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例题精讲
【例1】．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，
点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________
解：当x＝0时，y＝ ×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
当y＝0时， x+4＝0，
解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．
作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．
∵点C的坐标为（﹣3，2），
∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．
设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴直线C′D的解析式为y＝ x+2．
当y＝0时， x+2＝0，
解得：x＝﹣ ，
∴点P的坐标为（﹣ ，0），
即点P的坐标为（﹣1.5，0）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝ （x＞0）
上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x， ），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB是个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积＝ （PB+AO）•BO＝ （x+AO）• ＝ + ＝ + • ，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，
0）为圆心，半径为1的 C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为 ，则k的值是 ．
⊙
解：方法一、联立 ，
∴ ，
∴ ，
∴A（ ），B（ ），
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝ ，
∵ON的最大值为 ，
∴BM的最大值为3，
∵M在 C上运动，
∴当B，⊙C，M三点共线时，BM最大，
此时BC＝BM﹣CM＝2，
∴（ ，
∴k＝0或 ，
∵k＞0，
∴ ，
方法二、设点B（a，2a），
∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于A，B两点，
∴A与B关于原点O对称，
∴O是线段AB的中点，
∵N是线段AM的中点，
连接BM，则ON∥BM，且ON＝ ，
∵ON的最大值为 ，
∴BM的最大值为3，
∵M在 C上运动，
∴当B，⊙C，M三点共线时，BM最大，
此时BC＝BM﹣CM＝2，
∴ ＝2，
∴a ＝ 或a ＝0（不合题意舍去），
1 2∴点B（ ， ），
∴k＝ ，
故答案为： ．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两
边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是
2 ．
解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6， ），N（ ，6），
∴BN＝6﹣ ，BM＝6﹣ ，
∵△OMN的面积为10，
∴6×6﹣ ×6× ﹣ ×6× ﹣ ×（6﹣ ）2＝10，
∴k＝24，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM+PN的最小值，
∵AM＝AM′＝4，
∴BM′＝10，BN＝2，
∴NM′＝ ＝ ＝2 ，
故答案为2 ．变式训练
【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（﹣1，0），动点P在反比例函数y＝ 的图
象上运动，当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时，点P的坐标为 （ 1 ， 2 ）或（﹣ 2 ，﹣ 1 ） ．
解：如图，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
直线AB与双曲线y＝ 的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB之差的绝对值取
得最大值，
由 可得 或 ，
∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．
【变2-2】．如图，一次函数y ＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y ＝ （k≠0）相交于A（﹣1，2）和B
1 2
（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有
可能的坐标．
解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y ＝ （k≠0）上，
2
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y ＝﹣ ，
2
（2）∵点B在双曲线y ＝﹣ 上，
2
∴2b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∴B（2，﹣1），
将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y ＝mx+n（m≠0）中，得 ，
1
∴ ，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；
令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），
设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），
∴BC＝ ＝2 ，BP＝ ，CP＝1﹣p，
∵△CPB为等腰三角形，
∴①当BC＝BP时，2 ＝ ，
∴p＝1（舍）或p＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
②当BC＝CP时，2 ＝1﹣p，
∴p＝1﹣2 ，
∴P（0，1﹣2 ），
③当BP＝CP时， ＝1﹣p，
∴p＝﹣1，
∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2 ）或（0，﹣1）．
1．如图，点N是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于
点M，则△OMN面积的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4解：设点N的坐标为（ ，m），则点M的坐标为（2﹣ m，m）（m＞0），
∴MN＝ ﹣（2﹣ m）＝ m+ ﹣2，
∴S△OMN ＝ MN•m＝ m2﹣m+3＝ （m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ
＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ （180°﹣18°）＝81°，
∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，
∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，
∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，
∴∠APB＝∠QAC，
同理可得∠PAB＝∠AQC，
∴△APB∽△QAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得，y＝ ，
∵x、y都是边的长度，是正数，
∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，
纵观各选项，只有A符合．
故选：A．
3．如图，已知A、B是反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P
从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别
为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；
②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l
﹣at），因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系．故排除C．
故选：A．4．已知点A是双曲线y＝ 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等
边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的
表达式为 y ＝﹣ ．
解：设A（a， ），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC＝ AO，
∵AO＝ ，
∴CO＝ ，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即 ＝ ，
解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+ ，
将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×
可得：x2＝ ，
故x＝ ，y＝﹣a2x＝﹣ a，
则xy＝﹣3，
故可得：y＝﹣ （x＞0）．
故答案为：y＝﹣ （x＞0）．
5．如图，点P是双曲线C：y＝ （x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝ x﹣2于点Q，
连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是 3 ．
解：∵PQ⊥x轴，
∴设P（x， ），则Q（x， x﹣2），
∴PQ＝ ﹣ x+2，
∴S△POQ ＝ （ ﹣ +2）•x＝﹣ （x﹣2）2+3，
∵﹣ ＜0，
∴△POQ面积有最大值，最大值是3，
故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°
得到线段 AC，反比例函数 y＝ （k≠0，x＞0）的图象经过点 C．已知点 P 是反比例函数 y＝
（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为 （ ， ） ．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，
将点A（1，0），点B（0，2）代入得 ，
解得 ，
∴直线AB为y＝﹣2x+2；
∵过点C作CD⊥x轴，
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，
∴C（3，1），
∴k＝3，
∴y＝ ；
设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，
联立﹣2x+h＝ ，
∴﹣2x2+hx﹣3＝0，
当△＝h2﹣24＝0时，h＝2 或﹣2 （舍弃），此时点P到直线AB距离最短，
