文档内容
模型介绍
考点1 一点一垂线模型
【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积
等于 |k|．
【示例】
拓展：【例1】．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝ （x＞0）图象上，
PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点 A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会
（ ）
A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
变式训练
【变1-1】．如图，点A、B在反比例函数 的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，
射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是4，则k的值为 ．
【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝ （k≠0）上的两点，PA⊥x
轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（ ）
A． B． C．2 D．考点2一点两垂线模型
【模型讲解】
反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|．
【示例】
【例2】．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于 y轴的直线分别交双曲线于
A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4变式训练
【变2-1】．如图，函数y＝ （x＞0）和 （x＞0）的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PA∥y轴交
1 2 2
l 于点A，PB∥x轴交l 于点B，△PAB的面积为 ．
1 1
【变2-2】．如图，直线AB∥x轴，分别交反比例函数y＝ 图象于A、B两点，若
S△AOB ＝2，则k
2
﹣k
1
的值为 ．
【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例
函数y＝ 和y＝ 的图象交于A、B两点，若S△AOB ＝3，则k的值为 ．考点3 两曲一平行模型
【模型讲解】
两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面
积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型1 两条双曲线的k值符号相同
【示例】【例3】．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴
的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF
的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（ ）
A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36
变式训练
【变3-1】．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 的图象上．若正
方形OABC的面积为1，则k的值为 ；点E的坐标为 ．
【变3-2】．如图，A、B两点在双曲线y＝ 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影 ＝1.7，则S +S 等于 ．
1 2
【变3-3】．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P ，P ，P ，P ，…，它们的横坐标依次
1 2 3 4
为1，2，3，4，…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为
S ，S ，S ，…，则S +S +S +…+S ＝ ．（用n的代数式表示，n为正整数）
1 2 3 1 2 3 n
考点4 两点一垂线模型
【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角
形面积之和．
【示例】【例4】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A
作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k＝﹣ ；②不等式kx＜﹣ 的解集为﹣4＜x＜0
或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式训练
【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为 ．
【变4-2】．如图，过点O的直线与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点
C，连接BC，则△ABC的面积为 ．
【变4-3】．如图，函数y＝x与y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，连接
BC，若S△ABC ＝3，则k＝ ．
考点5 两点两垂线模型
【模型讲解】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|．
【示例】【例5】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣ 的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点
B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为 ．
变式训练
【变5-1】．如图，一次函数y＝kx与反比例函数 上的图象交于A，C两点，AB∥y轴，BC∥x轴，若
△ABC的面积为4，则k＝ ．
【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝ 的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为
．
【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P
为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是 ．
考点6 反比例函数上两点和外一点模型
【模型讲解】
反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法．
【示例】
方法一：S ＝S －S －S ．
△AOB △COD △AOC △BOD
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，则S ＝S （划归到模型一），则
△OAM 四边形MEFB
S ＝S ．
△AOB 直角梯形AEFB【拓展】
方法一：当 或 ＝m时，则S ＝m|k|．
四边形OFBE
方法二：作EM⊥x轴于M，则S ＝S （划归到上一个模型示例）．
△OEF 直角梯形EMAF
【例6】．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，则S△AOB ＝（ ）
A． B． C． D．6
变式训练
【变6-1】．如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数 的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若S△BCA ＝12，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6
【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 与直线y＝ 交于A，B，x轴的正半轴上有
一点C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面积为25，则k的值为 ．
【变6-3】．如图，正比例函数y＝﹣ x与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点，点C在x轴上，连接
AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面积为10，则该反比例函数的解析式是 ．
考点7 反比例函数上两点和原点模型【模型讲解】
反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支上，用加法．
【示例】
方法一：S ＝ OD·|x －x |＝ OC·|y －y |．
△AOB B A A B
方法二：S ＝S ＋S ＋S ．
△AOB △AOC △OCD △OBD
方法三：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点F，延长AE与BF相交于点N，则
S ＝S －S －S －S ．
△AOB △ABN △AOE △OBF 矩形OENF
【例7】．如图，直线AB交双曲线 于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x
轴于M，连接OA．若OM＝2MC，S△OAC ＝12．则k的值为 ．
变式训练
【变7-1】．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴
上，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且四边形ODBE的
面积为21，则k＝ ．【变7-2】．如图，点 是直线AB与反比例函数 图象的两个交点，
AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S ，S ，求S ﹣S ．
1 2 2 1
考点8 两双曲线k值符号不同模型
【模型讲解】
两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面
积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型1 两条双曲线的k值符号相同
【示例】【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与 的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，
交函数 的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
变式训练【变8-1】．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝ （x＞0）和y
＝﹣ （x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
【变8-2】．如图，点A和点B分别是反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上的点，AB⊥x
轴，点C为y轴上一点，若S△ABC ＝2，则m﹣n的值为 ．
1．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝ 的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是（ ）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
2．如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反
比例函数y＝ （x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA＝ ，则k的值等于（ ）
α
A．8sin2 B．8cos2 C．4tan D．2tan
α α α α
3．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴， ＝ ．∠AOB的角平分线与OA的垂直平
分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝ 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 时，
k的值是（ ）A．2 B．3 C．5 D．7
4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝ 的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝ 的
图象上，且OA⊥OB，cosA＝ ，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
5．如图，反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴
的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到
的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝ （x＞0）的图
象经过点A，则k的值为（ ）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
7．如图，直线y＝ 与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝ 向上平移4个单位长度后，
与y轴交于点C，与双曲线y＝ （k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），
C，D两点在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则k等于 ．9．如图，点E，F在函数y＝ （x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF＝
1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是 ，△OEF的面积是
（用含m的式子表示）
10．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1， P的圆心P在线段BC上，且 P
⊙ ⊙
与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过圆心P，则k＝ ．
11．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别
在双曲线y＝ 和y＝ 的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结
论：
① ＝ ； ②阴影部分面积是 （k +k ）； ③当∠AOC＝90°时，|k |＝|k |；
1 2 1 2
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是 （把所有正确的结论的序号都填上）．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x﹣1，双曲线y＝ ，在l上取一点A ，过A 作x
1 1
轴的垂线交双曲线于点B ，过B 作y轴的垂线交l于点A ，请继续操作并探究：过A 作x轴的垂线交
1 1 2 2
双曲线于点B ，过B 作y轴的垂线交l于点A ，…，这样依次得到l上的点A ，A ，A ，…，A ，…记
2 2 3 1 2 3 n
点A 的横坐标为a ，若a ＝2，则a ＝ ，a ＝ ；若要将上述操作无限次地进行下去，
n n 1 2 2013
则a 不可能取的值是 ．
1
13．如图，一次函数y＝ x+1的图象与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于
点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
请求出所有符合条件的点P坐标．14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝k x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0， ）两点，且与
1 1
反比例函数y ＝ 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为 ．
2
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 1
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
15．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝ 的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表
达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
17．小华同学学习函数知识后，对函数 通过列表、描点、连线，画出了如图1
所示的图象．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
﹣请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： ； ；
②若函数图象上的两点（x ，y ），（x ，y ）满足x +x ＝0，则y +y ＝0一定成立吗？ ．
1 1 2 2 1 2 1 2
（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得
到直线l与函数y＝﹣ （x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
