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模型介绍
一、反比例函数 的几何意义
1.反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所
围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为
y y
A A
O O
x x
B B
二、利用k的几何意义进行面积转化
1.如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ，
那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低
2.如图，过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则根据 的几何意义可得， ，
而 ，所以 ，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。y y
D B D
B
A A
O O
C x C E F x
例题精讲
【例1】．如图，反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则
△AOB的面积是 8 ．
解：如图所示：
过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵反比例函数y＝ 在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，
∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，
故S△ACO ＝S△OBD ＝3，
S四边形AODB ＝ ×（3+1）×4+3＝11，
故△AOB的面积是：11﹣3＝8．
故答案为：8．变式训练
【变1-1】．如图，点A在反比例函数 （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点
C，若 ，△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
∵OC∥AD， ，
∴ ，
∴ ，k＞0，
∴k＝12，
故选：D．
【变1-2】．如图，反比例函数y＝ （k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB
的中点，S△BEF ＝4，则k的值为 1 6 ．解：设E（a， ），则B纵坐标也为 ，
∵E是AB中点，
∴F点坐标为（2a， ），
∴BF＝BC﹣FC＝ ﹣ ＝ ，
∵S△BEF ＝4，
∴ a• ＝4，
∴k＝16．
故答案是：16．
【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形 ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标
分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2 ，则k的
值为 1 2 ．
解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，
∵A，B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，
∴A（ ，6），B（ ，4），
∴AE＝2，BE＝ ﹣ ＝ ，
∵菱形ABCD的面积为2 ，
∴BC×AE＝2 ，即BC＝ ，
∴AB＝BC＝ ，
在Rt△AEB中，BE＝ ＝ ＝1，
∴ k＝1，
∴k＝12．
解法二：同理知：BE＝1，
设A（a，6），则B（a+1，4），
∴6a＝4（a+1），
∴a＝2，
∴k＝2×6＝12．
故答案为12．
变式训练
【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，
则△OAB的面积是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD ＝S△BOE ＝ ×12＝6，
∵S△OAB ＝S△AOD +S梯形ABED ﹣S△BOE ＝S梯形ABED ，
∴S△AOB ＝ （4+2）×（6﹣3）＝9，
故选：A．
【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝ 与y＝ （a＞b＞0）在第一象限的图象分
别为曲线C ，C ，点P为曲线C 上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C 于点A，作x轴的垂线交C
1 2 1 2 2
于点B，则阴影部分的面积S△AOB ＝ a ﹣ ．（结果用a，b表示）
解：设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C 上的任意一点，
1
∴mn＝a，∴阴影部分的面积S△AOB ＝mn﹣ b﹣ b﹣ （m﹣ ）（n﹣ ）
＝mn﹣b﹣ （mn﹣b﹣b+ ）
＝mn﹣b﹣ mn+b﹣
＝ a﹣ ．
故答案为： a﹣ ．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，
OC＝ OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．4
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC＝ OB，
∴OC＝ BC＝ ×2CE＝ CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴ ＝（ ）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC＝ OB，
∴S△COD ＝ S△BCD ＝ ，∴S△CEA ＝4× ＝1，
∵OC＝ CE，
∴S△AOC ＝ S△CEA ＝ ，
∴S△AOE ＝ +1＝ ，
∵S△AOE ＝ k（k＞0），
∴k＝3，
故选：A．
2．如图，OC交双曲线y＝ 于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB∥x轴，则k的
值是（ ）
A．18 B．50 C．12 D．
解：延长DA、交x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，
∴∠CAB＝∠AOE，
∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠ABC
∴△AOE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2，
∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△AOE ＝9，
∵双曲线y＝ 经过点A，
∴S△AOE ＝ |k|＝9，
∵k＞0，
∴k＝18，
故选：A．
3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y ＝﹣ 和y ＝ 的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的
1 2
值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．﹣4
解：设A（a，b），则B（2a，2b），
∵点A在反比例函数y ＝﹣ 的图象上，
1
∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y ＝ 的图象上，
2
∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．
故选：A．
4．如图，点A（m，n），B（4， ）在双曲线y＝ 上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为 ，则m+n＝
（ ）
A．7 B． C． D．3
解：∵点A（m，n），B（4， ）在双曲线y＝ 上，
∴mn＝4× ＝k，
∴mn＝k＝6，
∴双曲线为y＝ ，
∴n＝ ，
