，
过Q作QH⊥x轴于H，则QH＝AH＝1，
∴∠QAH＝45°，AQ＝ ，
∴∠CAO＝∠QAH＝45°，
∵∠AQP＝∠ACB，
∴△CAB∽△QAN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AN＝ ，
∴ON＝3﹣ ＝ ，
∴N （ ，0），
又Q（2，﹣1），
∴直线PQ解析式为：y＝3x﹣7，
联立方程组 ，
解得： ， ；
∴P（5，8）；
（3）如图（3）作BM⊥AC于M，当点D在线段CM上时，则∠ADB＝3∠ACB，
∴∠CBD＝2∠ACB，
作∠CBD的平分线BE交CD于点E，
∴∠CBD＝2∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴BE＝CE，
∵y＝x2﹣4x+3，
∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，
设E（a，﹣a+3），则（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，
解得：a＝ ，
∴E（ ， ），
设D（m，﹣m+3），
∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，
∴△BCD∽△EBD，
∴BD2＝CD•ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝ （m﹣ ）• m，
解得：m＝ ，
∴D（ ， ）．11．如图，抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ＝ ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO＝ ∠PBA．求点P的坐标；
（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位
于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB
＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）把y＝0代入抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a），
得x＝3或x＝2a，
∵点A在点B的左侧，
∴A（2a，0），B（3，0），
∵
∴
∴a＝﹣1
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6；
（2）如图①，作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC＝DB∵DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DCB+∠DBC＝2∠BCO，
∵∠BCO＝ ∠PBA
∴∠PBA＝2∠BCO，
∴∠ODB＝∠PBA，
∴tan∠ODB＝tan∠PBA，
设P（m，m2﹣m﹣6），DC＝DB＝n，
∵C（0，﹣6），B（3，0），
∴OC＝6，OB＝3，
∴OD＝6﹣n，
在Rt△BOD中，
（6﹣n）2+32＝m2，
解得 ，
∴ ，
∵tan∠ODB＝tan∠PBA
∴
即 ，解得 ，
∴
∴点P的坐标为 ；
（3）MN的为定值，定值为5
∵A（﹣2，0），B（3，0），点M到x轴的距离为2L
∴ ，
∵S△AMN ＝5L
∴S△ABM ＝S△AMN
∵△ABM和△AMN同底AM，
∴点B、N到直线AM的距离相等，
∴AM∥BN，
∴∠MAN＝∠ANB，∠AMB＝∠MBN，∠ABC＝∠MAB
∴∠ANB＝∠MBN
∴∠MAN＝∠AMB
∵tan∠ABC＝ ＝ ＝2，tan∠AMN＝2
∴△MAB≌△AMN（ASA），
∴MN＝AB＝5
∴MN的为定值，定值为5．
12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为
点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，
连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；
tan∠BCO＝ ，则cos∠BCO＝ ；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠P'BC＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠P'BC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH× ＝ ，
解得：CH＝ ，则OH＝3﹣CH＝ ，故点H（0，﹣ ），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝ x﹣ ②，
联立①②并解得： ，
故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝ ，
故设直线AP的表达式为：y＝ x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝ x+1③，
联立抛物线与③并解得： ，故点N（ ， ）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣ ）2+（ ﹣n）2⑤，
联立④⑤并解得： ，
故点M（﹣ ，﹣ ）．
13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点
O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣ 经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣
2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得
∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣ 中，得0＝﹣4k﹣ ，解得k＝ ，
∴直线l解析式为y＝ x﹣ ，
设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，
∴OD＝OE
∵DE＝2EM
∴OM＝2OD，
过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，
∴∠OFD＝∠ORM，
∵∠DOF＝∠MOR
∴△ODF∽△OMR
∴ ＝ ＝ ＝2
∴OR＝2OF，RM＝2DF
∴M（﹣2m，2m2+8m）
∴2m2+8m＝ •（﹣2m）﹣ ，
解得：m ＝﹣3，m ＝ ，
1 2
∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3 ，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2
∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝ ＝ ＝ ，
∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝ ，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝ OE＝ ，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），
∴∠EOT＝45°
∵∠EOH＝90°
∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则 ，解得
∴直线EH解析式为y＝﹣ x ，
解方程组 ，
∴x＝ 或 ，
∴点P的横坐标为： 或 ．14．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，
且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA
的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，
求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5．
（2）∵A（1，0），B（5，0），
∴OA＝1，AB＝4．
∵AC＝AB且点C在点A的左侧，
∴AC＝4．
∴CB＝CA+AB＝8．
∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ ＝ ．
∴CP＝4 ．
又∵∠PCB是公共角，
∴△CPA∽△CBP．
∴∠CPA＝∠CBP．
过P作PH⊥x轴于H．∵OC＝OD＝3，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°．
∴∠PCH＝45°
∴PH＝CH＝ CP＝4，
∴H（﹣7，0），BH＝12．
∴P（﹣7，﹣4）．
∴tan∠CBP＝ ＝ ，tan∠CPA＝ ．
（3）∵抛物线的顶点是M（3，﹣4），
又∵P（﹣7，﹣4），
∴PM∥x轴．
当点E在M左侧，则∠BAM＝∠AME．
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．∵∠AEM＝∠AMB，