解方程﹣2x2+2 x﹣3＝0得x＝ ＝ ，∴P（ ， ），
故答案为P（ ， ）．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB
＝4 的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k
的代数式表示）．
解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足
为M，此时AM＝BM，OM的值最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4 ，
∴可以假设A（m， ），则B（m+4， ﹣4），
∴（m+4）（ ﹣4）＝k，
整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝ ＝ ＝ ，
∴OM的最小值为 ．
故答案为 ．
8．如图，点A是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以
点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是
2 +2 ．
π
解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，
由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，
∵AB⊥y轴，
∴∠ABO＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，
∴∠BAO＝∠DAE，
∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．
∵点A是反比例函数y＝ 在第一象限的图象上的一点，
∴OB•AB＝4，
∴S△AOB ＝ OB•AB＝2，
∴S△ACD ＝ AC•DE＝ OB•AB＝2，
∴S阴影 ＝S△ACD +S扇形OAD
＝2+
＝2+
∵（AB﹣OB）2≥0，
∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，
∴AB2+OB2≥2AB•OB，
∴S阴影 ≥2+ ×2AB•OB＝2+2 ．
故答案为：2+2 ． π
π
9．如图，点A是反比例函数y＝ （k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，以AB为直
径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于
点E．记△BDE的面积为S ，△ACE的面积为S ，连接BC，△ACB是 等腰直角 三角形，则若S ﹣
1 2 1
S 的值最大为1，则k的值为 4 +4 ．
2解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．
由题意 O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，
∴点A、⊙C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），
∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，
∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，
∴四边形BHCO′是正方形．
∴∠ABC＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵S
1
﹣S
2
＝S△DBC ﹣S△ACB ，△ABC的面积是定值，
∴△DBC的面积最大时，S ﹣S 的值最大，
1 2
∴当DO′⊥BC时，△DBC 的面积最大，
∴ m•（m+ m）﹣ •2m•m＝1，
∴m2＝2（ +1），
∵k＝2m2，
∴k＝4 +4，
故答案为：等腰直角三角形，4 +4．
10．如图，正比例函数y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x
轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x
轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由 ，得ab＝2＝k，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）由条件知：两函数的交点为 ，
解得： ， ，
∴A点坐标为：（2，1），
作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，
P点即是所求则点C（2，﹣1），
∵B（1，2），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，
当y＝0时，x＝ ，
∴点P（ ，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝ 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于
点C，连接BC，若△ABC面积为 2．
（1）求k的值
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不
存在，说明理由．
解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，
又∵A是反比例函数y＝ 图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积＝ |k|，
∴ |k|＝1，
∵k＞0，
∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y＝2x与y＝ 联立成方程组得：
，
解得： ， ，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形
∴∠ADB＝90°，如图3，
∵O为线段AB的中点，
∴OD＝ AB＝OA，
∵A（1，2），
∴OC＝1，AC＝2，
由勾股定理得：OA＝ ＝ ，
∴OD＝ ，
∴D（ ，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣ ，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（ ，0）或（﹣ ，
0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．
解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），
∴a＝3，
∵反比例函数y＝ 经过A（1，3），
∴k＝3，
∴y＝ ，
由 ，解得 或 ，
∴B（﹣3，﹣1）．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；
∵A（1，3），B′（﹣3，1），
∴直线AB′的解析式为y＝ x+ ，
∴C（﹣5，0），
∴S△ABC ＝S△CBB′+S△BB′A ＝ ×2×2+ ×2×4＝6．13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点A（﹣1，n），B两点．
（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；
（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；
（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．
解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，
∴n＝﹣5，
∴点A（﹣1，﹣5），
∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数 的图象上，
∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，
∴ ；
联立 ，
解得： ， ，
∴点 ；
（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），
∴OE＝3，
∴S△AOB ＝S△AOE +S△BOE ＝ ×3×1+ ×3× ＝ ；
（3）设点 ，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，
∴∠M＝∠N＝90°，
∴∠DAM+∠ADM＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAN+∠DAM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM，
∴△BAN∽△ADM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：a ＝﹣10，a ＝﹣1（舍），
1 2
∴ ．
14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x
轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（a，1）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），
∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，
∴点B的坐标为（1，5），
又∵点B（1，5）在反比例函数y＝ 上，
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式为：y＝ ；
（2）将点D（a，1）代入y＝ ，得：a＝5，
∴点D坐标为（5，1）
设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），
过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，
可得： ，
解得： ，
∴直线BD′的解析式为：y＝﹣ x+ ，
根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，
当y＝0时，得：﹣ x+ ＝0，解得：x＝ ，
故点P的坐标为（ ，0）．
15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝ （x＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜ 的解集．
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
解：
（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，
∴AB＝2，BC＝3，
∵F为AB的中点，
∴点F坐标为（3，1），
∵点F在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为y＝ ，
∵点E在BC上，
∴E点纵坐标为2，
在y＝ 中，令y＝2，可求x＝ ，
∴E点坐标为（ ，2）；
（2）不等式ax+b＜ 的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，
由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为 、3，