作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵S△AOB ＝S△AOD +S梯形ADEB ﹣S△BOE ＝S梯形ADEB ，
∴ （ + ）（4﹣m）＝ ，
解得m ＝1，m ＝﹣16，
1 2
∵0＜m＜n．
∴m＝1，
∴n＝6，
∴m+n＝7，故选：A．
5．如图，点A，B是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x
轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCD ＝3，则S△AOC 为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
解：在Rt△BCD中，
∵ ×CD×BD＝3，
∴ ×CD×3＝3，
∴CD＝2，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴OD＝4，
∴B（4，3），
∵点B是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，
∴k＝12，
∵AC⊥x轴，∴S△AOC ＝ ＝6，
故选：D．
6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝ 与y＝ 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则
△ABC的面积为（ ）
A．k ﹣k B． （k ﹣k ） C．k ﹣k D． （k ﹣k ）
1 2 1 2 2 1 2 1
解：由题意可知，AB＝ ﹣ ，AB边上的高为x，
∴S△ABC ＝ ×（ ﹣ ）•x＝ （k
1
﹣k
2
），
故选：B．
7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝ 与边BC交于点D、与对角
线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（ ）A．10 B．5 C． D．
解：设E点的坐标是（x，y），
∵E是OB的中点，
∴B点的坐标是（2x，2y），
则D点的坐标是（ ，2y），
∵△OBD的面积为10，
∴ ×（2x﹣ ）×2y＝10，
解得，k＝ ，
故选：D．
8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比
例函数 （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k
＝（ ）
A．6 B．9 C． D．
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（ ，b）
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴ ＝k，设E的坐标为（a，y），
∴ay＝k
∴E（a， ），
∵S△ODE ＝S矩形OCBA ﹣S△AOD ﹣S△OCE ﹣S△BDE ＝ab﹣ k﹣ k﹣ • •（b﹣ ）＝12，
∴4k﹣k﹣ + ＝12
k＝
故选：D．
9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝ （k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂
足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝ 8 ．
解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝ 图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝ |k|，
∴ |k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝ 的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 2 ．
解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP＝OQ，OM＝QM＝ OQ，
∵反比例函数的图象经过点P，
∴设P（a， ）（a＞0），
则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝ ，
在Rt△OPM中，
PM＝ ＝ ＝ a，
∴ ＝ a，
∴a＝1（负值舍去），
∴OQ＝2a＝2，
故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝ 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB＝
OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝ 的图象于点P．则△OAP的面积为 5 ．
解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，
∵A（4，3），
∴AD＝3，OD＝4，
∴AO＝ ＝5，
∵AB＝AO，
∴AB＝5，
∵AB∥x轴，
点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，
即点B的坐标是（9，3），
设直线OB的解析式是y＝ax，
把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，
解得：a＝ ，
即y＝ x，∵AB∥x轴，
∴MN⊥AB，
把A（4，3）代入y＝ ，得k＝12，
即y＝ ，
解方程组 得： 或 ，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标是（6，2），
∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），
∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，
∴△OAP的面积是S△ABO ﹣S△APB ＝ 3﹣ ＝5，
故答案为：5．
12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝ 相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值
为 6 ．
解：方法一：
设A（a， ），B（b， ），则C（a， ）．
将y＝x+m代入y＝ ，得x+m＝ ，
整理，得x2+mx﹣3＝0，
则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．∵S△ABC ＝ AC•BC
＝ （ ﹣ ）（a﹣b）
＝ • •（a﹣b）
＝ （a﹣b）2
＝ （m2+12）
＝ m2+6，
∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
方法二：
因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝ AB，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AB2，
当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，
联立方程 ，解得 或 ，
∴A（ ， ），B（﹣ ，﹣ ），
AB＝ ×2 ＝2 ，
∴S△ABC最小 ＝ ×4×6＝6．
故答案为：6．
13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为
斜边OB的中点，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD ＝6，则k的值为 8 ．
解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（ ， ），
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝ • ＝ ，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为 ，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COE ＝S△AOD ，