∴△AEM∽△BMA．
∴ ＝ ．
∴ ＝ ．
∴ME＝5，
∴E（﹣2，﹣4）．
当点E在M右侧时，记为点E′，
∵∠AE′N＝∠AEN，
∴点E′与E 关于直线AN对称，则E′（4，﹣4）．
综上所述，E的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．
15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半
轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝ ，B、C两点的坐标分别为B（2 ，0），C（0，﹣
3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，
求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC
于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；
如果不是，请说明理由．
解：（1）∵对称轴为直线x＝ ，
∴﹣ ＝ ，
∵B（2 ，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x2﹣ x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m， m2﹣ m﹣3），
连接OP，则S△POC ＝ ×OC×m＝ m，
S△POB ＝ ×OB×（﹣ m2+ m+3）＝﹣ m2+ m+3 ，
∴S四边形OCPB ＝S△OPC +S△POB ＝﹣ m2+3m+3 ，
∵S△OBC ＝ ×OC×OB＝3 ，
∴S△PBC ＝S四边形OCPB ﹣S△BOC ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，△PBC的面积最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（ ，﹣3）；（3）∠MEN为定值．
当y＝0时， x2﹣ x﹣3＝0，
解得x＝﹣ 或x＝2 ，
∴A（﹣ ，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝ ＝ ，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴
于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．
（1）连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物
线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上
一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+ PC的最小值；
（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+ PC取得最小值时，把点P向上平移 个单位得到点
Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0°＜ ＜360°），得到△A′OQ′，其中边
A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点αG，使得α∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出
所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C
∴令y＝0解得：x ＝﹣1，x ＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，
1 2
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）
∵点D为抛物线的顶点，且 ＝ ＝1， ＝ ＝﹣4
∴点D的坐标为D（1，﹣4）
∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，
由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）
∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3
∴当m＝ ＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）
在x轴上找一点K（ ，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，
∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：y＝ ，且点F（2，﹣2），
∴PJ＝ PC，直线FJ的解析式为：y＝
∴点J（ ， ）
∴FP+ PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝
∴|HF+FP+ PC| ＝ ；
min
（2）由（1）知，点P（0， ），
∵把点P向上平移 个单位得到点Q
∴点Q（0，﹣2）
∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝ ，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝ AQ＝ ，
此时，∠AQO＝∠GOQ
把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0°＜ ＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴
于点G α α
①如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣ ），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'
则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，
∵sin∠OAQ＝ ＝ ＝
∴sin∠IOQ'＝ ＝ ＝ ，解得：|IO′|＝
∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝
∴点Q'的坐标为Q'（ ，﹣ ）；
②如图3，当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（ ， ）
③如图4
当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣ ， ）
④如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣ ，﹣ ）．
综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（ ，﹣ ），（ ， ），（﹣ ，
），（﹣ ，﹣ ）．
17．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线L）与y轴交于点C，与x轴分别交于
点A、B，点A、B的横坐标分别记为x ，x ，且0＜x ＜x ．
1 2 1 2
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝4．求证：当b＜﹣ 时，二次函数y ＝ax2+
1
（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2＝ ，点P的坐标为（﹣ ，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的L
的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线L交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x 的
0
最小值．解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，
∵函数过点（1，﹣1），
∴a﹣3+a＝﹣1，
∴a＝c＝1，
∴y＝x2﹣3x+1；
（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝4．
∴Δ＝b2﹣4ac＝4，
∴4ac＝b2﹣4，
在函数 中， ，
∵ ，
∴2b+5＜0，
即函数图象与x轴没有交点；
（3）因为函数顶点在直线l上，则有 ，
即b2﹣4ac＝4a①，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
由①得： ②，
∵∠OAP＝∠DAB，∠OPB＝∠DAB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，
∴∠OBP＝∠OPA，
则△OAP∽△OPB．
∴ ，
∴OA•OB＝OP2，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
由②得： ，
∴ ，
∴当c＝1时， ．