∴不等式ax+b＜ 的解集为：0＜x＜ 或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝ （x＞0）的图象
上，
∴可设E（ ，2），F（3， ），
∴AF＝ ，CE＝ ，
∴BE＝BC﹣CE＝3﹣ ，
∴S△AEF ＝ AF•BE＝ • •（3﹣ ）＝﹣ k2+ ＝﹣ （k﹣3）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴S△AEF 是关于k的开口向下的抛物线，
∴当k＝3时，S△AEF 有最大值，最大值为 ，
即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为 ．
16．如图，直线OA：y＝ x的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作轴
的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴
上求一点P，使PA+PB最小．
解：（1）设点A的坐标为（a，b），则 ，解得：k＝2．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：
，解得： ．
∴点A的坐标为（2，1）．
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如
图所示．
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
由题意可得：B点的坐标为（1，2），
∴ ，解得： ．
∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．
当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝ ．
∴P点的坐标为（ ，0）．
17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A、B两点（A在B的右
侧），点A横坐标为4．
（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣ ＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，
求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入y＝ ，得k＝4×2＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
解方程组 ，得 ，或 ，
∴点B的坐标为（1，8）；
（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣ ＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；
（3）存在，
理由：①若∠BAP＝90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，
当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，
∴点E（5，0），OE＝5．
∵A（4，2），
∴OH＝4，AH＝2，
∴HE＝5﹣4＝1．
∵AH⊥OE，
∴∠AHM＝∠AHE＝90°．
又∵∠BAP＝90°，
∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，
∴∠MAH＝∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴ ，即 ，
∴MH＝4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y＝mx，
则有4m＝2，解得m＝ ，
∴直线AP的解析式为y＝ x，
解方程组 ，得 ， ，
∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP＝90°，
同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣ ）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣ ）．
18．反比例函数 （k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，
①求满足条件的点P的坐标；
②求△PAB的面积．
解：（1）把A（1，3）代入y＝ 得，k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y＝ ；
把B（3，m）代入y＝ 得，m＝1，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时
PA+PB最小．
设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，
，解得， ，
∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，
当y＝0时，x＝ ，即：P（ ，0），也就是，OP＝ ，
②S△PAB ＝S梯形ABNM ﹣S△AMP ﹣S△BPN ＝ （1+3）×2﹣ （ ﹣1）×3﹣ （3﹣ ）×1＝ ．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝ （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，
∴A（1，3），
把点A（1，3）代入反比例y＝ ，得k＝3，
∴反比例函数的表达式y＝ ，
解 得 或 ，
故B（3，1）．
（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小
∴D（3，﹣1）
设直线AD的解析式为y＝mx+n，则 ，解得 ，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝ ，
∴P点坐标为（ ，0）；
（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，
令y＝0，则x＝4，
∴M点的坐标为（4，0）．
20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝
的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是
（m，3）．
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．
（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．
解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），
∴AB＝1+2＝3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB＝3，
∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝ ，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ；
把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，
得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵反比例函数y＝﹣ 的图象过点E（m，3），
∴m＝﹣2，
∴E点的坐标为（﹣2，3）；
由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，
即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）设P（t，﹣ ），
∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴ ×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，
∴P点坐标为（18，﹣ ）或（﹣18， ）．
21．如图，点A是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，
过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设
点A的横坐标为m．
（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，
∴点A的纵坐标为 ，
∵E是AC的中点，AC⊥x轴，
∴E（m， ），
∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD∥x轴，
∴点B，E，D的纵坐标相等，为 ，
∴点D的横坐标为2m，
∴D（2m， ）；
（2）四边形ABCD是菱形，
∵B（0， ），E（m， ），D（2m， ），
∴EB＝ED＝m，
∵AE＝EC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，
∴2m＝ ，
∴m＝2，或m＝﹣2（舍），
∴A（2，4），D（4，2），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴ ，
∴ ，
∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，
∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．
22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝ 交于点C、D，
且点C坐标为（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．
（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．
解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，
∴m＝﹣（﹣2）+2，
解得：m＝4，
∴C（﹣2，4），
将C（﹣2，4）代入y＝ ，得k＝﹣8，
∴反比例函数为y＝﹣ ；
（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，
∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），
∴BC＝ ＝2 ，
当BM＝BC＝2 时，OM＝2 +2，
∴M（0，2 +2），
当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，
∴M（0，6），
综上所述，点M的坐标为（0，2 +2）或（0，6）
（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，
则△CHQ∽△QGO，
∴ ，
∵tan∠OCP＝3，
∴ ，
设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，
∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，
解得x＝1，
∴Q（﹣3，3），
∴直线CQ的解析式为y＝x+6，
∴x+6＝﹣ ，
解得x ＝﹣2，x ＝﹣4，
1 2
∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．