S△OCD ＝S△COE +S梯形ADCE ﹣S△AOD ＝S梯形ADCE ，S△OCD ＝6，
∴ （AD+CE）•AE＝6，即 （ + ）•（m﹣ m）＝6，
∴m2＝32，
∴k＝ ＝8，
故答案为：8．
解法二：
作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，
∴S△OEC ＝S△AOD ＝ k，S△AOB ＝2k，
∴S△BOD ＝ k，
∵C为斜边OB的中点，
∴S△OCD ＝S△BCD ＝ S△BOD ＝6，
∴ × k＝6，
∴k＝8．
故答案为：8．
14．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比
▱
例函数y＝ （x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD， OABC的面积为15，则k的值为 1 8 ．
▱
解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，
∵ OABC的面积为15，
▱
∴BM＝ ，
∴ND＝ BM＝ ，
∴A，D点坐标分别为（ ，3b），（ ，a+2b），
∴ •3b＝ （a+2b），
∴b＝ a，
∴k＝ •3b＝ •3× a＝18，
故答案为：18．
15．如图，点A在双曲线y＝ 的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且
OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为
．解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为1，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而点D为OB的中点，
∴BD＝OD＝ b，
∵S梯形OBAC ＝S△ABD +S△ADC +S△ODC ，
∴ （a+2a）×b＝ a× b+4+ ×2a× b，
∴ab＝ ，
把A（a，b）代入双曲线y＝ ，
∴k＝ab＝ ．
故答案为： ．16．如图，已知反比例函数y ＝ 与一次函数y ＝k x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．
1 2 2
（1）求k ，k ，b的值；
1 2
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接写出不等式 x+b的解．
解：（1）∵反比例函数y ＝ 与一次函数y ＝k x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
1 2 2
∴k ＝8，B（﹣4，﹣2），
1
解方程组 ，解得 ；
（2）由（1）知一次函数y＝k x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），
2
∴S△AOB ＝ ×6×4+ ×6×1＝15；
（3）﹣4≤x＜0或x≥1．
17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝ ，反比例函数y
＝ 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D
的纵坐标为 ．
（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB ．
解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，
∴AB＝6，
∵cos∠OAB＝ ＝ ，
∴ ，
∴OA＝10，
由勾股定理得：OB＝8，
∴A（8，6），
∴D（8， ），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k＝8× ＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，
∵A（8，6），
∴8b＝6，b＝ ，
∴直线OA的解析式为：y＝ x，
则 ，
x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），
设直线BE的解式为：y＝mx+n，
把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得： ，
解得： ，
∴直线BE的解式为：y＝ x﹣2；
（3）S△OEB ＝ OB•|y
E
|＝ ×8×3＝12．
18．如图，直线y＝ x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象
上，OB与x轴正半轴的夹角为 ，且tan ＝ ．
（1）求反比例函数的解析式；α α
（2）求点B的坐标；
（3）求S△OAB ．
解：（1）∵直线y＝ x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴a＝ ×3＝4，
∴点A的坐标为（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式y＝ ．
（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x， ），∵tan ＝ ，
α
∴ ＝ ，解得：x＝±6，
∵点B在第一象限，
∴x＝6，
∴点B的坐标为（6，2）．
（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，
解得：k＝ ，
∴OB直线解析式为：y＝ x．
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：
则点C坐标为（3，1），
∴AC＝3．
S△OAB的面积 ＝S△OAC的面积+S△ACB的面积 ＝ ×|AC|×6＝9．
∴△OAB的面积为9．
19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数在第一象
限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB ＝4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．解：（1）由题意得：S△AOB ＝ •|x
A
|•y
B
，
即 ×2×y ＝4，
B
y ＝4，
B
∴B（2，4），
设反比例函数的解析式为：y＝ ，
把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，
∴y＝ ，
设直线AB的解析式为：y＝ax+b，
把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得： ，
解得： ，
∴y＝x+2；
（2）由题意得：x+2＝ ，
解得：x ＝﹣4，x ＝2，
1 2
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△ODB ＝S△OAD +S△OAB ＝ ×2×2+4＝6．
20．如图，在平行四边形OABC中， ，点A在x轴上，点D是AB的中点，反比
例函数 的图象经过C，D两点．（1）求k的值；
（2）求四边形OABC的面积．
解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠AOC＝45°，
∴OE＝CE，
∴OE2+CE2＝OC2
∵OC＝2 ，
∴OE＝CE＝2，
∴C（2，2），
∵反比例函数 的图象经过点C点，
∴k＝2×2＝4；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝2 ，∠DAF＝∠AOC＝45°，
又∵点D是AB的中点，
∴AD＝ ，AF＝DF，
∴AF2+DF2＝AD2，
∴AF＝DF＝1，
∴D点的纵坐标为1，
∵反比例函数 的图象过点D点，
∴D（4，1），
∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，
∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝ （k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．
解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，
∴点A的坐标为（2，12），
将A（2，12）代入y＝ ，得：k＝24，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）在y＝ 中y＝6时，x＝4，
∴点B（4，6），而A（2，12），
如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则
OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，
∴S△AOB ＝S矩形OCED ﹣S△AOC ﹣S△BOD ﹣S△ABE
＝4×12﹣ ×2×12﹣ ×4×6﹣ ×2×6
＝48﹣12﹣12﹣6
＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数 的图象的两个交
点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足 ，求x的取值范围．
解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣ ．
∵A（﹣4，n）在y＝﹣ 的图象上，
∴n＝2，
∴A（﹣4，2）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），
∴ ，
解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．
（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△COB
＝ ×2×2+ ×2×4
＝6．
（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣ ＜
0．
23．如图，一次函数y＝k x+b的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B
1
（﹣4，n）．
（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．
解：（1）∵反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），
∴k ＝﹣1×2＝﹣2，
2
∴反比例函数表达式为：y＝﹣ ，
∵反比例y＝﹣ 的图象经过点B（﹣4，n），
∴﹣4n＝﹣2，解得n＝ ，∴B点坐标为（﹣4， ），
∵直线y＝k x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4， ），
1
∴ ，
解得： ，
∴一次函数表达式为：y＝ + ．
（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，
当y＝0时， x+ ＝0，x＝﹣5；
∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．
S△AOC ＝ •OC•|y
A
|＝ ×5×2＝5．
S△BOC ＝ •OC•|y
B
|＝ ×5× ＝ ．
S△AOB ＝S△AOC ﹣S△BOC ＝5﹣ ＝ ；
（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，
∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），
设直线A′B的表达式为y＝ax+c，
∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4， ）
∴ ，解得： ，
∴直线A′B的表达式为：y＝﹣ x﹣ ，
当y＝0时，则x＝﹣ ，
∴P点坐标为（﹣ ，0）．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例
函数y＝ （x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF
的解析式为y＝k x+b．
2
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k x+b ＞0的解集．
2解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵A点坐标为（3，2），
∴k ＝3×2＝6，
1
∴反比例函数解析式为y＝ ；
把x＝6代入y＝ 得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；
把y＝4代入y＝ 得x＝ ，则E点坐标为（ ，4），
把F（6，1）、E（ ，4）代入y＝k x+b，
2
得 ，
解得， ，
∴直线EF的解析式为y＝﹣ x+5；
（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO ﹣S△ODE ﹣S△OBF ﹣S△CEF
＝4×6﹣ ×4× ﹣ ×6×1﹣ ×（6﹣ ）×（4﹣1）
＝ ；
（3）由图象得：不等式k x+b﹣ ＞0的解集为 ＜x＜6．
225．如图，已知反比例函数y＝ （m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例
函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结
OP、OQ．求△OPQ的面积．
解：（1）反比例函数y＝ （m≠0）的图象经过点（1，4），
解得m＝4，
故反比例函数的表达式为y＝ ．
一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），
所以 ，
解得n＝﹣1，b＝﹣5．
∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；
（2）由 ，
解得 或 ．
∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，
解得x＝﹣5，
故点A（﹣5，0），
S△OPQ ＝S△OPA ﹣S△OAQ ＝ ×5×4− ×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝
（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．
（1）求k的值；
（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；
（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．
解：（1）∵等边△OAB，
∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，
∵点C是AB的中点，
∴BC＝AC＝2，
过点C作CM⊥OB，垂足为M，
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，
∴BM＝1，CM＝ ，
∴OM＝4﹣1＝3，
∴点C的坐标为（﹣3， ），代入y＝ 得：k＝﹣3
答：k的值为﹣3 ；
（2）过点A作AN⊥OB，垂足为N，
由题意得：AN＝2CM＝2 ，ON＝ OB＝2，
∴A（﹣2，2 ），
设直线OA的关系式为y＝kx，将A的坐标代入得：k＝﹣ ，
∴直线OA的关系式为：y＝﹣ x，由题意得： ，解得： 舍去， ，
∴D（﹣ ，3）
过D作DE⊥OB，垂足为E，
S△OCD ＝S
CMED
+S△DOE ﹣S△COM ＝S
CMED
＝ （ +3）×（3﹣ ）＝3，
答：△OCD的面积为3．
（3）①当与直线CD 平行的直线y＝mx+n过点O时，此时y＝mx+n的n＝0，
②当与直线CD平行的直线y＝mx+n经过点A时，
设直线CD的关系式为y＝ax+b，把C、D坐标代入得：
，解得：a＝1，b＝3+
∴直线CD的关系式为y＝x+3+ ，
∵y＝mx+n与直线y＝x+3+ 平行，
∴m＝1，
把A（﹣2，2 ）代入y＝x+n得：n＝2+2
因此：0≤n≤2+2 且n ．
答：n的取值范围为：0≤n≤2+2 且n≠3+ ．
